湖南湘潭市第一中学2025-2026学年高一上学期入学考试数学试卷

湘潭市一中2025级高一入学考试 数学试题卷 时间：120分钟 满分：150分 ★祝各位取得满意成绩★ 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．3的相反数是 A． B． C． D． 2．计算： A． B． C． D． 3．一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是 A．三棱柱 B．三棱锥 C．长方体 D．圆柱体 4．将因式分解，所得结果正确的是 A． B． C． D． 5．如图，在矩形中，点A在双曲线上，点B，C在x轴上，延长至点E，使，连接交y轴于点F，连接，则的面积为 A．7 B．8 C．9 D．10 6．今年，夕夕一家5个人的年龄分别为（单位：周岁）：6，32，34，55，58与4年前相比，下列说法正确的是 A．平均数变大，方差变大 B．平均数变大，方差不变 C．平均数变小，方差变小 D．平均数变小，方差不变 7．下列数学经典图形中，是中心对称图形的是 A． B． C． D． 8．关于x的方程有实数根，则m的取值范围是 A． B． C．且 D． 9．已知周长为1，连结三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为 A． B． C． D． 10．如图，已知在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，是直角三角形，，，点B在反比例函数上，若点A在反比例函数上，则k的值为 A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11．如图，与均是等边三角形，若，则的度数是___________． 12．如图，点A、B、C均在坐标轴上，，过A、O、C作，E是上任意一点，连结，，则的最大值是___________． 13．对于解关于x的一元二次方程，可以通过降次转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程是，则m的值为___________． 14．分解因式：___________． 15．已知点是关于x的反比例函数图象上的一点，其中a，b满足，则k的取值范围为___________． 16．如图，已知，角的一边与相切于A点，另一边交于B、C两点，于D，的半径为，，则___________，___________． 三、解答题：本题共7小题，共78分． 17．（8分） （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 18．（9分）棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．喜欢思考的小敏设计了如图所示的的小方格棋盘，在棋盘方格内随机放入棋子，且每一个方格内最多放入一枚棋子．棋盘内现已有四枚棋子，在剩余的、、、、方格内继续随机放入棋子，如果有三枚棋子在同一条直线上，我们称之为“三连珠”． （1）若小敏随机放入枚棋子，求出现“三连珠”的概率； （2）若小敏随机放入枚棋子，请用画树状图或列表法． （i）求新放入的两枚棋子恰好与原右下角的棋子均相邻的概率； （ii）求新放入两枚棋子后，余下未放棋子方格的编号之和能被整除的概率． 19．(10分) 某校无人机兴趣小组在广场上开展活动，测量无人机的飞行高度．如图所示，点A，B，C在同一平面内，操控者站在坡度、坡面长的斜坡底部点C处操控无人机，坡顶点B处的无人机以的速度沿仰角的方向爬升，时到达空中点A处． （1）求此时无人机离地面的高度； （2）在距离点的点M处站着一个人，他正抬头仰望无人机，此时无人机是否在此人正上方？请说明理由．（结果精确到，参考数据：，，，，） 20．（10分）如图，一次函数（k，b为常数，）的图象与反比例函数（m 为常数，）的图象交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若点C是x轴正半轴上的一点，且，求点C的坐标． 21．（10分） 2024年成都世界园艺博览会以“公园城市美好人居”为主题，秉持“绿色低碳、节约持续、共享包容”的理念，以园艺为媒介，向世界人民传递绿色发展理念和诗意栖居的美好生活场景．在主会场有多条游园线路，某单位准备组织全体员工前往参观，每位员工从其中四条线路（国风古韵观赏线、世界公园打卡线、亲子互动漫游线、园艺小清新线）中选择一条．现随机选取部分员工进行了“线路选择意愿”的摸底调查，并根据调查结果绘制成如下统计图表． 游园线路 人数 国风古韵观赏线 44 世界公园打卡线 x 亲子互动漫游线 48 园艺小清新线 y 根据图表信息，解答下列问题： （1）本次调查的员工共有___________人，表中x的值为___________； （2）在扇形统计图中，求“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数； （3）若该单位共有2200人，请你根据调查结果，估计选择“园艺小清新线”的员工人数． 22．（14分）在矩形中，，． （1）如图（1），P、Q分别是、边的中点，以、为邻边作矩形．连接，则的长为___________；（直接填空） （2）在（1）的条件下，如图（2），让矩形绕着点A逆时针旋转至点E恰好落在上，连接、，求出和的长，并求的值． （3）在（1）的条件下，如图（3），当矩形绕着点A逆时针旋转至如图（3）位置时，请帮助小明判断的值是否发生变化？若不变，说明理由．若改变，求出新的比值． 23．（17分）如图①，已知抛物线与x轴交于两点、，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线．点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q． （1）求抛物线的表达式； （2）设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值； （3）如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $