第二章重难点突破（一） 基本不等式 （13个题型）讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学基本不等式核心知识点，系统梳理从基础应用（直接求最值、配凑法）到重点方法（消元法、换元法）再到易错点（一正条件、取等验证）的递进脉络，构建“题型特征-方法技巧-例题巩固”的学习支架。 该资料亮点在于分类13个典型题型，结合各地期末及模拟真题例题，通过“题型特征分析-方法技巧提炼-多维度练习”培养数学思维，强化“一正二定三相等”应用，课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺。

第二章重难点突破（一） 基本不等式 总览 题型·解读 【重难点突破】2026年暑假新高一数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 基本不等式基础应用类 【题型1】 直接对式子使用基本不等式求最值 基础知识 题型特征 形如 两正数相加乘积为定值可直接套用公式 方法技巧 满足一正二定三相等直接使用 积定和最小 例题 已知求的最小值 解 当且仅当即取等号 典型例题 【例题 1】（25-26高一上·甘肃定西·开学考试），且x，y都是正数，则的最大值是_______． 【例题2】（25-26高二下·重庆荣昌·期末）（1）已知，求的最大值及的值； （2）已知正实数满足．求的最小值及取最值时的值． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二下·广东深圳·期末）已知实数a，b满足，则ab的最大值为________． 【巩固练习2】（25-26高二下·河北张家口·期末）已知，则的最小值为（     ） A．3 B． C．2 D． 【巩固练习3】（25-26高二下·江西南昌·期末）的最小值为（    ） A． B．9 C．8 D． 【题型2】 配凑法 基础知识 题型特征 原式无法直接套用不等式 需加减常数配凑构造积为定值 常见形式一次式+分式自变量带有常数偏移 方法技巧 配凑构造和/积为定值 整理出标准结构 例题 已知求的最小值 解 当且仅当取等 典型例题 【例题1】（25-26高二下·福建福州·期末）设实数x满足，则函数的最小值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【例题2】（25-26高二下·河北·期末）已知，则的最小值为_______. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二下·辽宁·期末）已知函数，则函数的最小值为______________此时______________. 【巩固练习2】（25-26高一下·云南玉溪·期末）已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．6 【巩固练习3】（2026·广东湛江·二模）已知正数，满足，则的最大值为______. 【题型3】 直接“1”的代换 基础知识 题型特征 已知 目标式为分式和形式 方法技巧 目标式整体乘以 展开后分组使用基本不等式 例题 已知求的最小值 解 当且仅当且取等 最小值为 典型例题 【例题1】（25-26高一上·甘肃定西·开学考试）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【例题2】（2026·甘肃酒泉·二模）已知，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）已知，则的最小值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【巩固练习2】（25-26高一上·贵州毕节·期末）若正数满足，则的最小值是（   ） A． B． C．4 D． 【巩固练习3】（25-26高一上·江苏南通·期中）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型4】 先分离常数后“1”的代换 基础知识 题型特征 条件为一次等式变量带有常数偏移 无法直接构造和等于1的结构 换元后才可使用1的代换 方法技巧 换元消去常数偏移项构造 同除转化为标准“1的代换”模型 例题 已知求的最小值 解 令则 当且仅当取等 典型例题 【例题1】（25-26高二下·天津·期末）已知，，且，则的最小值为__________． 【例题2】已知，，，则的最小值为____． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高二下·天津静海·阶段检测）设为正数，且，则的最小值为___________ 【巩固练习2】（25-26高一上·安徽·阶段检测）若，且，则的最大值为________． 【巩固练习3】（25-26高一上·辽宁大连·阶段检测）若正实数、满足，则的最小值为________. 【题型5】 “二次比一次”转化为对勾函数型 基础知识 方法技巧 多项式拆分配凑分母 化简为对勾标准形式 例题 已知求的最小值 解 当且仅当取等 典型例题 【例题1】（24-25高一上·湖南益阳·阶段检测）已知，则函数的最小值是______． 【例题2】函数的最小值为_______________ 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高三上·北京·阶段检测）若，则函数的最小值为______，此时______. 【巩固练习2】（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为______. 【巩固练习3】函数的最小值为_________． 【题型6】 “二次比二次”型（齐次化） 基础知识 题型特征 分子分母同为二次齐次分式 条件含有x,y线性等式约束 方法技巧 分子分母同除以二次项设 转化为单变量分式函数求解 例题 已知求的最大值 解 令即 当取等 典型例题 【例题1】（24-25高一上·上海·阶段检测）设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A．9 B．1 C． D．4 【例题2】（24-25高三上·河南·阶段检测）已知，则的最小值为______. 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】设正实数、、满足，当取得最大值时，的最小值为______. 【题型7】 “和与积”共存时求积或和的最值 基础知识 题型特征 等式同时含有与xy混合结构 形如 方法技巧 利用整体换元 转化为一元二次不等式求解范围 例题 已知求xy的最大值 解 令 当取等 典型例题 【例题1】（25-26高二下·重庆·期末）已知，，且，则的最小值为（   ） A．6 B．4 C． D．2 【例题2】已知 ，求ab的最大值； 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知为正实数，且， (1)求的最大值． (2)求的最小值； (3)求的最小值． 【巩固练习2】（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）若正数，满足，. (1)当时，求的最小值； (2)当时，求的最小值. 【巩固练习3】（25-26高一上·河南郑州·期中）已知且. (1)求的取值范围； (2)求的最小值，以及此时对应的的值. 模块二 基本不等式重点方法类 【题型8】 “消元法” 基础知识 题型特征 二元等式约束一个变量可使用另一个变量表示 双变量问题转化为单变量最值 方法技巧 利用约束等式代入消元 得到只含单个变量的函数再求最值 例题 已知求的最小值 解 由得 原式 令换元后使用基本不等式求解 典型例题 【例题1】（2026高三下·全国·专题练习）若正实数满足，则的最小值为______． 【例题2】（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知为实数，且，则的最小值为________. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知，均为正数，若，则最小值为________. 【巩固练习2】（25-26高一上·江苏·期末）已知正实数满足，则的最小值为__________. 【巩固练习3】（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）已知正实数a，b满足，则的最小值是_____. 【题型9】 因式分解法 基础知识 题型特征 条件等式移项整理后可因式分解 能够凑出两个一次因式乘积为定值 方法技巧 移项因式分解 再使用基本不等式求和式最小值 例题 已知求最小值 解 令 典型例题 【例题1】（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【例题2】（25-26高一上·浙江宁波·期中）若均为大于1的实数，且，则的最小值为（   ） A．6 B．9 C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高二下·山东日照·期末）已知实数，满足，且，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【巩固练习2】（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知且，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D．6 【巩固练习3】（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型10】 换元法（包括双换元） 基础知识 题型特征 双变量同时带有常数偏移 形式 方法技巧 双换元令 消去常数偏移得到标准乘积定值模型 例题 已知求最小值 解 令 当即取等 典型例题 【例题1】（25-26高三上·天津·阶段检测）已知，，，则的最小值为________. 【例题2】已知均为正实数，，则的最小值是______． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）已知且，则的最小值为_____． 【巩固练习2】（24-25高二下·浙江丽水·期末）若实数，满足，则的最大值为______. 【巩固练习3】（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知，且，则的最小值是__________. 【题型11】 多变量多次使用基本不等式型 基础知识 题型特征 含有两个及以上变量需要先后多次运用基本不等式 必须保证每一步放缩的取等条件能够同时成立 方法技巧 分步多次使用均值不等式 最后统一验证所有取等条件可以同时满足 典型例题 【例题1】（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）已知，且，则的最小值为______． 【例题2】（25-26高一上·重庆·期中）已知，，且满足：，则的最小值等于________． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·湖南·期末）已知正数a，b满足，，则的最小值为______ . 【巩固练习2】（25-26高一上·重庆·期中）已知正实数、满足：，则的最大值为______，若实数，则的最小值为______． 【巩固练习3】（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知a，b均为正数，且，则的最小值为_____． 模块三 基本不等式易错型 【题型12】 注意“一正” 基础知识 题型特征 变量取值为负数 不满足基本不等式“一正”前提条件 方法技巧 对负数整体提取负号构造正数 再使用基本不等式求最值 例题 已知求的最大值 解 当取等 典型例题 【例题1】（23-24高二上·广东汕头·阶段检测）设实数满足，则函数的最大值是________________ 【例题2】已知，则函数的最大值是__. 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知，则函数的最大值为___________. 【巩固练习2】已知，则函数的最大值为（    ） A．-1 B．-3 C．1 D．0 【题型13】 注意“取等条件” 基础知识 题型特征 代数式形式满足基本不等式结构 但等号成立对应的变量取值不在给定定义域内 此时基本不等式失效 方法技巧 先求出不等式取等时自变量的值并检验区间 等号取不到时改用函数单调性求解 典型例题 【例题1】（25-26高一上·上海·阶段检测）下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高一上·天津西青·阶段检测）下列说法正确的个数是（    ）． ①； ②函数的最小值为4； ③若，则最大值为1； ④已知时，，当且仅当，即时，取得最小值8． A．0 B．1 C．2 D．3 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·河北保定·阶段检测）下列选项不正确的是（   ） A．当时，的最小值是3 B．已知，则的最大值是 C．当时，的最大值是5 D．设，则的最小值为2 【巩固练习2】（24-25高一上·陕西西安·阶段检测）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．当时， C．若，则 D．若，则的最小值为2 【巩固练习3】下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏·期末）已知，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C． D． 3．（25-26高一下·江西赣州·期中）已知正数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（河北武邑中学2026届高三下学期学生全过程纵向评价（六）数学试题）已知正实数满足，则的最小值为（     ） A．1 B． C． D．2 5．（25-26高二下·重庆九龙坡·期末）已知正数 满足 ，则 的最小值为（    ） A．4 B．7 C．8 D．9 6．（24-25高一上·福建宁德·阶段检测）已知则的最小值是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·广东佛山·期中）关于基本不等式，下列选项正确的有（   ） A．的最小值为2 B．最小值为2 C．若，则的最大值为-3 D．取得最大值为1 8．（25-26高一上·广东江门·阶段检测）下列函数的最值中错误的是（   ） A．已知的最大值是 B．的最大值为5 C．已知的最小值为3 D．的最小值为2 9．（25-26高三上·安徽亳州·期末）已知，，，则的最大值为（   ） A．16 B．8 C．4 D． 10．（25-26高一上·上海·期中）若实数满足，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 11．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）设正实数满足，则（ ） A．的最大值是 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值是 12．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知正数a，b满足，的最大值为（   ） A． B． C． D． 13．（2026高三上·全国·专题练习）已知且，则下列选项不正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 二、填空题 14．（25-26高三·全国·一轮复习）设均为正实数，满足，则的最小值为______. 15．（25-26高一上·江苏·期中）已知，且，则的最小值是_______ 16．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知正实数，满足，则的最大值为________． 17．（2025高一·全国·专题练习）已知实数，满足，则的最大值为__． 18．（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）若，且，则的最小值为_____. 19．（2026高三上·全国·专题练习）已知，，且，则的最小值________. 三、解答题 20．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）利用基本不等式求以下最值： (1)若，求的最大值； (2)已知，，且，求的最小值； (3)求在时的最小值. $第二章重难点突破（一） 基本不等式 总览 题型·解读 【重难点突破】2026年暑假新高一数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 基本不等式基础应用类 【题型1】 直接对式子使用基本不等式求最值 基础知识 题型特征 形如 两正数相加乘积为定值可直接套用公式 方法技巧 满足一正二定三相等直接使用 积定和最小 例题 已知求的最小值 解 当且仅当即取等号 典型例题 【例题 1】（25-26高一上·甘肃定西·开学考试），且x，y都是正数，则的最大值是_______． 【答案】 【分析】直接利用基本不等式即可求解． 【详解】由x，y都是正数， 则，即， 所以，当且仅当时，等号成立， 故的最大值是． 【例题2】（25-26高二下·重庆荣昌·期末）（1）已知，求的最大值及的值； （2）已知正实数满足．求的最小值及取最值时的值． 【答案】（1），；（2）的最小值为6，． 【分析】（1）由，结合基本不等式求解即可； （2）将已知等式变形为积定值和取最大值，或结合基本不等式建立关于的不等式求解． 【详解】（1）由题知， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为． （2）因为，所以，整理得， 解得或（舍）， 当且仅当时，取得最小值为6． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二下·广东深圳·期末）已知实数a，b满足，则ab的最大值为________． 【答案】 【详解】，所以， 所以， 若，其值必然小于正数，因此仅需考虑， 根据基本不等式，所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 【巩固练习2】（25-26高二下·河北张家口·期末）已知，则的最小值为（     ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由题意得，，等号成立时， 故的最小值为 【巩固练习3】（25-26高二下·江西南昌·期末）的最小值为（    ） A． B．9 C．8 D． 【答案】B 【详解】，当且仅当，即时取等. 【题型2】 配凑法 基础知识 题型特征 原式无法直接套用不等式 需加减常数配凑构造积为定值 常见形式一次式+分式自变量带有常数偏移 方法技巧 配凑构造和/积为定值 整理出标准结构 例题 已知求的最小值 解 当且仅当取等 典型例题 【例题1】（25-26高二下·福建福州·期末）设实数x满足，则函数的最小值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】因为，所以， 则， s时，等号成立， 故函数的最小值为5. 【例题2】（25-26高二下·河北·期末）已知，则的最小值为_______. 【答案】/ 【分析】先由判断，再将配凑，利用乘法结合基本不等式求最小值. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立. 所以的最小值为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二下·辽宁·期末）已知函数，则函数的最小值为______________此时______________. 【答案】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 又因为 ， 当且仅当，即或(舍去)时等号成立. 所以函数的最小值为，此时. 【巩固练习2】（25-26高一下·云南玉溪·期末）已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．6 【答案】D 【分析】对原式进行配凑得到符合基本不等式的正项结构，利用基本不等式求解最小值，同时验证等号成立的条件. 【详解】 已知，因此，将原式变形为： ， 根据基本不等式：对任意正实数，有，当且仅当时等号成立； 令，，二者均为正实数，代入得： 因此， 当且仅当时等号成立，解得（不满足，舍去）， 符合取值要求， 故的最小值为6. 【巩固练习3】（2026·广东湛江·二模）已知正数，满足，则的最大值为______. 【答案】12 【详解】由，得， 所以，当且仅当，时等号成立. 【题型3】 直接“1”的代换 基础知识 题型特征 已知 目标式为分式和形式 方法技巧 目标式整体乘以 展开后分组使用基本不等式 例题 已知求的最小值 解 当且仅当且取等 最小值为 典型例题 【例题1】（25-26高一上·甘肃定西·开学考试）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】利用“1的代换”构造符合基本不等式的结构，进而求解的最小值. 【详解】已知为正实数，且，则 ， 因此, 当且仅当即时取等号， 故的最小值为9. 【例题2】（2026·甘肃酒泉·二模）已知，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接由条件和基本不等式可得最小值. 【详解】因为，所以，且， 所以 ， 当且仅当且时等号成立，由得（舍去）， 代入，解得， 所以当时，的最小值为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）已知，则的最小值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，得，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是4. 故选：A 【巩固练习2】（25-26高一上·贵州毕节·期末）若正数满足，则的最小值是（   ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】由正数，且，得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值是. 故选：B 【巩固练习3】（25-26高一上·江苏南通·期中）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用均值不等式“1”的代换，求得最小值. 【详解】因为，所以 ， 当且仅当，即时等号成立，所以最小值为. 故选：C. 【题型4】 先分离常数后“1”的代换 基础知识 题型特征 条件为一次等式变量带有常数偏移 无法直接构造和等于1的结构 换元后才可使用1的代换 方法技巧 换元消去常数偏移项构造 同除转化为标准“1的代换”模型 例题 已知求的最小值 解 令则 当且仅当取等 典型例题 【例题1】（25-26高二下·天津·期末）已知，，且，则的最小值为__________． 【答案】/ 【分析】将原式子化简后，再利用基本不等式求最小值. 【详解】因为，，，所以， ， . 所以， . 所以 当且仅当即时，等号成立. 所以的最小值为. 【例题2】已知，，，则的最小值为____． 【答案】 【详解】由可得 ， 当且仅当，即，也即，时等号成立， 即的最小值为． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高二下·天津静海·阶段检测）设为正数，且，则的最小值为___________ 【答案】 【详解】由可得，得. ， 当且仅当时，即时等号成立. 【巩固练习2】（25-26高一上·安徽·阶段检测）若，且，则的最大值为________． 【答案】/ 【分析】先将等价变形为，再利用常数代换结合基本不等式即可计算求解. 【详解】若，且， 则， 则 ， 故的最大值为. 故答案为： 【巩固练习3】（25-26高一上·辽宁大连·阶段检测）若正实数、满足，则的最小值为________. 【答案】 【分析】利用条件将原式变形为，再利用乘“1”法求解最值. 【详解】因为， 所以，又， 所以， 由可得，故， 由于，当且仅当，即时取到等号， 故， 因此最小值为， 故答案为： 【题型5】 “二次比一次”转化为对勾函数型 基础知识 方法技巧 多项式拆分配凑分母 化简为对勾标准形式 例题 已知求的最小值 解 当且仅当取等 典型例题 【例题1】（24-25高一上·湖南益阳·阶段检测）已知，则函数的最小值是______． 【答案】 【分析】将函数化简，分离常数，然后结合基本不等式即可得到结果. 【详解】因为， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值是 故答案为:. 【例题2】函数的最小值为_______________ 【答案】8 【解析】由条件可得，根据基本不等式可求得最小值. 【详解】函数 ， 因为，所以，所以，当且仅当即时，等号成立. 故答案为：8. 【点睛】本题考查基本不等式的应用之求最值，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高三上·北京·阶段检测）若，则函数的最小值为______，此时______. 【答案】 【分析】由题设，化并应用基本不等式求其最小值，并确定取值条件即可得. 【详解】由，则， 当且仅当，即时取等号，故最小值为. 故答案为：， 【巩固练习2】（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为______. 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】当时，， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：4 【巩固练习3】函数的最小值为_________． 【答案】 【分析】将函数化为，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可. 【详解】由，又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以原函数的最小值为. 故答案为： 【题型6】 “二次比二次”型（齐次化） 基础知识 题型特征 分子分母同为二次齐次分式 条件含有x,y线性等式约束 方法技巧 分子分母同除以二次项设 转化为单变量分式函数求解 例题 已知求的最大值 解 令即 当取等 典型例题 【例题1】（24-25高一上·上海·阶段检测）设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A．9 B．1 C． D．4 【答案】D 【分析】首先根据，变形，利用基本不等式求最值，根据最值的条件，代入，再利用二次函数求最值. 【详解】由题意可知，， 所以， 因为，所以，当，即时，等号成立， 此时取最大值为1，， 所以， 当时，上式取得最大值4，所以的最大值为4. 故选：D 【例题2】（24-25高三上·河南·阶段检测）已知，则的最小值为______. 【答案】 【分析】将变形为，换元，令，构造均值不等式求解即可. 【详解】，令，所以， 则 ， 当且仅当，即，时取等号. 所以的最小值为. 故答案为：. 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果. 【详解】 ，因为，故， 则，当且仅当，也即取得等号， 故的最小值为. 故选：D. 【巩固练习2】设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件可得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为正实数、、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为. 故选：D. 【巩固练习3】设正实数、、满足，当取得最大值时，的最小值为______. 【答案】 【分析】由题意得出，利用基本不等式可求得的最大值，利用等号成立的条件得出，可得出，然后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】正实数、、满足，则， ，当且仅当时，等号成立， 所以，当时，取得最大值，此时， ，当且仅当时，等号成立. 因此，的最小值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用基本不等式求解代数式的最值，考查计算能力，属于中等题. 【题型7】 “和与积”共存时求积或和的最值 基础知识 题型特征 等式同时含有与xy混合结构 形如 方法技巧 利用整体换元 转化为一元二次不等式求解范围 例题 已知求xy的最大值 解 令 当取等 典型例题 【例题1】（25-26高二下·重庆·期末）已知，，且，则的最小值为（   ） A．6 B．4 C． D．2 【答案】A 【详解】因为，故， 又因为，，因此有， 因此，当且仅当时等号成立， 设，所以，解得或， 由和，解得， 因此当时，的最小值为6. 【例题2】已知 ，求ab的最大值； 【答案】 【分析】利用基本不等式得到关于的不等式，整体换元解不等式得的范围，再分析取等号的条件即可. 【详解】由， 可得，当且仅当时等号成立. 令，则，即， 解得，又，则. 则， 当且仅当时等号成立. 故的最大值为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知为正实数，且， (1)求的最大值． (2)求的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1)8 (2)8 (3)． 【分析】（1）利用基本不等式得到，再采取换元法令解出的范围，从而得到的最大值。 （2）由题得到，则再化简使用基本不等式求解即可. （3）直接使用基本不等式得到，再结合求得，取得最小值． 【详解】（1）因为，，，当且仅当时取等号， 令，则，， 化为，所以，故， 当且仅当即时取等号，所以的最大值为8． （2）由得，， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值8； （3），，， ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值． 【巩固练习2】（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）若正数，满足，. (1)当时，求的最小值； (2)当时，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据基本不等式“1”的巧用求解最值即可； （2）根据等式，结合基本不等式即可得，解不等式即可得的取值范围． 【详解】（1）当时，有， 即 所以 当且仅当，即时取等号． 所以的最小值为； （2）当时，有，则， 因为， 所以， 即，解得或（舍）， 当，即时，等号成立， 所以， 所以的最小值为 【巩固练习3】（25-26高一上·河南郑州·期中）已知且. (1)求的取值范围； (2)求的最小值，以及此时对应的的值. 【答案】(1) (2)；， 【分析】（1）利用基本不等式将转化为，再解不等式即可； （2）方法一：将变形为再利用基本不等式求出的最小值即可得解；方法二：将变形为，即，再利用基本不等式求出其最小值即可. 【详解】（1）， 又 ， ， 当且仅当，即时取等号， 即，即， 解得或（舍），所以， 所以的取值范围是. （2）方法一：，即，， ，， ， ， 当且仅当，即时取等号， 所以最小值为，此时 方法二：，. ，， ， 当且仅当，即时取等号， 所以最小值为，此时. 模块二 基本不等式重点方法类 【题型8】 “消元法” 基础知识 题型特征 二元等式约束一个变量可使用另一个变量表示 双变量问题转化为单变量最值 方法技巧 利用约束等式代入消元 得到只含单个变量的函数再求最值 例题 已知求的最小值 解 由得 原式 令换元后使用基本不等式求解 典型例题 【例题1】（2026高三下·全国·专题练习）若正实数满足，则的最小值为______． 【答案】6 【分析】将代换后使用基本不等式求解. 【详解】因为正实数满足，所以，解得，则， 可得， 当且仅当时取等号，所以的最小值为6. 【例题2】（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知为实数，且，则的最小值为________. 【答案】/ 【分析】由题意可得，代入，化简得，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，且， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知，均为正数，若，则最小值为________. 【答案】 【分析】利用均值不等式求解即可. 【详解】已知，对已知等式变形得. 将上式代入中化简得. 由基本不等式得， 因此，当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 【巩固练习2】（25-26高一上·江苏·期末）已知正实数满足，则的最小值为__________. 【答案】/ 【分析】由题设求得，从而将所求式化成，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由题意，为正实数，且，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为. 故答案为：. 【巩固练习3】（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）已知正实数a，b满足，则的最小值是_____. 【答案】/ 【分析】先对条件变形，通过代换，将变形为，然后利用基本不等式求最值. 【详解】因为，，，所以， 即，即，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 【题型9】 因式分解法 基础知识 题型特征 条件等式移项整理后可因式分解 能够凑出两个一次因式乘积为定值 方法技巧 移项因式分解 再使用基本不等式求和式最小值 例题 已知求最小值 解 令 典型例题 【例题1】（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据已知得，代入目标式并应用基本不等式求最小值即可. 【详解】由，则，，，故， 所以， 当且仅当，此时取等号. 【例题2】（25-26高一上·浙江宁波·期中）若均为大于1的实数，且，则的最小值为（   ） A．6 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】利用配凑法结合基本不等式计算即可. 【详解】由题意可知：， 则， 当且仅当，即时取得等号. 故选：D 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高二下·山东日照·期末）已知实数，满足，且，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】先将配凑为；再根据得出，，利用基本不等式可求解. 【详解】由可得：. 因为， 所以，， 则，当且仅当，即时等号成立. 故选：B. 【巩固练习2】（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知且，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】法一：由得，可得，进而结合基本不等式求解即可； 法二：由得，由，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】已知，且， 法一：由得， 则 ， 当且仅当时取等号，则的最小值为； 法二：由得， 则， 当且仅当，即，时取等号， 则的最小值为． 故选：B. 【巩固练习3】（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】将拼凑成，再结合基本不等式即可求解. 【详解】原式变形可得，由得， 所以 ， 当且仅当即时取等号； 所以. 故选：C 【题型10】 换元法（包括双换元） 基础知识 题型特征 双变量同时带有常数偏移 形式 方法技巧 双换元令 消去常数偏移得到标准乘积定值模型 例题 已知求最小值 解 令 当即取等 典型例题 【例题1】（25-26高三上·天津·阶段检测）已知，，，则的最小值为________. 【答案】 【分析】运用换元法与基本不等式中“1”的妙用，即可得解. 【详解】令，则， 则可转化为，求最小值即求的最小值. ， 当且仅当，即，即时，等号成立， 因此的最小值为. 故答案为：. 【例题2】已知均为正实数，，则的最小值是______． 【答案】 【分析】根据题设条件特征令，，则，用其替代问题中的变量，从而达到消元和简化题设问题，并构造出基本不等式模型，结合基本不等式即可求解. 【详解】已知均为正实数，，即， 令，，所以， 所以 ， 当且仅当，即或取等号． 则的最小值是. 故答案为：. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）已知且，则的最小值为_____． 【答案】9 【分析】通过换元，令，得，将问题转化为求的最小值.再通过“1”的代换结合基本不等式即可得解. 【详解】由，得，令，则， 故 ， 当且仅当即时等号成立， 也即，即时，等号成立， 故的最小值为9． 故答案为：9. 【巩固练习2】（24-25高二下·浙江丽水·期末）若实数，满足，则的最大值为______. 【答案】 【分析】已知条件可化为，故可设，从而目标代数式可化为，利用基本不等式可求其最大值. 【详解】由，得， 设，其中，则， 从而， 故 记，则， 要求最大值，则只需考虑，则, 当且仅当，即时取等号，即最大值为. 故答案为：. 【巩固练习3】（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知，且，则的最小值是__________. 【答案】 【分析】利用代换1法来，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设，由对应系数相等得， 解得 所以，整理得， 即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故答案为：. 【题型11】 多变量多次使用基本不等式型 基础知识 题型特征 含有两个及以上变量需要先后多次运用基本不等式 必须保证每一步放缩的取等条件能够同时成立 方法技巧 分步多次使用均值不等式 最后统一验证所有取等条件可以同时满足 典型例题 【例题1】（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）已知，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】记原式为．首先齐次化，结合均值不等式有，从而可得，利用对勾函数的性质求解即可. 【详解】令 ， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以． 令， 注意到单调递增， 故． 当且仅当时等号成立． 故答案为： 【例题2】（25-26高一上·重庆·期中）已知，，且满足：，则的最小值等于________． 【答案】48 【分析】利用常值代换和基本不等式即可求得最小值. 【详解】因，且， 则 （当且仅当时等号成立） ，当且仅当即时等号成立. 所以的最小值等于. 故答案为：. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·湖南·期末）已知正数a，b满足，，则的最小值为______ . 【答案】 【分析】由，，平方得到，代入目标式化简变形通过两次运用基本不等式计算即可求出最小值． 【详解】解：由，得， 因为，， 所以 ， 当且仅当，即时取“等号”， 所以当，，时，的最小值为 故答案为： 【巩固练习2】（25-26高一上·重庆·期中）已知正实数、满足：，则的最大值为______，若实数，则的最小值为______． 【答案】 【分析】对于第一空，利用基本不等式，再利用换元法令，再解一元二次不等式即可得解；对于第二空，先将整理为，再利用换元法令，将整理为，再利用基本不等式求得该式的最小值为，再运用配凑法与基本不等式求得的最小值即可得解. 【详解】对于第一空：，当且仅当时等号成立. 令，则可化为， 解得，则，，当且仅当时等号成立，故的最大值为； 对于第二空：可整理为， 令，则. ， 当且仅当，即时，即时，等号成立， 即最小值为，即. 又因为， 当且仅当，即时，等号成立. 综上，当且仅当时，取到最小值 故答案为：①；②. 【巩固练习3】（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知a，b均为正数，且，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】根据和“1”的代换，利用不等式化简，代入化简后，利用基本不等式求出式子的最小值，并求出等号成立时a、b、c的值． 【详解】因为，，， 所以 ， 又，则 ＝ ， 其中等号成立的条件：当且仅当， 解得，，， 所以的最小值是. 故答案为：. 模块三 基本不等式易错型 【题型12】 注意“一正” 基础知识 题型特征 变量取值为负数 不满足基本不等式“一正”前提条件 方法技巧 对负数整体提取负号构造正数 再使用基本不等式求最值 例题 已知求的最大值 解 当取等 典型例题 【例题1】（23-24高二上·广东汕头·阶段检测）设实数满足，则函数的最大值是________________ 【答案】/ 【分析】根据基本不等式凑乘积为定值，即可得所求函数的最大值. 【详解】因为，所以中，， 则，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 【例题2】已知，则函数的最大值是__. 【答案】 【分析】利用基本不等式求最值，注意“一正二定三相等”，要对式子变形后再使用. 【详解】因为，所以，， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 所以时，的最大值是. 故答案为：. 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知，则函数的最大值为___________. 【答案】 【分析】由于 ，需要构造函数，才能运用基本不等式. 【详解】因为，所以，, 当且仅当，即时，等号成立.故当时， 取最大值，即. 故答案为：3. 【巩固练习2】已知，则函数的最大值为（    ） A．-1 B．-3 C．1 D．0 【答案】B 【分析】由题可得，利用基本不等式可求. 【详解】 ，， ， 当且仅当，即时等号成立， 的最大值为. 故选：B. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 【题型13】 注意“取等条件” 基础知识 题型特征 代数式形式满足基本不等式结构 但等号成立对应的变量取值不在给定定义域内 此时基本不等式失效 方法技巧 先求出不等式取等时自变量的值并检验区间 等号取不到时改用函数单调性求解 典型例题 【例题1】（25-26高一上·上海·阶段检测）下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合基本不等式（均值不等式）的使用条件“一正、二定、三相等”逐一分析即可． 【详解】对于A，函数（），当时，， 当且仅当时取等号；当时，， 又，当且仅当时取等号， 所以此时，因此，函数无最小值，故A错误； 对于B，函数，当时，，； 当时，，，因此，函数无最小值，故B错误； 对于C，，当且仅当，即时取等号， 此时，所以函数最小值为2，故C正确； 对于D，令，则，函数变为（）， 函数在时单调递增，故当时，y取得最小值，故D错误． 故选：C． 【例题2】（25-26高一上·天津西青·阶段检测）下列说法正确的个数是（    ）． ①； ②函数的最小值为4； ③若，则最大值为1； ④已知时，，当且仅当，即时，取得最小值8． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用基本不等式及其对勾函数的性质分别判断即可. 【详解】对于①只有当时，才满足基本不等式的使用条件，则①不正确； 对于②, ，令， 则在上单调递增，则最小值为, 则②不正确； 对于③,，则③正确； 对于④,当时，，当且仅当 时，即，等号成立，则④不正确. 综上只有1个正确， 故选：B. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·河北保定·阶段检测）下列选项不正确的是（   ） A．当时，的最小值是3 B．已知，则的最大值是 C．当时，的最大值是5 D．设，则的最小值为2 【答案】D 【分析】根据基本不等式及对勾函数的性质直接可得. 【详解】对于A：当时， ， 当且仅当，即时等号成立.所以的最小值是3，故A正确； 对于B：当，则，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以，即的最大值是，故B正确； 对于C：当时，， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是5，故C正确； 对于D：令，所以， 由对勾函数的性质可知，在单调递增，所以，故D错误. 故选：D. 【巩固练习2】（24-25高一上·陕西西安·阶段检测）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．当时， C．若，则 D．若，则的最小值为2 【答案】B 【分析】利用特殊值判断A、C，利用基本不等式判断B，利用对勾函数的性质判断D. 【详解】对于A：令，，则，故A错误； 对于B：因为，则，所以， 当且仅当，即时取等号，故B正确； 对于C：令，则，故C错误； 对于D：因为，又对勾函数在上单调递增， 所以当，即时，取得最小值，故D错误. 故选：B 【巩固练习3】下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】选项A，利用排除法，当时，； 选项B，由配方法，可得； 选项C，利用基本不等式，可得解； 选项D，采用换元法，令，则，再结合对勾函数的图象与性质，得解． 【详解】选项A，当时，，即A不符合题意； 选项B，，即B不符合题意； 选项C，，当且仅当，即时，等号成立，即C符合题意； 选项D，令，则在上单调递增， 所以，当且仅当时，等号成立，即D不符合题意． 故选：C． 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合基本不等式运算求解即可. 【详解】因为，则， 可得，即， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值为. 故选：C 2．（25-26高一上·江苏·期末）已知，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用基本不等式将原等式转化为关于的一元二次不等式求解. 【详解】由，得， 整理得，即， 而，故可得，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故选：A 3．（25-26高一下·江西赣州·期中）已知正数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，， ， 当且仅当，时，等号成立， 的最小值为． 4．（河北武邑中学2026届高三下学期学生全过程纵向评价（六）数学试题）已知正实数满足，则的最小值为（     ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】先根据条件，变形为，然后用常数代换思想 ，利用均值不等式求解最小值. 【详解】已知，则， ， 当且仅当时，即时取等号，联立 解得，满足 为正实数，等号能够取到，所以最小值为. 5．（25-26高二下·重庆九龙坡·期末）已知正数 满足 ，则 的最小值为（    ） A．4 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据给定条件，用表示并代入目标式，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】由正数 满足 ，得， 因此，当且仅当时取等号， 所以时， 取得最小值8. 6．（24-25高一上·福建宁德·阶段检测）已知则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以， 因为，所以，当且仅当时取得等号， 所以的最小值是. 7．（25-26高一上·广东佛山·期中）关于基本不等式，下列选项正确的有（   ） A．的最小值为2 B．最小值为2 C．若，则的最大值为-3 D．取得最大值为1 【答案】C 【分析】对于ACD，结合基本不等式逐项判断即可，对于B，举例分析判断即可. 【详解】A项，， 当且仅当，即时，等号成立， 但方程无解，故等号取不到，即最小值必大于2，故A错误： B项，当，而时，，，故B错误； C项，若，则，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故当时，取最大值，故C正确： D项，， 当且仅当，即时，，故D错误. 故选：C. 8．（25-26高一上·广东江门·阶段检测）下列函数的最值中错误的是（   ） A．已知的最大值是 B．的最大值为5 C．已知的最小值为3 D．的最小值为2 【答案】D 【分析】利用基本不等式逐项验证即可求解. 【详解】对于A，由，所以，当且仅当时，即时，等号成立， 所以，所以的最大值为，故A正确； 对于B， ，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，故B正确； 对于C，由，所以， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 对于D，当，当且仅当，即时，等号成立， 当时，，当且仅当，即时，等号成立，故D错误； 故选：D. 9．（25-26高三上·安徽亳州·期末）已知，，，则的最大值为（   ） A．16 B．8 C．4 D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式即可求得最大值. 【详解】由基本不等式，得， 当且仅当，即，时取等号, 所以的最大值为8． 故选：B. 10．（25-26高一上·上海·期中）若实数满足，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】C 【分析】首先判断的符号，再将待求式变形为可利用基本不等式或其变形的形式，进而求最值. 【详解】因为，所以同号， 又，所以同正. 对于A，由得，故A正确． 对于B，由不等式可得， 所以，当且仅当时等号成立，故B正确． 对于C， ， 当且仅当，即时等号成立， （或由二维柯西不等式可得，当且仅当时等号成立），故C错误． 对于D， ， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，故D正确. 11．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）设正实数满足，则（ ） A．的最大值是 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值是 【答案】C 【分析】对于ABC：利用基本不等式运算求解即可；对于D：利用乘“1”法结合基本不等式运算求解即可. 【详解】因为正实数满足. 对于选项A：因为，即，解得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最大值是，故A错误； 对于选项B：因为，即，可得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最大值为，故B错误； 对于选项C：因为， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为，故C正确； 对于选项D：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是，故D错误. 12．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知正数a，b满足，的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得，于是， 当且仅当，即，时，等号成立. 13．（2026高三上·全国·专题练习）已知且，则下列选项不正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】C 【分析】直接运用基本不等式可解决A、B；运用基本不等式中“1”的妙用可解决C；运用换元法结合基本不等式，可解决D. 【详解】对于A：因为且， 所以，当且仅当时等号成立，即的最大值是，故A正确； 对于B：因为且，所以，即，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C：因为， 当且仅当时等号成立，所以的最小值是，故C错误； 对于D：令，则 所以， 又因为，所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 因此，则， ，故D正确. 故选：C. 二、填空题 14．（25-26高三·全国·一轮复习）设均为正实数，满足，则的最小值为______. 【答案】4 【详解】 ， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故最小值为4. 15．（25-26高一上·江苏·期中）已知，且，则的最小值是_______ 【答案】/ 【分析】，再展开根据基本不等式求解即可. 【详解】 . 当且仅当，即，，时取等号. 故答案为： 16．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知正实数，满足，则的最大值为________． 【答案】 【分析】由已知变形可得，代入，利用基本不等式求最大值即可. 【详解】因为，由可得，又，所以， 所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以，即的最大值为， 故答案为： 17．（2025高一·全国·专题练习）已知实数，满足，则的最大值为__． 【答案】2 【分析】由基本不等式结合题意可得答案. 【详解】，， 因为，所以意到，当且仅当时取等号. ，化为， ，当且仅当时取等号，的最大值为2． 故答案为：2． 18．（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）若，且，则的最小值为_____. 【答案】31 【分析】由“1”的代换结合基本不等式求解. 【详解】因为得， 所以 当且仅当且，即时取等号， 所以的最小值为， 故答案为：. 19．（2026高三上·全国·专题练习）已知，，且，则的最小值________. 【答案】2 【分析】利用基本不等式可求得的最小值，进而可求的最小值. 【详解】， ， ， . 当且仅当即时取等号， 的最小值为4，则的最小值为2. 故答案为：2 三、解答题 20．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）利用基本不等式求以下最值： (1)若，求的最大值； (2)已知，，且，求的最小值； (3)求在时的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解； （2）根据题意，得到，化简，结合基本不等式，即可求解. （3）根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：由，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. （2）由，，且，可得，即， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值. （3）解：由，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以在时的最小值为. $