2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 （导学案） 数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦两条直线平行和垂直的判定，引导学生理解斜率与平行、垂直的关系，掌握分类讨论思想及充要条件。通过生活场景（过山车、脚手架等）导入，结合倾斜角旧知，搭建从几何直观到代数表达的学习支架。 特色在于以问题链驱动探究，通过作图观察、向量推导等活动培养数学抽象与逻辑推理素养。分类讨论斜率存在与否及易错警示设计，强化数学运算与直观想象，例题习题分层适配，助力学生系统掌握坐标法解决几何问题。

2.1.2 两条直线平行和垂直的判定（导学案） 1. 理解两条直线平行、垂直与斜率的关系，掌握分类讨论的思想，提升数学抽象素养。 1. 能利用两点坐标求斜率，根据斜率判定两直线平行、垂直，强化数学运算能力。 1. 会运用平行、垂直斜率条件求参数、证明三点共线、判断四边形形状，发展逻辑推理与直观想象素养。 1. 体会坐标法（以数解形）、数形结合的解析几何核心思想。 重点： 分情况掌握两直线平行、垂直的充要条件，熟练用斜率解决判定、求值类基础题型。 难点： 1. 区分“斜率相等”与“直线平行”，规避直线重合的易错点； 1. 斜率不存在、斜率为0的特殊平行/垂直分类讨论； 1. 利用向量数量积推导垂直斜率关系； 1. 参数题型主动分类、不漏解。 阅读教材，完成以下问题： 知识点一　两条直线平行的判定 设两条不重合的直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时，斜率分别为k1，k2.则对应关系如下： 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔ l1∥l2⇔两条直线的斜率都 图示 [提醒]　(1)k1＝k2⇒l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在)． (2)l1∥l2⇒k1＝k2或两条直线的斜率都不存在． 知识点二　两条直线垂直的判定 对应关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔ l1与l2中的一条斜率 ，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 情境引入 数学来源于生活，请同学们想想，生活中的哪些场景中既包含两条直线平行，也包含两条直线垂直的情形？ 场景一：过山车 场景二：脚手架 场景三：马路标线 思考：如何利用新学的斜率来判断两条直线的平行与垂直呢? 设计意图：联系生活场景，激发学习兴趣，引导学生思考斜率与平行、垂直的关联，为新课学习铺垫. 教学建议：展示场景实物图，让学生指认平行与垂直，结合问题引导猜想，自然过渡到定理探究. 作图：在平面直角坐标系中，作两条不重合直线l1，l2，它们的倾斜角均为α 学生：根据要求做出两条直线的图. 预设： 观察：观察小组各成员画两直线l1，l2，它们的位置关系是什么？ 学生：观察图像，得出结论 预设：倾斜角相等的两条不重合直线平行 思考：两条直线的斜率满足什么条件，这两条不重合直线平行？ 学生：回顾倾斜角定义，以及和斜率的关系，得出结论 预设：根据倾斜角与斜率的关系可得：因为倾斜角相等，所以斜率相等，因此，斜率相等的两条不重合直线平行. 思考：如何用数学语言表达以上结论？ 学生：小组讨论，尝试用数学语言表达以上结论，体会用数学语言区描述结论 预设：结论1：倾斜角相等的两条不重合直线平行，符号语言： 结论2：斜率相等的两条不重合直线平行，符号语言： 辨析：若两直线倾斜角相等（斜率相等），则它们的位置关系可能是什么？ 学生：先独立思考，学会辨析的看待问题 预设：平行或重合 思考：两直线平行，那么它们的倾斜角相等吗？ 预设：两条直线平行，则直线的方向相同，由倾斜角定义可知，直线方向相同的直线倾斜角相等,即 ’ 追问：两直线平行，那么它们的斜率一定相等吗？为什么？ 预设：不一定，直线的斜率可能不存在 归纳总结： 1、任意两条不重合的直线平行的充要条件是两直线的倾斜角相等： 2、任意两条斜率存在且不重合的直线平行的充要条件是两直线的斜率相等： 问题：当时，直线与直线的斜率均不存在时，两直线是什么位置关系？ 学生：画图，利用数形结合得到答案： 由数形结合可得，当时，直线的斜率不存在，此时． 若直线，重合，此时仍然有． 师生：共同讨论总结，两直线平行的判定的知识： 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 对应关系 两直线的斜率都不存在 图示 例2 已知，，，，试判断直线与的位置关系，并证明你的结论． 例3 已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明． 问题：如何利用斜率证明两条直线平行？ 引言：显然，当两条直线相交时，它们斜率不相等；反之，当两条直线的斜率不相等时，它们相交.在相交的位置关系中，垂直是最特殊的情形. 思考：如何当直线垂直时，它们的斜率除了不相等外，是否还有特殊的数量关系？ 提示：利用向量工具，考虑两条直线的方向向量垂直时，数量积是多少？ 学生：回顾知识并思考，得出结论 问题1：如何设两条直线的斜率分别为，方向向量分别为，试用斜率写出向量的坐标． 学生：回顾知识，并回答： 问题2：如果，那么方向向量有什么关系？你会得出怎样的关系式？ 学生：回顾知识，并回答：， 思考：如图，任意两条垂直直线的倾斜角是什么关系？ 学生：观察图形，得出结论 预设：不妨设，由图可知 结论：① 任意两条斜率存在的直线垂直的充要条件是：两直线的斜率之积等于−1，即 ② 任意两条直线垂直的充要条件是：大倾斜角－小倾斜角=90°，即 问题3：当直线的倾斜角为0°时，若直线，则的斜率应满足什么条件？ 学生：做图，并回答问题：如图，当直线的倾斜角为0°时， 若，则的倾斜角为90°，此时直线的斜率不存在． 师生：归纳总结两条垂直直线斜率之间的关系 类型 斜率都存在 （或）的斜率不存在 前提条件 对应关系 图示 例4 已知，，，，试判断直线与的位置关系． 例5 已知，，三点，试判断的形状． 1. 核心知识清单 1. 平行两类判定：斜率相等（不重合）、均无斜率； 1. 垂直两类判定：斜率乘积、一斜率0一无斜率； 1. 三大应用：求值参数、三点共线、四边形判定。 2. 核心数学思想 1. 数形结合：图像辅助判断竖直线、水平线； 1. 分类讨论：斜率存在/不存在分开论证； 1. 坐标法（以数解形）：几何平行垂直转化为斜率代数等式。 3. 高频易错警示 1. 只代表倾斜角相同，直线可能重合，必须验证无公共点； 1. 平行直线不一定斜率相等，两竖直线无斜率； 1. 垂直直线不一定满足，水平线与竖直线例外； 1. 求参数忽略分母为0，漏掉斜率不存在的解。 1.（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知直线，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 2.（25-26高二上·天津·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的斜率为，那么与（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 3.（2026·重庆渝中·模拟预测）已知直线：与直线：平行，则实数的值为（   ） A．-1 B．0 C．3 D．-1或3 4.（24-25高二上·江苏南通·期末）以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 5.（25-26高二上·山东枣庄·阶段检测）已知直线：，则下列结论正确的是（   ） A．直线的倾斜角是 B．过点与直线平行的直线方程是 C．点在直线上 D．若直线，则 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定（导学案） 1. 理解两条直线平行、垂直与斜率的关系，掌握分类讨论的思想，提升数学抽象素养。 1. 能利用两点坐标求斜率，根据斜率判定两直线平行、垂直，强化数学运算能力。 1. 会运用平行、垂直斜率条件求参数、证明三点共线、判断四边形形状，发展逻辑推理与直观想象素养。 1. 体会坐标法（以数解形）、数形结合的解析几何核心思想。 重点： 分情况掌握两直线平行、垂直的充要条件，熟练用斜率解决判定、求值类基础题型。 难点： 1. 区分“斜率相等”与“直线平行”，规避直线重合的易错点； 1. 斜率不存在、斜率为0的特殊平行/垂直分类讨论； 1. 利用向量数量积推导垂直斜率关系； 1. 参数题型主动分类、不漏解。 阅读教材，完成以下问题： 知识点一　两条直线平行的判定 设两条不重合的直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时，斜率分别为k1，k2.则对应关系如下： 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两条直线的斜率都不存在 图示 [提醒]　(1)k1＝k2⇒l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在)． (2)l1∥l2⇒k1＝k2或两条直线的斜率都不存在． 知识点二　两条直线垂直的判定 对应关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1k2＝－1 l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 情境引入 数学来源于生活，请同学们想想，生活中的哪些场景中既包含两条直线平行，也包含两条直线垂直的情形？ 场景一：过山车 场景二：脚手架 场景三：马路标线 思考：如何利用新学的斜率来判断两条直线的平行与垂直呢? 设计意图：联系生活场景，激发学习兴趣，引导学生思考斜率与平行、垂直的关联，为新课学习铺垫. 教学建议：展示场景实物图，让学生指认平行与垂直，结合问题引导猜想，自然过渡到定理探究. 作图：在平面直角坐标系中，作两条不重合直线l1，l2，它们的倾斜角均为α 学生：根据要求做出两条直线的图. 预设： 观察：观察小组各成员画两直线l1，l2，它们的位置关系是什么？ 学生：观察图像，得出结论 预设：倾斜角相等的两条不重合直线平行 思考：两条直线的斜率满足什么条件，这两条不重合直线平行？ 学生：回顾倾斜角定义，以及和斜率的关系，得出结论 预设：根据倾斜角与斜率的关系可得：因为倾斜角相等，所以斜率相等，因此，斜率相等的两条不重合直线平行. 思考：如何用数学语言表达以上结论？ 学生：小组讨论，尝试用数学语言表达以上结论，体会用数学语言区描述结论 预设：结论1：倾斜角相等的两条不重合直线平行，符号语言： 结论2：斜率相等的两条不重合直线平行，符号语言： 辨析：若两直线倾斜角相等（斜率相等），则它们的位置关系可能是什么？ 学生：先独立思考，学会辨析的看待问题 预设：平行或重合 思考：两直线平行，那么它们的倾斜角相等吗？ 预设：两条直线平行，则直线的方向相同，由倾斜角定义可知，直线方向相同的直线倾斜角相等,即 ’ 追问：两直线平行，那么它们的斜率一定相等吗？为什么？ 预设：不一定，直线的斜率可能不存在 归纳总结： 1、任意两条不重合的直线平行的充要条件是两直线的倾斜角相等： 2、任意两条斜率存在且不重合的直线平行的充要条件是两直线的斜率相等： 问题：当时，直线与直线的斜率均不存在时，两直线是什么位置关系？ 学生：画图，利用数形结合得到答案： 由数形结合可得，当时，直线的斜率不存在，此时． 若直线，重合，此时仍然有． 师生：共同讨论总结，两直线平行的判定的知识： 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 对应关系 两直线的斜率都不存在 图示 例2 已知，，，，试判断直线与的位置关系，并证明你的结论． 学生：思考并与同桌交流，得出答案，做好分享准备， 预设：如图2.1-8，由已知可得直线的斜率， 直线的斜率，因为， 所以直线． 跟踪练习：已知l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，l2经过C(3，－3)，D(8，－7)，判断直线l1与直线l2是否平行． 师生：自主完成练习，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案； 预设：由题意知，直线l1 的斜率k1＝＝－， 直线l2 的斜率k2＝＝－， 因为k1＝k2，且直线l1与l2不共点，所以l1∥l2. 例3 已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明． 学生：思考并与同桌交流，记录下问题，得出答案，做好分享准备， 预设：如图，由已知可得边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，边所在直线的斜率． 因为，，所以，． 因此四边形是平行四边形． 问题：如何利用斜率证明两条直线平行？ 师生：共同研讨交流，并得出利用斜率证明两条直线平行的具体步骤. 第一步：求斜率：分别求两条直线的斜率； 第二步：确定斜率关系：两个斜率相等或两个斜率均不存在； 第三步：明确不共点：说明两条直线没有公共点； 第四步：下结论：所以两直线平行. 设计意图：通过典型例题的分析和解决，让学生加深对利用直线斜率判断两直线平行和垂直的方法，提升运用能力。发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养。 引言：显然，当两条直线相交时，它们斜率不相等；反之，当两条直线的斜率不相等时，它们相交.在相交的位置关系中，垂直是最特殊的情形. 思考：如何当直线垂直时，它们的斜率除了不相等外，是否还有特殊的数量关系？ 提示：利用向量工具，考虑两条直线的方向向量垂直时，数量积是多少？ 学生：回顾知识并思考，得出结论 问题1：如何设两条直线的斜率分别为，方向向量分别为，试用斜率写出向量的坐标． 学生：回顾知识，并回答： 问题2：如果，那么方向向量有什么关系？你会得出怎样的关系式？ 学生：回顾知识，并回答：， 思考：如图，任意两条垂直直线的倾斜角是什么关系？ 学生：观察图形，得出结论 预设：不妨设，由图可知 结论：① 任意两条斜率存在的直线垂直的充要条件是：两直线的斜率之积等于−1，即 ② 任意两条直线垂直的充要条件是：大倾斜角－小倾斜角=90°，即 问题3：当直线的倾斜角为0°时，若直线，则的斜率应满足什么条件？ 学生：做图，并回答问题：如图，当直线的倾斜角为0°时， 若，则的倾斜角为90°，此时直线的斜率不存在． 师生：归纳总结两条垂直直线斜率之间的关系 类型 斜率都存在 （或）的斜率不存在 前提条件 对应关系 图示 例4 已知，，，，试判断直线与的位置关系． 学生：思考并与同桌交流，得出答案，做好分享准备， 预设：直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以． 例5 已知，，三点，试判断的形状． 学生：思考并与同桌交流，得出答案，做好分享准备， 师生：一起分析该题的解题思路，得出：一画图、二猜想、三证明的解题思路，学生根据此思路自主作答，并做答案分享准备； 分析：如图，猜测，是直角三角形， 预设：边所在的直线的斜率为，边所在的直线的斜率为， 由，得，即，所以是直角三角形． 归纳总结：如何利用斜率证明两条直线垂直？ 师生共同总结：第①步，求斜率：分别求两条直线的斜率； 第②步；确定斜率关系：两个斜率乘积等于-1 或 一个斜率不存在、一个斜率为0； 第③步；下结论：所以两直线垂直. 1. 核心知识清单 1. 平行两类判定：斜率相等（不重合）、均无斜率； 1. 垂直两类判定：斜率乘积、一斜率0一无斜率； 1. 三大应用：求值参数、三点共线、四边形判定。 2. 核心数学思想 1. 数形结合：图像辅助判断竖直线、水平线； 1. 分类讨论：斜率存在/不存在分开论证； 1. 坐标法（以数解形）：几何平行垂直转化为斜率代数等式。 3. 高频易错警示 1. 只代表倾斜角相同，直线可能重合，必须验证无公共点； 1. 平行直线不一定斜率相等，两竖直线无斜率； 1. 垂直直线不一定满足，水平线与竖直线例外； 1. 求参数忽略分母为0，漏掉斜率不存在的解。 1.（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知直线，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 【答案】D 【知识点】由斜率判断两条直线垂直 【分析】根据判断. 【详解】因为直线，的斜率分别为，且，所以与的位置关系是垂直. 故选：D 2.（25-26高二上·天津·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的斜率为，那么与（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】C 【知识点】由斜率判断两条直线垂直、已知两点求斜率 【分析】利用两直线的位置关系求解. 【详解】因为直线经过，两点， 所以直线的斜率为，而， 所以，所以与垂直， 故选：C 3.（2026·重庆渝中·模拟预测）已知直线：与直线：平行，则实数的值为（   ） A．-1 B．0 C．3 D．-1或3 【答案】A 【知识点】已知直线平行求参数 【详解】当时，直线：与直线：，显然直线与不平行； 当时，因为直线：与直线：平行， 所以，解得，检验符合. 4.（24-25高二上·江苏南通·期末）以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【知识点】由斜率判断两条直线垂直 【分析】求出直线和的斜率，判断出，进而可得结果. 【详解】因为 ， 所以 , 故 因此该三角形为直角三角形. 故选：B. 5.（25-26高二上·山东枣庄·阶段检测）已知直线：，则下列结论正确的是（   ） A．直线的倾斜角是 B．过点与直线平行的直线方程是 C．点在直线上 D．若直线，则 【答案】B 【知识点】由斜率判断两条直线垂直、直线的倾斜角、由两条直线平行求方程 【分析】求解直线的倾斜角判断A；求解直线方程判断B；将点代入直线判断C；利用直线的斜率乘积判断D即可. 【详解】对于A，直线，直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为，故A错误； 对于B，过点与直线平行的直线方程是， 即，故B正确； 对于C，因为，所以点不在直线上，故C错误； 对于D，直线的斜率为，故，故D错误. 故选：B． 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $