1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 课时2.夹角问题导学案——2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦“用空间向量研究夹角问题”，通过预习提要引导学生回顾距离问题，自主探究夹角内容，以“温故知新”搭建学习支架，衔接空间向量在距离与夹角问题中的应用脉络。 资料亮点在于融合数学史（柯西数量积理论），将几何夹角转化为向量坐标运算，培养学生数学思维的逻辑推理能力，课前自测结合《九章算术》阳马等情境，提升数学语言的应用意识，助力学生用数学眼光分析问题，高效掌握空间夹角计算方法。

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 课时2.夹角问题 预习提要 1.回顾用空间向量研究距离问题； 2.阅读课本P36—P38内容，自主探究用空间向量研究夹角问题，并根据阅读内容填写本节预习任务，把握本课重难点. 一、温故 1．立体几何中的距离问题包括点到直线、点到平面、两条平行直线以及两个平面的距离问题等. 2．点到直线的距离：已知直线的单位方向向量为是直线上的定点，是直线外一点，设，则向量在直线上的投影向量. 3．点到直线的距离公式：在Rt中，由勾股定理得，点到直线的距离. 4．点到平面的距离：已知平面的法向量为是平面内的定点，是平面外一点，则点到平面的距离就是在直线上的投影向量的. 5．点到平面的距离公式：点到平面的距离. 6．两条平行直线之间的距离，可以转化为其中一条直线上一点到另一条直线的. 7．两个平行平面之间的距离，可以转化为其中一个平面内一点到另一个平面的. 二、知新 1．立体几何中的角度问题包括直线与直线所成的角、直线与平面所成的角以及的夹角. 2．两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的向量的夹角来求得. 3．异面直线所成角公式：若异面直线所成的角为，其方向向量分别是，则. 4．直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的向量的夹角. 5．线面角公式：设直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则. 6．平面与平面的夹角：平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面与平面的. 7．面面角公式：若平面，的法向量分别是和，设平面与平面的夹角为，则. 课前自测 1．如图，已知圆锥CO的轴截面CAB是正三角形，AB是底面圆O的直径，点D在上，且，则异面直线AD与BC夹角的余弦值为( ) A. B. C. D. 2．《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则( ) A. B.4 C.2 D.3 3．如图，在正四棱锥中，O为顶点S在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且，则直线CD与平面PAC的夹角是( ) A. B. C. D. 4．在正四棱柱中，，，点N为四边形内部一动点（不含边界），且满足.记直线与平面所成的角为，则的取值范围为____________________________. 5．如图，在三棱锥中，为的中点. （1）求直线与平面所成角的大小； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 反思 向量数量积的几何意义由数学家柯西完整阐明，他结合笛卡尔三维坐标系，建立起依靠向量统一计算空间各类夹角的理论，彻底解决了异面直线夹角、线面角、二面角难以量化计算的难题.在向量方法出现之前，求解空间夹角需要构造三角形、找平行线平移线段，二面角还要作出平面角，图形构造复杂，推理步骤繁琐.柯西从数量积核心公式出发：，变形得到夹角余弦表达式：.依托这条公式，所有空间角度都能转化为向量坐标运算，同时区分三类空间夹角对应的向量选取规则. 答案及解析 一、温故 1．平行 2． 3． 4．长度 5． 6．距离 7．距离 二、知新 1．平面与平面 2．方向 3． 4．法 5． 6．夹角 7． 课前自测 1．答案：A 解析：因为，且，所以.连接BD，CO，则平面ABD，以点O为坐标原点，平面ABD内过点O且垂直于OB的直线为x轴，OB，OC所在直线分别为y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设圆O的半径为2，则，，，，所以，.设异面直线AD与BC夹角为，则，因此异面直线AD与BC夹角的余弦值为.故选A. 2．答案：B 解析：由题意，以A为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建系如图， 设，因为，所以， ，设异面直线与所成角为， 则，解得，即. 故选:B. 3．答案：C 解析：如图，以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OS所在直线为z轴，建立空间直角坐标系. 设，则，，，，， 则，，.设平面PAC的法向量为， 则，，可取. 设直线CD与平面PAC的夹角为，则 又，.故选C. 4．答案： 解析：由题意，建立如图的空间直角坐标系，则，. 设，，. 则，. 因为，所以，所以. 因为，所以，解得或. 易知平面的一个法向量为， 所以， 所以，所以. 由或，得. 所以的取值范围为. 5．答案：（1） （2） 解析：（1）取的中点，连接， 由中，，， 所以为等腰直角三角形，得，又， 由为正三角形，得，， 又因为，所以，所以， 所以两两垂直， 以为原点，以直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， 于是，，， 设平面的法向量为， 则， 令，得， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值，所求角大小为. （2）由（1）知，设平面的法向量为， 则，令，得， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $