2.1.2两条直线平行和垂直的判定 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练围绕“两条直线平行和垂直的判定”，通过基础概念辨析、几何图形应用到实际情境建模的三层设计，实现从单一知识点到综合能力的递进，适配新授课知识巩固与思维提升需求，培养几何直观、推理能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|倾斜角与斜率概念、平行垂直基本判定|以单选形式直接考查定义辨析（如第1题倾斜角性质）| |中档层|斜率公式综合应用、几何图形性质|结合方程（如第7题根与系数关系）与平行四边形判定（第9题）| |拔高层|实际情境建模、跨知识点综合|通过折纸（第10题）、对数函数与直线综合（第14题）考查建模能力|

2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 同步练2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 [分值：100分] 单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共58分 1.下列说法正确的是(　　) A.平行的两条直线的斜率一定存在且相等 B.平行的两条直线的倾斜角一定相等 C.垂直的两条直线的斜率之积为-1 D.只有斜率相等的两条直线才一定平行 2.直线l1的倾斜角α1=30°，直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为(　　) A.- B. C.- D. 3.直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(-1，1)且与y轴交于点P，则点P的坐标为(　　) A.(3，0) B.(-3，0) C.(0，-3) D.(0，3) 4.(多选)若直线l1的斜率k1=，直线l2经过点A(3a，-2)，B(0，a2+1)，且l1⊥l2，则实数a的值为(　　) A.1 B.3 C.0 D.4 5.已知点A(-2，2)，B(6，4)，H(5，2)，H是△ABC的垂心，则点C的坐标为(　　) A.(6，-4) B.(-2，4) C.(-4，-2) D.(6，-2) 6.(多选)以A(-1，1)，B(2，-1)，C(1，4)为顶点的三角形，下列结论正确的有(　　) A.kAB=- B.kBC=- C.该三角形是以A点为直角顶点的直角三角形 D.该三角形是以B点为直角顶点的直角三角形 7.若l1与l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2-3k-b=0的两根，若l1⊥l2，则b=　　　　；若l1∥l2，则b=　　　　. 8.直线l的倾斜角为30°，点P(2，1)在直线l上，直线l绕点P(2，1)沿逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2与直线AB垂直，其中A(1，m-1)，B(m，2)，则m=　　　　　　. 9.(12分)已知在▱ABCD中，A(1，2)，B(5，0)，C(3，4). (1)求点D的坐标；(6分) (2)试判定▱ABCD是否为菱形？(6分) 10.小明同学喜欢折纸游戏，他将一张画了平面直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次，使点M(2，0)与点N(-2，4)重合，点P(2 025，2 026)与Q(a，b)重合，则a+b等于(　　) A.4 048 B.4 049 C.4 050 D.4 051 11.(多选)如图所示，在平面直角坐标系中，以O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)为顶点构造平行四边形，下列各点中能作为平行四边形顶点坐标的是(　　) A.(-3，1) B.(4，1) C.(-2，1) D.(2，-1) 12.如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长|AD|=5 m，宽|AB|=3 m，其中一条小路为AC，另一条小路为DM，M在BC上，若两条小路AC与DM互相垂直，此时BM的长为　　　　m. 13.(15分)已知M(1，-1)，N(2，2)，P(3，0). (1)求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ；(7分) (2)若点Q在x轴上，且∠NQP=∠NPQ，求直线MQ的倾斜角.(8分) 14.(15分)如图，已知过原点O的直线与函数y=log8x的图象交于A，B两点，分别过点A，B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C，D两点. (1)证明：O，C，D三点在同一条直线上；(7分) (2)当BC∥x轴时，求点A的坐标.(8分) 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 同步练2.1.2　两条直线平行和垂直的判定参考答案 [分值：100分] 单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共58分 1.下列说法正确的是(　　) A.平行的两条直线的斜率一定存在且相等 B.平行的两条直线的倾斜角一定相等 C.垂直的两条直线的斜率之积为-1 D.只有斜率相等的两条直线才一定平行 答案　B 解析　因为当两条直线的倾斜角为90°时，两条直线平行，但是没有斜率，故A不正确；平行的两条直线的倾斜角一定相等，故B正确；垂直的两条直线的斜率存在时，斜率之积为-1，当一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0时，两直线也垂直，故C不正确；斜率不存在的两条直线也能够平行，故D不正确. 2.直线l1的倾斜角α1=30°，直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为(　　) A.- B. C.- D. 答案　C 解析　设直线l1与直线l2的斜率分别为k1与k2，由已知得，k1=tan 30°=， 又l1⊥l2，所以k1k2=-1，从而k2=-. 3.直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(-1，1)且与y轴交于点P，则点P的坐标为(　　) A.(3，0) B.(-3，0) C.(0，-3) D.(0，3) 答案　D 解析　设P(0，y)，因为l1∥l2，所以=2， 所以y=3，即P(0，3). 4.(多选)若直线l1的斜率k1=，直线l2经过点A(3a，-2)，B(0，a2+1)，且l1⊥l2，则实数a的值为(　　) A.1 B.3 C.0 D.4 答案　AB 解析　因为l1⊥l2，且k1=，则l2的斜率k2必存在， 所以k1·k2=-1，即×=-1， 化简得a2-4a+3=0，解得a=1或a=3. 5.已知点A(-2，2)，B(6，4)，H(5，2)，H是△ABC的垂心，则点C的坐标为(　　) A.(6，-4) B.(-2，4) C.(-4，-2) D.(6，-2) 答案　D 解析　设点C的坐标为(x，y)，kAH==0， ∵BC⊥AH，∴直线BC的斜率不存在，而点B的横坐标为6，则x=6，∵kBH==2， ∴kAC==-， ∴y=-2，∴点C的坐标为(6，-2). 6.(多选)以A(-1，1)，B(2，-1)，C(1，4)为顶点的三角形，下列结论正确的有(　　) A.kAB=- B.kBC=- C.该三角形是以A点为直角顶点的直角三角形 D.该三角形是以B点为直角顶点的直角三角形 答案　AC 解析　对于A，因为A(-1，1)，B(2，-1)，所以kAB==-，所以A正确； 对于B，因为B(2，-1)，C(1，4)，所以kBC==-5≠-，所以B错误； 对于C，因为kAB=-，kAC==，所以kAB·kAC=-×=-1， 所以AB⊥AC，所以△ABC是以A点为直角顶点的直角三角形，所以C正确； 对于D，因为kAB=-，kBC=-5，所以kAB·kBC≠-1，所以D错误. 7.若l1与l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2-3k-b=0的两根，若l1⊥l2，则b=　　　　；若l1∥l2，则b=　　　　. 答案　2　- 解析　当l1⊥l2时， k1k2=-=-1，得b=2. 当l1∥l2时，k1=k2， Δ=9-4×2×(-b)=0， 得b=-. 8.直线l的倾斜角为30°，点P(2，1)在直线l上，直线l绕点P(2，1)沿逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2与直线AB垂直，其中A(1，m-1)，B(m，2)，则m=　　　　　　. 答案　4+ 解析　如图，直线l1的倾斜角为30°+30°=60°， ∴直线l1的斜率k1=tan 60°=. 由l1∥l2知，直线l2的斜率k2=k1=. ∴直线AB的斜率存在，且kAB=-=-. ∴==-， 解得m=4+. 9.(12分)已知在▱ABCD中，A(1，2)，B(5，0)，C(3，4). (1)求点D的坐标；(6分) (2)试判定▱ABCD是否为菱形？(6分) 解　方法一　(1)设点D的坐标为(a，b)， 因为四边形ABCD为平行四边形， 所以kAB=kCD，kAD=kBC， 所以解得 所以D(-1，6). (2)因为kAC==1， kBD==-1， 所以kAC·kBD=-1， 所以AC⊥BD，所以▱ABCD为菱形. 方法二　(1)设D(x，y)，所以=(4，-2)，=(3-x，4-y). 又四边形ABCD为平行四边形， 所以=. 所以所以即D(-1，6). (2)因为=(4，-2)，=(-2，4)， 所以||=2，||=2，即AB=AD， 所以▱ABCD为菱形. 10.小明同学喜欢折纸游戏，他将一张画了平面直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次，使点M(2，0)与点N(-2，4)重合，点P(2 025，2 026)与Q(a，b)重合，则a+b等于(　　) A.4 048 B.4 049 C.4 050 D.4 051 答案　D 解析　因为点M(2，0)与点N(-2，4)重合， MN所在直线的斜率为kMN==-1， 由题意知，过点P(2 025，2 026)与Q(a，b)的直线与直线MN平行， 所以kPQ==kMN=-1，整理得a+b=4 051. 11.(多选)如图所示，在平面直角坐标系中，以O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)为顶点构造平行四边形，下列各点中能作为平行四边形顶点坐标的是(　　) A.(-3，1) B.(4，1) C.(-2，1) D.(2，-1) 答案　BCD 解析　如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即▱AOBC1，▱ABOC2，▱AOC3B.根据平行四边形的性质，可知B，C，D分别是点C1，C2，C3的坐标. 12.如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长|AD|=5 m，宽|AB|=3 m，其中一条小路为AC，另一条小路为DM，M在BC上，若两条小路AC与DM互相垂直，此时BM的长为　　　　m. 答案　 解析　方法一　以B为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0，3)，D(5，3)，C(5，0)， 设M(x，0)，0<x<5. 由题意可知直线AC和直线DM的斜率都存在， 由于AC与DM互相垂直， 所以kAC·kDM=-1， 即·=-1， 解得x=， 所以BM的长为 m. 方法二　在△ADC和△DCM中，∠ADC=∠DCM=90°，又AC⊥DM， 所以∠DAC=∠CDM，从而△ADC∽△DCM， 所以=， 即=，从而|CM|= m， 故|BM|=|BC|-|CM|=5-=(m). 13.(15分)已知M(1，-1)，N(2，2)，P(3，0). (1)求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ；(7分) (2)若点Q在x轴上，且∠NQP=∠NPQ，求直线MQ的倾斜角.(8分) 解　(1)设Q(x，y)，由已知得kMN=3， 由PQ⊥MN，可得kPQ·kMN=-1， 即×3=-1. ① 由已知得kPN=-2， 由PN∥MQ，可得kPN=kMQ， 即=-2. ② 联立①②求解得x=0，y=1，即Q(0，1). (2)设Q(x，0)， ∵∠NQP=∠NPQ，∴kNQ=-kNP. 又∵kNQ=，kNP=-2， ∴=2，即x=1，∴Q(1，0). 又∵M(1，-1)，∴MQ⊥x轴， 故直线MQ的倾斜角为90°. 14.(15分)如图，已知过原点O的直线与函数y=log8x的图象交于A，B两点，分别过点A，B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C，D两点. (1)证明：O，C，D三点在同一条直线上；(7分) (2)当BC∥x轴时，求点A的坐标.(8分) (1)证明　设A(x1，log8x1)，B(x2，log8x2)，则C(x1，log2x1)，D(x2，log2x2)， 又O，A，B三点共线，则kOA=kOB，即=， 所以=，即=，即kOC=kOD， 所以O，C，D三点共线. (2)解　由题意及(1)得log8x2=log2x1，即log8x2=log8，又函数y=log8x单调递增，所以x2=. 所以===，当x1=1时，x2=1，A，B重合，不符合题意，因此x1≠1，log8x1≠0，从而=3，x1=(负值舍去)， 所以点A的坐标为(，log8). . 学科网（北京）股份有限公司 $