2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练分为基础练习（10题）和能力提升练（7题），分层明确，梯度合理，知识覆盖从两条直线平行与垂直的概念辨析、斜率计算到综合应用，通过易错题、教材改编题及跨情境问题，培养抽象能力、推理能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础练习|两条直线平行与垂直的判定概念、斜率计算、位置关系判断|含易错题（如方向向量平行与重合辨析）、教材改编题，强化概念理解与基本运算| |能力提升练|平行垂直的综合应用、实际问题（折叠/距离/反射）、几何图形性质|设置跨情境问题（如矩形花园小路设计）、综合证明题（四边形形状判断），提升逻辑推理与应用能力|

2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 基础练习 题型一　两条直线平行 1.(2026江西萍乡莲花月考)下列说法正确的有(　　) ①若两直线斜率相等,则两直线平行或重合; ②若两直线平行,则两直线斜率相等; ③若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交; ④若两直线的斜率都不存在,则两直线平行. A.1个　　B.2个　　C.3个　　D.4个 2.(2026广东佛山顺德月考)已知直线l1的倾斜角为60°,直线l2经过点A(-1,-),B(0,0),则直线l1,l2的位置关系是(　　) A.平行或重合　　B.平行　　 C.垂直　　D.重合 3.(教材习题改编)(2026天津第九十八中学月考)若直线l1经过两点A(4,2y+1),B(2,-3),直线l2的倾斜角为,且l1∥l2,则y等于(　　) A.-1　　B.-3　　C.0　　D.2 4.(2026浙江强基联盟月考)已知直线l1:y=2x+1,l2:y=2x+b,则“b=2”是“l1∥l2”的(　　) A.充分不必要条件　　 B.必要不充分条件 C.充要条件　　 D.既不充分也不必要条件 5.(易错题)(2025福建厦门一中月考)已知直线l1过点A(1,2),其方向向量为a1=(k,2),直线l2过点B(2,1),其方向向量为a2=,若l1∥l2,则k=(　　) A.-2　　B.1　　C.-2或1　　D.0或2 题型二　两条直线垂直 6.(2026山东泰安第一中学月考)已知=(-3,)是直线l的方向向量,且直线m⊥l,则直线m的倾斜角为(　　) A.150°　　B.120°　　C.30°　　D.60° 7.(2026江苏苏州大学附属中学月考)已知直线l的斜率为-,直线l1经过P(-2,),Q(m,0)两点,且直线l与l1垂直,则实数m的值为(　　) A.-2　　B.-3　　C.-4　　D.-5 8.(2026广东部分学校联考)已知A(3,1),B(-2,2),若点C在y轴负半轴上,且∠ACB=,则点C的纵坐标为(　　) A.-1　　B.-2　　C.-3　　D.-4 9.(2026广东惠州华罗庚中学月考)已知直线l1经过A(3,a),B(a-2,3),直线l2经过C(2,3),D(1,a-2).若l1⊥l2,则a=(　　) A.3　　B.5　　C.2　　D.2或5 10.(2026北京中国人民大学附属中学月考)已知点M(2,2),N(5,-2),点P在x轴上,分别求满足下列条件的点P的坐标. (1)∠MOP=∠OPN(O是坐标原点); (2)∠MPN是直角. 能力提升练 题型　直线平行与垂直的综合应用 1.(2024重庆育才中学期中)已知两点A(2,0),B(3,4),直线l过点B,交y轴于点C(0,y),O是坐标原点,如果O,A,B,C四点共圆,那么y的值是(　　) A.19　　B.　　C.5　　D.4 2.(2026湖北武汉华中师大一附中月考)将一张画了平面直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次,使点(2,0)与点(-2,4)重合,点(2 023,2 024)与点(m,n)重合,则m+n=(　　) A.1　　B.2 025　　C.4 047　　D.4 049 3.某县相邻两镇在同一平面直角坐标系中的位置分别为A(-3,-4),B(6,3),交通枢纽的位置为C(0,-1),计划经过C修建一条马路l(l看成一条直线,l的斜率为k).若A,B两个镇到马路l的距离相等,则k=　　　　;若A,B两个镇位于马路l的两侧,则k的取值范围为　　　　　　　.  4.(2026广东东莞翰林实验学校月考)在平面直角坐标系Oxy中,四边形OPQR的顶点分别为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t>0且t≠,试判断四边形OPQR的形状. 5.(2025湖南长沙长郡中学月考)已知坐标平面内三点A(-2,-4),B(2,0),C(-1,1). (1)求直线AB的斜率和倾斜角; (2)若A,B,C,D可以构成平行四边形,且点D在第一象限内,求点D的坐标; (3)若E(m,n)是线段AC上一动点,求的取值范围. 6.(2025四川成都段考)如图所示,一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路,已知矩形花园的长为AD,宽为AB,且|AD|=5 m,|AB|=3 m,其中一条小路定为AC,另一条小路过点D,在BC上能否找到一点M,使得两条小路所在直线AC与DM相互垂直? 7.光线从点A(-3,4)射出,到x轴上的点B后,被x轴反射到y轴上的点C,又被y轴反射,这时反射光线恰好过点D(-1,6),则光线BC所在直线的斜率是　　　　.  答案 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 基础练习 1.B　①正确,两直线斜率相等时,倾斜角一定相等,故平行或重合;②不正确,当两直线平行时,两直线的斜率相等或均不存在;③正确,两直线的倾斜角不相等,则一定相交;④不正确,两直线还可能重合. 2.A　依题意,直线l1的斜率k1=tan 60°=,直线l2的斜率k2==, 即k1=k2,所以l1∥l2或l1,l2重合. 3.B　因为直线l1经过两点A(4,2y+1),B(2,-3),所以直线l1的斜率k1==y+2, 因为直线l2的倾斜角为,所以直线l2的斜率k2=tan =-1, 因为l1∥l2,所以k1=k2,所以y+2=-1,所以y=-3. 4.A　当b=2时,直线l1∥l2,但当l1∥l2时,b≠1,推不出b=2,所以“b=2”是“l1∥l2”的充分不必要条件. 5.B　因为l1∥l2,所以a1∥a2,因此k2-2=0,解得k=1或k=-2, 当k=1时,两直线的斜率均为2,又kAB=-1,故满足题意; 当k=-2时,两直线的斜率均为-1,又kAB=-1,故此时两直线重合(易错点),舍去. 综上,k=1. 6.D　由于=(-3,)是直线l的方向向量,所以直线l的斜率为-, 又直线m⊥l,所以直线m的斜率为,故其倾斜角为60°. 7.D　由于直线l的斜率为-,且直线l与l1垂直,所以直线l1的斜率为, 又直线l1经过P(-2,),Q(m,0)两点, 所以=,解得m=-5. 8.A　设点C(0,a),a<0,易知直线AC,BC的斜率存在,且分别为kAC=,kBC=, 由∠ACB=,得kACkBC=·=-1,即a2-3a-4=0, 又a<0,所以a=-1,即点C的纵坐标为-1. 9.D　当a-2=3,即a=5时,直线l1的斜率不存在,此时直线l2的斜率为=0, 所以直线l1与直线l2垂直,满足条件; 当a-2≠3时,直线l1的斜率存在,为,又直线l2的斜率为,且l1⊥l2, 所以·=-1,解得a=2. 综上,a的值为5或2. 10.解析　设P(x,0). (1)因为∠MOP=∠OPN,所以OM∥NP,由题知直线OM的斜率存在,所以kOM=kNP,且x≠5.又kOM==1,kNP==,所以1=,所以x=7,即点P的坐标为(7,0). (2)因为∠MPN=90°,所以MP⊥NP,根据题意知直线MP,NP的斜率均存在,所以x≠2且x≠5,所以kMP·kNP=-1.又kMP=,kNP=,所以×=-1,解得x=1或x=6,即点P的坐标为(1,0)或(6,0). 能力提升练 1.B　由于A,B,C,O四点共圆,所以四边形OABC的对角互补,所以AB⊥BC,所以kAB·kBC=-1,即·=-1, 所以y=. 2.C　记(2,0),(-2,4)分别为A,B,则kAB==-1. 由题意知,过点(2 023,2 024)和点(m,n)的直线与直线AB平行,所以=-1,整理得m+n=2 023+2 024=4 047. 3.答案　或;∪(1,+∞) 解析　若A,B两个镇到马路l的距离相等,则有两种情况:当l与直线AB平行时,k==;当l与直线AB相交时,直线l过线段AB的中点,又线段AB的中点为,所以k==.故k=或k=.易得kAC==1,kBC==,若A,B两个镇位于马路l的两侧,则k的取值范围为∪(1,+∞). 4.解析　当t>0且t≠时,由斜率公式,得kOP==t,kQR===t,kOR==-,kPQ===-,kOQ=,kPR=. ∴kOP=kQR,kOR=kPQ, ∴OP∥QR,OR∥PQ, ∴四边形OPQR为平行四边形. 又kOP·kOR=-1, ∴OP⊥OR,∴四边形OPQR为矩形. 令kOQ·kPR=-1,得·=-1,无实数解,∴OQ与PR不垂直, ∴四边形OPQR为矩形. 5.解析　(1)因为A(-2,-4),B(2,0),所以kAB==1,由直线倾斜角与斜率的关系可得倾斜角为. (2)设D(x,y),由题意知四边形ABDC为平行四边形,如图, 可得kAC=kBD,kCD=kAB, 即 即解得 即点D的坐标为(3,5). (3)易知即为B点与线段AC上的E点连线的斜率, 结合图(图略)可知kBE∈[kBC,kBA],而kBC==-,kBA==1, 所以的取值范围为. 6.解析　以B为坐标原点,,的方向分别为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则C(5,0),D(5,3),A(0,3).由题可设M(x,0),0<x<5.因为AC⊥DM,所以kAC·kDM=-1,所以·=-1,解得x==3.2,所以当|BM|=3.2 m时,两条小路所在直线AC与DM相互垂直. 7.答案　 解析　设B(a,0),C(0,b),过点B,C分别作x轴,y轴的垂线交于点E,如图, 则∠E=90°,所以∠ECB+∠EBC=90°, 所以2∠ECB+2∠EBC=180°, 由反射角等于入射角,得∠EBC=∠ABE,∠DCE=∠BCE,所以∠DCB+∠ABC=180°, 所以AB∥CD,故kAB=kCD,即=,得ab-6a+3b-14=0, 又由反射角等于入射角,可得直线AB的倾斜角与直线BC的倾斜角互补,所以kAB=-kBC,即=-,即ab+4a+3b=0, 联立解得 故B,C,所以kBC==. 7 学科网（北京）股份有限公司 $