4.3 线段的长短-【学海风暴】2026-2027学年七年级上册数学同步备课（沪科版·新教材）

4.3线段的长短 第1课时线段的长短比较与尺规作图 1.线段的长短比较：可以采用叠合的方法或利用刻度尺分别量出线段的长度，来比较它们的长短. 2.线段的和、差：线段可以转化为其他几条线段的和或差 已课内基础闯关 两点.完成下列填空： (1 BD=BC+ ,AD= 知识点①线段的长短比较 1.如图，用圆规比较两条线段A'B'和AB的长 (2)AB= 一BC=AD 短，下列结论正确的是 第4题图 知识点③ 用尺规作线段 (A) (B') 5.如图，已知线段m,作一条线段使它等 第1题图 A.A'B'>AB B.A'B'=AB 于2m. C.A'B'<AB D.不能确定 m 2.如图，已知三角形ABC.下列是比较线段 AC和AB长短的方法，其中正确的有 第5题图 ( 作法： ①用刻度尺分别量出AB和AC的长度； (1)作 AD. ②用圆规将线段AB叠放到线段AC上，观 (2)用圆规在 上截取AB= 察点B的位置；③沿过点A的直线折叠，使 AB和AC重合，观察点B的位置. (3)用圆规在 上截取BC= A.0个 ,线段 就是所求作的 B.1个 线段 C.2个 6.如下图，已知线段a,b,用直尺和圆规作线段 D.3个 AB,使AB=2a十b(保留作图痕迹，写出 第2题图 知识点② 线段的和差计算 作法). 3.(2025一2026桐城期末)如图，AC=BC,点 D在线段AC上.若AD=4,CD=2,则AB 的长度为 D C 第3题图 A.12 B.10 C.8 D.5 4.(教材变式)如图，B,C是线段AD上不同的 90 七年级数学HK版 已课外拓展提高 11.如下图，M是线段AB上一定点，C,D两 7.空间观念如图，围绕在正方形 点分别从点M,B同时出发，分别以 四周的四条线段a,b,c,d中， 1cm/s,4cm/s的速度沿BA向左运动（点 长度最长的是 ( C在线段AM上，点D在线段BM上). A.a B.6 d (1)若AB=20cm,当点C,D运动了3s 第7题图 C.c D.d 时，求AC+MD的值. 8.已知线段AB=2cm,延长AB到点C,使 (2)若点C,D运动时，总有MD=4AC,则 BC=AB,再延长BA到点D,使BD= AM与BM有怎样的数量关系？ 2AB,则线段DC的长为 ( A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.2 cm 9.如图，已知线段a,b.按下列步骤 完成尺规作图，则AC的长是 第9题图 ①作射线AM;②在射线AM上连续顺次截 取AD=DB=a;③在线段AB上截取BC= b. 已综合能力提升 10.如下图，已知线段a,b(尺规作图，不写作 12.推理能力如下图，P是线段AB上一点， 法，保留作图痕迹) AB=12cm,M,N两点分别从点P,B出 (1)作线段AB和线段AC,使得AB=2a一 发以1cm/s,3cm/s的速度同时向左运动， b,AC=b,且点B在线段AC上. 运动时间为ts. (2)在(1)的条件下，若a:b=2：3,点D (1)当t=1,PN=3AM时，AP= 在射线AB上，且AD=2AB,AB=1,求线 cm. 段CD的长 (2)当点M在线段AP上，点N在线段BP 上运动时，总有PN=3AM,AP的长度是 否变化？若不变，请求出AP的长度；若变 化，请说明理由。 (3)在(2)的条件下，Q是直线AB上一点， 且AQ=PQ+BQ,则PQ的长度为 cm. AM 上册第4章 91△ 第2课时线段的中点及其计算 要点梳理 1.线段的中点：如果线段上一点将线段分成相等的两条线段，那么这一点叫作线段的中点 2.线段的基本事实：两，点之间的所有连线中，线段最短.两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离 已课内基础闯关 课外拓展提高 知识点①线段的中点 5.安徽中考特色·双空题如图，线段AB表示 1.如图，已知AB=24cm,CD=10cm,E,F分 根已经对折的绳子.现从点P处将绳子剪 别为AC,BD的中点，则EF的长为( 断，剪断后的各段绳子中，最长的一段为30cm. A E C DFB P B 第1题图 第5题图 A.7cm B.14 cm C.17 cm D.34 cm (1)若P为线段AB的中点，则对折前的绳 长为 cm. 变式题线段上的点变成直线上的点 已知线段AB=10cm,直线AB上有一点 (2)若AP= PB,则对折前的绳上 C,且BC=2cm,M是线段AB的中点，N cm. 是线段BC的中点，则MN 6.(2025一2026滁州定远检测)如下图，已知点 cm. O在线段AB上，点C,D分别是AO,BO的 中点 知识点②线段的基本事实 o b B 2.把弯曲的河道改直，就能缩短河道长度.可 (1)A0 CO,BO= 以解释这一做法的数学原理是 ( DO. A.两点确定一条直线B.两点之间，线段最短 (2)若CO=3,DO=2,求线段AB的长度. C.两点之间，直线最短D.线段比直线短 (3)若线段AB=10,小明很轻松地求得CD 知识点③两点之间的距离 =5.他在反思过程中突发奇想：若点O在线 3.下列说法中，正确的是 段AB的延长线上，原有的结论“CD=5”是 A.两点之间，直线最短 否仍然成立呢？请帮小明画出图形分析，并 B.线段MN就是M,N两点之间的距离 说明理由. C.在连接两点的所有连线中，最短的连线的 长度就是这两点之间的距离 D.从武汉到北京，火车行驶的路程就是武汉 到北京的距离 易错点 对没有给出图形的题目考虑不全面 4.已知线段AB=12,M是AB的中点，C 是直线AB上一点，且AC=5BC,则C, M两点间的距离为 七年级数学HK版v+f-e=2 13.解：如图. 日 14.解：（答案不唯一）(1)与①具有相同特征的图形是 ④⑦，它们相同的特征是都有六个平面。 (2)⑤⑥⑧是具有相同特征的图形，它们相同的特征 是都有曲面 15.解：(1)当该三角形绕着长为3cm的边所在的直线旋 转一周时， 得到一个圆锥，其底面半径为4cm,高为3cm, 圆锥体积V=号XxX×3=16x(em). (2)当该三角形绕着长为5cm的边所在的直线旋转 一周时，得到的是一个由两个底面半径都为3×4÷5 12. =5(cm),且高不相等的两个圆锥扣在一起组成的 几何体， 此几何体的体积为分×xX(号)x5-修(cm). (3)32πcm3 【解析】(3)当该三角形绕着图中所示的虚线旋转一 周时， 得到的是一个圆柱挖去一个圆锥后剩余的几何体， 其中圆柱和圆锥的底面半径均为4cm,高均为3cm, 得到的几儿何体的体积为xX×3一弓×xX×3 32x(cm3). 4.2线段、射线、直线 第1课时线段、射线、直线 1.A2.D 3.D【解析】A.点应该用大写字母表示，直线a,b相交于 一点M,故本选项说法错误；B.直线向两端无限延伸， 可以反向延长射线AB,故本选项说法错误；C.反向延 长射线AO(应该A是端点)，故本选项说法错误；D.可 以延长线段AB到C,使BC=AB,故本选项说法正确. 4.26 5.解：(1) 线段AB上的 点数n(包括 图例 线段总条数N A,B两点) A C B 3=2+1 4 C D B 6=3+2+1 28 七年级数学HK版 续表 线段AB上的 点数n(包括 图例 线段总条数N A,B两点) 5 A C D E B 10=4+3+2+1 6 CD龙FB 15=5+4+3+2+1 A CD E F G B21=6+5+4+3+2+ (2)N=n(n-1) 2 第2课时直线的基本事实 1.解：如图. 变式题B 2.C3.两点确定一条直线 4.1或3 5.解：如图. 6.解：①如图①，当四个点在同一直线上时，可以画1条 直线； ②如图②，当只有三个点在同一直线上时，可以画4条 直线： ③如图③，当任意三个点都不在同一直线上时，可以画6 条直线. 综上所述，经过平面上四个点中任意两个点，可以画1 条或4条或6条直线： 本 图① 图② 4.3线段的长短 第1课时线段的长短比较与尺规作图 1.A2.D3.A 4.(1)CD AB BC CD (2)AC BD 5.(1)射线(2)ADm(3)BD m AC 6.解：如图，线段AB即为所求. A无D B E 作法：①作射线AE: ②以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线AE 于点C; ③以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线CE 于点D: ④以点D为圆心，线段b的长为半径画弧，交射线DE 于点B,线段AB即为所求. 7.D8.C9.2a-b 10.解：(1)线段AB,AC如图①. 图① (2)如图②. 因为a:b=2:3,所以a=3b, 4 因为AB=2a-b=3b-b=1,解得6=3， 所以AC=3. 因为AD=2AB, 所以AD=2×1=2, 所以CD=AC-AD=1. A B D C 图② 11.解：(1)当点C,D运动了3s时， CM=3 cm,BD=12 cm. 因为AB=20cm, 所以AC+MD=AB-CM-BD=20-3-12=5 (cm). (2)设运动时间为ts,则CM=tcm,BD=4tcm.因为 AC=AM-t,MD=BM-4t,MD=4AC,所以BM -4t=4(AM-t)=4AM-4t,BM=4AM. 12.解：(1)3 (2)AP的长度不发生变化 由题意，得BN=3PM. 因为AM+PM+PN+BN=AB,且PN=3AM, 所以4AM+4PM=4AP=12,所以AP=3cm. (3)6或12【解析】(1)由题意，得BN=3cm,PM 1 cm. 因为AM+PM+PN+BN=AB,且PN=3AM, 所以AM+1+3AM+3=12,解得AM=2cm, 所以AP=AM+PM=3cm. (3)分以下三种情况讨论： ①如图①，当点Q在线段AB上时， A P QB 图① 因为AQ=PQ+BQ=AP+PQ, 所以AP=BQ. 由(2)，得AP=3cm, 所以PQ=AB-AP-BQ=6cm. ②如图②，当点Q在线段AB的延长线上时， A户 B 0 图② 因为AQ=PQ+BQ=AP+PQ, 所以AP=BQ. 同理，得PQ=PB+BQ=PB+AP=AB=12cm. ③如图③，当点Q在线段BA的延长线上时， OA P B 图③ 因为AQ≠PQ十BQ,所以不符合题意. 综上所述，PQ的长度为6cm或12cm. 第2课时线段的中点及其计算 1.C【解析】因为E,F分别为AC,BD的中点，所以CE =AC,DF=号BD,所以CE+DF=号AC+号BD 2(AC+BD).因为AC+BD=AB-CD=24-10 =14(cm）.所以CE+DF=号×14=7(cm,所以EF =CD+CE+DF=10+7=17(cm). 变式题4或6【解析】①点C在线段AB上，如图①. 因为M是线段AB的中点，VN是线段BC的中点，所以 AM=2AB=5cm,BN2BC=1cm,所以MN AB-AM-BN=10-5-1=4(cm). M C N B 图① A打 M B N C 图② ②点C在线段AB的延长线上，如图②.因为M是线 段AB的中点N是线段BC的中点，所以BM=ZAB =5cm,BN=2BC=1cm,所以MN=BM+BN=5 十1=6(cm). 综上所述，MN的长为4cm或6cm. 2.B3.C 4.4或9【解析】因为AB=12,M是AB的中点，所以 BM-号AB-号×12-6. 当点C在点B左侧时，如图①. 因为AC=5BC,所以AB=AC+BC=6BC, 所以NMC=BM-BC=号AB-吉AB=号AB 3+ 12=4. 图① 当点C在点B右侧时，如图②. 因为AC=5BC,所以AB=AC-BC=4BC=12, 所以BC=3,所以MC=BM+BC=6+3=9. 综上所述，C,M两点间的距离为4或9. 5.(1)60 上册详解详析 29N (2)50或75【解析】(2)①当2AP是最长的一段时， .345 AP-PB-15 cm.PB=15X=7(cm). 所以AB=AP+PB=15+5-空(em),所以对折前 的绳长为2AB=75cm: ②当2PB是最长的一段时，PB=15cm,所以AP=15 2 X3=10(cm),所以AB=AP+PB=10+15=25 (cm),所以对折前的绳长为50cm 综上所述，对折前的绳长为50cm或75cm. 6.解：(1)22 (2)因为点C,D分别是AO,BO的中点，CO=3,DO= 2, 所以AO=2CO=6,BO=2DO=4, 所以AB=AO十BO=6+4=10. (3)仍然成立，如图所示. A B D 0 理由：因为点C,D分别是AO,BO的中点， 所以c0=号A0,D0=7B0. 所以CD=CO=DO自，A0-20-● 2(A0-B0) 1 2AB=2X10=5. 4.4角 第1课时角的概念及表示 1.D2.D3.C4.B5.B6.D 7.解：向∠AOB内部作1条射线时，图中有1+2=3 (个)角： 向∠AOB内部作2条射线时，图中有1十2+3=6 (个)角； 向∠AOB内部作3条射线时，图中有1+2+3+4=10 (个)角：…： 向∠AOB内部作n条射线时，图中有1+2+3+4十… +(m+1D=m+1n+2(个)角. 2 第2课时角的度量及计算 1.C【解析】因为1°=60'，所以0.26°=15.6'.因为1'= 60”,所以0.6'=36”，所以7.26°=715'36" 变式题C【解析】因为1'=60”，所以12=0.2'.因为 1°=60'，所以10.2'=0.17°，所以4010'12”=40.17°. 2.6010 3.解：(1)4216+1823'×2 =42°16′+36°46 =7862'=792'. (2)90°-19°12′÷6 =90°-18°72'÷6 =90°-3°12′=86°48'. 430 七年级数学HK版 4.18153612.605 5.B【解析】原式=39°159'-5°5'5"=41°39-5°5'5"= 4138'60”-55'5"=3633'55". 6.D【解析】因为∠AOC=2856',∠BOC=70°44'，所以 ∠AOB=∠AOC+∠BOC=28°56'+70°44'=98100' =99°40'. 7.D【解析】因为∠1十∠EAC=60°，∠1=2618'，所以 ∠EAC=60°-∠1=33°42'.因为∠EAC+∠2=90°， 所以∠2=90°-∠EAC=5618'. 8.11621'15”或19°1'55”【解析】分以下两种情况讨论： ①如图①，∠BOC=∠AOB+∠AOC=67°41'35”+ 48°3940”=11621'15”； ②如图②，∠BOC=∠AOB-∠AOC=67°41'35"- 483940”=191'55". 综上所述，∠BOC的度数为11621'15"或191'55”. 图① 图② 9.解：(1)8时整，时针和分针中间相差4个大格 因为钟表有12个数字，每相邻两个数字之间的夹角 为30°， 所以早晨8时整，时针与分针所成的最小的角为4× 30°=120°. (2)由时钟可知，时针12个小时转一圈. 360°÷12=30°. 故时针12个小时转一圈，它转动的速度是每小时 30度. (3)(360°÷60)×40=240°. 故分针转动了240°. 4.5角的比较与补（余）角 第1课时角的比较与角的平分线 1.B2.A 3.A【解析】因为OD平分∠AOC,∠AOD=40°，所以 ∠AOC=2∠AOD=80°.因为OC平分∠AOB,所以 ∠AOB=2∠AOC=160°. 变式题90°或55°【解析】因为35°+145°=180°，且这 两个角有一条公共边，所以互补的两个角有一条公共 边.当两个角有一条公共边，另一边在公共边的两侧 时，这两个角的平分线所成的角为180°=90.当两个 2 角有一条公共边，另一边在公共边的同侧时，这两个角 的平分线所成的角为145°，35”-55 2 故这两个角的平分线所成的角为90°或55°. 4.∠1<∠3<∠2【解析】∠3=35°18'=35.3°，∠2= 3518=58°38≈58.63°.因为35.18°<35.3°<58.63°， 所以∠1<∠3<∠2.