专题15 线段的计算（计算题专项训练）数学沪科版2024七年级上册

专题15 线段的计算（计算题专项训练） 【适用版本：沪科版2024；内容预览：4类训练共40题】 训练1 线段计算—和差倍分 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．已知线段AB＝4，延长BA至点C，使AC＝11．点D是AC的中点，点E是BC的中点，求线段DE的长． 2．若线段AB＝12cm，M是AB的中点，D是AM的中点，MC＝2cm，求线段CD的长． 3．如图，点C是线段AB上的一点，且AC＜BC，M和N分别是AB和BC的中点，已知AC＝10，NB＝7，求线段MN的长度 ． 4．如图，已知点C在线段AB上，线段AC＝4，线段BC的长是线段AC长的两倍，点D是线段AB的中点，求线段CD的长． 5．如图，已知线段AB＝16，点C、D是线段AB上两点，，BC＝2CD，求线段AD的长． 6．如图，线段AB上有两点C，D，C，D，AC，BD的中点分别为E，F．若AB＝18，AD＝13，BC＝15，求线段EF的长． 7．如图，已知线段AB＝8cm，P是AB的中点，C、D分别是线段PA、PB上的点，且AC＝2PC，PD＝2BD，求线段CD的长． 8．如图，点B，E，C在线段AD上，AC＝3CD．B为AC靠近点A的三等分点，E是BD的中点．若CD＝2cm，求线段EC的长度． 9．如图，，D为AC的中点，若DC﹣BC＝1，求AB的长． 10．如图，C为线段AB上一点，D在线段AC上，且ADAC，E为BC的中点． （1）若AC＝6，BE＝1，求线段AB、DE的长； （2）试说明：AB+BD＝4DE． 训练2 线段计算—方程思想 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．如图，点C，O在线段AB上，AC：BC＝2：3，O是AB的中点，若AB＝20，求线段OC的长度． 2．如图，AB：BC：CD＝2：3：4，如果AB的中点M和CD的中点N的距离是24，求线段AD的长度 ． 3．如图，线段AB被分成AC：CD：BD＝2：3：4三部分，如果第一部分与第三部分中点的距离为MN＝4.2cm，求线段AB的长度． 4．如图，点C、D、E在线段AB上，若点C是线段AB的中点，DE＝5BE，CD：AB＝3：8，CE＝17，求线段AB的长度． 5．如图，点A、B、C、D在同一直线上，已知，且点E、F分别是AC、BD的中点，若EF＝8，求线段AF的长度． 6．如图，，求线段BE的长度． 7．如图，直线上有A、B、M、N、Q五点，点M是线段AB的三等分点，点N是线段AB的中点，点Q是线段AB延长线上一点，且AQ＝2AB﹣MQ，求的值． 8．如图，AB＝20cm，点C是线段AB延长线上一点，点M为线段AC的中点，在线段BC上存在一点N（N在M的右侧且N不与B、C重合），使得6MN﹣NB＝60cm且BN＝kCN，求k的值． 9．如图，点C在线段AB的延长线上，，点D在AB的反向延长线上，． （1）设线段AB长为x，请用含x的代数式表示BC和AD的长； （2）设AB＝12cm，求线段CD的长． 10．如图，线段AB＝18cm，AC：BD＝7：13，AD﹣DC＝3cm，点M、N分别是线段DC和线段BC的中点，求线段MN的长． 训练3 线段计算—分类讨论思想 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．点A，B，C是直线l上三点，如果点M是线段AB的中点，点N是线段BC的中点，若AB＝10，BC＝4，求线段MN的长度． 2．已知线段AB＝3cm，BC＝7cm，若A，B，C在同一条直线上，点D是线段BC的中点，求线段AD的长． 3．已知线段AB＝4cm，点C在直线AB上，且BC＝3cm，当P为线段BC的中点，求线段AP的长． 4．如图，点C是线段AB的中点，点N是线段AC上的点，把线段AC分为1：2的两部分．若线段AB的长为12，求线段BN的长度． 5．已知点C，D是线段AB上的两点，点M、N分别是线段AC，BD的中点，若AB＝28cm，CD＝12cm．求线段MN的长度． 6．线段AB＝18cm，点C在直线AB上，且，点M为BC的中点，求线段AM的长． 7．已知C、D是线段AB上两点，且，，若点M、N分别是线段AC、BD的中点，MN＝20，求线段AB的长． 8．一根绳子AB长为10cm，C，D是绳子AB上任意两点（C在D的左侧）．将AC，BD分别沿C，D两点翻折（翻折处长度不计），A，B两点分别落在CD上的点E，F处．当E，F两点间的距离为2cm时，求CD的长． 9．已知线段AB，反向延长线段AB至C，使AB＝tAC（t＞0），D为直线AB上一点，且，若AB：CD＝3：8，求t的值． 10．如图，C是线段AB的中点，D是线段AB的三等分点且在点C的左侧．设线段AB的长为a，若F是直线AB上一点，且，求线段DF的长． 训练4 线段计算—整体思想 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．如图，点C为线段AB上任意一点，点E，D分别为线段AC，BC上一点，且，．已知CE+DB＝a，则AB的长为 　　 ．（用含a的式子表示） 2．如图，点C、D是线段AB上的两点（点C在D的左侧），点E、F分别是线段AD和BC的中点，若AB＝10，CD＝2，则线段EF的长为 　 ． 3．如图，已知C，D两点在线段AB上，点M是线段AC的中点，点N是线段BD的中点，若MN＝18cm，CD＝10cm，求线段AB的长． 4．如图，线段AB上从左到右顺次有M，C，D，N四点，且AMAC，BNBD． （1）若AB＝16，CD＝7，求MN的长； （2）若AB＝a，CDMN，求CD的长．（用含a的式子表示） 5．如图，点B，C是线段AD上的两点，点M和点N分别在线段AB和线段CD上． （1）当AD＝8，MN＝6，点M，N分别是线段AB，CD的中点时，BC＝　 　 ； （2）若AD＝a，MN＝b，当AM＝2BM，DN＝2CN时，求BC的长度．（用含a和b的代数式表示） 6．如图，已知点C在线段AB上，且，． （1）若AC＝12，CB＝6，求线段MN的长． （2）若C为线段AB上任意一点，且满足AC+BC＝a，其他条件不变，求线段MN的长． 7．如图，A、B、C、D四点在同一直线上，M是AB的中点，N是CD的中点． （1）若MB＝3，BC＝2，CN＝2.5，则AD＝　 　 ． （2）若MN＝a，BC＝b，用a、b表示线段AD． 8．已知题目：“如图，线段AB上依次有M，C，D，N四个点，其中点M是线段AC的中点，点N是线段BD的中点，若线段AB＝28cm，线段CD＝8cm，求线段MN的长．”嘉淇说题目少条件，若给出AC＝8cm，就能求出MN的长；老师说题目不少条件，可以把MC+DN看作一个整体解题． （1）按照嘉淇的思路，求出MN的长； （2）按照老师的思路，给出解答过程． 9．如图，点C在线段AB上，M、N分别是AC、BC的中点． （1）若AC＝9cm，CB＝6cm，求线段MN的长； （2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB＝acm，其他条件不变，请猜想MN的长，并说明理由； （3）若点C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC＝bcm，M、N分别为AC、BC的中点，请猜想MN的长，画出图形，并说明理由． 10．如图1，已知点C在线段AB上，且AM：CM＝3：7，BNBC． （1）若AC＝20，BC＝10，求线段MN的长； （2）若C为线段AB上任意一点，且满足AC+BC＝a，其他条件不变，请写出线段MN的长，并说明理由； （3）如图2，若C为线段AB延长线上任意一点，且满足AC﹣CB＝b，AM：CM＝3：7，BNBC，请你猜想MN的长，写出你的结论，并说明理由． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 线段的计算（计算题专项训练） 【适用版本：沪科版2024；内容预览：4类训练共40题】 训练1 线段计算—和差倍分 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．已知线段AB＝4，延长BA至点C，使AC＝11．点D是AC的中点，点E是BC的中点，求线段DE的长． 【解答】解：由条件可知BC＝AB+AC＝15， ∴，， ∴DE＝CE﹣CD＝7.5﹣5.5＝2， 2．若线段AB＝12cm，M是AB的中点，D是AM的中点，MC＝2cm，求线段CD的长． 【解答】解：∵线段AB＝12cm，M是AB的中点， ∴AMAB12＝6（cm）， ∵D是AM的中点， ∴DMAM（cm）， ∵MC＝2cm， ∴CD＝DM+CM＝5（cm）， 3．如图，点C是线段AB上的一点，且AC＜BC，M和N分别是AB和BC的中点，已知AC＝10，NB＝7，求线段MN的长度 ． 【解答】解：∵N是BC的中点， ∴BN＝CN， ∴AB＝AC+2BN＝10+14＝24， ∵M是中点， 则BMAB＝12， ∴MN＝BM﹣BN＝12﹣7＝5， 4．如图，已知点C在线段AB上，线段AC＝4，线段BC的长是线段AC长的两倍，点D是线段AB的中点，求线段CD的长． 【解答】解：∵AC＝4，线段BC的长是线段AC长的两倍， ∴BC＝8， ∴AB＝AC+BC＝12， ∵点D是线段AB的中点， ∴ADAB＝6， ∴CD＝AD﹣AC＝6﹣4＝2， ∴ADAB＝6， ∴CD＝AD﹣AC＝6﹣4＝2． 5．如图，已知线段AB＝16，点C、D是线段AB上两点，，BC＝2CD，求线段AD的长． 【解答】解：∵AB＝16，， ∴， ∵BC＝2CD， ∴， ∴AD＝AC﹣CD＝10﹣3＝7． 6．如图，线段AB上有两点C，D，C，D，AC，BD的中点分别为E，F．若AB＝18，AD＝13，BC＝15，求线段EF的长． 【解答】解：∵AB＝18，AD＝13，BC＝15， ∴AC＝AB﹣BC＝18﹣15＝3，BD＝AB﹣AD＝18﹣13＝5， ∵AC，BD的中点分别为E，F， ∴AEAC3，BFBD5， ∴EF＝AB﹣AE﹣BF＝1814． 7．如图，已知线段AB＝8cm，P是AB的中点，C、D分别是线段PA、PB上的点，且AC＝2PC，PD＝2BD，求线段CD的长． 【解答】解：∵AB＝8cm，P是AB的中点， ∴AP＝BPAB＝4cm， ∵C、D分别是线段PA、PB上的点，且AC＝2PC，PD＝2BD， ∴CPAPcm，PDAPcm， ∴CD＝CP+PD4（cm）． 8．如图，点B，E，C在线段AD上，AC＝3CD．B为AC靠近点A的三等分点，E是BD的中点．若CD＝2cm，求线段EC的长度． 【解答】解：∵AC＝3CD，CD＝2cm， ∴AC＝3×2＝6（cm）， ∵B为AC靠近点A的三等分点， ∴（cm）， ∴BC＝AC﹣AB＝6﹣2＝4（cm）， ∴BD＝BC+CD＝4+2＝6（cm）， 又∵E是BD的中点， ∴（cm）， ∴EC＝BC﹣BE＝4﹣3＝1（cm）． 9．如图，，D为AC的中点，若DC﹣BC＝1，求AB的长． 【解答】解：∵， ∴， 又∵D为AC的中点， ∴， ∵DC﹣BC＝1， 即：， ∴AB＝8． 10．如图，C为线段AB上一点，D在线段AC上，且ADAC，E为BC的中点． （1）若AC＝6，BE＝1，求线段AB、DE的长； （2）试说明：AB+BD＝4DE． 【分析】（1）根据线段中点求出BC、CE长，求出AD、DC长，即可得出答案； （2）求出AB+BD＝AC+BC+BC+CD，求出AC＝3CD，BC＝2CE，代入即可得出答案． 【解答】解：（1）∵E为BC的中点，BE＝1， ∴BC＝2BE＝2，CE＝BE＝1， ∵AC＝6， ∴AB＝AC+BC＝6+2＝8， ∵ADAC，AC＝6， ∴AD＝4， ∴DC＝6﹣4＝2， ∴DE＝DC+CE＝2+1＝3； （2）∵AB＝AC+BC，BD＝BC+CD， ∴AB+BD＝AC+BC+BC+CD， ∵ADAC，E为BC的中点， ∴AC＝3CD，BC＝2CE， ∴AB+BD ＝3CD+2CE+2CE+CD ＝4CD+4CE ＝4（CD+CE） ＝4DE． 训练2 线段计算—方程思想 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．如图，点C，O在线段AB上，AC：BC＝2：3，O是AB的中点，若AB＝20，求线段OC的长度． 【解答】解：∵AC：BC＝2：3， ∴可设AC＝2x，BC＝3x，则AB＝AC+BC＝2x+3x＝5x， ∵AB＝20， ∴5x＝20， ∴x＝4，AC＝2x＝2×4＝8． 又∵点O是AB的中点， ∴OA， ∴OC＝OA﹣AC＝10﹣8＝2． 2．如图，AB：BC：CD＝2：3：4，如果AB的中点M和CD的中点N的距离是24，求线段AD的长度 ． 【解答】解：设AB，BC，CD的长分别为2x、3x、4x， ∵点M是AB中点，点N是CD中点， ∴，， ∵MN＝MB+BC+CN， ∴x+3x+2x＝24，解得 x＝4， ∴AD＝2x+3x+4x＝9x＝9×4＝36． 3．如图，线段AB被分成AC：CD：BD＝2：3：4三部分，如果第一部分与第三部分中点的距离为MN＝4.2cm，求线段AB的长度． 【解答】解：设AC＝2x，则CD＝3x，BD＝4x， ∴AB＝AC+CD+DB＝9x， 由题意可得：，． ∴， ∵MN＝4.2cm， ∴6x＝4.2． 解得x＝0.7， ∴AB＝9x＝6.3（cm）． 4．如图，点C、D、E在线段AB上，若点C是线段AB的中点，DE＝5BE，CD：AB＝3：8，CE＝17，求线段AB的长度． 【解答】解：设BE＝x， 则DE＝5BE＝5x， ∴BD＝6x， ∴CD＝BD﹣BC＝6x﹣17﹣x＝5x﹣17， ∵CD：AB＝3：8， ∴， ∵点C是线段AB的中点， ∴，即：， 解得：x＝7， ∴， 故答案为：48． 5．如图，点A、B、C、D在同一直线上，已知，且点E、F分别是AC、BD的中点，若EF＝8，求线段AF的长度． 【解答】解：设AB＝a， ∵ABAC， ∴AC＝3a，BC＝AC﹣AB＝2a， 又∵BCCD， ∴CD＝3a， ∵点E、F分别是AC、BD的中点， ∴AE＝CEACa，BF＝DFBDa， ∴EF＝AD﹣AE﹣DF＝6aaa＝2a＝8， 解得a＝4， ∴AF＝AD﹣DF＝6aaa＝14． 6．如图，，求线段BE的长度． 【解答】解：设AB＝12a，则ACAB＝3a，BDAB＝2a， ∵AE＝CD， ∴AC+CE＝CE+DE， ∴AC＝DE＝3a， ∵AB＝AC+CE+DE+BD＝12a， ∴3a+4+3a+2a＝12a， 解得a＝1， ∴BE＝BD+DE＝2a+3a＝5． 7．如图，直线上有A、B、M、N、Q五点，点M是线段AB的三等分点，点N是线段AB的中点，点Q是线段AB延长线上一点，且AQ＝2AB﹣MQ，求的值． 【解答】解：设AB＝6a， ∵点M是线段AB的三等分点，点N是线段AB的中点， ∴AMAB＝2a，AN＝BN3a， ∵AQ＝2AB﹣MQ，即AB+BQ＝2AB﹣MB﹣BQ， ∴6a+BQ＝12a﹣4a﹣BQ， ∴BQ＝a， ∴NQ＝NB+BQ＝3a+a＝4a， ∴4． 8．如图，AB＝20cm，点C是线段AB延长线上一点，点M为线段AC的中点，在线段BC上存在一点N（N在M的右侧且N不与B、C重合），使得6MN﹣NB＝60cm且BN＝kCN，求k的值． 【解答】解：设CN＝2xcm，显然x＞0， ∴BN＝kCN＝2kxcm， ∴BC＝BN+CN＝（2kx+2x）cm， ∵AB＝20cm， ∴AC＝AB+BC＝（20+2kx+2x）cm， ∵点M为线段AC的中点， ∴CMAC＝（10+kx+x）cm， ∴MN＝CM﹣CN＝（10+kx+x）﹣2x＝（10+kx﹣x）cm， ∵6MN﹣NB＝60cm， ∴6（10+kx﹣x）﹣2kx＝60， 整理得：（4k﹣6）x＝0， ∵x＞0， ∴4k﹣6＝0， 解得：k＝1.5． 9．如图，点C在线段AB的延长线上，，点D在AB的反向延长线上，． （1）设线段AB长为x，请用含x的代数式表示BC和AD的长； （2）设AB＝12cm，求线段CD的长． 【解答】解：（1）AC＝AB+BC， ∵ACBC，AB＝x，∴BC＝x+BC，∴BCx； ∵BDDC，CD＝BD+BC，∴2BD＝3BC， ∵BD＝AD+AB，∴2（AD+AB）＝3BC，即2（AD+x）x， ∴ADx． （2）∵AB＝x＝12cm， ∴CD＝AD+AB+BC x+xx x 12 ＝45（cm）． 10．如图，线段AB＝18cm，AC：BD＝7：13，AD﹣DC＝3cm，点M、N分别是线段DC和线段BC的中点，求线段MN的长． 【解答】解：设DC＝y， ∵AC：BD＝7：13， ∴设AC＝7x，BD＝13x， ∴AD＝AC﹣DC＝7x﹣y， ∵AB＝AD+BD＝18cm， ∴7x﹣y+13x＝18， ∴y＝20x﹣18， ∵AD﹣DC＝3cm， ∴7x﹣y﹣y＝3， 即7x﹣2y＝3， 将y＝20x﹣18代入7x﹣2y＝3，得：7x﹣2（20x﹣18）＝3， 解得：x＝1， ∴y＝20x﹣18＝2， ∴AC＝7cm，BD＝13cm，DC＝2cm， ∴BC＝BD﹣DC＝13﹣2＝11（cm）， ∵点M、N分别是线段DC和线段BC的中点， ∴MCDC＝1（cm），CNBC＝5.5（cm）， ∴MN＝MC+CN＝6.5（cm）． 训练3 线段计算—分类讨论思想 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．点A，B，C是直线l上三点，如果点M是线段AB的中点，点N是线段BC的中点，若AB＝10，BC＝4，求线段MN的长度． 【解答】解：可分两种情况： ①如图所示，当点B在线段AC上时， ∵点M为线段AB的中点，点N为线段BC的中点，AB＝10，BC＝4， ∴，， ∴MN＝MB+BN＝5+2＝7； ②如图所示，当点C在线段AB上时， ∵点M为线段AB的中点，点N为线段BC的中点，AB＝10，BC＝4， ∴，， ∴MN＝MB+BN＝5﹣2＝3， ∴MN的长为7或3． 2．已知线段AB＝3cm，BC＝7cm，若A，B，C在同一条直线上，点D是线段BC的中点，求线段AD的长． 【解答】解：如图1，当C点在B点的左侧时， 图1.， ADBC﹣AB7﹣3＝0.5cm； 如图2，当C点在B点的右侧时， 图2， AD＝ABBC＝37＝3+3.5＝6.5cm． 故答案为：0.5cm或6.5cm． 3．已知线段AB＝4cm，点C在直线AB上，且BC＝3cm，当P为线段BC的中点，求线段AP的长． 【解答】解：当点C在线段AB上时，AC＝AB﹣BC＝4﹣3＝1cm，P为BC的中点， 故，AP＝AC+PC＝1+1.5＝2.5cm； 当点C在线段AB的延长线上时，AC＝AB+BC＝4+3＝7cm，P为BC的中点， 故，AP＝AB+BP＝4+1.5＝5.5cm． 故答案为：2.5或5.5． 4．如图，点C是线段AB的中点，点N是线段AC上的点，把线段AC分为1：2的两部分．若线段AB的长为12，求线段BN的长度． 【解答】解：∵点C是线段AB的中点， ∴ACAB12＝6， 当AN：CN＝1：2时， ∴ANAC＝2， ∴BN＝AB﹣AN＝12﹣2＝10； 当AN：CN＝2：1时， ∴ANAC＝4， ∴BN＝AB﹣AN＝12﹣4＝8； 综上所述：线段BN的长度是8或10， 故答案为：8或10． 5．已知点C，D是线段AB上的两点，点M、N分别是线段AC，BD的中点，若AB＝28cm，CD＝12cm．求线段MN的长度． 【解答】解： ∵AB＝28cm，CD＝12cm， ∴AC+BD＝AB+CD＝28+12＝40（cm）， ∵M、N分别是线段AC，BD的中点， ∴MN＝MC+DN﹣CD（AC+BD）﹣CD＝20﹣12＝8（cm）， ∵AB＝28cm，CD＝12cm， ∴AC+BD＝AB﹣CD＝28﹣12＝16（cm）， ∵M、N分别是线段AC，BD的中点， ∴（cm）， ∴MN＝MC+DN+CD＝8+12＝20（cm）， 故答案为：8cm或20cm． 6．线段AB＝18cm，点C在直线AB上，且，点M为BC的中点，求线段AM的长． 【解答】解：分两种情况讨论： ①如图1所示：点C在线段BA的延长线上， ∵AB＝18，， ∴AB＝BC﹣AC ， ， BC＝27， ∵点M为BC的中点， ∴， ∴； ②如图2，点C在线段AB上， ∵AB＝18，， ∴AC+BC＝AB＝18， ， ， ， ∴， ∵M为BC中点， ∴， ∴AM＝AC+CM， 综上可知：AM的长为：或， 故答案为：或． 7．已知C、D是线段AB上两点，且，，若点M、N分别是线段AC、BD的中点，MN＝20，求线段AB的长． 【解答】解：设AB＝x，则AC，CDAC， ①当点D在点C的左边时， 则，， ∴，， ∴， 解得：AB＝x＝45， ②当点D在点C的右边时， 则，， ∴，， ∴， ∴AB＝x＝36， 故答案为：45或36． 8．一根绳子AB长为10cm，C，D是绳子AB上任意两点（C在D的左侧）．将AC，BD分别沿C，D两点翻折（翻折处长度不计），A，B两点分别落在CD上的点E，F处．当E，F两点间的距离为2cm时，求CD的长． 【解答】解：当AC+BD＜CD时，如图， 由于翻折，则AC＝CE，BD＝DF， 由图知2CE+2+2DF＝10（cm）， ∴CE+DF＝4cm， ∴CD＝CE+DF+EF＝4+2＝6（cm）； 当AC+BD＞CD时，如图， 则AE+BF﹣EF＝10cm，即2CE+2DF﹣2＝10（cm）， ∴CE+DF＝6cm， ∴CD＝6﹣2＝4（cm）； 综上，CD的长为6cm或4cm． 故答案为：6或4． 9．已知线段AB，反向延长线段AB至C，使AB＝tAC（t＞0），D为直线AB上一点，且，若AB：CD＝3：8，求t的值． 【解答】解：分两种情况讨论：①当点D在线段BA的延长线上时，如图所示： 设AB＝3x， ∵，AB：CD＝3：8， ∴BD＝4.5x，CD＝8x， ∴AD＝BD﹣AB＝4.5x﹣3x＝1.5x， ∴AC＝CD+AD＝8x+1.5x＝9.5x， ∵AB＝tAC， ∴； ②当点D在线段AB的延长线上时，如图所示： 设AB＝3x， ∵，AB：CD＝3：8， ∴BD＝4.5x，CD＝8x， ∴AC＝CD﹣AB﹣BD＝8x﹣3x﹣4.5x＝0.5x， ∵AB＝tAC， '， 综上可知：t的值为或6， 故答案为：或6． 10．如图，C是线段AB的中点，D是线段AB的三等分点且在点C的左侧．设线段AB的长为a，若F是直线AB上一点，且，求线段DF的长． 【解答】解：根据题意得：点F位于点A的左侧或点B的右侧， 当点F位于点A的左侧时，如图， ∵， ∴，即， ∵AB＝a，D是线段AB的三等分点且在点C的左侧． ∴，， ∴DF＝AD+AF＝a； 当点F位于点B的右侧时，如图， ∵， ∴，即， ∵AB＝a，D是线段AB的三等分点且在点C的左侧． ∴，， ∴； 综上所述，DF的长为a或． 训练4 线段计算—整体思想 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．如图，点C为线段AB上任意一点，点E，D分别为线段AC，BC上一点，且，．已知CE+DB＝a，则AB的长为 　　 ．（用含a的式子表示） 【解答】解：∵，， ∴，， ∵CE+DB＝a， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 2．如图，点C、D是线段AB上的两点（点C在D的左侧），点E、F分别是线段AD和BC的中点，若AB＝10，CD＝2，则线段EF的长为 　 ． 【解答】解：∵点E、F分别是线段AD和BC的中点， ∴AEAD，BFBC， ∴EF＝AB﹣AE﹣BF＝AB﹣（AE+BF）＝10（AD+BC）＝10（10+2）＝4， 故答案为：4． 3．如图，已知C，D两点在线段AB上，点M是线段AC的中点，点N是线段BD的中点，若MN＝18cm，CD＝10cm，求线段AB的长． 【解答】解：∵MN＝18cm，CD＝10cm， ∴MC+DN＝MN﹣CD＝18﹣10＝8（cm）， ∵点M是线段AC的中点，点N是线段BD的中点， ∴MCAC，DNDB， ∴AC+DB＝2MC+2DN＝2×8＝16（cm）， ∴AB＝AC+CD+DB＝16+10＝26（cm）． 4．如图，线段AB上从左到右顺次有M，C，D，N四点，且AMAC，BNBD． （1）若AB＝16，CD＝7，求MN的长； （2）若AB＝a，CDMN，求CD的长．（用含a的式子表示） 【解答】解：（1）设AM＝m，BN＝n，则AC＝3m，DB＝3n，MC＝2m，DN＝2n， ∵AB＝16，CD＝7， ∴3（m+n）+CD＝AB，即3（m+n）+7＝16， ∴m+n＝3， ∴MN＝CD+2（n+n）＝7+6＝13； （2）设AM＝m，BN＝n，则AC＝3m，DB＝3n，MC＝2m，DN＝2n， ∵AB＝a， ∴3（m+n）+CD＝a， ∴， ∵，即3CD＝MN， ∴3CD＝2（m+n）+CD，整理得CD＝m+n， 即， 整理得． 5．如图，点B，C是线段AD上的两点，点M和点N分别在线段AB和线段CD上． （1）当AD＝8，MN＝6，点M，N分别是线段AB，CD的中点时，BC＝　 　 ； （2）若AD＝a，MN＝b，当AM＝2BM，DN＝2CN时，求BC的长度．（用含a和b的代数式表示） 【解答】解：（1）由条件可知AM+DN＝AD﹣MN＝8﹣6＝2， ∵点M，N分别是线段AB，CD的中点时， ∴AM＝BM，CN＝DN， ∴AB+CD＝2AM+2DN＝4， ∴BC＝AD﹣（AB+CD）＝8﹣4＝4， 故答案为：4． （2）由条件可知AM+DN＝AD﹣MN＝a﹣b， ∵AM＝2BM，DN＝2CN， ∴， ∴． 6．如图，已知点C在线段AB上，且，． （1）若AC＝12，CB＝6，求线段MN的长． （2）若C为线段AB上任意一点，且满足AC+BC＝a，其他条件不变，求线段MN的长． 【解答】解：（1）因为，，AC＝12，CB＝6， 所以，． 所以AB＝AC+BC＝12+6＝18． 所以MN＝AB﹣AM﹣NB＝18﹣4﹣2＝12． （2）因为，，AC+BC＝a， 所以：， MN＝AB﹣（AM+BN）a， 所以，线段MN的长为a． 7．如图，A、B、C、D四点在同一直线上，M是AB的中点，N是CD的中点． （1）若MB＝3，BC＝2，CN＝2.5，则AD＝　 　 ． （2）若MN＝a，BC＝b，用a、b表示线段AD． 【解答】解：（1）∵M是AB的中点，N是CD的中点， ∴AB＝2MB＝6， CD＝2CN＝5， ∴AD＝AB+BC+CD＝6+2+5＝13， 故答案为：13； （2）∵M是AB的中点，N是CD的中点， ∴AM＝MBAB，CN＝NDCD， ∵MN＝MB+BC+CN＝a， ∴MB+CN＝MN﹣BC＝a﹣b， ∴AB+CD＝2MB+2CN＝2（a﹣b）， ∴AD＝AB+BC+CD＝2a﹣2b+b＝2a﹣b． 8．已知题目：“如图，线段AB上依次有M，C，D，N四个点，其中点M是线段AC的中点，点N是线段BD的中点，若线段AB＝28cm，线段CD＝8cm，求线段MN的长．”嘉淇说题目少条件，若给出AC＝8cm，就能求出MN的长；老师说题目不少条件，可以把MC+DN看作一个整体解题． （1）按照嘉淇的思路，求出MN的长； （2）按照老师的思路，给出解答过程． 【解答】解：（1）∵点M是线段AC的中点，AC＝8cm， ∴MCAC＝4（cm）， ∵AB＝28cm，CD＝8cm， ∴BC＝AB﹣AC＝28﹣8＝20（cm）， ∴BD＝BC﹣CD＝20﹣8＝12（cm）， ∵点N是线段BD的中点， ∴DNBD＝6（cm）， ∴MN＝MC+CD+DN＝4+8+6＝18（cm） （2）∵AB＝28cm，CD＝8cm，AC+CD+DB＝AB， ∴AC+BD＝AB﹣DC＝28﹣8＝20（cm）， ∵点M是线段AC的中点，点N是线段BD的中点， ∴，， ∴MC+DNACDB＝10（cm）， ∴MN＝MC+CD+DN＝18（cm）． 9．如图，点C在线段AB上，M、N分别是AC、BC的中点． （1）若AC＝9cm，CB＝6cm，求线段MN的长； （2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB＝acm，其他条件不变，请猜想MN的长，并说明理由； （3）若点C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC＝bcm，M、N分别为AC、BC的中点，请猜想MN的长，画出图形，并说明理由． 【解答】解：（1）∵M、N分别是AC、BC的中点， ∴CMAC，CNBC， ∵AC＝9cm，CB＝6cm， ∴CM＝4.5cm，CN＝3cm， ∴MN＝7.5cm； （2）∵M、N分别是AC、BC的中点， ∴CMAC，CNBC， ∴MN＝CM+CN（AC+CB）， ∵AC+CB＝acm， ∴MNa cm； （3）， ∵M、N分别是AC、BC的中点， ∴CMAC，CNBC， ∴MN＝CM﹣CN（AC﹣BC）， ∵AC﹣BC＝bcm， ∴MNb cm． 10．如图1，已知点C在线段AB上，且AM：CM＝3：7，BNBC． （1）若AC＝20，BC＝10，求线段MN的长； （2）若C为线段AB上任意一点，且满足AC+BC＝a，其他条件不变，请写出线段MN的长，并说明理由； （3）如图2，若C为线段AB延长线上任意一点，且满足AC﹣CB＝b，AM：CM＝3：7，BNBC，请你猜想MN的长，写出你的结论，并说明理由． 【解答】解：（1）∵AM：CM＝3：7， ∴可设AM＝3x，CM＝7x， ∴AC＝AM+CM＝3x+7x＝10x， ∵AC＝20， ∴10x＝20， 解得：x＝2， ∴CM＝7x＝14， ∵BNBC，BC＝10， ∴BN3， ∴CN＝BC﹣BN＝10﹣3＝7， ∴MN＝CM+CN＝14+7＝21； （2）∵AM：CM＝3：7， ∴可设AM＝3x，CM＝7x， ∴AC＝AM+CM＝3x+7x＝10x， ∵BNBC， 设BN＝3y，则BC＝10y， ∴CN＝BC﹣BN＝10y﹣3y＝7y，AC+BC＝10x+10y＝10（x+y）， 又∵AC+BC＝a， ∴10（x+y）＝a， ∴x+ya， ∴MN＝CM+CN＝7x+7y＝7（x+y）a； （3）猜想：MNb，理由如下： ∵AM：CM＝3：7， ∴可设AM＝3a，CM＝7x， ∴AC＝AM+CN＝3x+7x＝10x， ∵BNBC， ∴可设BN＝3y，BC＝10y， ∴CN＝BC﹣BN＝10y﹣3y＝7y，AC﹣CB＝10x﹣10y＝10（x﹣y）， 又∵AC﹣CB＝b， ∴10（x﹣y）＝b， ∴x﹣yb， ∴MN＝CM﹣CN＝7x﹣7y＝7（x﹣y）b． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $