1.4 有理数的加减-【学海风暴】2026-2027学年七年级上册数学同步备课（沪科版·新教材）

1.4有理数的加减 1.4.1 有理数的加法 第1课时有理数的加法法则 有理数的加法法则：(1)同号两数相加，取加数的符号，并把绝对值相加 (2)异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值 减去较小的绝对值」 (3)一个数与0相加，仍得这个数 已课内基础闯关 已课外拓展提高 知识点① 有理数的加法 6.古代数学文化中国人最先使用负数，魏晋 1.根据有理数加法法则，计算（一2）十（一3）的 时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》 过程正确的是 中，用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工 A.+(3+2) B.+(3-2) 具)分别表示正数和负数（红色为正，黑色为 C.-(3+2) D.-(3-2) 负).图①表示的是（十2）十（一2），根据这种 2.大于一4.6且小于3.1的整数的和为( 表示法，可推算出图②中所得的数值是 A.0 B.-4 C.-1 D.-3 3.计算：(1)(-23.5)+0= 红色黑色 红色 (2(+108)+(-10.125)= 知识点② 有理数加法的实际应用 图① 图② 4.下列问题情境，不能用加法算式一2十10表 第6题图 示的是 ( ) 7.(1)比较大小： A.水位先下降2cm,再上升10cm后的水位 ①-2+13 |-2+31. 变化情况 ②4|+|3 4+31. B.某日最低气温为一2℃，温差为10℃，求 ③ +- 该日最高气温 ④-5|+10 1-5+01 C.用10元纸币购买2元文具后找回的零钱 (2)通过(1)中的大小比较，猜想并归纳出 D.数轴上表示一2与10的两个点之间的距离 |a|+|b与a+b|的大小关系，并说明a,b 易错点计算时考虑问题不全而漏解 满足什么关系时，a|+|b|=|a+b成立. 5.逆向思维马小哈在计算|（一3）十■ 时，一不小心将墨水泼在作业本上了，其 中“■”是被墨水污染看不清的一个数， 他便问同桌，同桌故弄玄虚地说：“该题 计算的结果等于6”，那么被墨水遮住的 数是 七年级数学HK版 第2课时有理数的加法运算律及应用 要固梳理 有理数的加法运算律：加法交换律，即a十b=b十a;加法结合律，即(a十b)十c=a十(b十c). 色课内基础闯关 知识点② 加法运算律的实际应用 知识点①有理数的加法运算律 5.一架升降机，第一次上升5m,第二次上升 1.下列变形中，运用运算律正确的是 ( 6m,第三次下降4m,第四次下降9m,这时 A.2+(-1)=1+2 升降机在初始位置的 () B.3+(-2)+5=(-2+5)-3 A.上方24m B.下方24m C.[6+(-3)]+5=[6+(-5)]+3 C.上方2m D.下方2m 6.某病人每天下午需要测量血压，该病人上周 D.写+(-2)+(+号)=（写+）+(-2) 日收缩压为120mmHg,下表是该病人这周 2.(教材变式)运用加法结合律计算31十( 每天与前一天相比，收缩压的变化情况，则 22)十（一8）正确的下一步是 本周五的收缩压是 mmHg. A.31+[(-22)+(-8)] 时间 周一 周二 周三 周四 周五 B.31-[(-22)+(-8)] 收缩压增 +20 -30 -25 +15 +30 C.31+(22+8) 减/mmHg D.31+[22+(-8)] 3.若a,b互为相反数，则（一2026）十a+2025 易错点 拆写带分数时出现符号错误 +b= 7.观察以下计算过程： 4.计算： 2+2+(-) (1)(-13)+(+12)+(-7)+(+18) =-2+2+2+号+(-》 1 (2)(-2.39)+(+5.57)+(-7.61)+ 第一步 (-0.57) 55 66 第二步 (3(-32)+(+)+(-0.5)++36 =0.第三步 以上计算过程是否正确？如果不正确， 指出错在哪一步，并改正. 上册第1章 9△ 已课外拓展提高 12.(教材变式)用简便方法计算： 某产粮专业户出售余粮10袋，每袋质量 8.计算0.75+(-)+0.125+(-号)+十 (单位：kg)如下： 199,201,197,203,200,195,197,199, (一4日)的结果是 202,196. A.6 B-65 C.62 n-5号 (1)如果每袋余粮以200kg为标准质量，那 么这10袋余粮总计超过多少千克或者不 9.情境应用如图，小李在某运动软件中，设定 足多少千克？ 了每天的步数目标为8000.该软件用目标线 (2)这10袋余粮一共多少千克？ 上方或下方的柱状图表示每天超过或少于 目标数的步数，则从2日到5日这四天中，小 李一共走的步数为 758 A.33040 550 B.34776 5日目标数：8000步 C.32040 4日 500 368 D.32000 第9题图 已综合能力提升 10.已知a十c=一2025，b+(-d)=2026,则 13.(1)将-4，一3，-2，-1,1,2,3,4这8个数 a+b+c+(-d)= 分别填入图①的方阵图中(0已给出)，使得 11.使用简便方法计算. 每行、每列、斜对角的三个数之和都相等. (1)23+(-17)+6+(-22): (2)根据图②中给出的数，对照图①中的填 (2)(-6.35)+(-1.4)+(-7.6)+5.35. 写，也使得每行、每列、斜对角的三个数之 和都相等. 3(-8)+(-)+2+(-): (3)现在将-1,2，一3,4，一5,6，一7,8分别 (④)38+(-1.75)+28+(+1.75)十 填入图③中的圆圈内，使横、竖以及内外两 圈上的4个数之和都相等，老师已经帮助 -) 同学们完成了部分填空，则a十b的值为 0 2 图① 图② 6 d 图③ 七年级数学HK版 1.4.2有理数的减法 要固梳理 有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a一b三a十（一b). 色课内基础闯关 7.分类讨论思想已知a=8,|b|=6. 知识点① 有理数的减法 (1)若a,b同号，求a-b的值 (2)若a,b异号，求a一b的值. 1.关于有理数的减法法则，理解错误的是 A.有理数减法的实质是把减法转化为加法 B.被减数与减数可以任意交换位置 C.两个有理数相减，差仍为有理数 D.当被减数小于减数时，差是负数 2.计算2一3的结果是 ( A.-1B.-3 C.1 D.3 3.计算3一（一3）的结果等于 知识点②有理数减法的实际应用 ( A.-6 B.0 C.3 D.6 8.跨语文学科“横看成岭侧成峰，远近高低各 不同”反映了庐山连绵起伏的自然景观.庐 变式题直接求两数相减的结果→已知两 山主峰汉阳峰的海拔为1474m,庐山南麓的 数相减的结果，求减数 长江沿岸最低海拔高度为一2m,则这两处 已知（一5）一口=一7，则“□”是 的海拔相差 A.1460m B.1472m 4.下列说法中，错误的是 C.1476m D.1494m A.减去一个负数等于加上这个数的相反数 9.海中一潜艇所在高度为一30m,此时观察到 B.两个负数相减，差仍为负数 海底一动物位于潜艇的正下方30m处，则 C.负数减去正数，差为负数 该动物的高度为 m. D.正数减去负数，差为正数 10.跨物理学科仔细观察资料卡中的信息，水 5.计算： 银的凝固点比酒精的凝固点高多少摄 (1)(+3)-(-8)= 氏度？ (2)(-7)-(-7)= 凝固点/℃沸点/℃ (3)(-3.4)-(+2.6)= 水 0 100 水银-38.83 357 6.观察下面的计算，它正确吗？若不正确，请 酒精-117 78 给出正确的解答过程。 (-2.5)-(+2.5)=(-2.5)+2.5=0. 上册第1章 已课外拓展提高 -0 16.已知M是一5的相反数减去一12的绝对 11.（2025一2026准北检测)下列运算正确的是 值的差，N是比一8大5的数. ( (1)求：①M-N的值； A.-(-4)-5=-9 ②N-M的值. B.(-8)-1-2|=-10 (2)从上述的计算结果中，你知道M一N与 N一M之间有什么关系吗？ C.-(+)-(-)=-2 D.|-51-(-5)=0 12.情境应用如图，根据乐谱中的信息，确定 “☐”和“△”的值，并计算“☐一△”的结果 为 3 第12题图 色综合能力提升 A.g B.2 C.g 3 D.- 17.数形结合思想数轴上线段的长度可以用 13.设[x]表示不超过x的整数中最大的整数， 线段端点表示的数进行减法运算得到.如 如[1.99]=1，[-1.02]=-2，则[-2.4] 下图，线段AB=0-(-1)=1;线段BC=2 -[-0.6]= -0=2;线段AC=2-(-1)=3. 14.(教材变式)中国某比赛开幕式于某天上午 A B C -2 -101234 10时开始，在马德里留学的乐乐准时观看 (1)数轴上点M,N代表的数分别为一9和 了直播.已知北京时间的中午12时是马德 1,则线段MN= 里的凌晨5时，那么直播开始时马德里时 (2)数轴上点E,F代表的数分别为一6和 间为 一3，则线段EF= 7 15.某同学在计算一38一V时，误将一N看 (3)数轴上的两个点之间的距离为5，其中 一个点表示的数为2，求另一个点表示 成了十N,从而算得结果为5子请你帮助 的数. 他算出正确结果。 412 七年级数学HK版 1.4.3加、减混合运算 要闾梳理 有理数的加、减混合运算：在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数的减法法则，把减法都转化成加法， 并写成省略括号和加号的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化. 已课内基础闯关 (4)(+0.125)-(-3)+(-38） 知识点①有理数的加、减法统一成加法 1.把（一2）一(+3)一（一5）+（一4）统一为加 (-103)-(+1.25). 法运算，正确的是 A.(-2)+(+3)+(-5)+(-4) B.(-2)+(-3)+(+5)+(-4) C.(-2)+(+3)+(+5)+(+4) D.(-2)+(-3)+(-5)+(+4) 知识点③ 有理数的加、减混合运算的实际应用 2.把算式（一6）-（十4）+(-8)-(-3)写成 6.情境应用小明在线上商城购买学习用品， 省略加号和括号的形式为 结账后得到如图所示的小票，其中包装费和 A.-6+4-8-3 B.-6-4-8+3 优惠券的费用被污染了.根据小票信息，你 C.-6-4+8-3 D.-6+4-8十3 认为包装费和优惠券分别可能为 知识点②有理数的加、减混合运算 A.2元和50元 商品总金额 ￥212.60 3.下列各式的运算结果等于3的是 配送费 +￥0.00 B.2元和52元 包装费 +￥ A.(-2)-(-9)+(+3)-(-1) 优惠券 - C.3元和53元 B.0-1+2-3+4-5 实际支付 ￥164.60 D.4元和51元 第6题图 C.4.5-2.3+2.5-3.7+2 7.有一个水库某天8：00的水位为一0.1m(以 D.-2-(-7)+(-6)+0+(+3) 警戒线为基准，记高于警戒线的水位为正). 4.计算：-（-1)+2-(+5)= 在以后的6个时刻测得的水位升降情况如 5.计算： 下（记上升为正，下降为负，单位：m):0.5, (1)(+1.2)-(-2.3)+(-3.2). 一0.8,0，-0.2，-0.3,0.1.经过6次水位 (2)(-3)+40+(-32)+(-8). 升降后，水库的水位超过警戒线了吗？ (35日+(-)+(+1号)+(-&.25. 上册第1章 13△ 已课外拓展提高 (3)一题多解法若小林跑步的平均速度为 8.情境应用如图所示的是一种转盘型密码锁， 240m/min,求本周内小林用于跑步的时间. 每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固 定盘上的标记线对齐，再依据三个密码按顺 时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘即可 解锁.已知按顺时针方向转动m个小格记为 “-一m”,按逆时针方向转动n个小格记为“十 n”.若密码为“一7，十15，一3”，则顺利开锁 时，标记线对准的刻度线表示的数是( ) A.5 B.10 C.30 D.35 4 b 已综合能力提升 d e 12.应用意识在活动课上，李老师邀请小明、 第8题图 第10题图 小宇玩一个游戏，规则为每人每次抽取四 2 9.新定义题 若 表示运算x一y十之十， 张卡片，以0为基础，若抽到方块卡片，则 y 加上卡片上的数；若抽到黑桃卡片，则减去 -2 则 3 的值为 卡片上的数.比较两人所抽四张卡片的计 3-6 算结果，结果较小的同学为同学们表演节 10.（2025一2026宜兴期末)如图，a,b,c,d,e, 目.小明抽到如图①所示的四张卡片，小宇 ∫均为有理数，图中各行、各列及两条对角 抽到如图②所示的四张卡片，则小明、小宇 线上三个数的和都相等，则a一b十c一d+ 谁会为同学们表演节目？ e一f的值为 11.小林积极参加体育锻炼，天天坚持跑步，他 ⑧®® 每天以1000m为标准，超过的部分记作正 图① 数，不足的部分记作负数.下表是一周内小 E囹图② 林跑步情况的记录： 图② 星期 一 二 四 六 跑步情 +420+460-100-210-330+2000 况/m (1)星期三小林跑了多少米？ (2)小林跑步最少的一天跑了多少米？跑步 最多的一天比最少的一天多跑了多少米？ 14 七年级数学HK版(2)由(1)可得，这5盒牛奶每100毫升牛奶含蛋白质 的误差如下： ①|-0.31=0.3<0.6：②1-0.8|=0.8>0.6； ③1+0.5|=0.5<0.6：④|+0.1|=0.1<0.6： ⑤1+0.3|=0.3<0.6. 所以这5盒牛奶中①③④⑤合格，②不合格. 1.3有理数的大小 1.解：在数轴上标出各数如图. 根据数轴特点可得，-8<-<2<十3<5日 2.A变式题D 3.解：(1)因为|-9|=9，|-4|=4,9>4，所以-4>-9. (2)因为|一0.05=0.05,0.05>-0.5，所以|-0.05 >-0.5 1 (3)因为 =0.25,-0.22=0.22, 4 1 0.25>0.22,所以-4<-0.2. (4)因为-(+7.3)=-7.3，+(-7)=-7,1-7.3= 7.3,-7=7,且7.3>7， 所以一(+7.3)<+（一7） (6)因为1的相反数为-1号， 1 的相反数为-21 21 4 6242110524、105 -20'-4=-20,-20> 201 所以1号的相反数一1号>号的相反数-升 1、21 41 4.C5.A 6.B【解析】数轴上点A,B,C,D在数轴上表示的数距 离原点越近，其绝对值越小， 所以绝对值最小的数对应的点是B. 7.D【解析】因为a<0,b>0,且a>b,所以将有理 数a,b,一a,一b在数轴上表示，如图，所以a<一b<b <-a. -b0 b-a ◆一题多解法 因为a<0,b>0,且|a>|b|,所以可取a=-2, b=1,则-a=2,-b=-1.因为-2<-1<1< 2,所以a<-b<b<-a. 8.丁【解析】因为|-0.1|<|+0.5|<|+1|<|-2|， 所以最接近标准质量的球是丁球。 9.解：(1)在数轴上表示如图. 4-250+153 42024 -4<-2.5<0<+1.5<+3. 个2 七年级数学HK版 (2)因为一41=4,10|=0,1十3|=3，-2.51= 2.5,1+1.51=1.5, 所以抽取①号卡片，能使这张卡片上的数的绝对值最 大，最大值是4. 10.解：(1)2-3.5 (2)绝对值小于a的所有整数为一1,0,1；大于b的所 有负整数为一3，一2，一1. (3)在数轴上表示如图. 3520L 432寸0十支3一 1 0>- 2>-2>-3.5. 11.解：(1)由图可得，b<-1<a<1. (2)点B向右移动3个单位长度后，a,b,一1的大小 关系为-1<a<b. 1.4有理数的加减 1.4.1有理数的加法 第1课时有理数的加法法则 1.C2.B3.(1)-23.5(2)0 4.D5.-3或9 6.一3【解析】由题意可知，所得的数值是(+3)+（一6） =-3. 7.解：(1)①>②=③=④= (2)|a+|b|与|a+b|的大小关系：|a+b|<|a|+ 1b1或|a+b1=|a|+1b1. a,b同号或a,b中至少有1个值为0时，a|十|b|= a++b. 第2课时有理数的加法运算律及应用 1.D2.A3.-1 4.解：(1)原式=[(+12)+(+18)]+[(-13)+(-7)] =30+(-20)=10. (2)原式=[(+5.57)+(-0.57)]+[(-7.61)+ (-2.39)]=5+(-10)=-5. (8)原式-(-32-0.6)+(++3日)+言-4 44 +4+5=51 5.D6.130 7.解：不正确错在第-步.改正：-22+2号+(-君) =(-2)+(-)+2+3+(-)=[(-2)+2]+ [(-2)+3+(-)]=-1. 8.B9.A10.1 11.解：(1)原式=(23+6)+[(-17)+(-22)]=29+ (-39)=-10. (2)原式=[(-6.35)+5.35]+[(-1.4)+(-7.6) =(-1)+[-(1.4+7.6)]=(-1)+(-9)=-10. 3)原式=[(-2)+]+[(-8)+(-)]-1 +(-1)=0. (4原式=(3+28）+[(-1.75)+(+1.75]+ (-名)=6+0+(-)9 12.解：(1)以200kg为标准质量，超过200kg的部分记 作正数，不足200kg的部分记作负数，则这10袋余粮 对应的数分别为-1，+1，一3，十3,0，-5，-3，-1， +2,一4，所以（一1）+(+1)+（一3）+(+3)+0+ (-5)+(-3)+(-1)+(+2)+(-4)=-11(kg). 故这10袋余粮总计不足11kg. (2)200×10+(-11)=2000-11=1989(kg). 故这10袋余粮一共1989kg 13.解：(1)(2)示例：如图①、图②所示 -3 -5 2 -3 -6 图① 图② (3)-3或-6 【解析】(3)因为横、竖及内外两圈上的4个数字之和 都相等，一1+2+（一3）+4+(-5)+6+（一7）十8= 4,所以内外两圈的和是2，横、竖的和也是2，则一7十 6+b+8=2,得b=-5;6+4+b+c=2,得c=-3;a +c+4+d=2,a十d=1.当a=-1时，d=2,则a+ b=-1+(-5)=-6;当a=2时，d=-1,则a+b= 2+(-5)=-3. 综上所述，a+b的值为-3或-6. 1.4.2有理数的减法 1.B2.A3.D变式题24.B 5.(1)11(2)0(3)-6 6.解：不正确.正确的解答过程如下： (-2.5)-(+2.5)=(-2.5)+(-2.5)=-5. 7.解：因为a=8,|b|=6, 所以a=士8，b=士6. (1)当a=8,b=6时，a-b=8-6=2; 当a=-8,b=-6时，a-b=-8-(-6)=-2. 综上，a一b的值为2或一2. (2)当a=8,b=-6时，a-b=8-(-6)=14; 当a=-8,b=6时，a-b=-8-6=-14. 综上，a一b的值为14或一14. 8.C【解析】由题意可知，两处的海拔相差1474一(-2) =1476(m). 9.-60【解析】由题意，得-30-30=(-30)十（一30） =-60(m). 10.解：-38.83-(-117)=78.17（℃）. 答：水银的凝固点比酒精的凝固点高78.17℃. 11.B12.C 13.一2【解析】根据题意，得[一2.4]一[一0.6]=一3一 (-1)=-3+1=-2. 14.凌晨3时【解析】因为北京时间的中午12时是马德 里的凌晨5时，以北京与马德里的时差为7时.10时 一7时=3时，即直播开始时马德里时间为凌晨3时. 15.解：根据题意，得N=5受-(-38)=5受+3了 3 。7 9号则正确结果为-3日-0号=-(3号+9） 7 5 、7 1 =一132 16.解：(1)由题意可知，M=-(-5)-|-12|=5-12= -7,N=-8+5=-3. ①M-N=-7-(-3)=-4. ②N-M=(-3)-(-7)=-3+7=4. (2)因为M-N+N-M=0,所以M-N与N-M 互为相反数. 17.解：(1)10(2)3 (3)设另一个点表示的数为m. 由题意可得，m一2=5或m-2=-5, 解得m=7或一3， 所以另一个点表示的数为7或一3. 1.4.3加、减混合运算 1.B2.B3.C4.-2 5.解：(1)原式=1.2+2.3-3.2=0.3. (2)原式=-3+40-32-8 =-3. （3原式=5写-075+1号-825 =(6合+1号)-0.75+8.25) =7-9 =-2. (0原式=0.125+3是-3日+10号-1.25 =(0.125-38)+(3是-1.25)+10号 =-3+2.5+103 =106 6.A 7.解：-0.1+0.5+(-0.8)+0+(-0.2)+(-0.3)+ 0.1=-0.8(m). 故水库的水位没有超过警戒线 8.A【解析】一7+15一3=5，则标记线对准的刻度线表 示的数是5. -23 9.一8【解析】由题意可知， 的值为一2一3十 3-6 (-6)十3=-8. 上册详解详析 3 10.7【解析】由题意，得4-1十a=d+3十a,解得d =0. 因为4+b十0=b+3+c,所以c=1. 因为4-1十a=a+1+f, 所以f=2, 所以a一1+4=4+3+2，b+3+1=4+3+2,一1+3 +e=4+3+2, 所以a=6,b=5,e=7, 所以a-b+c-d+e-f=6-5+1-0+7-2=7. 11.解：(1)1000-100=900(m), 所以星期三小林跑了900m. (2)小林跑步最少的一天跑了1000-330=670(m), 跑步最多的一天比最少的一天多跑了460-（一330） =790(m). (3)小林星期一跑了1000十420=1420(m), 星期二跑了1000十460=1460(m), 星期三跑了1000-100=900(m), 星期四跑了1000-210=790(m), 星期五跑了1000-330=670(m), 星期六跑了1000+200=1200(m), 星期日跑了1000+0=1000(m), 所以本周内小林用于跑步的时间是(1420十1460十 900+790+670+1200+1000)÷240=31(min). 一题多解法《 (3)(+420)+(+460)+(-100)+(-210)+ (-330)+(+200)+0=440(m), (1000×7+440)÷240=7440÷240=31 (min), 所以本周内小林用于跑步的时间是31min. 12解：小明：0+(-5)+(-）-号-(-3) =-5+(-2)-号+3 =-2+[(-)] =-2-6 1 一361 小字：0-(-4)+(-)-+(-5) =4+(-5+[(-)】 201 =器 =-品 因为-3。<-2品 11 所以小明会为同学们表演节目. 七年级数学HK版 方法技巧专题有理数加减混合运算 中的技巧 1.解：(1)原式=[(+5)+(+4)]+[(-6)+(-7)+ (-8)]=(+9)+(-21)=-12. (2)原式=(0.36+0.14十0.5)+[(-7.4)十(-0.6)] =1十(-8)=-7. 2.解：(1)原式=(0.85-1.85)十(0.75-2.75)+3 =-1-2+3 =0. (2)原式=(-3号-16) 3 +(12.5+2.5) =-20+15 =-5. 8)原式=(-4-2)+(38+1)=-7+5 -2. 3.解：(1)原式=-2.4+(-4.7)+0.4+(-3.3) =-(2.4-0.4)-(4.7+3.3) =-2-8 =-10. (2原式=1号+10+日-10号-10号 =(专+)+(-号-10)+(10安-10》 =2+(一11)+0 =-9. 4解：1原式=-1+1号-2+3号-1月 =(1}-1+3)+(-12-22) (2)原式-(+2安+4名-5）+(-5-？) =(+2g+4-5)+(-13 =2-13 =-11. 5.解：(1)原式=2+(2-4)+(6-8)+(10-12)+…+ (98-100》 =2+25×(-2) =-48. (2)原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)十…+(66 67-68+69) =0+0+…+0 =0. 6.解：(1)π-3.14 1+11,11 11 (2)原式=1-5+5-6+6-7+…+1819