专题3.3 勾股定理的简单应用（暑假预习讲义）2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题3.3 勾股定理的简单应用 【本节预习目标】 1.知识技能：能将生活、立体、几何实际问题抽象为直角三角形，熟练运用勾股定理及逆定理求解线段长度、判断垂直关系。 2.思想方法：掌握建模、转化、数形结合、分类讨论四大数学思想；学会立体转平面、折线转直线的解题转化技巧。 3.素养目标：能解决传统文化、航海物理、生活工程类情境题；会分析最短路径、范围影响、折叠动态综合问题，提升几何直观与逻辑推理素养。 4.应用拓展：会用勾股定理逆定理判定直角，结合轴对称解决最值，探究勾股衍生图形面积规律。 【前置旧知回顾】 旧知识点 核心公式/结论 本节作用 勾股定理 中，直角边，斜边，则 所有应用题计算核心依据 勾股定理逆定理 三角形三边满足，则该三角形为直角三角形 判断垂直、判定危险/影响范围 轴对称性质 对称轴上的点到对称两点距离相等 将军饮马最短路径模型基础 两点之间线段最短 平面内两点连线为最短距离 立体展开、折线最值理论依据 方位角基础 东北、东南、正南正北夹角为 航海、台风方位直角构造 长方形/圆柱展开 立体侧面可平铺为平面矩形 蚂蚁爬行立体最短路径转化 知识点1:平面生活类实际应用（直角三角形建模） 1.解题通用步骤 （1）读题提取长度、垂直、方位等条件，画出几何草图； （2）识别或作高构造直角三角形； （3）设未知线段为，根据勾股定理列一元一次方程； （4）解方程，检验长度为正数，写出实际问题答案（带单位）。 2.经典模型分类 古算模型：折竹、引葭、开门、秋千（设折断/出水部分为，总长用表示斜边）； 工具模型：梯子滑动、旗杆绳、小巷梯子（梯子长度不变，斜边恒定）； 方位模型：航海、台风（南北/东西方向夹角，直接构成直角）； 垂直判定模型：道路选址、爆破安全（逆定理判断直角，垂线段最短求最短距离）。 3.勾股逆定理用途 ①判断两条直线是否垂直；②求点到直线最短垂距；③判断区域是否受台风/噪音影响。 知识点2:最短路径两大核心模型 模型A平面折线最短（将军饮马·轴对称转化） 1.适用场景：两定点在定直线同侧，直线上找动点使两线段和最小； 2.操作流程：作其中一点关于直线的对称点连接对称点与另一定点线段长即为最小值； 3.原理：轴对称等长转化，折线直线，两点之间线段最短。 模型B立体表面最短（化曲为直·展开转化） 1.圆柱缠绕问题 一圈最短：侧面展开矩形，底面周长为一条直角边，圆柱高为另一条； 多圈缠绕：总水平长度=底面周长×圈数，竖直高度为圆柱高，再用勾股求斜边。 2.长方体表面爬行 需分3种展开方式：分别合并长+宽、长+高、宽+高作为一条直角边，另一条棱为直角边； 计算三种路径平方，数值最小即为最短距离（无需开方对比，简化计算）。 知识点3:综合拓展：图形面积与动态折叠 1.直角三角形三边向外作正方形/半圆/等腰直角三角形：两直角边上图形面积之和=斜边上图形面积（）； 2.折叠问题核心：折叠前后对应边、对应角相等，隐藏相等线段，结合勾股列方程； 【基础巩固题型】 【题型1古算传统文化·折竹引葭方程题】 1.核心知识点 勾股定理方程建模； 实际情境转化为直角三角形； 一元一次方程求解线段。 2.解题方法技巧 ①设地面到折断处高度为；②折断斜段总长=原高（斜边）；③地面水平距离为另一直角边，直接列；④去括号化简求解，舍去负根。 【例题1】.（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长？若设木柱长x尺，根据题意，可列方程为______． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·吉林·期末）《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题目大意是：“如图，一根竹子高1丈（1丈尺），在点A处折断后竹子顶端点B触地，测得点B离竹子底端点C距离为3尺（即尺），问折断处离地面高为多少尺？”．设折断处离地面高为尺，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这根芦苇的长度为多少尺？ 【变式题1-3】.（25-26八年级下·北京大兴·期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作．书中有一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何．意思是：一根竹子高1丈（1丈尺），折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，求折断处离地面的高度是多少？若设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为________． 【题型2生活工具·梯子滑动不变斜边模型】 1.核心知识点 直角三角形三边计算； 梯子长度恒定（斜边不变）； 两次使用勾股定理分步计算。 2.解题方法技巧 第一步：初始状态，已知梯长、底端距墙，求初始墙高； 第二步：顶端下滑/底端外移后，已知新高度，重新求底端距离； 第三步：作差得到滑动长度，注意单位统一。 【例题2】.（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，，这时，梯子的底端到墙底的距离为． (1)求此时梯子的顶端距地面的高度． (2)如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端外移吗？通过计算说明你的结论． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·广西玉林·期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，当一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙，此时梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（     ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·山东德州·期末）消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． (1)求处与地面的距离； (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【变式题2-3】.（25-26八年级下·河北衡水·期末）如图，在一个宽阔的十字路口，两条道路互相垂直．小明站在其中一条道路的边缘点A处，米，小亮站在另一条道路的边缘点B处，此时两人之间的直线距离为25米，而他们手中的对讲机恰好处于信号传输的极限状态． (1)求此时的长度； (2)当小明沿路边向北走了9米到达点C处（即米），同时小亮沿路边向东走到了点D处，若两人之间的直线距离仍然处于对讲机信号传输的极限状态（即保持25米不变），求的长度． 【题型3航海方位·直角方位勾股计算】 1.核心知识点 方位角（东北、东南夹角）； 路程=速度×时间； 直角三角形边长求解。 2.解题方法技巧 ①判断航行方向夹角为直角；②分别算出两船行驶路程（直角边）；③直接用勾股求两船直线距离。 【例题3】.（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，点是一港口，渔船从出发沿北偏东方向以6海里/时的速度出海，渔船同时从出发沿南偏东方向以5海里/时的速度出海，两个小时后，两艘渔船的距离为（     ）． A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【变式题3-1】.（25-26八年级下·河南安阳·期末）某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口半小时后分别位于，处，此时两艘轮船相距_________． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，一艘轮船从海港沿正东方向向海港行驶，点处有一座灯塔，轮船行驶了后到达点处（即），此时轮船正好位于灯塔的正南方，继续向东行驶了到达海港处（即），已知灯塔到海港的距离为，求灯塔到海港的距离． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·重庆巴南·期末）一巡逻船在点处发现正北方向 海里的 点处，有一艘可疑船正沿 点的北偏东方向行驶，行驶速度 海里每小时，在巡逻船的北偏东方向有一个补给点，点在点 的正东方向．（参考数据： ， ） (1)巡逻船先直接去点补给，再沿点的正北方向行驶，准备在可疑船行驶路线上的点拦截可疑船，求的距离（结果保留一位小数）； (2)若巡逻船沿点 的路线以每小时 海里的速度行驶，补给所需时间为小时，请计算说明巡逻船能否比可疑船先到达点．（结果保留一位小数） 【题型4圆柱单圈缠绕最短路径】 1.核心知识点 圆柱侧面展开为矩形； 化曲为直思想； 基础勾股计算。 2.解题方法技巧 ①沿高剪开侧面，矩形一边=底面周长，一边=圆柱高度； ②缠绕路径为矩形对角线，直接。 【例题4】.（25-26八年级下·江西南昌·期末）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（     ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，一个圆柱形食品盒高为10cm，底面圆的周长为12cm，点A位于盒外底面的边缘，如果在A处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点B处的食物，那么蚂蚁需要爬行的最短路程是（     ） A．13cm B． C．8cm D． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，一圆柱体的底面圆周长为6，高为4，是上底的直径，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到，则爬行的最短距离是________． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图所示，有一个圆柱，底面圆的直径，高，为的中点．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为_________． 【培优提升题型】 【题型5长方体表面蚂蚁爬行分类讨论】 1.核心知识点 立体图形平面展开； 分类讨论思想； 平方对比简化计算（不用开方）。 2.解题方法技巧 长方体长、宽、高，三种展开平方： ①②③； 三个数值最小的一组，开方即为最短距离。 【例题5】.（25-26八年级下·广东阳江·期末）如图，某市某海鲜配送站有一个长方体保温箱，长米，宽米，高米．工作人员要从箱底的点沿箱体表面，拉一根保温软管到箱顶的点，用来输送冷气．则这根软管的最短长度是________米． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·广东广州·期末）如图1，实心长方体木块的长、宽、高分别为，，，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图2所示的几何体，一只蚂蚁沿着图2中的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为________． 【变式题5-2】.（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，长方体的长为10，宽为8，高为6，点与点的距离为2，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点爬到点．求蚂蚁需要爬行的最短距离． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）公园中一长方体石凳如图所示，长为，宽为，高为，一只蚂蚁以的速度从顶点爬到对角顶点（，不在同一个面上） (1)若要通过展开长方体表面为平面的方法找最短爬行路径，一共有几种形状不同的展开方式？请分别画出对应的平面展开示意图． (2)在的基础上，求蚂蚁从点爬到点的最短爬行路线长度，以及按此路线爬行最快需要多长时间到达（结果保留小数点后一位）？（，） 【题型6跨学科物理·定滑轮线段动态题】 1.核心知识点 总绳长恒定不变； 两次构造直角三角形； 线段平移、差值计算移动距离。 2.解题方法技巧 ①初始直角三角形算出斜绳长度，求和得到绳子总长； ②物体升降后，竖直高度改变，剩余竖直绳长可求； ③总长减去新竖直段，得到新斜边长，勾股求水平距离，前后作差得到滑块移动距离。 【例题6】.（25-26八年级上·四川内江·期末）在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离，（定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 【变式题6-1】.（25-26八年级下·河北沧州·期末）某班数学小组到十四中平坦的操场上测量旗杆的高度，信息如下： ①如图：绳子一端系在旗杆顶端处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米（米）的点处，此时手上的绳子还剩0.5米； ②甲同学继续往后退1.5米（米）到达点，此时手上的绳子刚好用完； ③甲同学拉绳子的手到地的距离始终是1.6米； 则旗杆的高度为（     ） A．12米 B．12.6米 C．13米 D．13.6米 【变式题6-2】.（25-26七年级下·山东济南·期末）认真阅读下面表格中的实验探究内容并完成其中的任务． 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮，一端固定在滑块上，另一端固定在物体上；（、、可以视作三个点）②滑块可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体的高度． 初始状态 （图1）物体静止在轨道上，其到滑轮的垂直距离为，到滑块的水平距离为．（即，） 实验条件 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略． 任务 (1)求绳子的总长度； (2)（图2）若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）某中学物理兴趣小组和数学兴趣小组的同学一起合作，想要研究关于定滑轮（滑轮位置固定不变）的物理实验，他们制订相应的实验和测量方案，部分测量结果如表： 课题 定滑轮的物理实验 实验器材 定滑轮、滑块、木块，绳子（没有弹性） 测量工具 尺子 测量示意图    说明：滑块、木块均在直转道上，它们用绳子连接，且绳子经过定滑轮．图1为初始测量状态，图2为将木块竖直升高后的状态，此时滑块向左滑至点处．其中．实验过程中，绳子长度不变且始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计． 测量数据 ，， (1)如图1，求绳子的总长度； (2)如图2，求滑块向左滑动的距离． 【题型7台风/噪音影响范围应用题】 1.核心知识点 逆定理+垂线段最短； 范围圆形弦长计算； 路程÷速度=时间。 2.解题方法技巧 ①先求城市到台风路线垂直距离，判断是否小于影响半径（是否受影响）； ②以垂足为中点，左右截取两段等长危险线段； ③两段总长÷移动速度=持续受影响时长。 【例题7】.（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）内蒙古呼伦贝尔某草原牧区通村公路施工时，大型压路工程车行驶会产生较大噪声．如图，压路工程车沿乡村公路由点A向点B匀速行驶，路边有一所牧区寄宿制小学C；点C与公路上、两点距离分别为150 m、200 m，公路总长，工程车周边150米范围为噪声影响区域． (1)求的度数； (2)学校C会受噪声影响吗？为什么？ (3)若压路工程车行驶速度为每分钟40 m，则噪声持续干扰该小学的时间为多少分钟？ 【变式题7-1】.（25-26八年级下·四川广安·期末）沙尘暴是指强风将地面尘沙吹起使空气很混浊，水平能见度很低的一种天气现象．人类在发展经济过程中大肆破坏植被，导致沙尘暴爆发频数增加．如图，某气象局监测到一个沙尘暴中心沿东西方向由向移动，已知点为一城镇，且点与直线上的两点，的距离分别为：，，，以沙尘暴中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)请通过计算说明城镇是否会受到沙尘暴影响的原因？ (2)若沙尘暴中心的移动速度为，则沙尘暴影响该城镇持续的时间有多长？ 【变式题7-2】.（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为______． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·重庆南川·期末）如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米． (1)求外来车辆的平均速度； (2)监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 【题型8多圈圆柱缠绕拓展题】 1.核心知识点 圆柱展开多圈拼接矩形； 缠绕圈数与底面周长倍数关系； 勾股综合计算。 2.解题方法技巧 缠绕圈时，展开矩形水平总长底面周长，竖直边长=圆柱高度，对角线为最短缠绕长度。 【例题8】.（25-26七年级下·陕西西安·期末）中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心．如图所示，在底面周长为，高为的柱子上，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕圈到达柱顶正上方的点，则雕刻在柱子上的巨龙长至少为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式题8-1】.（25-26八年级下·四川南充·期中）如图，小泉设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成黄色，然后缠绕红色油纸．已知圆筒高，其圆筒底面周长为，如果在表面缠绕油纸4圈，最短需裁剪油纸________m． 【变式题8-2】.（2026·四川成都·三模）一个圆柱形饮料罐底面周长为5cm，高为3cm，一只蚂蚁从底面圆周上的点A处出发，沿圆柱侧面爬行一周到点B处．则蚂蚁爬行的最短路径长度为______cm． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·福建龙岩·期中）如图，圆柱底面半径为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一条竖直直线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，则这根棉线的长度最短为_______． 【压轴素养题型】 【题型9将军饮马·平面最短路径基础】 1.核心知识点 轴对称性质； 两点之间线段最短； 构造大直角三角形求最短和。 2.解题方法技巧 口诀：同侧作对称，异边直接连； ①作定点关于河岸/道路的对称点；②横向、纵向距离相加得到新直角边；③勾股算出连线长度即为最短总路程。 【例题9】.（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，河流2汇入河流1，已知两条河流的宽度都为4米，且相交所形成锐角为，在交汇处的左侧，、两地被两条河流隔开，经测量，地到河岸的距离米，地到河岸的距离米，且米，现规划在两条河上分别造一座桥，使得从地到地的路径最短，那么最短路径约为_________米．（河流1与河流2的两岸都是分别平行的，且两桥均与河岸垂直，取） 【变式题9-1】.（25-26七年级下·山东泰安·期末）学校将要举办趣味运动会，规则如下：如图，在线上摆满沙包，学生从点出发，跑到线上任意一点拿到沙包，再将沙包运送到线上任意一点即为完成一次比赛．已知，长度足够，两条线夹角，小明发现该比赛存在一条最短路径，请计算，若小明沿最短路径完成比赛，他至少需要跑________． 【变式题9-2】.（25-26八年级下·安徽六安·阶段检测）勾股定理的证明方法中，面积法是最经典的思路．下面是基于“两个全等的直角三角形拼接”的证明． 【证法再现】如图1，把两个全等的直角和按图放置，已知 ． (1)请用含a，b，c的式子表示下列图形的面积： _________（用含a，b的代数式表示）； ________（用含a，b的代数式表示）； ________（用仅含的代数式表示）； (2)根据上述面积关系，完成勾股定理的证明过程． (3)【知识运用】如图2，南淝河北岸边有两点（看作直线上的两点）相距160米，为河两岸的两个便民取水点（看作两个点） ，垂足分别为 ，现要在上确定一个抽水点，使得抽水点到两个取水点的距离和最短．请在图中确定点的位置，并求出该最短距离和． 【变式题9-3】.（25-26八年级下·辽宁丹东·期中）如图，A，B两单位分别位于一条封闭街道的两旁，直线，是街道两边沿，现准备合作修建一座过街人行天桥．恰当地架桥可使由A单位到B单位的路程最短，请根据图中的数据求出最短路程_______． 【题型10选址等距·铁路村庄方程综合题】 1.核心知识点 双直角三角形共用未知数； 距离相等建立等式； 整式展开解方程。 2.解题方法技巧 设站点距A点，距B点总长；两侧垂直村庄，分别表示两条斜线长度，令平方相等消根号，解方程。 【例题10】.（25-26八年级下·北京密云·期末）如图，在东西走向的和平街上有两个相距的快递投放点、，快递投放点的正北方向有一小区，小区到快递投放点的距离为． (1)求小区到快递投放点的距离． (2)因快递投放量增加，现准备在和平街新增一个快递投放点，新的投放点到小区与快递投放点的距离相等，求快递投放点、之间的距离． 【变式题10-1】.（25-26八年级下·河南焦作·期中）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者． (1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，，，，，请依据图1推导勾股定理． (2)如图2，在中，，，，，垂足为，求的长． (3)如图3，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为，，千米，千米，现要在上建造一个供应站，使得，请用尺规作图在图中作出点的位置并直接写出的距离．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式题10-2】.（25-26八年级下·全国·单元测试）【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”． 在我国最早对勾股定理进行证明的是汉代的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）拼成，用它进行证明勾股定理； 图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）和直角边为c的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理． (1)在直角三角形中，直角边分别为a，b，斜边为c，从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理． (2)勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是_______； A．函数思想         B．整体思想         C．分类讨论思想         D．数形结合思想 【知识应用】 (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路的长． 【变式题10-3】.（25-26八年级上·山西吕梁·阶段检测）项目化学习 项目主题：办公区绿化规划． 项目背景：在城市生态环境建设中，办公区绿化不仅能美化环境，还能改善气候．某占地面积为的办公区准备建一栋办公楼，剩余区域全部进行绿化． 设计方案：如图是该办公区的规划示意图．已知，，，，． 问题解决： (1)为了方便工作人员进出，建设单位计划在绿化区中铺设一条直道，则这条直道的长度为________m； (2)若规划时，要求绿化区的面积大于办公区面积的，请通过计算判断上述设计方案是否符合规划要求． 易错点 1.立体最短路径只算一种展开方式，遗漏分类讨论，直接得出错误最短距离；长方体三种展开必须全部计算对比。 2.将军饮马直接连接同侧两点，忘记作对称点，误把折线当作最短距离。 3.古算、梯子问题审题忽略问题所求：题目问“折断前总高”只算出地面折断高度，忘记加上斜段长度。 4.勾股逆定理搞反斜边：把短边平方和与长边对比时，误将最长直角边当作斜边。 5.折叠、动态方程解出负数长度，不检验直接作答；单位不统一（尺/米、小时/分钟）未换算。 6.圆柱多圈缠绕错误用单圈周长计算，没有乘以缠绕圈数。 重点 1.建模思想：所有实际问题第一步抽象出直角三角形，无直角则作垂线构造。 2.两大转化模型：平面最短（轴对称化折为直）、立体最短（展开化曲为直）。 3.勾股定理方程应用：设未知线段，利用边长等量关系列一元一次方程是应用题通用解法。 4.逆定理双重用途：判定垂直、求点到直线最短垂距，解决台风、爆破安全范围。 难点 1.长方体多展开分类讨论，三种路径平方对比，容易漏算、计算出错。 2.折叠动态问题，分类讨论直角顶点位置，隐藏相等线段难以挖掘。 3.跨学科、复合立体（U型池、多圈圆柱）曲面展开，空间想象薄弱易出错。 4.规律探究类勾股树题型，结合数列求和，代数与几何综合运算。 一、单选题 1．如图，池塘边有两点，，点是与方向成直角的方向上一点，测得，．则、两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 2．如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点到墙面的距离为．如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端沿墙下滑（     ） A． B． C． D． 二、填空题 3．公园内有两棵相距的树，一棵树高为，另一棵树高为，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞__________m． 4．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点、、、均在格点（网格线的交点）上，在点、、中，到点的距离为的是点________． 5．如图，三级台阶每一级的长宽高分别是，和，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为________． 6．绍兴舰在中俄舰艇编队开展联合演习中从点A处出发，以20海里/小时的速度沿北偏东方向航行2小时到点B处，接着从点B处出发，以相同的速度沿南偏东方向航行1.5小时到点C处，则________海里． 7．《九章算术》“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”的问题，对这个问题稍作改编如下：如图，有竹子垂直于地面生长（即），折断后竹梢触地，触地点到根部的距离尺，断点到触地点的距离尺，则_____尺．    三、解答题 8．如图，铁路上A，B两站（视为直线上两点）相距，C，D为两村庄（视为两个点），于A，于．已知，，现要在铁路上建设一个特产收购站，使得，两村到E站的距离相等，则E站应建在距离A站多少千米处？ 9．国产人形机器人已从机械执行迈向了具备感知、决策能力的智能新时代．如图是一块四边形的空地，现在计划对这块空地进行改造，工作人员利用机器人对空地进行测量．通过测量得知，这块空地的，求这块空地的面积． 10．小聪发现，旗杆顶端的绳子自然下垂时，绳末端恰好落在旗杆底部的地面上．他借助这条绳子测量旗杆高度．如图，线段为旗杆，将这条绳子末端拉直，当绳子末端落在宣传栏上的点处时（即），点到地面的距离，地面上B、C两点之间的距离，且、、C、D四点在同一竖直平面内．求旗杆的高度． 11．内蒙古呼伦贝尔某草原牧区通村公路施工时，大型压路工程车行驶会产生较大噪声．如图，压路工程车沿乡村公路由点A向点B匀速行驶，路边有一所牧区寄宿制小学C；点C与公路上、两点距离分别为、，公路总长，工程车周边120米范围为噪声影响区域． (1)求的度数； (2)学校C会受噪声影响吗？为什么？ (3)若压路工程车行驶速度为每分钟，则噪声持续干扰该小学的时间为多少分钟？ 12．寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷茶缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为，高为．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部． (1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口才合适．请你告诉老师，如图①放置时，搅拌棒至少需要 ； (2)如图②，老师新买的一根长为的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为，你能求出h的取值范围吗？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3 勾股定理的简单应用 【本节预习目标】 1.知识技能：能将生活、立体、几何实际问题抽象为直角三角形，熟练运用勾股定理及逆定理求解线段长度、判断垂直关系。 2.思想方法：掌握建模、转化、数形结合、分类讨论四大数学思想；学会立体转平面、折线转直线的解题转化技巧。 3.素养目标：能解决传统文化、航海物理、生活工程类情境题；会分析最短路径、范围影响、折叠动态综合问题，提升几何直观与逻辑推理素养。 4.应用拓展：会用勾股定理逆定理判定直角，结合轴对称解决最值，探究勾股衍生图形面积规律。 【前置旧知回顾】 旧知识点 核心公式/结论 本节作用 勾股定理 中，直角边，斜边，则 所有应用题计算核心依据 勾股定理逆定理 三角形三边满足，则该三角形为直角三角形 判断垂直、判定危险/影响范围 轴对称性质 对称轴上的点到对称两点距离相等 将军饮马最短路径模型基础 两点之间线段最短 平面内两点连线为最短距离 立体展开、折线最值理论依据 方位角基础 东北、东南、正南正北夹角为 航海、台风方位直角构造 长方形/圆柱展开 立体侧面可平铺为平面矩形 蚂蚁爬行立体最短路径转化 知识点1:平面生活类实际应用（直角三角形建模） 1.解题通用步骤 （1）读题提取长度、垂直、方位等条件，画出几何草图； （2）识别或作高构造直角三角形； （3）设未知线段为，根据勾股定理列一元一次方程； （4）解方程，检验长度为正数，写出实际问题答案（带单位）。 2.经典模型分类 古算模型：折竹、引葭、开门、秋千（设折断/出水部分为，总长用表示斜边）； 工具模型：梯子滑动、旗杆绳、小巷梯子（梯子长度不变，斜边恒定）； 方位模型：航海、台风（南北/东西方向夹角，直接构成直角）； 垂直判定模型：道路选址、爆破安全（逆定理判断直角，垂线段最短求最短距离）。 3.勾股逆定理用途 ①判断两条直线是否垂直；②求点到直线最短垂距；③判断区域是否受台风/噪音影响。 知识点2:最短路径两大核心模型 模型A平面折线最短（将军饮马·轴对称转化） 1.适用场景：两定点在定直线同侧，直线上找动点使两线段和最小； 2.操作流程：作其中一点关于直线的对称点连接对称点与另一定点线段长即为最小值； 3.原理：轴对称等长转化，折线直线，两点之间线段最短。 模型B立体表面最短（化曲为直·展开转化） 1.圆柱缠绕问题 一圈最短：侧面展开矩形，底面周长为一条直角边，圆柱高为另一条； 多圈缠绕：总水平长度=底面周长×圈数，竖直高度为圆柱高，再用勾股求斜边。 2.长方体表面爬行 需分3种展开方式：分别合并长+宽、长+高、宽+高作为一条直角边，另一条棱为直角边； 计算三种路径平方，数值最小即为最短距离（无需开方对比，简化计算）。 知识点3:综合拓展：图形面积与动态折叠 1.直角三角形三边向外作正方形/半圆/等腰直角三角形：两直角边上图形面积之和=斜边上图形面积（）； 2.折叠问题核心：折叠前后对应边、对应角相等，隐藏相等线段，结合勾股列方程； 【基础巩固题型】 【题型1古算传统文化·折竹引葭方程题】 1.核心知识点 勾股定理方程建模； 实际情境转化为直角三角形； 一元一次方程求解线段。 2.解题方法技巧 ①设地面到折断处高度为；②折断斜段总长=原高（斜边）；③地面水平距离为另一直角边，直接列；④去括号化简求解，舍去负根。 【例题1】.（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长？若设木柱长x尺，根据题意，可列方程为______． 【答案】 【分析】先根据题意确定直角三角形各边的长度，再利用勾股定理列方程即可． 【详解】解：设木柱长为尺，由题意可知绳索长度为尺， 根据题意可得：． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·吉林·期末）《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题目大意是：“如图，一根竹子高1丈（1丈尺），在点A处折断后竹子顶端点B触地，测得点B离竹子底端点C距离为3尺（即尺），问折断处离地面高为多少尺？”．设折断处离地面高为尺，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得尺，尺，， 设高为尺，则尺， 由勾股定理得，即． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这根芦苇的长度为多少尺？ 【答案】这根芦苇长为尺． 【分析】设芦苇的长度为尺，则水深为尺，根据题意，构造直角三角形，利用勾股定理列出关于的方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图，设芦苇的长度为尺，则水深为尺， 芦苇长在水池中央， 尺， 根据勾股定理，得：， ，解得：， 答：这根芦苇长为尺． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·北京大兴·期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作．书中有一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何．意思是：一根竹子高1丈（1丈尺），折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，求折断处离地面的高度是多少？若设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为________． 【答案】 【分析】根据勾股定理列出方程即可. 【详解】解：1丈尺， 设折断处离地面的高度为尺，则折断后竹子顶端到折断处的长度为 尺， 根据勾股定理，得. 【题型2生活工具·梯子滑动不变斜边模型】 1.核心知识点 直角三角形三边计算； 梯子长度恒定（斜边不变）； 两次使用勾股定理分步计算。 2.解题方法技巧 第一步：初始状态，已知梯长、底端距墙，求初始墙高； 第二步：顶端下滑/底端外移后，已知新高度，重新求底端距离； 第三步：作差得到滑动长度，注意单位统一。 【例题2】.（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，，这时，梯子的底端到墙底的距离为． (1)求此时梯子的顶端距地面的高度． (2)如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端外移吗？通过计算说明你的结论． 【答案】(1) (2)梯子底端B外移不是， 理由：由图可知梯子的顶端A沿墙下滑后， ， ， ∴， ∴， 所以梯子底端B外移不是． 【分析】（1）根据勾股定理计算的长度即可； （2）先根据顶端下滑的距离计算出下滑后顶端到地面的高度，再用勾股定理计算出新的底端到墙底的距离，最后将与的差和比较即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴ ， 答：此时梯子的顶端A距地面的高度为； （2）略． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·广西玉林·期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，当一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙，此时梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】勾股定理求出梯子的长，再利用勾股定理求出的长，然后根据线段的和差关系即可得出结果. 【详解】解：由题意和勾股定理，得， ， ∴，即小巷的宽为. 【变式题2-2】.（25-26八年级下·山东德州·期末）消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． (1)求处与地面的距离； (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】(1)处与地面的距离是米 (2)消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米 【分析】（1）利用勾股定理求出的长度，再根据求出处与地面的距离； （2）利用勾股定理求出的长度，根据求出结果． 【详解】（1）解：在中， 米，米，米， （米），                （米）， 答：处与地面的距离是米；                                （2）解：由题意得米， 米，（米）， （米），        （米）． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·河北衡水·期末）如图，在一个宽阔的十字路口，两条道路互相垂直．小明站在其中一条道路的边缘点A处，米，小亮站在另一条道路的边缘点B处，此时两人之间的直线距离为25米，而他们手中的对讲机恰好处于信号传输的极限状态． (1)求此时的长度； (2)当小明沿路边向北走了9米到达点C处（即米），同时小亮沿路边向东走到了点D处，若两人之间的直线距离仍然处于对讲机信号传输的极限状态（即保持25米不变），求的长度． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）根据勾股定理计算即可； （2）根据勾股定理求出米，即可求出的长度． 【详解】（1）解：由题意得，米，米， ∴米； （2）解：∵米， ∴米， ∵米，， ∴米， 因此米． 【题型3航海方位·直角方位勾股计算】 1.核心知识点 方位角（东北、东南夹角）； 路程=速度×时间； 直角三角形边长求解。 2.解题方法技巧 ①判断航行方向夹角为直角；②分别算出两船行驶路程（直角边）；③直接用勾股求两船直线距离。 【例题3】.（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，点是一港口，渔船从出发沿北偏东方向以6海里/时的速度出海，渔船同时从出发沿南偏东方向以5海里/时的速度出海，两个小时后，两艘渔船的距离为（     ）． A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】D 【分析】根据题意可得，，，，根据勾股定理求得即可． 【详解】解：渔船A从O出发沿北偏东方向以6海里/时的速度出海，渔船B同时从O出发沿南偏东方向以5海里/时的速度出海， ∴， 两小时后，海里，海里， 由勾股定理可得，（海里）． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·河南安阳·期末）某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口半小时后分别位于，处，此时两艘轮船相距_________． 【答案】 【分析】先由速度与时间算出、的长度，再根据方位角推出，最后用勾股定理求出两船距离． 【详解】解：由题意得，，，， ∴， 在中，， 即此时两艘轮船相距． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，一艘轮船从海港沿正东方向向海港行驶，点处有一座灯塔，轮船行驶了后到达点处（即），此时轮船正好位于灯塔的正南方，继续向东行驶了到达海港处（即），已知灯塔到海港的距离为，求灯塔到海港的距离． 【答案】 【分析】由题意可知，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：由题意可知， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·重庆巴南·期末）一巡逻船在点处发现正北方向 海里的 点处，有一艘可疑船正沿 点的北偏东方向行驶，行驶速度 海里每小时，在巡逻船的北偏东方向有一个补给点，点在点 的正东方向．（参考数据： ， ） (1)巡逻船先直接去点补给，再沿点的正北方向行驶，准备在可疑船行驶路线上的点拦截可疑船，求的距离（结果保留一位小数）； (2)若巡逻船沿点 的路线以每小时 海里的速度行驶，补给所需时间为小时，请计算说明巡逻船能否比可疑船先到达点．（结果保留一位小数） 【答案】(1)可疑船行驶的路线的距离为 海里 (2)巡逻船能比可疑船先到达点 【分析】 （1）在等腰直角三角形中得到 ，在 中，由含的直角三角形及勾股定理求出，最后由 求出答案即可； （2）分别计算出巡逻船的用时及可疑船的用时，比较时间大小即可得到答案． 【详解】（1）解： 在 中， ， ， 海里， ∴ ， （海里）， 在 中， ， ，则 ， 由勾股定理可得，则， （海里）， （海里）， 答：可疑船行驶的路线的距离为 海里； （2）解：在 中， ，由勾股定理可得（海里）， 巡逻船的路程 （海里）， 巡逻船从到达所用时间为 （小时）； 由（1）知，可疑船到达点的路程为 海里，速度为 海里每小时， 可疑船到达点所用时间为 （小时）， ， 巡逻船能比可疑船先到达点． 【题型4圆柱单圈缠绕最短路径】 1.核心知识点 圆柱侧面展开为矩形； 化曲为直思想； 基础勾股计算。 2.解题方法技巧 ①沿高剪开侧面，矩形一边=底面周长，一边=圆柱高度； ②缠绕路径为矩形对角线，直接。 【例题4】.（25-26八年级下·江西南昌·期末）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，然后利用两点之间线段最短结合勾股定理求解． 【详解】解：如图所示： 由于圆柱体的底面周长为， 则． 由题意得，， 所以． 故蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，一个圆柱形食品盒高为10cm，底面圆的周长为12cm，点A位于盒外底面的边缘，如果在A处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点B处的食物，那么蚂蚁需要爬行的最短路程是（     ） A．13cm B． C．8cm D． 【答案】B 【分析】将圆柱侧面展开，构建直角三角形，确定两直角边的长度，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：将圆柱侧面沿过点的母线展开，如图所示： ∵圆柱底面周长为，高为，点为对侧中点， ∴在展开图中，点到点的水平距离为底面周长的一半，即， 点到底面的垂直距离为高的一半，即， ∴由勾股定理，得蚂蚁爬行的最短路程为 ． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，一圆柱体的底面圆周长为6，高为4，是上底的直径，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到，则爬行的最短距离是________． 【答案】5 【分析】根据圆柱的性质、两点之间线段最短以及勾股定理解题． 【详解】解：如图，圆柱体的侧面展开图如下，蚂蚁从点出发，沿着线段爬行时，距离最短； 由题意知，，为圆柱体底面周长的一半，即， ∴， 即爬行的最短距离是． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图所示，有一个圆柱，底面圆的直径，高，为的中点．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为_________． 【答案】13 【分析】将圆柱侧面展开，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵为的中点，高， ∴， 将圆柱侧面展开，如图所示： ∵这个圆柱的底面圆的直径为， ∴在侧面展开图中，，， ∴在中，， 即一只蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬到点的最短距离为13． 【培优提升题型】 【题型5长方体表面蚂蚁爬行分类讨论】 1.核心知识点 立体图形平面展开； 分类讨论思想； 平方对比简化计算（不用开方）。 2.解题方法技巧 长方体长、宽、高，三种展开平方： ①②③； 三个数值最小的一组，开方即为最短距离。 【例题5】.（25-26八年级下·广东阳江·期末）如图，某市某海鲜配送站有一个长方体保温箱，长米，宽米，高米．工作人员要从箱底的点沿箱体表面，拉一根保温软管到箱顶的点，用来输送冷气．则这根软管的最短长度是________米． 【答案】 【分析】根据三种平面展开图，利用勾股定理计算的长度，再比较即可求解． 【详解】解：情况一：米，米， 米； 情况二：米，米， 米； 情况三：米，米， 米； ， 这根软管的最短长度是米． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·广东广州·期末）如图1，实心长方体木块的长、宽、高分别为，，，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图2所示的几何体，一只蚂蚁沿着图2中的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为________． 【答案】 【分析】根据四种不同情况，利用勾股定理分别计算顶点爬行到顶点的距离，比较大小，从而确定最短距离． 【详解】解：从顶点爬行到顶点共四种情况： 第一种情况：从剪掉一角露出来的截面上的顶点爬行到上面的顶点，将这两个平面展开，如下图所示，连接交于点E， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， 即，， ∵长方体， ∴， 又∵， ∴， 在中，，根据勾股定理得，， ∴， ∵，， 在中，根据勾股定理得， ， ∴（cm）， 第二种情况：从前面的顶点爬行到上面的顶点，将这两个平面展开，如下图所示，连接， ∵，， ∴在中，根据勾股定理得，（cm）， 第三种情况：从前面的顶点爬行到左面的顶点，将这两个平面展开，如下图所示，连接， ∵，， ∴在中，根据勾股定理得，（cm）， 第四种情况：从底面的顶点爬行到左面的顶点，将这两个平面展开，如下图所示， 连接， ∵，， ∴在中，根据勾股定理得，（cm）， 综上所述，从顶点爬行到顶点的最短距离为 cm． 【变式题5-2】.（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，长方体的长为10，宽为8，高为6，点与点的距离为2，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点爬到点．求蚂蚁需要爬行的最短距离． 【答案】 【分析】本题考查了最短路径问题，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键； 根据不同的切割方式可以有不同的路径，分别求出蚂蚁需要爬行的路程，最后比较大小即可． 【详解】解：将长方体的两个面展开，连接． 分三种情况： ①如图①，； ②如图②，； ③如图③，． ， 蚂蚁需要爬行的最短距离是． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）公园中一长方体石凳如图所示，长为，宽为，高为，一只蚂蚁以的速度从顶点爬到对角顶点（，不在同一个面上） (1)若要通过展开长方体表面为平面的方法找最短爬行路径，一共有几种形状不同的展开方式？请分别画出对应的平面展开示意图． (2)在的基础上，求蚂蚁从点爬到点的最短爬行路线长度，以及按此路线爬行最快需要多长时间到达（结果保留小数点后一位）？（，） 【答案】(1)解：有三种展开方式，如图， ；；； (2)最短路线长度为，最快需要秒． 【分析】根据蚂蚁从点爬到顶点，有三种展开方式，分别画出图形即可； 求出各种展开方式下点到点的距离，然后比较可得出最短爬行路线长度，再求出时间即可． 【详解】（1）解：蚂蚁从点爬到顶点，有三种展开方式： 将前面和上面（或后面和下面）展开成一个平面，此时、所在的直角三角形两条直角边分别为，，展开图如下： 将前面和右面（或后面和左面）展开成一个平面，此时、所在的直角三角形两条直角边分别为：，，展开图如下： 将右面和下面（或左面和上面）展开成一个平面，此时、所在的直角三角形两条直角边分别为：，，展开图如下： （2）解：第两种展开方式下点到点的距离相等： ， 第②种展开方式下点到点的距离为： ， ∵， ∴最短路线长度为，， 答：最快需要秒． 【题型6跨学科物理·定滑轮线段动态题】 1.核心知识点 总绳长恒定不变； 两次构造直角三角形； 线段平移、差值计算移动距离。 2.解题方法技巧 ①初始直角三角形算出斜绳长度，求和得到绳子总长； ②物体升降后，竖直高度改变，剩余竖直绳长可求； ③总长减去新竖直段，得到新斜边长，勾股求水平距离，前后作差得到滑块移动距离。 【例题6】.（25-26八年级上·四川内江·期末）在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离，（定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 【答案】(1)绳子的总长度为 (2)滑块B向左滑动了，此时物体C升高了 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解“绳子总长度固定”的条件是解题关键． （1）利用勾股定理求出的长，即可解决问题； （2）先求出的长，再利用勾股定理求出的长即可进一步求解． 【详解】（1）解：根据题意可知，，，， 则 故绳子的总长度是． 答：绳子的总长度为； （2）解：滑块B向左滑动了 ， 据（1）知绳子总长为 物体C上升高度为． 答：滑块B向左滑动了，此时物体C升高了 【变式题6-1】.（25-26八年级下·河北沧州·期末）某班数学小组到十四中平坦的操场上测量旗杆的高度，信息如下： ①如图：绳子一端系在旗杆顶端处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米（米）的点处，此时手上的绳子还剩0.5米； ②甲同学继续往后退1.5米（米）到达点，此时手上的绳子刚好用完； ③甲同学拉绳子的手到地的距离始终是1.6米； 则旗杆的高度为（     ） A．12米 B．12.6米 C．13米 D．13.6米 【答案】D 【分析】由题意可得米，米，米，则米，设绳子的长度为米，则米，米，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：米，米，米， ∴米， 设绳子的长度为米，则米，米， 由勾股定理得，， ∴， ∴， 解得， ∴米， ∴旗杆的高度为米． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·山东济南·期末）认真阅读下面表格中的实验探究内容并完成其中的任务． 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮，一端固定在滑块上，另一端固定在物体上；（、、可以视作三个点）②滑块可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体的高度． 初始状态 （图1）物体静止在轨道上，其到滑轮的垂直距离为，到滑块的水平距离为．（即，） 实验条件 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略． 任务 (1)求绳子的总长度； (2)（图2）若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【答案】(1)绳子的总长度为 (2)滑块向左滑动的距离为 【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可； （2）利用题意求出的值，再根据勾股定理求出的长度，再算出即可． 【详解】（1）解：由题意知：是直角三角形，其中，， ， 绳子总长度为． （2）解：若物体升高，此时， 在中，由勾股定理得，， ． 滑块向左滑动的距离为． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）某中学物理兴趣小组和数学兴趣小组的同学一起合作，想要研究关于定滑轮（滑轮位置固定不变）的物理实验，他们制订相应的实验和测量方案，部分测量结果如表： 课题 定滑轮的物理实验 实验器材 定滑轮、滑块、木块，绳子（没有弹性） 测量工具 尺子 测量示意图    说明：滑块、木块均在直转道上，它们用绳子连接，且绳子经过定滑轮．图1为初始测量状态，图2为将木块竖直升高后的状态，此时滑块向左滑至点处．其中．实验过程中，绳子长度不变且始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计． 测量数据 ，， (1)如图1，求绳子的总长度； (2)如图2，求滑块向左滑动的距离． 【答案】(1)绳子的总长度为； (2)滑块向左滑动的距离为． 【分析】本题考查了勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合，，，运用勾股定理列式计算，得，此时，即可作答． （2）先运算，再根据，代入数值计算，即可作答． 【详解】（1）解：根据题意得，，， 在中，， 即， 解得． ∴， 答：绳子的总长度为； （2）解：根据题意，得，，， ∴， 在中，， 即， ∴， ∴ 答：滑块向左滑动的距离为． 【题型7台风/噪音影响范围应用题】 1.核心知识点 逆定理+垂线段最短； 范围圆形弦长计算； 路程÷速度=时间。 2.解题方法技巧 ①先求城市到台风路线垂直距离，判断是否小于影响半径（是否受影响）； ②以垂足为中点，左右截取两段等长危险线段； ③两段总长÷移动速度=持续受影响时长。 【例题7】.（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）内蒙古呼伦贝尔某草原牧区通村公路施工时，大型压路工程车行驶会产生较大噪声．如图，压路工程车沿乡村公路由点A向点B匀速行驶，路边有一所牧区寄宿制小学C；点C与公路上、两点距离分别为150 m、200 m，公路总长，工程车周边150米范围为噪声影响区域． (1)求的度数； (2)学校C会受噪声影响吗？为什么？ (3)若压路工程车行驶速度为每分钟40 m，则噪声持续干扰该小学的时间为多少分钟？ 【答案】(1) (2)学校C会受到噪声影响．原因： 过作于， ∵， ∴（m）， ∵（噪声影响范围半径）， ∴学校C会受到噪声影响． (3)4.5分钟 【分析】（1）已知三边长度，因为三边满足勾股定理的逆定理的条件，所以可通过勾股定理逆定理判断三角形形状，进而求出的度数． （2）要判断学校是否受噪声影响，需先求点C到直线的距离，因为点到直线的最短距离是垂线段长度，所以过C作的垂线段，用等面积法求出垂线段长度后，与比较即可． （3）求噪声持续时间，先确定工程车在上到C点距离等于的两个交点，因为这两个交点之间的距离就是噪声影响的行驶路程，所以用勾股定理求出该路段长度后，再结合速度公式即可计算时间． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，． （2）略． （3）解：设工程车进入影响区的点为，离开影响区的点为， 则． 在中，∵（m）， ∴， ∵行驶速度为分钟， ∴持续时间：（分钟） ， 即噪声持续干扰的时间为4.5分钟． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·四川广安·期末）沙尘暴是指强风将地面尘沙吹起使空气很混浊，水平能见度很低的一种天气现象．人类在发展经济过程中大肆破坏植被，导致沙尘暴爆发频数增加．如图，某气象局监测到一个沙尘暴中心沿东西方向由向移动，已知点为一城镇，且点与直线上的两点，的距离分别为：，，，以沙尘暴中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)请通过计算说明城镇是否会受到沙尘暴影响的原因？ (2)若沙尘暴中心的移动速度为，则沙尘暴影响该城镇持续的时间有多长？ 【答案】(1)解：如图所示：过点作， ，，， ， 为直角三角形，， ， 即， ， 以沙尘暴中心为圆心周围以内为受影响区域，， 城镇会受到沙尘暴影响； (2) 【分析】（1）过点作，根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，利用等面积法得出，根据题意以沙尘暴中心为圆心周围以内为受影响区域，即可得到城镇会受到沙尘暴的影响； （2）在边上找、两点，连接、，使，根据勾股定理可得，根据等腰三角形的性质求出，再由速度与时间、路程的关系即可得出影响的时间． 【详解】（1）略 （2）解：在边上找、两点，连接、，使， ， ，， ， ， 沙尘暴中心的移动速度为， ， 答：城镇会受到沙尘暴的影响，持续的时间为． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，过点作，上取点，，使， 通过勾股定理求出，，则受噪音影响共有，然后求出时间即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，上取点，，使， 由题意可得，， 当火车到点时对处产生噪音影响，此时， 由勾股定理得：，， ∴受噪音影响共有， ∴点处受噪音影响的时间为， 故答案为：． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·重庆南川·期末）如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米． (1)求外来车辆的平均速度； (2)监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 【答案】(1)外来车辆的平均速度为 (2)能成功在处拦截外来车辆，理由如下： 由题意得， 在中，由勾股定理，得， 由（1）可知， ， 外来车辆到达处所需的时间为． 安保人员的速度为， 安保人员达处所需的时间为， 能成功在处拦截外来车辆． 【分析】（1）过点作于点，由题意得，，，利用勾股定理在中，可得，在中，可得，从而求得，即可得出外来车辆的平均速度； （2）先利用勾股定理在中，可得，结合（1）可得，从而可以算出外来车辆及安保人员达处所需的时间，通过比较即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则，， 由题意得，， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ， 速度为， 答：外来车辆的平均速度为； （2）略． 【题型8多圈圆柱缠绕拓展题】 1.核心知识点 圆柱展开多圈拼接矩形； 缠绕圈数与底面周长倍数关系； 勾股综合计算。 2.解题方法技巧 缠绕圈时，展开矩形水平总长底面周长，竖直边长=圆柱高度，对角线为最短缠绕长度。 【例题8】.（25-26七年级下·陕西西安·期末）中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心．如图所示，在底面周长为，高为的柱子上，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕圈到达柱顶正上方的点，则雕刻在柱子上的巨龙长至少为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图， 根据题意可得，柱身高为米，底面周长为米， ∵有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕圈到达柱顶正上方的点， ∴，，，，，， ∴， ∴（米）， ∴雕刻在柱子上的巨龙长至少为米． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·四川南充·期中）如图，小泉设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成黄色，然后缠绕红色油纸．已知圆筒高，其圆筒底面周长为，如果在表面缠绕油纸4圈，最短需裁剪油纸________m． 【答案】1 【分析】将圆筒侧面展开为矩形，把缠绕油纸的问题转化为求直角三角形斜边长度，再乘以圈数得到油纸最短长度． 【详解】解：如图，将圆筒展开后成为一个矩形，整个油纸也随之分成相等4段只需求出长即可， 在中， ，， ， ， ． 最短需裁剪油纸． 故答案为：1． 【变式题8-2】.（2026·四川成都·三模）一个圆柱形饮料罐底面周长为5cm，高为3cm，一只蚂蚁从底面圆周上的点A处出发，沿圆柱侧面爬行一周到点B处．则蚂蚁爬行的最短路径长度为______cm． 【答案】 【分析】 将圆柱侧面展开为矩形，蚂蚁爬行的最短路径即为矩形的对角线长度，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：圆柱形饮料罐底面周长为，高为， 将圆柱侧面展开得到一个矩形，该矩形的长为，宽为， 由勾股定理得，蚂蚁爬行的最短路径长度为． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·福建龙岩·期中）如图，圆柱底面半径为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一条竖直直线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，则这根棉线的长度最短为_______． 【答案】 【分析】根据题意，把圆柱展开，将长方形平均分为3个小长方形，沿着对角线运动路径最短，即，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，圆柱的展开图中，将长方形平均分为3个小长方形，沿着对角线运动路径最短，最短路线为， ∵圆柱的半径为，圆柱的高为， ∴在中， ， ． 【压轴素养题型】 【题型9将军饮马·平面最短路径基础】 1.核心知识点 轴对称性质； 两点之间线段最短； 构造大直角三角形求最短和。 2.解题方法技巧 口诀：同侧作对称，异边直接连； ①作定点关于河岸/道路的对称点；②横向、纵向距离相加得到新直角边；③勾股算出连线长度即为最短总路程。 【例题9】.（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，河流2汇入河流1，已知两条河流的宽度都为4米，且相交所形成锐角为，在交汇处的左侧，、两地被两条河流隔开，经测量，地到河岸的距离米，地到河岸的距离米，且米，现规划在两条河上分别造一座桥，使得从地到地的路径最短，那么最短路径约为_________米．（河流1与河流2的两岸都是分别平行的，且两桥均与河岸垂直，取） 【答案】 【分析】本题考查利用平移变换解决最短路径问题．根据题意，将点沿垂直于河流的方向向下平移河宽米得到点，将点沿垂直于河流的方向向左上方平移河宽米得到点，连接，线段的长度即为除去两座桥长后的最短路径，最后利用勾股定理计算即可． 【详解】如图，将点沿垂直于河岸的方向向下平移米得到点，则， 此时在河岸下方米处． 将点沿垂直于河流河岸的方向向左上方平移米得到点，则． 过点作河岸的垂线，过点作河岸的平行线，两线相交构造，延长交于点， 如图 依题意，两条河流相交所形成锐角为， 如图，设的延长线与河流2的岸边交于点，与河流2的岸边交于点， 则 ∵， ∴ ∴， ∴（米）． （米）． 根据勾股定理，线段的长度为：（米）． 所以最短路径约为：（米）． 故答案为 【变式题9-1】.（25-26七年级下·山东泰安·期末）学校将要举办趣味运动会，规则如下：如图，在线上摆满沙包，学生从点出发，跑到线上任意一点拿到沙包，再将沙包运送到线上任意一点即为完成一次比赛．已知，长度足够，两条线夹角，小明发现该比赛存在一条最短路径，请计算，若小明沿最短路径完成比赛，他至少需要跑________． 【答案】 【分析】作关于的对称点，作，连接，则即为最短距离，最短距离等于，利用直角三角形及勾股定理求解即可． 【详解】解：作关于的对称点，作，连接，则即为最短距离，最短距离等于， ∵，， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ． 【变式题9-2】.（25-26八年级下·安徽六安·阶段检测）勾股定理的证明方法中，面积法是最经典的思路．下面是基于“两个全等的直角三角形拼接”的证明． 【证法再现】如图1，把两个全等的直角和按图放置，已知 ． (1)请用含a，b，c的式子表示下列图形的面积： _________（用含a，b的代数式表示）； ________（用含a，b的代数式表示）； ________（用仅含的代数式表示）； (2)根据上述面积关系，完成勾股定理的证明过程． (3)【知识运用】如图2，南淝河北岸边有两点（看作直线上的两点）相距160米，为河两岸的两个便民取水点（看作两个点） ，垂足分别为 ，现要在上确定一个抽水点，使得抽水点到两个取水点的距离和最短．请在图中确定点的位置，并求出该最短距离和． 【答案】(1)，， (2) 证明：由（1）得，，，， ∵， ∴ ∴ 整理得； (3)，最短距离为米 【分析】（1）根据图形中数据进行列式计算即可； （2）因为，将（1）中各式代入整理即可得勾股定理； （3）作点关于的对称点，连接，与的交点即为，作交的延长线于，在利用勾股定理求得即为所求． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ； （2）证明：略； （3）解：作点关于的对称点，连接，与的交点即为，长度即为所求最短距离，作交的延长线于， 在中，米，（米）， 由勾股定理得：（米． 答：该最短距离和为200米． 【变式题9-3】.（25-26八年级下·辽宁丹东·期中）如图，A，B两单位分别位于一条封闭街道的两旁，直线，是街道两边沿，现准备合作修建一座过街人行天桥．恰当地架桥可使由A单位到B单位的路程最短，请根据图中的数据求出最短路程_______． 【答案】85 【分析】过点作的垂线，并截取等于街道的宽度，即，连接交于点，过点作于点，则线段即为天桥所建的位置，此时由经过天桥走到的路线最短，再利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：过点作的垂线，并截取等于街道的宽度，即，连接交于点，过点作于点，则线段即为天桥所建的位置，此时由经过天桥走到的路线最短， ∵，， ∴线段可以看作由线段平移得到， ∴， ∴， 过点作于点，则，， ∴， ∴， ∴由经过天桥走到的最短路线的长为． 【题型10选址等距·铁路村庄方程综合题】 1.核心知识点 双直角三角形共用未知数； 距离相等建立等式； 整式展开解方程。 2.解题方法技巧 设站点距A点，距B点总长；两侧垂直村庄，分别表示两条斜线长度，令平方相等消根号，解方程。 【例题10】.（25-26八年级下·北京密云·期末）如图，在东西走向的和平街上有两个相距的快递投放点、，快递投放点的正北方向有一小区，小区到快递投放点的距离为． (1)求小区到快递投放点的距离． (2)因快递投放量增加，现准备在和平街新增一个快递投放点，新的投放点到小区与快递投放点的距离相等，求快递投放点、之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）设，则，根据勾股定理列方程求解即可. 【详解】（1）解：∵小区A在快递投放点C的正北方向， ∴， ∴，， ∴， ∴小区A到快递投放点C的距离为； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴快递投放点B，D之间的距离为． 【变式题10-1】.（25-26八年级下·河南焦作·期中）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者． (1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，，，，，请依据图1推导勾股定理． (2)如图2，在中，，，，，垂足为，求的长． (3)如图3，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为，，千米，千米，现要在上建造一个供应站，使得，请用尺规作图在图中作出点的位置并直接写出的距离．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1) ∵ ， 整理得： (2) (3) 点P即为所求， 的距离为16千米 【分析】（1）用两种方法表示出梯形的面积，再根据它们相等整理即可证明结论； （2）设，分别在和中，表示出，列出方程，求出x，再利用勾股定理即可求出的值. （3）先根据，作的垂直平分线交于P，设千米，则千米，根据勾股定理列式代入数值计算化简，即可作答． 【详解】（1）解：略； （2）解：设 ∵ ∴ ∴和都是直角三角形 在中， 在中， ∴ ∵，， 则 解得，即 在中，由勾股定理，得. （3）解：如图，连接，作的垂直平分线交于P， 设千米，则千米， 在中，， 在中，， ， ， 解得 【变式题10-2】.（25-26八年级下·全国·单元测试）【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”． 在我国最早对勾股定理进行证明的是汉代的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）拼成，用它进行证明勾股定理； 图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）和直角边为c的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理． (1)在直角三角形中，直角边分别为a，b，斜边为c，从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理． (2)勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是_______； A．函数思想         B．整体思想         C．分类讨论思想         D．数形结合思想 【知识应用】 (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路的长． 【答案】(1)见解析 (2)D (3)新修路的长为0.8千米 【分析】（1）在图1中，大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，列出式子后化简即可证明；在图2中，梯形的面积等于三个三角形的面积之和，列出式子后化简即可证明． （2）勾股定理的验证过程体现了数形结合思想，据此即可解答； （3）当时，最小，能最大限度节省铺路的费用．设千米，则（千米），根据勾股定理列出方程，求解即可解答． 【详解】（1）解：根据赵爽弦图进行证明： ∵， ∴， ∴； 根据“总统证法”进行证明： ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是数形结合思想． 故选：D； （3）解：当时，最小，能最大限度节省铺路的费用． 设千米，则（千米） ∵， ∴在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴千米， ∴（千米）． 答：新修路的长为0.8千米． 【变式题10-3】.（25-26八年级上·山西吕梁·阶段检测）项目化学习 项目主题：办公区绿化规划． 项目背景：在城市生态环境建设中，办公区绿化不仅能美化环境，还能改善气候．某占地面积为的办公区准备建一栋办公楼，剩余区域全部进行绿化． 设计方案：如图是该办公区的规划示意图．已知，，，，． 问题解决： (1)为了方便工作人员进出，建设单位计划在绿化区中铺设一条直道，则这条直道的长度为________m； (2)若规划时，要求绿化区的面积大于办公区面积的，请通过计算判断上述设计方案是否符合规划要求． 【答案】(1)15 (2)设计方案不符合规划要求 【分析】（1）利用勾股定理解答即可； （2）利用勾股定理逆定理可得，可求出绿化区的面积，即可求解． 【详解】（1）解：因为，，， 所以． 答：这条直道的长度为． （2）解：因为，，， 所以． 所以． 所以绿化区的面积为． ． 因为， 所以设计方案不符合规划要求． 易错点 1.立体最短路径只算一种展开方式，遗漏分类讨论，直接得出错误最短距离；长方体三种展开必须全部计算对比。 2.将军饮马直接连接同侧两点，忘记作对称点，误把折线当作最短距离。 3.古算、梯子问题审题忽略问题所求：题目问“折断前总高”只算出地面折断高度，忘记加上斜段长度。 4.勾股逆定理搞反斜边：把短边平方和与长边对比时，误将最长直角边当作斜边。 5.折叠、动态方程解出负数长度，不检验直接作答；单位不统一（尺/米、小时/分钟）未换算。 6.圆柱多圈缠绕错误用单圈周长计算，没有乘以缠绕圈数。 重点 1.建模思想：所有实际问题第一步抽象出直角三角形，无直角则作垂线构造。 2.两大转化模型：平面最短（轴对称化折为直）、立体最短（展开化曲为直）。 3.勾股定理方程应用：设未知线段，利用边长等量关系列一元一次方程是应用题通用解法。 4.逆定理双重用途：判定垂直、求点到直线最短垂距，解决台风、爆破安全范围。 难点 1.长方体多展开分类讨论，三种路径平方对比，容易漏算、计算出错。 2.折叠动态问题，分类讨论直角顶点位置，隐藏相等线段难以挖掘。 3.跨学科、复合立体（U型池、多圈圆柱）曲面展开，空间想象薄弱易出错。 4.规律探究类勾股树题型，结合数列求和，代数与几何综合运算。 一、单选题 1．如图，池塘边有两点，，点是与方向成直角的方向上一点，测得，．则、两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：，，， ． 2．如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点到墙面的距离为．如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端沿墙下滑（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】梯子顶端沿墙下滑的距离为．利用勾股定理求出，．即可得到答案． 【详解】解：在中，根据勾股定理得， 在中，根据勾股定理得， 所以，． 因此，当梯子底端向外移动时，梯子顶端下滑． 二、填空题 3．公园内有两棵相距的树，一棵树高为，另一棵树高为，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞__________m． 【答案】 5 【分析】根据两点之间线段最短，可知小鸟沿两棵树的顶端直线飞行时路程最短. 将问题转化为求直角三角形的斜边长，利用勾股定理即可求解； 【详解】解：根据题意画图如下：其中，， ∴， 过C作，交于， ∴， ∴两棵树的高度差，两棵树的水平距离， 根据勾股定理可得， 即小鸟至少要飞． 4．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点、、、均在格点（网格线的交点）上，在点、、中，到点的距离为的是点________． 【答案】 【分析】利用勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：，，， ∴在点、、中，到点的距离为的是点． 5．如图，三级台阶每一级的长宽高分别是，和，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为________． 【答案】13 【分析】本题主要考查了平面展开图中的最短路径问题，勾股定理，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解决本题的关键． 先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：如图所示， ∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为，长为， ∴蚂蚁沿台阶面爬行到点B最短路程是此长方形的对角线长， 由勾股定理得，， 则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程是； 故答案为：13 6．绍兴舰在中俄舰艇编队开展联合演习中从点A处出发，以20海里/小时的速度沿北偏东方向航行2小时到点B处，接着从点B处出发，以相同的速度沿南偏东方向航行1.5小时到点C处，则________海里． 【答案】50 【分析】先求出，再求出两直角边长，最后利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，由题意可知，，， ∵与平行， ∴， ∴， ∴， ∵绍兴舰从点A处出发，以20海里/小时的速度航行2小时到点B处，接着从点B处出发，以相同的速度航行1.5小时到点C处， ∴（海里），（海里）， ∴（海里）． 7．《九章算术》“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”的问题，对这个问题稍作改编如下：如图，有竹子垂直于地面生长（即），折断后竹梢触地，触地点到根部的距离尺，断点到触地点的距离尺，则_____尺．    【答案】 【详解】解：∵，尺，尺， ∴尺． 三、解答题 8．如图，铁路上A，B两站（视为直线上两点）相距，C，D为两村庄（视为两个点），于A，于．已知，，现要在铁路上建设一个特产收购站，使得，两村到E站的距离相等，则E站应建在距离A站多少千米处？ 【答案】E站应建在离A站处 【分析】设，可将和的长表示出来，然后根据勾股定理可得，即可列出方程进行求解． 【详解】解：∵C，D两村到E站的距离相等， ∴． ∵于A，于B， ∴， ∴， ∴， 设，则． ∵，， ∴， 解得：， ∴． 答：E站应建在离A站处． 9．国产人形机器人已从机械执行迈向了具备感知、决策能力的智能新时代．如图是一块四边形的空地，现在计划对这块空地进行改造，工作人员利用机器人对空地进行测量．通过测量得知，这块空地的，求这块空地的面积． 【答案】这块空地的面积为 【分析】根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理得出，最后根据直角三角形的面积公式分别求出和的面积，即可求出这块空地的面积． 【详解】解：在中，， ∴， ； 在中，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴； ∴， 答：这块空地的面积为． 10．小聪发现，旗杆顶端的绳子自然下垂时，绳末端恰好落在旗杆底部的地面上．他借助这条绳子测量旗杆高度．如图，线段为旗杆，将这条绳子末端拉直，当绳子末端落在宣传栏上的点处时（即），点到地面的距离，地面上B、C两点之间的距离，且、、C、D四点在同一竖直平面内．求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为. 【分析】作，勾股定理求出的长即可. 【详解】解：作，则，， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得； 答：旗杆的高度为. 11．内蒙古呼伦贝尔某草原牧区通村公路施工时，大型压路工程车行驶会产生较大噪声．如图，压路工程车沿乡村公路由点A向点B匀速行驶，路边有一所牧区寄宿制小学C；点C与公路上、两点距离分别为、，公路总长，工程车周边120米范围为噪声影响区域． (1)求的度数； (2)学校C会受噪声影响吗？为什么？ (3)若压路工程车行驶速度为每分钟，则噪声持续干扰该小学的时间为多少分钟？ 【答案】(1)； (2)学校会受噪声影响 理由如下：过点作于点， 根据三角形面积公式可得， ； 压路工程车周围以内为受噪声影响区域，且， 学校会受噪声影响； (3)分钟． 【分析】（1）利用勾股定理逆定理即可解答； （2）根据三角形面积公式求得的值，即可解答； （3）在上取一点，使，连接，求得的长即可解答． 【详解】（1）解：点与直线上两点，的距离分别为和，， ，． 是直角三角形，且； （2）略 （3）解：在上取一点，使，连接， ， 当压路工程车在线段上时产生的噪声会影响学校． ， ， 在中， ，． ，（分钟）， 答：压路工程车产生的噪声影响该学校持续的时间为分钟． 12．寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷茶缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为，高为．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部． (1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口才合适．请你告诉老师，如图①放置时，搅拌棒至少需要 ； (2)如图②，老师新买的一根长为的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为，你能求出h的取值范围吗？ 【答案】(1)18 (2) 【分析】（1）图①中搅拌棒竖直放置，圆柱的高为，即杯内搅拌棒长度为，题目要求长出杯口，两者相加即可解答； （2）当搅拌棒斜放，从杯口边缘到杯底对角时，杯内长度最大，当搅拌棒竖直放置时，杯内长度最小，据此求解即可； 【详解】（1）解：根据题意可得搅拌棒至少需要； （2）解：当搅拌棒竖直放置时，露在杯子外的长； 由勾股定理得，搅拌棒在杯子里面的部分最长为， 露在杯子外面的长； ． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $