专题10 一次函数的图象与性质 暑假预习讲义 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题10 一次函数的图象与性质 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.函数图象画法：描点法（列表、描点、连线） 2.正比例函数(y=kx(k≠0) ◆图象特征、两点作图法 ◆k的符号与增减性、经过象限 3.一次函数 y=kx+b(k≠0) ●图象特征、坐标轴交点两点作图法 ●k：增减性；b：直线与 y 轴交点 ●k、b共同决定直线经过的象限 4.图象平移：y=kx 上下平移得到y=kx+b 5.平行判定：k 值相等，直线互相平行 ✺学习目标 · 掌握描点法画函数图象的步骤，理解一次函数的图象是一条直线； · 熟练运用两点法画出正比例函数、一次函数图象； · 理解系数 k、b 的作用，掌握一次函数、正比例函数的增减性； · 能依据 k、b 的符号判断直线经过的象限，初步建立数形结合思想； · 掌握一次函数图象上下平移规律，理解直线平行的条件。 ✺题型归纳 题型1.正比例函数的图象 题型2.正比例函数的性质 题型3.判断一次函数的图象 题型4.根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型5.已知函数经过的象限求参数范围 题型6.一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型7.求一次函数自变量或函数值 题型8.画一次函数图象 题型9.一次函数图象平移问题 题型10.一次函数图象与对称问题 题型11.一次函数图象与旋转问题 题型12.判断一次函数的增减性 题型13.根据一次函数增减性求参数 题型14.根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 题型15.比较一次函数值的大小 题型16.一次函数的规律探究问题 题型17.已知直线与坐标轴交点求方程的解 题型18.由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 题型19.利用图象法解一元一次方程 题型20.由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型21.根据两条直线的交点求不等式的解集 题型22.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、描点法画函数图象的一般步骤 1.列表--表中给出一些自变量的值及其对应的函数值 2.描点--在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。 3.连线--按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连起来。 知识点二、正比例函数的图象与性质 一般地，正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx 图象性质如下表： 知识点三、一次函数的图象和性质 1. 一次函数的图象和性质：一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象也是一条直线，我们称它为直线y=kx+b.图象及性质如下表： 2.直线y=kx+b(k≠0)与y轴交于点（0,b），与x轴相交于点（﹣）。 3.一次函数图象的画法 由函数解析式y=kx+b（k≠0）选取满足条件的两点（）,,过两点画直线，即得一次函数y=kx+b的图象。 知识点四、一次函数图象的平移 直线y=kx+b由正比例函数直线y=kx上下平移得到； 平移过程中 k 保持不变，因此平移前后两条直线互相平行。 1.平移规律 对于直线y=kx： · 向上平移 m(m>0)）个单位 → y=kx+m · 向下平移 m（m>0）个单位 →y=kx-m · 记忆口诀：上加下减（常数项） 知识点五、一次函数与一元一次方程 1.核心关联 已知一次函数y=kx+b(k≠0)， 当y=0时，解析式转化为方程：kx+b=0。 2.数形结合结论 代数角度：一元一次方程kx+b=0的解，就是当一次函数y=kx+b的函数值y=0时自变量 x 的取值。 图象角度：方程kx+b=0的解，是直线 y=kx+b与x轴交点的横坐标。 示例：直线y=2x-4，令y=0，得到方程2x-4=0，解得x=2。 直线 y=2x-4与 x 轴交点坐标为 (2,0)。 👉方程的解 = 直线与 x 轴交点横坐标。 知识点六、一次函数与一元一次不等式 设一次函数 y=kx+b，k、b为常数，k≠0 kx+b>0：求使函数值 y>0的自变量取值，对应直线位于x轴上方图象所对应的 x的范围； kx+b<0：求使函数值y<0的自变量取值，对应直线位于x轴下方图象所对应的 x 的范围。 ✺题型精讲 题型1.正比例函数的图象 1．正比例函数的图象是（     ） A． B． C． D． 2．若点和点在同一正比例函数图象上，则______． 3．已知y与成正比例，当时，． (1)求y与x的函数表达式； (2)若点在（1）中的函数图象上，请求出m的值． 题型2.正比例函数的性质 1．一个正比例函数的图象经过点，则该函数图象经过的点的坐标还可以是（     ） A． B． C． D． 2．函数的图象经过______象限，函数图象从左往右呈______趋势，y随x的增大而______；函数的图象经过第______象限，函数图象从左往右呈______趋势，y随x的增大而______． 3．已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的表达式； (2)判断点是否在这个函数的图象上； (3)已知图象上的两点，，如果，比较，的大小 题型3.判断一次函数的图象 1．已知函数的图象如图，则的图象可能是（     ） A． B． C． D． 2．无论k为何值，直线必过定点_______． 3．如图所示的是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数，当输入不同的x值时，将输出对应的y值． (1)当输入x的值分别为和2时，输出的y值分别是多少？ (2)图象中，可以是“函数求值机”中函数对应图象的是 ．（填写A、B、C或D） (3)求要使输出结果为2，应输入的x值． 题型4.根据一次函数解析式判断其经过的象限 1．一次函数的图象不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知一次函数且随的增大而增大，那么它的图象不经过第_______象限． 3．已知一次函数（为常数，）． (1)若该函数的图像经过原点，求的值； (2)当时，该函数图像经过第______象限． 题型5.已知函数经过的象限求参数范围 1．已知一次函数与（m，n为常数，且），则它们在同一平面直角坐标系内的图象可能为（     ） A． B． C． D． 2．已知一次函数的图像经过第一、三、四象限，那么a的取值范围为_________． 3．已知一次函数 (1)若图象经过，求的值； (2)若图象经过第一、二、四象限，求的取值范围． 题型6.一次函数图象与坐标轴的交点问题 1．函数的图象与的图象交x轴于同一点，那么（     ） A． B． C． D． 2．直线与轴的交点坐标是_________． 3．已知直线过点，求该直线与轴的交点的坐标． 题型7.求一次函数自变量或函数值 1．点在一次函数的图象上，则的值是（     ） A． B． C． D． 2．如果一次函数的图象无论取何值时都经过一个定点，那么这个定点的坐标是___________． 3．已知一次函数的图象经过点和 (1)求该一次函数的解析式； (2)求该函数图象与轴的交点坐标，判断点是否在该函数图象上． 题型8.画一次函数图象 1．如图，点，，是平面直角坐标系中第一象限内的三个点，画出经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到函数表达式为，和，当时，一次函数的图象应为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．无法确定 2．计算机可以帮助我们又快又准地画出函数的图象．用“几何画板”软件画出的函数和的图象如图所示．根据图象可知方程的解的个数为___________；若m，n分别为方程和的解，则m，n的大小关系是___________．    3．在如图所示平面直角坐标系中，画出直线． (1)若直线与，轴分别交于，两点，直接写出，两点的坐标； (2)求的面积． 题型9.一次函数图象平移问题 1．将一次函数的图象向上平移2个单位长度，所得新函数的解析式为（     ） A． B． C． D． 2．直线向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到直线______． 3．已知一次函数（）的图象经过点，． (1)求一次函数解析式； (2)将该一次函数的图象向下平移5个单位长度后经过点，求的值． 题型10.一次函数图象与对称问题 1．若直线与直线关于直线对称，则k、b值分别为（     ） A． B． C．， D．， 2．若一次函数与的图像关于y轴对称，则______ ，______． 3．对于直线，与它 (1)关于x轴成对称的直线解析式为 ． (2)关于y轴成对称的直线解析式为 ． (3)关于直线成对称的直线解析式为 ． 题型11.一次函数图象与旋转问题 1．在平面直角坐标系中，直线与函数的图象有且只有两个公共点，则的取值范围是（  ）． A． B． C． D． 2．已知点，，直线经过点．当该直线与线段有交点时，的取值范围是__________． 3．【问题提出】设点为轴上的一个动点，它与轴上表示的点的距离为．求关于的函数解析式，并画出这个函数的图象． (1)关于的函数解析式是（     ） A．    B．    C．    D． (2)补充表格，并在下方的平面直角坐标系中画出图象： (3)结合以上探究，写出2条关于这个函数的性质或图象特征的结论； 【拓展应用】 (4)请根据你对这个函数的认识进一步解答下面两个问题： ①若不同两点和都在该函数图象上，求与满足的关系式； ②若直线（）与该函数图象有两个交点，请直接写出的取值范围． 题型12.判断一次函数的增减性 1．关于一次函数，下列说法正确的是（     ） A．y随x的增大而增大 B．图象过点 C．图象与y轴交于 D．图象是一条经过原点的直线 2．已知函数，随着的增大而___________； 3．在平面直角坐标系中，一次函数（、都是常数，且）的图象经过点和． (1)求一次函数的表达式； (2)当时，求的取值范围． 题型13.根据一次函数增减性求参数 1．若点，在一次函数的图象上，且，则下列k的取值符合条件的是（     ） A． B． C． D． 2．已知一次函数，当时，有最大值，则_______． 3．已知一次函数． (1)若其图象与x轴交于点，求k的值； (2)当k为何值时，y随x的增大而减小？ 题型14.根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 1．若一次函数（、为常数，且）的图象经过点，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 2．若点，在一次函数（为常数）的图象上，则和的大小关系是__________（填“>”，“<”或“=”） 3．在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义： 如果，那么称点Q为点P的“关联点”，例如点的“关联点”为点，点的“关联点”为点． (1)点“关联点”是______________：点的“关联点”是____________； (2)如果一次函数图像上点的“关联点”是，求点的坐标； (3)如果点在函数的图像上，其“关联点”的纵坐标的取值范围是，直接写出实数a的取值范围． 题型15.比较一次函数值的大小 1．已知点，都在直线上，则，大小关系是（     ） A． B． C． D．不能比较 2．若点，在一次函数的图象上，则与的大小关系是________（填“”“”或“”）． 3．已知一次函数的图象经过，两点． (1)求k，的值； (2)若一次函数的图象与x轴的交点为A，求一次函数的图象与坐标轴围成三角形的面积； (3)当时，求y的取值范围． 题型16.一次函数的规律探究问题 1．如图，正方形，正方形，正方形，按如图方式排列，点在直线上，点在x轴上，则正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，直线的函数表达式为，在直线上顺次取点，，，，…，，构成形如“”的图形的阴影部分面积分别表示为，，，…，，则______． 3．根据学习一次函数的经验，数学社团的同学对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． (1)自变量的取值范围是全体实数．如表是与的几组对应值： … 0 1 2 3 4 … … 2 0 0 1 2 3 4 … 其中______； (2)在图中的平面直角坐标系中，描出表格中各对对应值为坐标的点，并画出该函数图象； (3)判断函数有最大值还是最小值？并直接写出当为何值时，的最大值或最小值是多少？ (4)已知函数（其中），当自变量的取值范围是时，该函数的最大值为，求的值． 题型17.已知直线与坐标轴交点求方程的解 1．直线经过点和点，则方程的解是（     ） A． B． C． D． 2．已知函数（）的图象经过点，则关于x的方程的解为______． 3．已知一次函数 和 （是常数，）， 我们称 是的迭代函数，如函数 的迭代函数是 ，即 ; 当 时，函数 的图象与它的迭代函数 的图象交于点 ， 我们称点 是这个函数的迭代点． (1)填空:函数 的迭代函数是_____，这个函数迭代点 的坐标为_____． (2)对于任意(，是常数，)的迭代函数，若、是其迭代函数图象上两个不重合的点，求证：当时，总有． (3)若点的坐标为，请写出的数量关系，并证明． 题型18.由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 1．若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 2．直线与轴的交点的坐标是，则关于的方程的解是______． 3．已知一次函数的图象经过点和． (1)求这个一次函数的解析式； (2)在图中描出点A，B并画出这个一次函数的图象； (3)该一次函数的图象与轴交于点，点为轴上的一个动点，若的面积为3．求点的坐标． 题型19.利用图象法解一元一次方程 1．在平面直角坐标系中，一次函数，均为常数）与正比例函数（为常数）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ）． A． B． C． D． 2．如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于的方程的解是_____． 3．学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象，进而研究函数的性质．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． … … … … (1)表中 ， ． (2)在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象． (3)根据（2）中的图象，探究该函数的性质： ①该函数的最大值为 ； ②若方程有两个解，则的取值范围是 ； ③请你再写出一条该函数的性质． 题型20.由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 1．在平面直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则关于的不等式组的解集是（     ） A． B． C． D． 2．如图，直线与坐标轴的两个交点分别为，，则不等式的解集为_________． 3．已知一次函数的图象经过点，． (1)求，的值； (2)在坐标系中画出这个函数的图象； (3)结合图象，直接写出不等式的解集：________． 题型21.根据两条直线的交点求不等式的解集 1．如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解为________． 3．如图，直线与x轴交于点，与直线的交点P的纵坐标为2． (1)求P的坐标及k，b的值； (2)直接写出关于x的不等式的解集． ✺巩固测试 一、单选题 1．在一次函数中，若，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2．已知直线，将它向左平移2个单位或者向上平移3个单位，都能经过点，则该直线的解析式是（     ） A． B． C． D． 3．下列各点在正比例函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，当时，一次函数的图象可能经过的点是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 二、填空题 6．一次函数的函数值随自变量的值增大而减小，则的取值范围是_____． 7．在平面直角坐标系中，已知，两点在直线上，则与大小关系是________． 8．如图，函数和的图象相交于，则关于的不等式的解集是________． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线与经过点，的直线交于点．若点在直线上，点在直线上，且，则的值为_______________． 10．如图，直线与y轴交于点A，将直线l绕点A旋转后，所得直线的表达式为________． 三、解答题 11．已知关于的函数，且该函数是正比例函数． (1)求的值； (2)若点，在该函数的图象上，请比较，的大小关系． 12．已知一次函数（）的图象经过点和． (1)求这个函数的解析式； (2)画出此一次函数的图象； (3)当时，直接写出的取值范围． 13．如图，平面直角坐标系中，直线与轴的交点为，与轴的交点为． (1)求直线的解析式及点的坐标，并画出直线； (2)将向下平移3个单位得到，求直线的解析式． 14．在某次物理实验课上，老师带领同学们探究小球的直线运动．如图，在平面直角坐标系中，直线、分别表示小球甲、小球乙的速度（）与运动时间x（）之间的函数关系． (1)求直线所对应的函数解析式； (2)运动多少秒后，小球甲的速度大于小球乙的速度？ 15．已知一次函数，它的图象经过点和． (1)求与之间的函数表达式； (2)一次函数的图象不经过第_________象限，随的增大而_________； (3)当时，直接写出自变量的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 一次函数的图象与性质 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.函数图象画法：描点法（列表、描点、连线） 2.正比例函数(y=kx(k≠0) ◆图象特征、两点作图法 ◆k的符号与增减性、经过象限 3.一次函数 y=kx+b(k≠0) ●图象特征、坐标轴交点两点作图法 ●k：增减性；b：直线与 y 轴交点 ●k、b共同决定直线经过的象限 4.图象平移：y=kx 上下平移得到y=kx+b 5.平行判定：k 值相等，直线互相平行 ✺学习目标 · 掌握描点法画函数图象的步骤，理解一次函数的图象是一条直线； · 熟练运用两点法画出正比例函数、一次函数图象； · 理解系数 k、b 的作用，掌握一次函数、正比例函数的增减性； · 能依据 k、b 的符号判断直线经过的象限，初步建立数形结合思想； · 掌握一次函数图象上下平移规律，理解直线平行的条件。 ✺题型归纳 题型1.正比例函数的图象 题型2.正比例函数的性质 题型3.判断一次函数的图象 题型4.根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型5.已知函数经过的象限求参数范围 题型6.一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型7.求一次函数自变量或函数值 题型8.画一次函数图象 题型9.一次函数图象平移问题 题型10.一次函数图象与对称问题 题型11.一次函数图象与旋转问题 题型12.判断一次函数的增减性 题型13.根据一次函数增减性求参数 题型14.根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 题型15.比较一次函数值的大小 题型16.一次函数的规律探究问题 题型17.已知直线与坐标轴交点求方程的解 题型18.由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 题型19.利用图象法解一元一次方程 题型20.由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型21.根据两条直线的交点求不等式的解集 题型22.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、描点法画函数图象的一般步骤 1.列表--表中给出一些自变量的值及其对应的函数值 2.描点--在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。 3.连线--按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连起来。 知识点二、正比例函数的图象与性质 一般地，正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx 图象性质如下表： 知识点三、一次函数的图象和性质 1. 一次函数的图象和性质：一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象也是一条直线，我们称它为直线y=kx+b.图象及性质如下表： 2.直线y=kx+b(k≠0)与y轴交于点（0,b），与x轴相交于点（﹣）。 3.一次函数图象的画法 由函数解析式y=kx+b（k≠0）选取满足条件的两点（）,,过两点画直线，即得一次函数y=kx+b的图象。 知识点四、一次函数图象的平移 直线y=kx+b由正比例函数直线y=kx上下平移得到； 平移过程中 k 保持不变，因此平移前后两条直线互相平行。 1.平移规律 对于直线y=kx： · 向上平移 m(m>0)）个单位 → y=kx+m · 向下平移 m（m>0）个单位 →y=kx-m · 记忆口诀：上加下减（常数项） 知识点五、一次函数与一元一次方程 1.核心关联 已知一次函数y=kx+b(k≠0)， 当y=0时，解析式转化为方程：kx+b=0。 2.数形结合结论 代数角度：一元一次方程kx+b=0的解，就是当一次函数y=kx+b的函数值y=0时自变量 x 的取值。 图象角度：方程kx+b=0的解，是直线 y=kx+b与x轴交点的横坐标。 示例：直线y=2x-4，令y=0，得到方程2x-4=0，解得x=2。 直线 y=2x-4与 x 轴交点坐标为 (2,0)。 👉方程的解 = 直线与 x 轴交点横坐标。 知识点六、一次函数与一元一次不等式 设一次函数 y=kx+b，k、b为常数，k≠0 kx+b>0：求使函数值 y>0的自变量取值，对应直线位于x轴上方图象所对应的 x的范围； kx+b<0：求使函数值y<0的自变量取值，对应直线位于x轴下方图象所对应的 x 的范围。 ✺题型精讲 题型1.正比例函数的图象 1．正比例函数的图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正比例函数的图象性质：图象必过原点，当时经过第一、三象限，并结合特殊点坐标进行判断． 【详解】解：函数是正比例函数， 其图象是一条经过原点的直线，故排除D， ， 图象经过第一、三象限，故排除A， 又当时，， 图象必经过点， 观察选项可知，B选项经过点，C选项经过点， C选项符合题意． 2．若点和点在同一正比例函数图象上，则______． 【答案】0 【分析】设出正比例函数的一般形式，将两点坐标分别代入解析式，得到和的表达式，计算的值即可. 【详解】解：设该正比例函数的解析式为， 点和点在该正比例函数图象上， 将代入解析式得：， 将代入解析式得：， . 3．已知y与成正比例，当时，． (1)求y与x的函数表达式； (2)若点在（1）中的函数图象上，请求出m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设y与的函数表达式为，把，代入求解即可； （2）把代入求解即可． 【详解】（1）解：与成正比例， 设y与的函数表达式为， 把，代入，得， ， 与x的函数表达式为； （2）解：点在的函数图象上， ． 题型2.正比例函数的性质 1．一个正比例函数的图象经过点，则该函数图象经过的点的坐标还可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设正比例函数的一般解析式，代入已知点求出解析式，再将选项中点坐标代入验证，即可得到正确结果． 【详解】解：设该正比例函数解析式为， ∵函数图象经过点， ∴将代入解析式得， 解得， ∴该正比例函数解析式为， A选项，时，，不符合； B选项，时，，不符合； C选项，时，，不符合； D选项，时，，符合解析式要求． 2．函数的图象经过______象限，函数图象从左往右呈______趋势，y随x的增大而______；函数的图象经过第______象限，函数图象从左往右呈______趋势，y随x的增大而______． 【答案】 一、三 上升 增大 二、四 下降 减小 【分析】根据正比例函数的性质，由的符号判断函数图象位置和增减性． 【详解】解：∵中， ∴函数的图象经过一、三象限，图象从左往右呈上升趋势，随的增大而增大； ∵中， ∴函数的图象经过二、四象限，图象从左往右呈下降趋势，随的增大而减小． 3．已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的表达式； (2)判断点是否在这个函数的图象上； (3)已知图象上的两点，，如果，比较，的大小 【答案】(1) (2) 点不在这个函数的图象上，点在这个函数的图象上. (3) 【分析】（）根据点的坐标，利用待定系数法可求出正比例函数的表达式； （）分别代入及，求出与之对应的值，对比点的纵坐标即可得出结论； （）根据正比例函数的性质：由，随的增大而减小，即可得出． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象过点， ∴把，代入解析式得：， 解得， ∴函数表达式为； （2）解：：把代入，得，，因此点不在图象上； 对点：把代入，得，计算结果和点的纵坐标相等，因此点在图象上； ∴点不在这个函数的图象上，点在这个函数的图象上； （3）解：∵正比例函数中，比例系数， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴对应的函数值满足． 题型3.判断一次函数的图象 1．已知函数的图象如图，则的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一次函数的图象和性质判断即可． 【详解】由函数的图象，可得，， 对于一次函数， 一次项系数， 图象经过第一、三象限 ， 常数项， 图象与轴交于负半轴 一次函数的图象经过一、三、四象限， 只有选项C图象符合题意． 2．无论k为何值，直线必过定点_______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据可化为，当时，，即可求出定点坐标，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：直线， 当时，， ∴直线必过定点， 故答案为：． 3．如图所示的是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数，当输入不同的x值时，将输出对应的y值． (1)当输入x的值分别为和2时，输出的y值分别是多少？ (2)图象中，可以是“函数求值机”中函数对应图象的是 ．（填写A、B、C或D） (3)求要使输出结果为2，应输入的x值． 【答案】(1)和 (2)A (3)或 【分析】本题考查了函数的图像以及函数的值，读懂“函数求值机”的示意图，并用分类讨论思想分析问题是解本题的关键． （1）把，分别代入“函数求值机”可得其值； （2）根据函数图像的特点，即可找出对应的图像； （3）分类讨论：①当时，，求出符合题意的值；②当时，，求出符合题意的值． 【详解】（1）解：， ； ， ； ∴输出的值分别是和； （2）解：当时，，，，图像下降，交于轴的正半轴； 当时，，，，图像上升， 且时，， 综上所述，符合对应的图像是A选项． 故答案为：A； （3）解：①当时，， 即，解得：， ，符合题意； ②当时，， 即，解得：， ，符合题意； ∴应输入的值为或． 题型4.根据一次函数解析式判断其经过的象限 1．一次函数的图象不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据一次函数中和的符号即可判断图象经过的象限，即可求出不经过的象限． 【详解】解：∵ 一次函数中， ，， ∴ 一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 2．已知一次函数且随的增大而增大，那么它的图象不经过第_______象限． 【答案】二 【详解】解：一次函数的常数项为， ∴函数图象与轴交于负半轴， ∵一次函数且随的增大而增大， 函数图象经过一、三、四象限，不经过第二象限． 3．已知一次函数（为常数，）． (1)若该函数的图像经过原点，求的值； (2)当时，该函数图像经过第______象限． 【答案】(1) (2)一、三、四 【分析】本题考查一次函数图像与性质，涉及函数图像过点求参数、函数图像所在象限等，熟记一次函数图像与性质，数形结合求解是解决问题的关键． （1）将原点代入，解方程求解即可得到答案； （2）根据一次函数图像与性质判定即可得到答案． 【详解】（1）解：一次函数的图像经过原点， ，解得； （2）解：， 函数值随着的增大而增大，，即该函数图像经过第一、三、四象限， 故答案为：一、三、四． 题型5.已知函数经过的象限求参数范围 1．已知一次函数与（m，n为常数，且），则它们在同一平面直角坐标系内的图象可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据这两个函数图象的性质判断出哪一条直线表示一次函数，哪一条直线表示正比例函数； 再根据各个选项中一次函数和正比例函数的图象判断两个函数的系数m、n范围是否相符合，由此即可解题； 【详解】解：根据正比例函数图象的性质可知，该函数图象经过原点，即经过原点的直线代表正比例函数，另一条直线代表一次函数， A、由正比例函数的图象可知，由一次函数的图象可知，，，故，两结论相矛盾，故本选项错误； B、由正比例函数的图象可知，由一次函数的图象可知，，，故，两结论相矛盾，故本选项错误； C、由正比例函数的图象可知，由一次函数的图象可知，，，故，两结论相矛盾，故本选项错误； D、由正比例函数的图象可知，由一次函数的图象可知，，，故，两结论一致，故本选项正确． 2．已知一次函数的图像经过第一、三、四象限，那么a的取值范围为_________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图像与性质，解题关键是掌握一次函数图像与系数的关系，对于一次函数，当，时，图像经过第一、三、四象限，本题中，只需满足一次项系数大于，解不等式即可得到的取值范围. 【详解】解：一次函数的图像经过第一、三、四象限， ， 解得 ， 故答案为 3．已知一次函数 (1)若图象经过，求的值； (2)若图象经过第一、二、四象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，代入即可求出的值； （2）根据一次函数图象经过第一、二、四象限的性质，得到一次项系数和常数项的符号，解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：将，代入函数解析式，得 解得：． （2）解：∵的图象经过第一、二、四象限， ∴ ， 解不等式得， 解不等式得 ∴的取值范围是． 题型6.一次函数图象与坐标轴的交点问题 1．函数的图象与的图象交x轴于同一点，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用轴上点的纵坐标为0，结合两函数与轴交点横坐标相等列等式求解． 【详解】解：在中，令，则，解得， 在中，令，则，解得， ∵两函数图象交轴于同一点， ∴， 整理得， ∴． 2．直线与轴的交点坐标是_________． 【答案】 【分析】根据y轴上点的坐标特征，y轴上点的横坐标为，因此令，计算得到对应的值，即可得到直线与y轴的交点坐标． 【详解】解：令，则． 因此直线与轴的交点坐标为． 3．已知直线过点，求该直线与轴的交点的坐标． 【答案】 【详解】解：把代入，得， 解得， 该直线的解析式为， 令，得， 该直线与轴的交点的坐标为． 题型7.求一次函数自变量或函数值 1．点在一次函数的图象上，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“点在函数图像上，则点的坐标满足函数解析式”，只需将点的横坐标代入解析式即可计算出的值． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴． 2．如果一次函数的图象无论取何值时都经过一个定点，那么这个定点的坐标是___________． 【答案】 【分析】将原一次函数解析式整理，分离出参数，由定点坐标与的取值无关，令的系数为求出，再代入解析式求出，即可得到定点坐标． 【详解】解： ∵无论取何值，函数图象都经过定点，即与无关， ∴令的系数为，得 解得 将代入变形后的解析式，得 ∴这个定点的坐标为． 3．已知一次函数的图象经过点和 (1)求该一次函数的解析式； (2)求该函数图象与轴的交点坐标，判断点是否在该函数图象上． 【答案】(1) (2)，点不在该函数图象上． 【分析】（1）设一次函数解析式为，把已知两点坐标代入求出k与b的值，即可确定出解析式； （2）将代入解析式计算y的值，与6比较即可． 【详解】（1）解：设该一次函数的关系式为， 将点和代入，得：，     解得：，     ∴该函数关系式为．     （2）解：当时，， 解得：， ∴该函数图象与x轴的交点坐标是；     当时，， ∵， ∴点不在该函数图象上． 题型8.画一次函数图象 1．如图，点，，是平面直角坐标系中第一象限内的三个点，画出经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到函数表达式为，和，当时，一次函数的图象应为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象，作直线、、，求出当时，，，，画出直线，由函数图象并结合即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图，作直线、、， 当时，，，， ∵， ∴如图，画出直线，结合图象可得，一次函数的图象应为直线， 故选：C． 2．计算机可以帮助我们又快又准地画出函数的图象．用“几何画板”软件画出的函数和的图象如图所示．根据图象可知方程的解的个数为___________；若m，n分别为方程和的解，则m，n的大小关系是___________．    【答案】 3 【分析】利用函数和的图象交点个数判断方程的解的个数，作出直线，然后通过比较直线与函数和的图象的交点位置判断m、n的大小． 【详解】解：由函数图象可知，函数和的图象有三个交点， 所以方程的解的个数为3； 作直线，如图，函数的图象与直线的交点在的图象与直线的交点的右侧， 则． 故答案为3；．    【点睛】本题考查图象法解方程和不等式，解题的关键是利用图象的交点，解方程和不等式． 3．在如图所示平面直角坐标系中，画出直线． (1)若直线与，轴分别交于，两点，直接写出，两点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)解：列表， 描点，连线， ， ∴点，； (2)． 【分析】通过列表、描点、连线的步骤即可画出函数图象，再由图象可得，两点的坐标； 由，，则，，然后通过的面积为即可求解． 【详解】（1）解：画图略， 由图象可知，，； （2）解：∵，， ∴，， ∴的面积为． 题型9.一次函数图象平移问题 1．将一次函数的图象向上平移2个单位长度，所得新函数的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数图象的平移规律，上下平移遵循“上加下减”的规则，仅改变常数项，不改变一次项系数，按规律计算即可得到结果． 【详解】解：将向上平移2个单位长度，可得新解析式． 2．直线向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到直线______． 【答案】 【分析】利用一次函数平移规律：上加下减常数项，左加右减自变量，逐步计算即可得到平移后的直线解析式． 【详解】解：原直线解析式为 ， 将直线向下平移个单位，根据平移规律，常数项减，得：， 再向左平移个单位，根据平移规律，将替换为，得： 展开整理得： ∴平移后得到的直线为 ． 3．已知一次函数（）的图象经过点，． (1)求一次函数解析式； (2)将该一次函数的图象向下平移5个单位长度后经过点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据待定系数法求得即可； （2）根据平移性质，得出平移后的解析式为，再把代入进行计算，即可求得m的值． 【详解】（1）解：将，代入中得， 解得：， ∴一次函数表达式为； （2）解：由（1）知，一次函数表达式为， 将该函数图象向下平移5个单位长度，得， 将代入中，得， 解得． 题型10.一次函数图象与对称问题 1．若直线与直线关于直线对称，则k、b值分别为（     ） A． B． C．， D．， 【答案】A 【分析】由题意易得直线与x轴、y轴的交点坐标为，然后可得点关于直线的对称点坐标分别为，进而问题可求解． 【详解】解：当时，则有，解得：，当时，则有， ∴直线与x轴、y轴的交点坐标为， ∴点关于直线的对称点坐标分别为， ∵直线与直线关于直线对称， ∴把点代入得： ， 解得：． 2．若一次函数与的图像关于y轴对称，则______ ，______． 【答案】 3 【分析】此题考查了一次函数的图象与几何变换，关键是能准确理解题意，运用对称性求得m、n的值是解题的关键． 根据函数图像关于y轴对称的性质，对应点坐标满足横坐标互为相反数、纵坐标相等，直线关于y轴对称的直线为，然后通过系数比较即可求解． 【详解】解：直线关于y轴对称的直线为， ∵一次函数与的图像关于y轴对称， ∴， 故答案为：，3． 3．对于直线，与它 (1)关于x轴成对称的直线解析式为 ． (2)关于y轴成对称的直线解析式为 ． (3)关于直线成对称的直线解析式为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据关于x轴成对称的直线上的对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，得到点在直线上，代入即可得出结果； （2）根据关于y轴成对称的直线上的对应点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，得到点在直线上，代入即可得出结果； （3）根据关于直线成对称的对应点的横纵坐标位置互换，得到点在直线上，代入即可得出结果. 【详解】（1）解：关于x轴成对称的直线上的对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数， 设点在对称的直线上，则点在直线上， ∴， ∴； （2）解：关于y轴成对称的直线上的对应点的纵坐标相同，横坐标互为相反数， 设点在对称的直线上，则点在直线上， 故， ∴； （3）解：关于直线成对称的直线上的对应点的横纵坐标位置互换， 设点在对称的直线上，则点在直线上， 故， ∴. 题型11.一次函数图象与旋转问题 1．在平面直角坐标系中，直线与函数的图象有且只有两个公共点，则的取值范围是（  ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将绝对值函数化为分段函数，结合直线恒过定点的性质，根据特殊位置的斜率判断k的取值范围即可． 【详解】先对去绝对值，分段得： 当时，； 当时，； 当时，， 经过端点和， 直线恒过定点， 如图， 当：直线过、，此时直线与分段函数只有个交点； 当：直线绕向上旋转，斜率大于、小于，此时直线和分段函数有个交点； 当：直线，与的射线平行（无交点），和左侧两段图像恰好个交点； 当：直线斜率大于，与的射线无交点，此时和分段函数产生个交点，不符合题意， 综上，当时，直线与函数图象有且只有两个公共点． 2．已知点，，直线经过点．当该直线与线段有交点时，的取值范围是__________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标的特征的等知识点，利用待定系数法求出临界值是解题的关键． 利用临界法求得直线和的解析式即可解答． 【详解】解：当时， ∵直线经过点，， ∴，解得∶ ∴， 当时， ∵直线经过点，， ∴，解得：， ∴． 综上，当该直线与线段有交点时，k的取值范围是：或． 故答案为或． 3．【问题提出】设点为轴上的一个动点，它与轴上表示的点的距离为．求关于的函数解析式，并画出这个函数的图象． (1)关于的函数解析式是（     ） A．    B．    C．    D． (2)补充表格，并在下方的平面直角坐标系中画出图象： (3)结合以上探究，写出2条关于这个函数的性质或图象特征的结论； 【拓展应用】 (4)请根据你对这个函数的认识进一步解答下面两个问题： ①若不同两点和都在该函数图象上，求与满足的关系式； ②若直线（）与该函数图象有两个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)D (2) (3)解：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；当时，取最小值为0；（答案不唯一） (4)①；② 【分析】（1）轴上两点之间的距离； （2）分别将的值代入函数解析式中，即可求出所对应的函数值，填入表格即可；在平面直角坐标系中描点并连线； （3）观察函数图像可知：随的变化情况，最值的情况，函数图像为轴对称图形等，写两点即可； （4）①由对称点到对称中心的距离相等即可得； ②可知（）过定点，数形结合，当直线绕点逆时针旋转到与部分的函数图像平行时，与该函数只有一个交点，继续旋转至过点时，也只有一个交点，在二者之间即为两个交点的时候，注意． 【详解】（1）解：由题意可知：； （2）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 图像见答案； （3）略． （4）①由函数图像可知：函数值相等的两个点到直线的距离相等， ，即； ②在（）中，当时，， 函数恒过定点， ， 结合图像可知：当与部分的函数图像平行时，与该函数只有一个交点，此时，将绕点旋转至经过时，此时与该函数只有一个交点，在二者之间即为两个交点的时候，注意， 把代入中得， ． 题型12.判断一次函数的增减性 1．关于一次函数，下列说法正确的是（     ） A．y随x的增大而增大 B．图象过点 C．图象与y轴交于 D．图象是一条经过原点的直线 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：对于一次函数， ∵一次项系数为， ∴随的增大而减小，A错误； 将代入解析式，得， ∴图象不过点，B错误； 将代入解析式，得， ∴图象与轴交于点，C正确； ∵当时，， ∴图象不经过原点，D错误． 2．已知函数，随着的增大而___________； 【答案】 减小 【分析】根据一次函数一次项系数的符号即可判断随的变化趋势． 【详解】解：由，可得， ， 随着的增大而减小． 3．在平面直角坐标系中，一次函数（、都是常数，且）的图象经过点和． (1)求一次函数的表达式； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点和代入一次函数，分别求出与，即可得到答案； （2）根据得到随的增大而减小，结合的取值范围，得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点和， ∴将点和代入一次函数，得 ， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：由（1）可知，一次函数的表达式为，， ∴随的增大而减小， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型13.根据一次函数增减性求参数 1．若点，在一次函数的图象上，且，则下列k的取值符合条件的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知点的横坐标和对应纵坐标的大小关系，判断一次函数的增减性，得到k的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵点，满足，且， ∴在一次函数中，随的增大而增大， ∴， ∴， 选项中只有符合条件，故选项D符合题意． 2．已知一次函数，当时，有最大值，则_______． 【答案】 或 【分析】本题根据一次函数的增减性，对一次项系数分大于0和小于0两种情况讨论，结合给定区间内y的最大值为5，分别计算得到k的值，排除一次项系数为0的不符合情况即可． 【详解】解：已知一次函数为，自变量范围为，y的最大值为． 当，即时，随的增大而增大， ∴时，取得最大值， 代入得， 解得； 当，即时， 随的增大而减小， ∴时，取得最大值， 代入得， 解得； 当，即时，， 不符合最大值为，舍去． 故的值为或． 3．已知一次函数． (1)若其图象与x轴交于点，求k的值； (2)当k为何值时，y随x的增大而减小？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入计算即可得出结果； （2）由一次函数的性质可得，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：把代入得， 解得； （2）解：由题意得， 解得， ∴当时，y随x的增大而减小． 题型14.根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 1．若一次函数（、为常数，且）的图象经过点，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一次函数增减性与已知点的函数值直接求解，无需计算解析式． 【详解】解：∵一次函数中， ∴随的增大而减小， ∵函数图象经过点，即当时，， ∴不等式的解集为． 2．若点，在一次函数（为常数）的图象上，则和的大小关系是__________（填“>”，“<”或“=”） 【答案】< 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，根据一次函数的比例系数判断函数的增减性，再结合两点纵坐标的大小即可比较横坐标的大小． 【详解】解： 一次函数中，， 随的增大而减小， 点，在一次函数的图象上，且， ． 3．在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义： 如果，那么称点Q为点P的“关联点”，例如点的“关联点”为点，点的“关联点”为点． (1)点“关联点”是______________：点的“关联点”是____________； (2)如果一次函数图像上点的“关联点”是，求点的坐标； (3)如果点在函数的图像上，其“关联点”的纵坐标的取值范围是，直接写出实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2)点或 (3) 【分析】本题考查了新定义“关联点”的理解与应用，熟练掌握一次函数的性质和分类讨论是解答本题的关键． （1）根据“关联点”的定义可求出给定两点的“关联点”； （2）分别代入和求出与之对应的x值，结合“关联点”的定义可得出点M的坐标； （3）先根据“关联点”的定义分情况讨论的表达式，再结合的取值范围确定a的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意得，点的“关联点”是，点的“关联点”是， 故答案为：； （2）解：当时，点， 则，解得：； 当时，点， ，解得：， ∴点或； （3）解： ∵点P在函数的图像上， ∴设点P的坐标为， 当时，其关联点的纵坐标， ∵， ∴随x的增大而增大， ∴， 当时，其关联点的纵坐标， 此时， 综上，要使“关联点”的纵坐标的取值范围是， a须满足且， 解得． 题型15.比较一次函数值的大小 1．已知点，都在直线上，则，大小关系是（     ） A． B． C． D．不能比较 【答案】A 【详解】解：， 随的增大而减小， 又， ． 2．若点，在一次函数的图象上，则与的大小关系是________（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】根据一次函数的性质判断函数增减性，再结合两点横坐标大小判断纵坐标大小. 【详解】解：在一次函数中，， ∴随的增大而减小， ∵点，，在一次函数的图象上，且， ∴. 3．已知一次函数的图象经过，两点． (1)求k，的值； (2)若一次函数的图象与x轴的交点为A，求一次函数的图象与坐标轴围成三角形的面积； (3)当时，求y的取值范围． 【答案】(1)的值为1，的值为2 (2)2 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点的坐标，再利用三角形的面积公式求解即可； （3）先分别求出当时和当时，的值，再根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过，两点， ∴， 解得， ∴的值为1，的值为2． （2）解：由（1）可知，直线的解析式为， 将代入函数得：，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵轴轴， ∴一次函数的图象与坐标轴围成的的面积为． （3）解：∵一次函数的解析式为， ∴当时，；当时，， 又∵在一次函数中，， ∴随的增大而增大， ∴当时，． 题型16.一次函数的规律探究问题 1．如图，正方形，正方形，正方形，按如图方式排列，点在直线上，点在x轴上，则正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，，，即可． 【详解】解：∵直线与y轴交于点， ∴，， 当时，， ∴，， 当时，， ∴，， …， ∴， 即正方形的边长为． 2．如图，直线的函数表达式为，在直线上顺次取点，，，，…，，构成形如“”的图形的阴影部分面积分别表示为，，，…，，则______． 【答案】 【分析】根据题意，分别求出，，，然后找出规律，即可求出结果． 【详解】解：∵，，，，…，， ∴， ， ， …… ∴， ∴． 3．根据学习一次函数的经验，数学社团的同学对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． (1)自变量的取值范围是全体实数．如表是与的几组对应值： … 0 1 2 3 4 … … 2 0 0 1 2 3 4 … 其中______； (2)在图中的平面直角坐标系中，描出表格中各对对应值为坐标的点，并画出该函数图象； (3)判断函数有最大值还是最小值？并直接写出当为何值时，的最大值或最小值是多少？ (4)已知函数（其中），当自变量的取值范围是时，该函数的最大值为，求的值． 【答案】(1)1 (2)如图所示： (3)函数有最小值，当时，有最小值，最小值是 (4) 【分析】（1）把代入函数解析式，进行求解即可； （2）描点，连线，画出函数图象即可； （3）直接根据图象作答即可； （4）根据给定的函数解析式，推出当时，函数值最大，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，； （2）略 （3）略 （4）解：∵（其中）， ∴当时，函数有最小值为，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大， ∵， ∴ ∵， ∴到的距离小于3到的距离， ∴当时，函数值最大为， 解得. 题型17.已知直线与坐标轴交点求方程的解 1．直线经过点和点，则方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元一次方程的解是一次函数的图象与轴交点的横坐标，即当时对应的自变量的值． 【详解】解：直线经过点， 当时，， 方程的解是． 2．已知函数（）的图象经过点，则关于x的方程的解为______． 【答案】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，方程的解即为函数值为时对应的自变量的值，结合已知条件即可求解. 【详解】解：函数（）的图象经过点， 当时，， 关于的方程的解为. 3．已知一次函数 和 （是常数，）， 我们称 是的迭代函数，如函数 的迭代函数是 ，即 ; 当 时，函数 的图象与它的迭代函数 的图象交于点 ， 我们称点 是这个函数的迭代点． (1)填空:函数 的迭代函数是_____，这个函数迭代点 的坐标为_____． (2)对于任意(，是常数，)的迭代函数，若、是其迭代函数图象上两个不重合的点，求证：当时，总有． (3)若点的坐标为，请写出的数量关系，并证明． 【答案】(1)， (2) 证明：由题意可得函数的迭代函数为（是常数，）， 即， ∵， ∴， ∴在函数中，y随x的增大而增大， ∵、是其迭代函数图象上两个不重合的点， ∴当时，总有； (3) 解：．证明如下： 由题意可得：函数 的图象与它的迭代函数的图象交于点P， 联列可得： ， 解得： ， 即点P坐标为， ∴若点P的坐标为时，则m，n的数量关系为． 【分析】（1）根据题意即可写出函数的迭代函数，再与函数联列，求解即可得到迭代点的坐标； （2）根据题意写出的迭代函数，根据，即可证明y随x的增大而增大； （3）联列函数和它的迭代函数，即可求出点P，故若点P的坐标为时，则有． 本题考查了一次函数的性质，两条直线相交或平行问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得函数的迭代函数为， 即， 联列可得， 解得， ∴函数迭代点的坐标为； 故答案为：，； （2）略 （3）略 题型18.由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 1．若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，一元一次方程的解，对应直线中时的值，据此可确定直线经过的点． 【详解】解：方程的解是， 当时，， 直线一定经过点． 2．直线与轴的交点的坐标是，则关于的方程的解是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，根据一次函数与一元一次方程的关系即可求解，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵直线与轴的交点坐标是， ∴当时，， ∴方程的解是， 故答案为：． 3．已知一次函数的图象经过点和． (1)求这个一次函数的解析式； (2)在图中描出点A，B并画出这个一次函数的图象； (3)该一次函数的图象与轴交于点，点为轴上的一个动点，若的面积为3．求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先描点，再连线画出函数图象即可； （3）先求出点C的坐标，再根据题意可得，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：将点和代入，得， 解得， 这个一次函数的解析式为； （2）略； （3）解：当时，， 解得， 点的坐标为． 点为轴上的一个动点，的面积为3， ， ， ， ，， 点的坐标为或． 题型19.利用图象法解一元一次方程 1．在平面直角坐标系中，一次函数，均为常数）与正比例函数（为常数）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对方程变形，整理得；方程的解，就是直线与直线交点的横坐标，结合图象交点坐标即可求解． 【详解】解：对方程移项变形： ， 方程的几何意义：正比例函数与一次函数的函数值相等． 由图象可知，直线和的交点坐标为，交点横坐标为． 因此方程的解为． 2．如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于的方程的解是_____． 【答案】 【分析】方程的几何意义：求一次函数与正比例函数函数值相等时对应的自变量，也就是两条直线交点的横坐标．交点的横坐标即为方程的解． 【详解】解：方程等价于求时的取值，对应两个函数图像的交点横坐标． 由图可知，直线与的交点坐标为，该点横坐标为． 因此当时，成立，方程的解是． 3．学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象，进而研究函数的性质．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． … … … … (1)表中 ， ． (2)在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象． (3)根据（2）中的图象，探究该函数的性质： ①该函数的最大值为 ； ②若方程有两个解，则的取值范围是 ； ③请你再写出一条该函数的性质． 【答案】(1)； (2)如图所示． (3)①；②；③关于轴对称．（答案不唯一） 【分析】（1）将和代入函数关系式，即可求出、的值； （2）描出表中各组对应值为坐标的点，即可画出函数图象； （3）结合函数图象直接作答即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，； （2）略 （3）解：①由函数图象可知，该函数的最大值为1； ②方程有两个解， 函数的图象与直线有两个交点， 的取值范围是； ③关于轴对称．（答案不唯一）． 题型20.由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 1．在平面直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则关于的不等式组的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法求解，再进一步解不等式组即可． 【详解】解：∵与坐标轴的交点坐标为：， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 关于的不等式组的解集是． 2．如图，直线与坐标轴的两个交点分别为，，则不等式的解集为_________． 【答案】 【分析】根据图像确定直线与轴的交点坐标，结合图像在轴下方的部分对应的的取值范围进行求解． 【详解】解：由图像可知，直线与轴的交点为． 函数随的增大而增大， 当时，，即． ∴不等式的解集为． 3．已知一次函数的图象经过点，． (1)求，的值； (2)在坐标系中画出这个函数的图象； (3)结合图象，直接写出不等式的解集：________． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）把点，的坐标代入，可得方程组，解方程组即可求出、的值； （2）在平面直角坐标系中描出点、，连接直线即为函数图象； （3）由函数图象找到不等式的解集． 【详解】（1）解：把点，的坐标代入， 可得：， 解得：； （2）略 （3）解：由函数图象可知，不等式的解集是． 题型21.根据两条直线的交点求不等式的解集 1．如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察函数图象，确定两直线交点的横坐标，根据不等式的几何意义，找出直线在直线下方时对应的的取值范围即可求解． 【详解】解：由图象可知，一次函数与的交点的横坐标为 ∵不等式表示直线的图象在直线的图象下方 ∴观察图象可知，当时，直线在直线的下方 关于的不等式的解集是 故选：B． 2．如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解为________． 【答案】 【分析】首先将点的坐标代入直线的解析式求出的值，确定交点横坐标，再根据图象找出直线在直线上方（包括交点）时对应的的取值范围即可． 【详解】解：直线过点， ， 解得， 点的坐标为， 由图象可知，当时，直线的图象在直线的图象上方或重合， 关于的不等式的解为． 3．如图，直线与x轴交于点，与直线的交点P的纵坐标为2． (1)求P的坐标及k，b的值； (2)直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先由直线求出交点，再由待定系数法求解即可； （2）由函数图象即可求解． 【详解】（1）解：由题意将代入，得， 解得：， ∴点， 将代入， 则， 解得：； （2）解：由函数图象可得，当时，直线在直线的上方， ∴的解集为． ✺巩固测试 一、单选题 1．在一次函数中，若，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一次项系数判断一次函数的增减性，再代入x的端点值计算即可得到y的取值范围． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴随的增大而增大， 当时，， 当时，， ∵， ∴的取值范围为． 2．已知直线，将它向左平移2个单位或者向上平移3个单位，都能经过点，则该直线的解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移的性质得到直线向左平移2个单位或者向上平移3个单位后的解析式，再将点分别代入平移后的解析式得到关于和的方程组，解方程组，从而求出该直线的解析式． 【详解】解：将直线向左平移2个单位后的解析式为， 将点代入得：， 将直线向上平移3个单位后的解析式为， 将点代入得：， 联立， 解得：， 直线解析式为． 3．下列各点在正比例函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将各点横坐标代入函数解析式，计算得到的与点的纵坐标对比，相等则点在图象上，反之不在． 【详解】解：对正比例函数，依次代入检验： 选项A，当时，，计算结果与点的纵坐标相等，因此该点在函数图象上； 选项B，当时，，因此该点不在函数图象上； 选项C，当时，，因此该点不在函数图象上； 选项D，当时，，因此该点不在函数图象上． 4．在平面直角坐标系中，一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据 、 的符号确定图象经过的象限及与 轴交点位置，即可解题． 【详解】解：∵ 中 ， ∴图象经过第一、三象限， ∵， ∴图象与 轴的负半轴相交， 综上，图象经过第一、三、四象限， 即一次函数的图象大致是． 5．如图，在平面直角坐标系中，当时，一次函数的图象可能经过的点是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】根据一次函数中、的符号确定图象经过的象限及增减性，结合图象上各点的位置进行判断． 【详解】解：一次函数中，， 图象与轴交于点， ， 随的增大而减小，图象经过第二、三、四象限， 当时，；当时，， 由图象得，点在第一象限，故A选项不符合题意； 点在第四象限，且纵坐标大于，故D选项不符合题意； 点在第三象限，且纵坐标小于，故C选项不符合题意； 点在第二象限，且纵坐标大于，故B选项符合题意． 二、填空题 6．一次函数的函数值随自变量的值增大而减小，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据一次函数的性质，当一次函数的函数值随自变量增大而减小时，一次项系数小于，据此列出关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的函数值随自变量的值增大而减小， ∴， 解得． 7．在平面直角坐标系中，已知，两点在直线上，则与大小关系是________． 【答案】/ 【分析】先根据一次函数解析式判断函数的增减性，再结合两点横坐标的大小关系，即可比较纵坐标和的大小． 【详解】解：对于直线 ，一次项系数 ， ∴随的增大而增大， ∵，，两点横坐标满足， ∴． 8．如图，函数和的图象相交于，则关于的不等式的解集是________． 【答案】 【分析】先把代入得到，再把点坐标代入求出，接着计算出直线与轴的交点坐标，然后找出直线在轴上方且在直线的下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：将代入得， ，解得， ∴， 将代入得， ，解得， ∴， 当时，， 则直线与轴的交点坐标为， ∴不等式的解集是． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线与经过点，的直线交于点．若点在直线上，点在直线上，且，则的值为_______________． 【答案】 【分析】先利用待定系数法求出直线的解析式，再根据点在函数图象上的性质，用含的代数式分别表示出和，最后根据已知条件列出关于的方程求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 把点，代入解析式， 则， 解得， 直线的解析式为， 点在直线上， ， 点在直线上， ， ， ， 解得， 即的值为． 10．如图，直线与y轴交于点A，将直线l绕点A旋转后，所得直线的表达式为________． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，待定系数法求解析式的综合，，则，由题意知所得直线与原直线垂直，故与y轴的正半轴的夹角为，得出点，，代入解析式，即可得出答案． 【详解】解∶ 记直线l与x轴的交点为B，旋转后得直线与x轴的交点为． 在中令，则，故点， ． 令，则，故点， ． ． ． 由题意知所得直线与原直线垂直， 故与y轴的正半轴的夹角为，即． 轴， ． ． ． ． 设， 把点，代入的解析式中有 解得 故：． 故答案为∶ ． 三、解答题 11．已知关于的函数，且该函数是正比例函数． (1)求的值； (2)若点，在该函数的图象上，请比较，的大小关系． 【答案】(1)的值为 (2) 【分析】（1）根据正比例函数定义建立等式与不等式求解，即可解题； （2）根据（1）得到正比例函数解析式，再根据正比例函数性质分析求解，即可解题． 【详解】（1）解：∵函数是正比例函数， ，         解得， 的值为； （2）解：由（1）中，得，                         ， 随的增加而减少，                                 ， ． 12．已知一次函数（）的图象经过点和． (1)求这个函数的解析式； (2)画出此一次函数的图象； (3)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将已知两点坐标代入一次函数解析式，求解参数得到解析式； （2）利用两点确定一条直线的规律，作一次函数的图象； （3）解关于的一元一次不等式，得到时的取值范围． 【详解】（1）解：∵一次函数（）的图象经过点， ∴， ∵图象经过点， ∴，， ∴这个函数的解析式为； （2）略 （3）解：时，， ， ． 13．如图，平面直角坐标系中，直线与轴的交点为，与轴的交点为． (1)求直线的解析式及点的坐标，并画出直线； (2)将向下平移3个单位得到，求直线的解析式． 【答案】(1)，， 画图如下： (2)直线的解析式 【分析】（1）将代入得：，再进一步描点画图即可； （2）设的解析式为，结合题意得，l向下平移3个单位过点，进一步求解即可． 【详解】（1）解：将代入得：， ， 令，则， 解得：， ， 如图略； （2）解：设的解析式为， 由题意得，l向下平移3个单位过点， 将代入得， ， 14．在某次物理实验课上，老师带领同学们探究小球的直线运动．如图，在平面直角坐标系中，直线、分别表示小球甲、小球乙的速度（）与运动时间x（）之间的函数关系． (1)求直线所对应的函数解析式； (2)运动多少秒后，小球甲的速度大于小球乙的速度？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，进而求出直线与直线的交点的坐标，再结合函数图象可得答案． 【详解】（1）解：设直线所对应的函数解析式为， 由题意得，， ∴， ∴直线所对应的函数解析式为； （2）解：设直线所对应的函数解析式为， 由题意得，，解得， ∴直线所对应的函数解析式为， 联立，解得， ∴直线与直线的交点的坐标为， ∴由函数图象可知，运动秒后，小球甲的速度大于小球乙的速度． 15．已知一次函数，它的图象经过点和． (1)求与之间的函数表达式； (2)一次函数的图象不经过第_________象限，随的增大而_________； (3)当时，直接写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)四、增大 (3) 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）由一次函数图象与性质判断即可； （3）由一次函数增减性求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象经过点和， ，解得， 与之间的函数表达式为； （2）解：由（1）知，则， 一次函数的图象经过第一、二、三象限，即不经过第四象限，随的增大而增大； （3）解：由（2）知一次函数的值随的增大而增大， 当时，，解得；当时，，解得； 当时，自变量的取值范围是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $