专题08 平面直角坐标系暑假预习讲义2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题08 平面直角坐标系 暑假预习讲义 ✺知识框架 ◆位置确定板块：掌握平面内物体位置的两种核心确定方法，理解有序实数对的定位原理，建立二维平面空间认知。 ◆坐标系基础板块：熟知平面直角坐标系的完整构成，掌握象限划分规则与坐标轴核心特征，熟练实现“由点读坐标、由坐标描点”的双向转换。 ◆坐标特征板块：系统掌握各象限、坐标轴、平行于坐标轴直线上点的坐标规律，夯实坐标题型解题基础。 ◆坐标变换与图形板块：掌握点的对称、平移对应的坐标变化规律，理解平面图形与坐标的对应关系，初步学会用坐标分析图形位置与变换。 ✅本章是初中数学数形结合的奠基章节，实现了从“一维数轴定位”到“二维平面定位”的思维跨越，是衔接几何图形与代数运算的核心纽带。全章知识点循序渐进、逻辑闭环，依次研究平面位置确定方法、平面直角坐标系基础、点的坐标特征、点的变换规律与平面图形的坐标表示，是后续学习一次函数、图形变换、解析几何的必备基础，属于中考高频基础考点。 ✺学习目标 ◆基础知识 1理解平面内确定物体位置的基本方式，熟记有序实数对的定义、特征与定位作用。 2.精准掌握平面直角坐标系的组成要素，明晰横轴、纵轴、原点、坐标平面、象限的核心概念。 3.规范掌握点的坐标书写格式，熟练完成点与坐标的双向对应，精准读取、描出对应坐标点。 4.熟记各类特殊位置点的坐标特征，熟练掌握点的轴对称、平移变换的坐标变化规律。 5.理解平面图形与坐标的关联，能够依托顶点坐标描述简单图形的位置、形态与变换规律。 ◆能力提升 1.具备基础平面定位能力，可灵活运用有序实数对、方向距离法确定平面内物体位置。 2.建立数形结合解题思维，精准判断点的位置属性，熟练完成几何点位与代数坐标的转化。 3.具备坐标运算与图形分析能力，可通过坐标变化推导图形平移、对称变换，实现数与形的联动分析。 ◆综合素养 1.构建平面空间观念，形成完整的二维平面认知体系，培养几何直观素养。 2.深化数形结合核心思想，学会用代数坐标刻画几何图形，提升逻辑推理与数学应用素养。 ✺题型归纳 题型1.用有序数对表示位置 题型2.用有序数对表示路线 题型3.写出直角坐标系中点的坐标 题型4.判断点所在的象限 题型5.已知点所在的象限求参数 题型6.坐标系中描点 题型7.实际问题中用坐标表示位置 题型8.根据方位描述确定物体的位置 题型9.求点到坐标轴的距离 题型10.坐标系中的平移 题型11.求点沿x轴、y轴平移后的坐标 题型12.由平移方式确定点的坐标 题型13.已知点平移前后的坐标，判断平移方式 题型14.已知图形的平移，求点的坐标 题型15.已知平移后的坐标求原坐标 题型16.坐标系中的对称 题型17.坐标与图形变化——轴对称 题型18.坐标系中的旋转 题型19.求关于原点对称的点的坐标 题型20.已知两点关于原点对称求参数 题型21.判断两个点是否关于原点对称 题型22.中点坐标 题型23.坐标系中的动点问题（不含函数） 题型24.点坐标规律探索 题型25.用方向角和距离确定物体的位置 题型26.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、物体位置的确定 1.有序实数对 定义：我们把有顺序的两个数 a与b组成的数对，叫做有序实数对。 记法：两个数a,b组成的有序数对记作 ((a,b).a和b要用逗号分开，以表示它们是独立有序的两个数，同时用括号括起来，表示它们是一个整体 特征：由两个数组成；两个数有顺序性，成对出现，(a,b) 与 (b,a) 通常对应平面内不同位置的点。 定位作用：一组有序实数对可以唯一确定平面内一个点的位置。 2.平面两大定位方法 行列定位法：通过横向、纵向两组对应数据确定位置，本质为有序实数对定位，适用于方格、座位等规整场景。 方向与距离定位法：以固定观测点为基准，结合具体方向、距离两个要素，唯一确定平面内物体位置，适用于生活、方位类场景。 知识点二、平面直角坐标系的认识 1.平面直角坐标系定义 在同一平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。 2.坐标系组成要素 横轴（x轴）：水平放置的数轴，统一规定向右为正方向。 纵轴（y轴）：竖直放置的数轴，统一规定向上为正方向。 原点：x轴与y轴的公共交点，坐标为O(0,0)，是整个坐标系的定位基准点。 坐标平面：平面直角坐标系所在的整体平面，所有坐标点、几何图形均分布于该平面内。 3.象限的划分规则 x轴与y轴将完整坐标平面划分为四个象限，按照逆时针方向依次命名为第一、二、三、四象限。 关键结论：x轴、y轴上的所有点，均不属于任意一个象限。 知识点三、点的坐标与位置对应关系 1.点的坐标定义 在坐标平面内任意一点 P，分别过点P向x轴、y轴作垂线，两条垂足在对应数轴上对应的实数 a、b，依次为点 P的横坐标、纵坐标，有序实数对 (a,b) 即为点 P的坐标。 书写规范：横坐标在前，纵坐标在后，整体用括号包裹，两数之间用逗号分隔。 2.点与坐标的对应关系 坐标平面内的点与有序实数对一一对应。平面内任意一个点，对应唯一一组有序实数对；任意一组有序实数对，对应平面内唯一一个点。 知识点四、特殊位置点的坐标特征 1.各象限内点的坐标符号规律 第一象限：横坐标为正、纵坐标为正，符号特征(+,+) 第二象限：横坐标为负、纵坐标为正，符号特征(-,+) 第三象限：横坐标为负、纵坐标为负，符号特征(-,-) 第四象限：横坐标为正、纵坐标为负，符号特征(+,-) 2. 坐标轴上点的坐标规律 x轴上的点：纵坐标恒为0，通用坐标形式(a,0）。 y轴上的点：横坐标恒为0，通用坐标形式 (0,b)。 原点：横、纵坐标均为0，固定坐标 (0,0）。 3. 平行于坐标轴的直线上点的规律 平行于x轴的直线：直线上所有点纵坐标相等，横坐标各不相同。 平行于y轴的直线：直线上所有点横坐标相等，纵坐标各不相同。 4. 两坐标轴夹角平分线上的点的坐标特点 ◉第一、三象限两坐标轴夹角平分线上的点的横、纵坐标相等； ◉第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数。 5. 坐标系中的距离问题 点p（x,y）到x轴距离为｜y｜; 点p（x,y）到y轴距离为｜x｜. 知识点五、点的对称与平移变换 1.点的轴对称坐标规律 设平面内任意一点(P(a,b)，对称变换坐标变化如下： 关于x轴对称：横坐标保持不变，纵坐标互为相反数，对称点坐标为（a,-b）。 关于y轴对称：纵坐标保持不变，横坐标互为相反数，对称点坐标为(-a,b)。 2.点的平移坐标规律 设平面内任意一点 P(a,b)，平移变换坐标变化如下： 左右平移：遵循“左减右加”，横坐标变化，纵坐标保持不变。 上下平移：遵循“上加下减”，纵坐标变化，横坐标保持不变。 知识点六、坐标方法的简单应用 1.用坐标表示地理位置 利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程： ◉建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向； ◉根据具体问题确定单位长度； ◉在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。 用方向和距离表示平面内点的位置 2.用方向和距离表示平面内点的位置 ◉ 在航海和地理测绘中，经常用方向和距离来描述平面内两个物体的相对位置，通常以北偏东(西)，或南偏东(西)来确定方向。 ◉用此方法表示物体位置首先要选取一个适当的参照点，然后测量出方向和两点之间的距离；其次必须具备两个数据，一是“方向”，二是“距离”，用有序数对体现时一般先写方向，后写距离。 ✺题型精讲 题型1.用有序数对表示位置 1．曲靖市某学校七年级（3）班教室的座位，第2列第3排可以表示为，那么表示的位置是（   ） A．第4列第5排B．第5列第4排 C．第4排第5列 D．第5排第4列 2．如图中，每个小正方体的体积都是．当正方体甲、乙如图摆放时，它们的位置可以分别表示为和．那么正方体丙的位置可以表示为( )． 3．如图是一台雷达探测器探测的结果．图中显示，在A，B，C，D处有目标出现，请用适当方式分别表示每个目标的位置． 题型2.用有序数对表示路线 1．如图，李强从家（一街二巷）到校（四街四巷）的路线图中，规定每次只能向上或向右走，从家到校一共有（   ）不同的走法 A．6种 B．8种 C．10种 D．15种 2．如下图所示，A表示三经路与一纬路的十字路口，B表示一经路与三纬路的十字路口，如果用→→→→表示A到B的一条路线，用同样的方式写出另外一条由A到B的一条路线：→( )→( )→( ) → ． 3．如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A→B（，），从B到A记为：B→A（，），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中： (1)A→C（______，______），B→D（______，______）； (2)若这只甲虫从A处出发去甲虫N处的行走路线依次为，，，，请在图中标出依次行走停留点E、F、M、N的位置． 题型3.写出直角坐标系中点的坐标 1．昆明部分景点在地图上的位置如图所示，若西山的位置坐标为，世博园的位置坐标为，则官渡古镇的位置坐标为（     ） A． B． C． D． 2．已知点A的坐标是，点B的坐标是，且轴，则线段的长为______ ． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，，，其中，满足． (1)求出点，的坐标； (2)点在轴上，且，求出此时点的坐标． 题型4.判断点所在的象限 1．点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．在平面直角坐标系中，点的坐标为，若，则点在第__________象限． 3．已知平面直角坐标系内有一点． (1)若点的横、纵坐标之和为，请通过计算确定点所在的象限． (2)点的坐标为，若轴，求的长． 题型5.已知点所在的象限求参数 1．在平面直角坐标系中，点在第二象限，则的值可以是（     ） A． B． C．0 D．1 2．点在轴上，则的值为______． 3．已知点，分别根据下列条件，求出点的坐标． (1)点在第二、四象限的角平分线上； (2)点在过点，且与轴平行的直线上． 题型6.坐标系中描点 1．下列说法正确的是（   ） A．坐标轴上的点可以用一个实数表示 B．坐标平面内的点和表示同一个点 C．坐标平面内的点由一对有序实数唯一确定 D．纵坐标为a，横坐标为b的点的坐标可表示成 2．如图，三个顶点的坐标分别为，则的面积为______． 3．在如图所示的网格中，三角形的顶点均在格点上，已知点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)根据题意建立符合要求的平面直角坐标系； (2)画出将三角形先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度后的三角形．（点A、B、C的对应点分别为点、、） 题型7.实际问题中用坐标表示位置 1．象棋是我国传统智力运动，国家级非物质文化遗产，也是中华文化的重要载体，兼具娱乐、竞技与教育价值．如图，已知棋子“车”的坐标为，棋子“马”的坐标为，则棋子“炮”的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“科”的坐标分别为，则“技”的坐标为__________． 3．如图是中山市局部平面示意图，其中每个小正方形的边长均为个单位长度．已知开发区的位置是、板芙镇的位置是．请完成以下问题： (1)根据题目条件，在图中建立平面直角坐标系； (2)直接写出港口镇、小榄镇的坐标； (3)已知三乡镇的坐标为、南朗街道的坐标为，请在图中标出三乡镇、南朗街道的位置． 题型8.根据方位描述确定物体的位置 1．以下描述中，能确定具体位置的是（   ） A．明扬坐在第5排 B．距广州南站2千米 C．北偏东 D．东经，北纬 2．如图，A、B、C三点分别代表邮局、医院学校中的某一处，邮局和医院分别在学校的北偏西方向，邮局又在医院的北偏东方向，那么图中的点A应该是__________，点B应该是__________． 3．如图是学校的平面示意图，已知大门的坐标为，花坛的坐标为． (1)根据上述条件建立平面直角坐标系； (2)建筑物A的坐标为，请在图中标出点A的位置； (3)建筑物B在大门北偏东的方向，并且B在花坛的正北方向，请在图中标出点B的位置并写出点B的坐标； (4)求的距离． 题型9.求点到坐标轴的距离 1．三个顶点的坐标分别为，则的面积为（     ） A．10 B．20 C．12 D． 2．在平面直角坐标系中，点到两坐标轴的距离相等，则m的值为______． 3．在平面直角坐标系中，有，，三点． (1)当轴时，求A，B两点间的距离． (2)当轴于点D，且时，求点C的坐标． 题型10.坐标系中的平移 1．在平面直角坐标系中，点沿轴正方向平移个单位长度，得到对应点，则的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 2．将点向左平移个单位长度后落在轴上，则的值为________． 3．五子棋比赛规则是：两人各持有一种颜色的棋子，轮流在正方形网格的格点落子，率先在横向、竖向或斜向的任一方向连成连续无间隔的五枚同色棋子者获胜．如图是两人正在对弈的一盘棋，以每个小方格边长为1个单位长度，建立平面直角坐标系，可得棋盘上黑棋的坐标为，白棋的坐标为． (1)根据题意，在图中补全平面直角坐标系； (2)现轮到黑棋落子，要使黑棋在这一步直接获胜，请用黑点在图中标出可能的落子位置，并写出所有符合条件的落子坐标； (3)将第（2）小题中所有符合条件的棋子对应的点与点首尾顺次相连，请求出得到的图形的面积． 题型11.求点沿x轴、y轴平移后的坐标 1．已知坐标平面内的点，如果点A向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，那么平移后点A的坐标是（     ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，将点先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为______． 3．【材料阅读】 二元一次方程有无数个解，如，，，…，在平面直角坐标系中，将这些解分别看成点，，，…，可以发现这些点在同一条直线上（如图所示）；且该直线上任意点的坐标都是方程的解，如点在直线上，则是方程的解．一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做方程的图象，其图象是一条直线． (1)【理解运用】下列各点中，在方程的图象上的有________（填序号）； ①②③④ (2)【理解运用】请你在所给的平面直角坐标系中画出方程的图象（直线）．观察图象，可以得出二元一次方程组的解是________； (3)【问题延伸】①点在直线上，将点沿垂直于轴的方向平移至点，使点落在直线上，写出点的坐标； ②若点和点分别在直线和直线上，若，请直接写出的取值范围． 题型12.由平移方式确定点的坐标 1．在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到点B，则点B的坐标为______． 3．如图，在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为，，． (1)画出； (2)将向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，画出； (3)若为内的一点，则点在内的对应点P的坐标是________． 题型13.已知点平移前后的坐标，判断平移方式 1．在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，将线段的端点，的横坐标都加上1，纵坐标都减2，得到线段，则线段到线段的平移方式为（     ） A．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将线段平移至线段的位置，其中点的对应点为点，点的对应点为点若点的坐标为，则点的坐标为________． 3．如图，是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．图中A，B，C，，，都是格点，请回答相关问题． (1)若，，请在网格中建立合适的平面直角坐标系，点B的坐标为____________； (2)三角形是由三角形向左平移____________个单位长度，向下平移____________个单位长度得到的，三角形的面积为____________； (3)画出格点D，并连接，使，则点D的坐标为____________． 题型14.已知图形的平移，求点的坐标 1．如图，在平面直角坐标系中有一个“心形”图形，“心形”图形上的点在格点上，若将该图形向上平移3个单位长度，则该图形上点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中平移后，点的对应点的坐标为．则点的对应点的坐标为_______． 3．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，将先向右平移n个单位长度，再向下平移n个单位长度得到（图中每个小方格边长均为1个单位长度，）． (1)当时，在图中画出平移后的，并直接写出各顶点的坐标； (2)当三个顶点中恰有两个在坐标轴上时，直接写出n的值． 题型15.已知平移后的坐标求原坐标 1．若将点P向右平移2个单位，再向下平移3个单位长度，得到点．则点P坐标为（     ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，将线段先向下平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，是线段上一点，点平移后的对应点为，则点的坐标为________． 3．已知与在平面直角坐标系中的位置如图所示，是由经过平移得到的． (1)分别写出的坐标； (2)若点是内一点，平移后点在内的对应点为，则点的坐标为_____． (3)直接写出的面积_____． 题型16.坐标系中的对称 1．点关于轴对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．已知点和点关于轴对称，则___________． 3．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，点A位于第三象限，且到x轴的距离为1，到y轴的距离为3． (1)写出图中点C的坐标，并在图中画出； (2)将各顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，则所得图形与原的位置关于______轴对称； (3)若，且，直接写出点D的坐标． 题型17.坐标与图形变化——轴对称 1．在平面直角坐标系中，已知点关于x轴的对称点是点B，下列关于点B的描述正确的是（     ） A．点B坐标是且到x轴距离是2 B．点B坐标是且到x轴距离是3 C．点B坐标是且到x轴距离是2 D．点B坐标是且到x轴距离是3 2．在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点为___． 3．已知点关于x轴的对称点在第一象限，试化简． 题型18.坐标系中的旋转 1．如图，已知点，将线段绕点M逆时针旋转得到线段．其中点的坐标是，点的坐标是，且点A与点是对应点，则点M的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点C、D分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，，将绕O点顺时针旋转一周，当与平行时，点C的坐标为__________． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)将向左平移6个单位，请画出平移后的；（点A、B、C的对应点分别为点、、） (2)将绕原点O顺时针旋转，请画出旋转后的．（点A、B、C的对应点分别为点、、） 题型19.求关于原点对称的点的坐标 1．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 2．点的坐标是，则点关于原点的对称点的坐标_____________． 3．如图，各顶点的坐标分别为，，． (1)将先向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到，请在平面直角坐标系中画出； (2)将绕点逆时针旋转后得到请在平面直角坐标系中画出； (3)若与关于原点中心对称，则点的坐标为________． 题型20.已知两点关于原点对称求参数 1．在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则（     ） A．， B．， C．， D．， 2．已知点与点关于原点对称，则______． 3．在平面直角坐标系中，对于点，若点B的坐标为（a为常数），则称点B是点A的“a级伴随点”．例如：点的“级伴随点”为，即点B的坐标为． (1)已知点的“3级伴随点”是点D，求点D的坐标； (2)已知点是点的“级伴随点”，若点与点关于原点对称，求的值； (3)若点E在x轴正半轴上，点E的“a级伴随点”为点F，且，直接写出a的值． 题型21.判断两个点是否关于原点对称 1．2025年10月，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功．科研人员在监测飞船运行轨迹时，需要确定飞船在太空中的位置．在平面直角坐标系中，若飞船A的位置表示为，飞船B的位置表示为，则飞船A与飞船B关于（     ）对称 A．原点 B．x轴 C．y轴 D．直线 2．点与点关于______对称． 3．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形ABC（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)请作出关于轴对称的并写出点的坐标； (3)将每个顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，顺次连接这些点，会得到一个新图案，这个新图案与有怎样的位置关系？ 题型22.中点坐标 1．若点与点关于点对称，则的值是多少(    ) A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，已知点和点，则线段的中点的坐标为__________． 3．下面是在“平面直角坐标系中线段的中点”主题下设计的问题，请你解答． (1)观察发现：在下面给出的平面直角坐标系中，描出下列各点：，，，，并连接，，请写出线段的中点坐标：__________，线段的中点坐标：________． (2)探究迁移：如果有，两点，那么线段的中点坐标是__________． (3)拓展应用：已知三点，，，点与点，，中的一个点构成的线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，求点的坐标． 题型23.坐标系中的动点问题（不含函数） 1．平面直角坐标系中，点，，，若轴，则线段的最小值及此时点C的坐标分别为（   ） A．7， B．2， C．1， D．1， 2．如图，，，，，动点在线段上，动点在轴上，则的最小值是_______． 3．如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，点C在y轴上，且轴，a，b满足．点P从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着的路线运动（回到O为止）． (1)求出点A，B的坐标； (2)点P运动t秒后，是否存在点P到x轴的距离为个单位长度的情况．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型24.点坐标规律探索 1．如图，在平面直角坐标系中有点，点P第一次向上平移1个单位至点，接着第二次向左平移2个单位至点，第三次向上平移1个单位至点，第四次向右平移3个单位至点，…，以此规律平移下去，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，，，，，一只蜗牛从点出发，沿循环爬行，当它停止爬行时，一共爬行了2026个单位长度，则这只蜗牛停止爬行时所在位置的坐标为_____． 3．如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动． 第一次：原点； 第二次：； 第三次：； 第四次：； 第五次：； 归纳上述规律，完成下列问题． (1)写出点的坐标为_________； (2)第2024次运动后，点的坐标为_________； (3)若点的横坐标为，求点的坐标． 题型25.用方向角和距离确定物体的位置 1．已知我市新华书店在某学校北偏西方向处，新华书店可能是图中（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．如图，描述点的位置：点在点的北偏东_______方向上处． 3．1路公共汽车从起点站先沿西偏北方向行驶3千米，然后向正西方向行驶4千米，最后沿南偏西方向行驶3千米到达终点站．根据上面的描述，把公共汽车行驶的路线图画完整． ✺巩固测试 一、单选题 1．小丽同学是某校2024年入学的，她在5班，学号是23，如果用6位数字给她编学籍号，下面比较实用的是（    ） A．202405 B．240623 C．240523 D．230524 2．在平面直角坐标系中，若轴上的点到轴的距离为，则点的坐标为（     ） A． B．或 C． D．或 3．点在第二象限，则点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．在平面直角坐标系中，将点先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在正方形网格图中，位于点南偏西的方向上，同时又在点西北方向上的点可能是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 二、填空题 6．将点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后，与点重合，则的值为______________． 7．已知点关于y轴对称的点的坐标为，那么n的值为__________，点A关于原点对称的点的坐标是_____________． 8．如图，已知中，，，在边上有两点且，则的最小值为______． 9．如图是三艘军舰的位置示意图，已知C舰到A舰的图上距离为4cm，实际A舰在C舰的正东方向40千米处，B舰到C舰的图上距离为2cm，请通过计算，用方向和距离描述B舰相对于C舰的实际位置：______． 10．年是红军长征胜利周年，如图，是红军长征路线图，若表示吴起镇会师的坐标，瑞金的坐标为，则表示会宁会师的点的坐标为________． 三、解答题 11．在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为． (1)若点P在x轴上，求点P的坐标； (2)若点P的横坐标比纵坐标大2，求点P的坐标． 12．2024年7月27日，“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”被正式列入《世界遗产名录》．北京中轴线是一组自南向北贯穿北京老城，由一系列建筑与空间构成的宏大建筑群．从南至北由15处核心遗产点构成，呈严格对称，居中纵贯的网格分布．五一小长假，某班组织中轴线北线的探秘之旅，在出发前，每位同学拿到了如下图所示的用坐标表示中轴线几处核心遗产点的示意图，已知人民大会堂的坐标是，端门的坐标是． (1)请根据题意在图上建立平面直角坐标系； (2)在（1）的条件下，写出太庙的坐标为___________； (3)甲同学给在人民大会堂的乙同学发消息说：“我在人民英雄纪念碑，就是你的东南方向．”甲同学又告诉在国家博物馆的丙同学：“我在你的西南方向．”请你根据这些信息： ①用点在图上表示人民英雄纪念碑的位置； ②在（1）的条件下，点坐标为___________． 13．如图，在平面直角坐标系中，点、且实数a，b满足，过点B作轴交y轴于点C．点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向x轴负方向运动．点Q从O点出发，以每秒2个单位长度的速度向y轴正方向运动． (1)直接写出点A的坐标_________，点B的坐标_________； (2)动点P、Q分别在射线、上运动，连接、，当时，求点P的坐标． 14．按要求完成下列各题： (1)在如图所示的平面直角坐标系中表示下面各点：，，，，，，． (2)点到原点的距离是________； (3)将点沿轴的负方向平移6个单位，它与点________重合； (4)连接，则直线与轴是什么关系？ (5)点到轴、轴的距离分别是多少？ 15．在平面直角坐标系中，对于点，和图形，将图形沿射线方向平移，平移距离为线段的长，得到图形，若点在图形上，则称点为图形关于点的“移动关联点”．如图，点，，点在线段上． (1)若，，，其中点________是线段关于点的“移动关联点”，点________是线段关于点的“移动关联点”； (2)若点为关于点的“移动关联点”，则点的横坐标的取值范围是________； (3)已知正方形，点，点，点，点． ①当时，若点为正方形关于点的“移动关联点”，则点的横坐标的取值范围是________； ②已知点，，若线段上任意一点，都是正方形关于点的“移动关联点”，则的取值范围是________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 平面直角坐标系 暑假预习讲义 ✺知识框架 ◆位置确定板块：掌握平面内物体位置的两种核心确定方法，理解有序实数对的定位原理，建立二维平面空间认知。 ◆坐标系基础板块：熟知平面直角坐标系的完整构成，掌握象限划分规则与坐标轴核心特征，熟练实现“由点读坐标、由坐标描点”的双向转换。 ◆坐标特征板块：系统掌握各象限、坐标轴、平行于坐标轴直线上点的坐标规律，夯实坐标题型解题基础。 ◆坐标变换与图形板块：掌握点的对称、平移对应的坐标变化规律，理解平面图形与坐标的对应关系，初步学会用坐标分析图形位置与变换。 ✅本章是初中数学数形结合的奠基章节，实现了从“一维数轴定位”到“二维平面定位”的思维跨越，是衔接几何图形与代数运算的核心纽带。全章知识点循序渐进、逻辑闭环，依次研究平面位置确定方法、平面直角坐标系基础、点的坐标特征、点的变换规律与平面图形的坐标表示，是后续学习一次函数、图形变换、解析几何的必备基础，属于中考高频基础考点。 ✺学习目标 ◆基础知识 1理解平面内确定物体位置的基本方式，熟记有序实数对的定义、特征与定位作用。 2.精准掌握平面直角坐标系的组成要素，明晰横轴、纵轴、原点、坐标平面、象限的核心概念。 3.规范掌握点的坐标书写格式，熟练完成点与坐标的双向对应，精准读取、描出对应坐标点。 4.熟记各类特殊位置点的坐标特征，熟练掌握点的轴对称、平移变换的坐标变化规律。 5.理解平面图形与坐标的关联，能够依托顶点坐标描述简单图形的位置、形态与变换规律。 ◆能力提升 1.具备基础平面定位能力，可灵活运用有序实数对、方向距离法确定平面内物体位置。 2.建立数形结合解题思维，精准判断点的位置属性，熟练完成几何点位与代数坐标的转化。 3.具备坐标运算与图形分析能力，可通过坐标变化推导图形平移、对称变换，实现数与形的联动分析。 ◆综合素养 1.构建平面空间观念，形成完整的二维平面认知体系，培养几何直观素养。 2.深化数形结合核心思想，学会用代数坐标刻画几何图形，提升逻辑推理与数学应用素养。 ✺题型归纳 题型1.用有序数对表示位置 题型2.用有序数对表示路线 题型3.写出直角坐标系中点的坐标 题型4.判断点所在的象限 题型5.已知点所在的象限求参数 题型6.坐标系中描点 题型7.实际问题中用坐标表示位置 题型8.根据方位描述确定物体的位置 题型9.求点到坐标轴的距离 题型10.坐标系中的平移 题型11.求点沿x轴、y轴平移后的坐标 题型12.由平移方式确定点的坐标 题型13.已知点平移前后的坐标，判断平移方式 题型14.已知图形的平移，求点的坐标 题型15.已知平移后的坐标求原坐标 题型16.坐标系中的对称 题型17.坐标与图形变化——轴对称 题型18.坐标系中的旋转 题型19.求关于原点对称的点的坐标 题型20.已知两点关于原点对称求参数 题型21.判断两个点是否关于原点对称 题型22.中点坐标 题型23.坐标系中的动点问题（不含函数） 题型24.点坐标规律探索 题型25.用方向角和距离确定物体的位置 题型26.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、物体位置的确定 1.有序实数对 定义：我们把有顺序的两个数 a与b组成的数对，叫做有序实数对。 记法：两个数a,b组成的有序数对记作 ((a,b).a和b要用逗号分开，以表示它们是独立有序的两个数，同时用括号括起来，表示它们是一个整体。 特征：由两个数组成；两个数有顺序性，成对出现，(a,b) 与 (b,a) 通常对应平面内不同位置的点。 定位作用：一组有序实数对可以唯一确定平面内一个点的位置。 2.平面两大定位方法 行列定位法：通过横向、纵向两组对应数据确定位置，本质为有序实数对定位，适用于方格、座位等规整场景。 方向与距离定位法：以固定观测点为基准，结合具体方向、距离两个要素，唯一确定平面内物体位置，适用于生活、方位类场景。 知识点二、平面直角坐标系的认识 1.平面直角坐标系定义 在同一平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。 2.坐标系组成要素 横轴（x轴）：水平放置的数轴，统一规定向右为正方向。 纵轴（y轴）：竖直放置的数轴，统一规定向上为正方向。 原点：x轴与y轴的公共交点，坐标为O(0,0)，是整个坐标系的定位基准点。 坐标平面：平面直角坐标系所在的整体平面，所有坐标点、几何图形均分布于该平面内。 3.象限的划分规则 x轴与y轴将完整坐标平面划分为四个象限，按照逆时针方向依次命名为第一、二、三、四象限。 关键结论：x轴、y轴上的所有点，均不属于任意一个象限。 知识点三、点的坐标与位置对应关系 1.点的坐标定义 在坐标平面内任意一点 P，分别过点P向x轴、y轴作垂线，两条垂足在对应数轴上对应的实数 a、b，依次为点 P的横坐标、纵坐标，有序实数对 (a,b) 即为点 P的坐标。 书写规范：横坐标在前，纵坐标在后，整体用括号包裹，两数之间用逗号分隔。 2.点与坐标的对应关系 坐标平面内的点与有序实数对一一对应。平面内任意一个点，对应唯一一组有序实数对；任意一组有序实数对，对应平面内唯一一个点。 知识点四、特殊位置点的坐标特征 1.各象限内点的坐标符号规律 第一象限：横坐标为正、纵坐标为正，符号特征(+,+) 第二象限：横坐标为负、纵坐标为正，符号特征(-,+) 第三象限：横坐标为负、纵坐标为负，符号特征(-,-) 第四象限：横坐标为正、纵坐标为负，符号特征(+,-) 2. 坐标轴上点的坐标规律 x轴上的点：纵坐标恒为0，通用坐标形式(a,0）。 y轴上的点：横坐标恒为0，通用坐标形式 (0,b)。 原点：横、纵坐标均为0，固定坐标 (0,0）。 3. 平行于坐标轴的直线上点的规律 平行于x轴的直线：直线上所有点纵坐标相等，横坐标各不相同。 平行于y轴的直线：直线上所有点横坐标相等，纵坐标各不相同。 4. 两坐标轴夹角平分线上的点的坐标特点 ◉第一、三象限两坐标轴夹角平分线上的点的横、纵坐标相等； ◉第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数。 5. 坐标系中的距离问题 点p（x,y）到x轴距离为｜y｜; 点p（x,y）到y轴距离为｜x｜. 知识点五、点的对称与平移变换 1.点的轴对称坐标规律 设平面内任意一点(P(a,b)，对称变换坐标变化如下： 关于x轴对称：横坐标保持不变，纵坐标互为相反数，对称点坐标为（a,-b）。 关于y轴对称：纵坐标保持不变，横坐标互为相反数，对称点坐标为(-a,b)。 2.点的平移坐标规律 设平面内任意一点 P(a,b)，平移变换坐标变化如下： 左右平移：遵循“左减右加”，横坐标变化，纵坐标保持不变。 上下平移：遵循“上加下减”，纵坐标变化，横坐标保持不变。 知识点六、坐标方法的简单应用 1.用坐标表示地理位置 利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程： ◉建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向； ◉根据具体问题确定单位长度； ◉在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。 用方向和距离表示平面内点的位置 2.用方向和距离表示平面内点的位置 ◉ 在航海和地理测绘中，经常用方向和距离来描述平面内两个物体的相对位置，通常以北偏东(西)，或南偏东(西)来确定方向。 ◉用此方法表示物体位置首先要选取一个适当的参照点，然后测量出方向和两点之间的距离；其次必须具备两个数据，一是“方向”，二是“距离”，用有序数对体现时一般先写方向，后写距离。 ✺题型精讲 题型1.用有序数对表示位置 1．曲靖市某学校七年级（3）班教室的座位，第2列第3排可以表示为，那么表示的位置是（   ） A．第4列第5排B．第5列第4排 C．第4排第5列 D．第5排第4列 【答案】A 【分析】根据题干给出的有序数对的约定，确定两个数分别对应的位置含义即可判断． 【详解】解：∵第2列第3排可以表示为， ∴可得有序数对中第一个数对应第几列，第二个数对应第几排， ∴表示的位置是第4列第5排． 2．如图中，每个小正方体的体积都是．当正方体甲、乙如图摆放时，它们的位置可以分别表示为和．那么正方体丙的位置可以表示为( )． 【答案】 【分析】根据已知点甲、乙的坐标确定有序数对中三个数分别代表的几何意义，即列数、行数和层数，进而确定丙的坐标． 【详解】解：由正方体甲的位置可知，有序数对的第一个数表示列数，第二个数表示行数，第三个数表示层数， 由正方体乙的位置可知，乙位于第列，第行，第层，符合图形特征， 观察图形可知，正方体丙位于第列，第行，第层， 所以正方体丙的位置可以表示为． 3．如图是一台雷达探测器探测的结果．图中显示，在A，B，C，D处有目标出现，请用适当方式分别表示每个目标的位置． 【答案】见解析 【分析】本题考查利用坐标确定位置，理解坐标确定位置的方法，能够准确根据确定的坐标表示位置是解题关键． 由图形可先确定以圆圈的层数结合方向角度确定位置，然后逐步写出对应坐标即可． 【详解】解：由图可知，以圆圈的层数为第一坐标，为方向角度第二坐标，则各点位置如下： ，，，． 题型2.用有序数对表示路线 1．如图，李强从家（一街二巷）到校（四街四巷）的路线图中，规定每次只能向上或向右走，从家到校一共有（   ）不同的走法 A．6种 B．8种 C．10种 D．15种 【答案】C 【分析】用有序实数对表示位置，依次找到不同的走法． 【详解】解：用数对表示位置，街数记为，巷数记为，街巷记为， 则家的位置为，校的位置为， 从家到校的走法有： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩； 因此共有10种不同走法． 2．如下图所示，A表示三经路与一纬路的十字路口，B表示一经路与三纬路的十字路口，如果用→→→→表示A到B的一条路线，用同样的方式写出另外一条由A到B的一条路线：→( )→( )→( ) → ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有效数对的应用，根据图示求解即可． 【详解】解：可以是：→→→→． 故答案为：，，．答案不唯一． 3．如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A→B（，），从B到A记为：B→A（，），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中： (1)A→C（______，______），B→D（______，______）； (2)若这只甲虫从A处出发去甲虫N处的行走路线依次为，，，，请在图中标出依次行走停留点E、F、M、N的位置． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】本题主要考查了用有序实数对表示路线．读懂题目信息，正确理解行走路线的记录方法是解题的关键． （1）根据向上向右走为正，向下向左走为负，可得答案； （2）根据向上向右走为正，向下向左走为负，可得答案； 【详解】（1）解：A→C，B→D， 故答案为：，； （2）解：如图： ； 题型3.写出直角坐标系中点的坐标 1．昆明部分景点在地图上的位置如图所示，若西山的位置坐标为，世博园的位置坐标为，则官渡古镇的位置坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过已知点的坐标确定坐标系的原点、坐标轴方向以及单位长度，进而得出所求点的坐标． 【详解】已知西山的位置坐标为，世博园的位置坐标为， 所以坐标轴如图所示： 所以官渡古镇的位置坐标为． 2．已知点A的坐标是，点B的坐标是，且轴，则线段的长为______ ． 【答案】7 【分析】由轴可得、两点纵坐标相等，据此可求出的值，再计算线段的长度． 【详解】解：∵轴，平行于轴的直线上所有点的纵坐标相等， ∴ ，纵坐标相等，即， 将代入坐标，可得点坐标为，点坐标为， ∴ 线段的长为． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，，，其中，满足． (1)求出点，的坐标； (2)点在轴上，且，求出此时点的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为或 【分析】（1）根据非负数的性质求出，，即可得出结果； （2）先求出，结合题意可得，设，则，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点在轴上， ∴设，则， ∴， ∴或， ∴点的坐标为或． 题型4.判断点所在的象限 1．点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：∵点的横坐标，纵坐标， ∴点符合第二象限点的坐标特征，点在第二象限． 2．在平面直角坐标系中，点的坐标为，若，则点在第__________象限． 【答案】二 【分析】根据判断点横坐标的正负，结合纵坐标的正负，依据象限坐标特征得到点所在象限． 【详解】解：∵点的坐标为，， ∴， ∵点的纵坐标为， ∴点的横坐标为负，纵坐标为正， 平面直角坐标系中，横坐标为负、纵坐标为正的点在第二象限， ∴点在第二象限． 3．已知平面直角坐标系内有一点． (1)若点的横、纵坐标之和为，请通过计算确定点所在的象限． (2)点的坐标为，若轴，求的长． 【答案】(1)第四象限 (2) 【分析】（1）根据已知条件求解出的值，得到点的坐标，由此判断象限即可． （2）根据垂直关系得到点与点的横坐标相同，从而求解点的坐标，由此求解的长即可． 【详解】（1）解：由题意，得，解得， 点的坐标为， 点在第四象限． （2）解：轴， 点与点的横坐标相同， ，解得， ， 点的坐标为， ． 题型5.已知点所在的象限求参数 1．在平面直角坐标系中，点在第二象限，则的值可以是（     ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】根据第二象限点的坐标符号特点判断m的取值范围，即可选出正确答案． 【详解】解：∵第二象限内点的坐标特征为横坐标小于0，纵坐标大于0， 又∵点在第二象限，其横坐标已满足条件， ∴，选项中只有， 因此的值可以是． 2．点在轴上，则的值为______． 【答案】2 【分析】根据y轴上点的坐标特征，y轴上所有点的横坐标为，据此列出关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：点在轴上， 点的横坐标为，即， 移项，得， 系数化为，得． 3．已知点，分别根据下列条件，求出点的坐标． (1)点在第二、四象限的角平分线上； (2)点在过点，且与轴平行的直线上． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二，四象限角平分线上的点的横纵坐标互为相反数，进行求解即可； （2）根据与轴平行的直线上的点的纵坐标相同，列方程进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ∴， ∴； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴. 题型6.坐标系中描点 1．下列说法正确的是（   ） A．坐标轴上的点可以用一个实数表示 B．坐标平面内的点和表示同一个点 C．坐标平面内的点由一对有序实数唯一确定 D．纵坐标为a，横坐标为b的点的坐标可表示成 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标表示方法．根据平面直角坐标系中点的坐标表示方法逐一判断其正确性，即可． 【详解】解：选项A：坐标轴上的点（如x轴或y轴）需用形如或的坐标表示，包含两个实数，而非仅一个实数，故A错误． 选项B：点与仅在时表示同一位置，否则位置不同（如与），故B错误． 选项C：根据平面直角坐标系的定义，每个点由唯一的有序实数对确定，且每个有序实数对对应唯一的点，故C正确． 选项D：坐标的规范写法为“横坐标在前，纵坐标在后”，即横坐标为、纵坐标为时应写作，而非，故D错误． 故选：C． 2．如图，三个顶点的坐标分别为，则的面积为______． 【答案】3 【分析】此题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键． 根据求出，利用三角形面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：3． 3．在如图所示的网格中，三角形的顶点均在格点上，已知点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)根据题意建立符合要求的平面直角坐标系； (2)画出将三角形先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度后的三角形．（点A、B、C的对应点分别为点、、） 【答案】(1)如图， (2)如图， 【分析】（1）根据三角形的三个顶点坐标建立平面直角坐标系； （2）根据平移的性质作图即可． 【详解】（1）略 （2） 略 题型7.实际问题中用坐标表示位置 1．象棋是我国传统智力运动，国家级非物质文化遗产，也是中华文化的重要载体，兼具娱乐、竞技与教育价值．如图，已知棋子“车”的坐标为，棋子“马”的坐标为，则棋子“炮”的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据棋子“车”和“马”的坐标可确定坐标轴和原点的位置，据此建立坐标系，进而得到棋子“炮”的坐标即可． 【详解】解：根据题意可建立如下坐标系，则棋子“炮”的坐标为． 2．为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“科”的坐标分别为，则“技”的坐标为__________． 【答案】 【详解】解：∵“创”“科”的坐标分别为， ∴建立平面直角坐标系如下： 可知“技”的坐标为． 3．如图是中山市局部平面示意图，其中每个小正方形的边长均为个单位长度．已知开发区的位置是、板芙镇的位置是．请完成以下问题： (1)根据题目条件，在图中建立平面直角坐标系； (2)直接写出港口镇、小榄镇的坐标； (3)已知三乡镇的坐标为、南朗街道的坐标为，请在图中标出三乡镇、南朗街道的位置． 【答案】(1)解：建立直角坐标系如图所示； (2)港口镇、小榄镇的坐标分别为，； (3)解：三乡镇、南朗街道的位置如（1）图所示. 【分析】（1）根据已知点的坐标，确定原点的位置，画出直角坐标系即可； （2）根据点的位置，写出点的坐标即可； （3）根据点的坐标，确定位置即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型8.根据方位描述确定物体的位置 1．以下描述中，能确定具体位置的是（   ） A．明扬坐在第5排 B．距广州南站2千米 C．北偏东 D．东经，北纬 【答案】D 【详解】解：A．仅给出第5排，未给出列数，不能确定具体位置，不符合题意； B．仅给出距离广州南站2千米，未给出方向，不能确定具体位置，不符合题意； C．仅给出北偏东的方向，未给出距离，不能确定具体位置，不符合题意； D．给出东经、北纬，可以唯一确定具体位置，符合题意． 2．如图，A、B、C三点分别代表邮局、医院学校中的某一处，邮局和医院分别在学校的北偏西方向，邮局又在医院的北偏东方向，那么图中的点A应该是__________，点B应该是__________． 【答案】 邮局 医院 【分析】结合图和已知条件可直接判断出A、B、C三点． 【详解】解：由题意知：邮局和医院分别在学校的北偏西方向，邮局又在医院的北偏东方向， ∴ 可推断出A点是邮局，B点是医院，C点是学校． 故答案为：邮局；医院 【点睛】本题考查了方位的概念以及在生活中的应用．熟练记忆各个方位是解答本题的关键． 3．如图是学校的平面示意图，已知大门的坐标为，花坛的坐标为． (1)根据上述条件建立平面直角坐标系； (2)建筑物A的坐标为，请在图中标出点A的位置； (3)建筑物B在大门北偏东的方向，并且B在花坛的正北方向，请在图中标出点B的位置并写出点B的坐标； (4)求的距离． 【答案】(1)建立平面直角坐标系如图所示； (2)点A如图所示； (3) 点B如图所示；点B的坐标为； (4) 【分析】（1）以花坛向上1个单位为坐标原点，建立平面直角坐标系即可； （2）根据平面直角坐标系标出点A的位置即可； （3）根据方向角确定点B的位置即可； （4）利用网格，根据勾股定理求即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）解：， 即的距离为． 题型9.求点到坐标轴的距离 1．三个顶点的坐标分别为，则的面积为（     ） A．10 B．20 C．12 D． 【答案】A 【详解】解：∵，横坐标相同， ∴轴，， ∵点到直线的距离为， ∴. 2．在平面直角坐标系中，点到两坐标轴的距离相等，则m的值为______． 【答案】或 【分析】根据平面直角坐标系中点到轴的距离为，到轴的距离为，由点到两坐标轴距离相等列出绝对值方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， 分两种情况讨论： 情况1：， 解得； 情况2：， 解得； ∴的值为或． 3．在平面直角坐标系中，有，，三点． (1)当轴时，求A，B两点间的距离． (2)当轴于点D，且时，求点C的坐标． 【答案】(1)3 (2)C点坐标为或 【分析】（1）根据轴得出A、B点的纵坐标相同，由此求出的值，即可得出结果； （2）由题意可得，求出的值即可得出结果． 【详解】（1）解：∵轴， ∴A、B点的纵坐标相同， ∴， 解得， ∴，， ∴A，B两点间的距离； （2）解：∵轴于点D，， ∴， 解得或， ∴C点坐标为或． 题型10.坐标系中的平移 1．在平面直角坐标系中，点沿轴正方向平移个单位长度，得到对应点，则的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【详解】解：∵点沿轴正方向平移个单位长度，得到对应点， ∴， 解得． 2．将点向左平移个单位长度后落在轴上，则的值为________． 【答案】 【分析】先根据点平移的坐标变化规律得到平移后点的坐标，再利用轴上点的横坐标为列方程，解方程即可． 【详解】解：将点向左平移个单位长度所得到的点的坐标为，即为， ∵将点向左平移个单位长度后落在轴上， ∴点在轴上， ∴， ∴． 3．五子棋比赛规则是：两人各持有一种颜色的棋子，轮流在正方形网格的格点落子，率先在横向、竖向或斜向的任一方向连成连续无间隔的五枚同色棋子者获胜．如图是两人正在对弈的一盘棋，以每个小方格边长为1个单位长度，建立平面直角坐标系，可得棋盘上黑棋的坐标为，白棋的坐标为． (1)根据题意，在图中补全平面直角坐标系； (2)现轮到黑棋落子，要使黑棋在这一步直接获胜，请用黑点在图中标出可能的落子位置，并写出所有符合条件的落子坐标； (3)将第（2）小题中所有符合条件的棋子对应的点与点首尾顺次相连，请求出得到的图形的面积． 【答案】(1)画出x轴（水平轴，）和y轴（竖直轴，）．补全平面直角坐标系如图所示： (2)或，在对应位置标注黑点即可， (3)； 的面积为10 【分析】（1）依据点A、B的坐标确定x轴、y轴位置与坐标原点，补全平面直角坐标系． （2）找到黑棋已有的同方向连续四子，根据横、竖、斜向连五的获胜规则，确定可补全五连的落子点，再对应坐标系写出落子坐标． （3）确定所有符合条件的落子点与点A组成的图形形状，选择割补法或对应图形面积公式计算面积． 【详解】（1）解：已知，可得原点坐标为，位于点B右侧2个单位长度、的水平线上． （2）解：黑棋已有4枚连续无间隔排列在直线上，分别是，两端空缺位置为和，落子于此即可连成五枚，符合获胜条件。 因此符合条件的落子坐标为和． （3）解：的面积为：． 题型11.求点沿x轴、y轴平移后的坐标 1．已知坐标平面内的点，如果点A向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，那么平移后点A的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【详解】解：∵点向左平移3个单位长度， ∴平移后点的横坐标为． ∵再向上平移4个单位长度， ∴平移后点的纵坐标为． ∴平移后点的坐标为． 2．在平面直角坐标系中，将点先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为______． 【答案】 【详解】解：点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， 点的坐标为，即． 3．【材料阅读】 二元一次方程有无数个解，如，，，…，在平面直角坐标系中，将这些解分别看成点，，，…，可以发现这些点在同一条直线上（如图所示）；且该直线上任意点的坐标都是方程的解，如点在直线上，则是方程的解．一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做方程的图象，其图象是一条直线． (1)【理解运用】下列各点中，在方程的图象上的有________（填序号）； ①②③④ (2)【理解运用】请你在所给的平面直角坐标系中画出方程的图象（直线）．观察图象，可以得出二元一次方程组的解是________； (3)【问题延伸】①点在直线上，将点沿垂直于轴的方向平移至点，使点落在直线上，写出点的坐标； ②若点和点分别在直线和直线上，若，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①②④ (2) (3)①；②或 【分析】（1）把各点坐标代入方程，等式成立则点在图象上； （2）二元一次方程图象为直线，两点确定一条直线画出，两直线交点坐标就是对应方程组的解； （3）①垂直于轴平移，横坐标不变，将代入求纵坐标； ②横坐标均为，两点竖直距离，先代入方程表示出、，列绝对值不等式求解． 【详解】（1）解：将各点代入方程左边验证是否等于4： ①：，等式成立； ②：，等式成立； ③：，不成立； ④：，等式成立； 因此符合的是①②④． （2）解：令，得，点；令，得，点； 在坐标系描出两点，连线即为直线． 直线与直线的交点为， 故方程组的解为． （3）解：①点沿垂直轴方向平移，横坐标不变，即横坐标， 将代入： ， ， ， ． ②点在上，变形得， ； 点在上，变形得， ； 横坐标相同，两点距离，代入： ， 由，得，化简： ， 即或， 解得或． 题型12.由平移方式确定点的坐标 1．在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：点向上平移2个单位长度，横坐标不变，纵坐标加2，得的坐标为，即． 2．在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到点B，则点B的坐标为______． 【答案】 【详解】解：将点向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点， 点的横坐标为，点的纵坐标为， 因此点的坐标为． 3．如图，在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为，，． (1)画出； (2)将向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，画出； (3)若为内的一点，则点在内的对应点P的坐标是________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先描点，再连线作图即可； （2）根据平移方式得到点的坐标，再描点，连线作图即可； （3）根据所给平移方式即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵将向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，为内的一点， ∴点在内的对应点P的坐标是． 题型13.已知点平移前后的坐标，判断平移方式 1．在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，将线段的端点，的横坐标都加上1，纵坐标都减2，得到线段，则线段到线段的平移方式为（     ） A．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 【答案】D 【分析】根据线段平移时，所有点平移方式一致，点的平移遵循“横坐标右加左减，纵坐标上加下减”，可直接根据坐标变化判断平移方式． 【详解】解：∵线段的端点，的横坐标都加，纵坐标都减， ∴线段到线段的平移方式为向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将线段平移至线段的位置，其中点的对应点为点，点的对应点为点若点的坐标为，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据点A和点C的坐标可判断出平移方式，再根据平移方式可得点D的坐标． 【详解】解：∵将线段平移至线段的位置，其中点的对应点为点，点的对应点为点，， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∴点的坐标为，即． 3．如图，是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．图中A，B，C，，，都是格点，请回答相关问题． (1)若，，请在网格中建立合适的平面直角坐标系，点B的坐标为____________； (2)三角形是由三角形向左平移____________个单位长度，向下平移____________个单位长度得到的，三角形的面积为____________； (3)画出格点D，并连接，使，则点D的坐标为____________． 【答案】(1)， (2)，， (3)， 【分析】（1）根据，，确定原点进而建立平面直角坐标系，根据坐标系写出点的坐标； （2）根据图形可得由三角形向左平移4个单位长度，向下平移3个单位长度得到的，根据网格的特点用正方形的面积减去三个三角形的面积，即可求解； （3）根据平移的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）由三角形向左平移4个单位长度，向下平移3个单位长度得到的， 三角形的面积为 （3） 略 题型14.已知图形的平移，求点的坐标 1．如图，在平面直角坐标系中有一个“心形”图形，“心形”图形上的点在格点上，若将该图形向上平移3个单位长度，则该图形上点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面直角坐标系确定点的坐标，再根据点的平移规律“上加下减”进行计算即可． 【详解】解：由图可知，点的坐标为， 将该图形向上平移3个单位长度， 点的横坐标不变，纵坐标加3， 对应点的坐标为， 即． 2．如图，在平面直角坐标系中平移后，点的对应点的坐标为．则点的对应点的坐标为_______． 【答案】 【分析】先确定平移方式，再根据平移方式求解即可． 【详解】解：由图可得点的坐标为，点的坐标为， ∵平移后，点的对应点的坐标为， ∴平移方式为先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度， ∴点的对应点的坐标为，即． 3．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，将先向右平移n个单位长度，再向下平移n个单位长度得到（图中每个小方格边长均为1个单位长度，）． (1)当时，在图中画出平移后的，并直接写出各顶点的坐标； (2)当三个顶点中恰有两个在坐标轴上时，直接写出n的值． 【答案】(1) ，，； (2)或或 【分析】（1）根据平移的定义作图； （2）根据平移的性质表示出三个顶点的坐标，分类讨论计算． 【详解】（1）略 （2）解：由图知，，，， 将先向右平移n个单位长度，再向下平移n个单位长度平移后得到的三个顶点的坐标分别为，，， 当三个顶点中恰有两个在坐标轴上时，分类讨论： ①当点在坐标轴上时，有或， 解得或， 当时，在轴上，符合题意； 当时，在轴上，符合题意； ②当点在坐标轴上时，有或， 解得或（与①结论重复）， 当时，在轴上，符合题意； ③当点在坐标轴上时，有或， 解得或（与①②结论重复）； 综上所述，或或． 题型15.已知平移后的坐标求原坐标 1．若将点P向右平移2个单位，再向下平移3个单位长度，得到点．则点P坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知平移后点的坐标，结合平移规律即可得到点P的坐标． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点向右平移个单位，再向下平移个单位，得到点， ∴根据平移规律可得：，，解得，， ∴点的坐标为． 2．在平面直角坐标系中，将线段先向下平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，是线段上一点，点平移后的对应点为，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】点平移的坐标变化规律“左减右加，上加下减”． 【详解】解：由题意可知，点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度后得到对应点.， 因此将点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到点， 则点的坐标为，即． 3．已知与在平面直角坐标系中的位置如图所示，是由经过平移得到的． (1)分别写出的坐标； (2)若点是内一点，平移后点在内的对应点为，则点的坐标为_____． (3)直接写出的面积_____． 【答案】(1)，，； (2)； (3)． 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，以及割补法求三角形面积，准确识图并确定平移规律是解题的关键． （1）根据平面直角坐标系分别写出各点的坐标即可； （2）根据图形，从点、的变化写出平移规律，再根据平移规律反推点的坐标； （3）用割补法，通过矩形面积减去周围直角三角形面积求的面积． 【详解】（1）解：由图可得：，，； （2）解：由图可知：，， 横坐标变化：，纵坐标变化：， ∴向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到， 设点，平移后对应点为， 已知，则：， 解得：，， ∴点的坐标为； 故答案为：； （3）解：，，， 用割补法，以各顶点为边界作矩形，矩形面积为， 减去周围三个直角三角形的面积： ， ∴的面积为． 题型16.坐标系中的对称 1．点关于轴对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”进行求解即可． 【详解】解：点关于轴对称点的坐标是． 2．已知点和点关于轴对称，则___________． 【答案】 【分析】本题考查关于轴对称的两点的坐标特征，求代数式的值，关键是掌握两点关于轴对称的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数.根据特征求出与的值，再代入所求代数式计算即可. 【详解】解：关于轴对称的两个点的横坐标相等，纵坐标互为相反数， ∵点和点关于轴对称， ∴，， ∴. 3．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，点A位于第三象限，且到x轴的距离为1，到y轴的距离为3． (1)写出图中点C的坐标，并在图中画出； (2)将各顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，则所得图形与原的位置关于______轴对称； (3)若，且，直接写出点D的坐标． 【答案】(1)，见解析 (2)x (3)或 【分析】（1）由点在坐标系中的位置直接写出坐标，由点位于第三象限，且到轴的距离为1，到轴的距离为3得到，在图中标出，连接即可得到； （2）由关于轴对称的点的坐标特征即可得到答案； （3）根据题意，过点作，且，如图所示，数形结合即可得到答案． 【详解】（1）解：由图可知，点的坐标为，由题可知，点的坐标为； 如图所示： 点及即为所求； （2）解：将各顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，则所得图形与原的位置关于轴对称； （3）解：过点作，且，如图所示： 或． 题型17.坐标与图形变化——轴对称 1．在平面直角坐标系中，已知点关于x轴的对称点是点B，下列关于点B的描述正确的是（     ） A．点B坐标是且到x轴距离是2 B．点B坐标是且到x轴距离是3 C．点B坐标是且到x轴距离是2 D．点B坐标是且到x轴距离是3 【答案】B 【分析】在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此求出点B的坐标，点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，据此可得答案． 【详解】解：∵点关于x轴的对称点是点B， ∴点的坐标为， ∴点到轴的距离为． 2．在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点为___． 【答案】 【分析】利用关于轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数，计算即可得到结果． 【详解】解：∵关于轴对称的点的坐标特点为横坐标不变，纵坐标互为相反数，点的坐标为， ∴对称点的横坐标为，对称点的纵坐标为，即点关于轴的对称点坐标为． 3．已知点关于x轴的对称点在第一象限，试化简． 【答案】 【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征，结合对称点在第一象限确定a的取值范围，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号化简即可． 【详解】解：∵点关于x轴的对称点在第一象限， ∴点在第四象限， 可得不等式组，解得，即， ∴，，则， 由此可知，，， ∴ ． 题型18.坐标系中的旋转 1．如图，已知点，将线段绕点M逆时针旋转得到线段．其中点的坐标是，点的坐标是，且点A与点是对应点，则点M的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转对称的知识点，准确分析作图是解题的关键． 连接，分别作的垂直平分线，交点即为点，由对应点连线的垂直平分线的交点为旋转中心即可求解． 【详解】解：如图，连接，分别作的垂直平分线，交点即为点， 由图象可知，点的坐标为． 故选：B． 2．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点C、D分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，，将绕O点顺时针旋转一周，当与平行时，点C的坐标为__________． 【答案】或 【分析】先求出，再由勾股定理得，可推出，求出，再求出，再由旋转的性质及平行线的性质进行解答即可． 【详解】解：点，点， ， ， ， ，， ， ， 如图，将绕O点顺时针旋转到如图位置时，，过点C作轴于H，设交轴于点； ， ， ， ， ， ， 点C的坐标为， 如图，将绕O点顺时针旋转到如图位置时，， 此时，点C与点关于原点对称， 点的坐标为， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了图形的旋转，坐标与图形的性质，勾股定理，平行线的性质及直角三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握图形的旋转，坐标与图形的性质， 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)将向左平移6个单位，请画出平移后的；（点A、B、C的对应点分别为点、、） (2)将绕原点O顺时针旋转，请画出旋转后的．（点A、B、C的对应点分别为点、、） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平移的方式作出点的对应点，再顺次连接即可； （2）根据旋转的方式作出点的对应点，再顺次连接即可． 【详解】（1）略 （2） 略 题型19.求关于原点对称的点的坐标 1．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】关于原点对称的两个点，横纵坐标均互为相反数即可得到答案． 【详解】解：∵ 在平面直角坐标系中，关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数， 已知点的坐标为，的相反数为，的相反数为， ∴ 点关于原点对称的点的坐标为． 2．点的坐标是，则点关于原点的对称点的坐标_____________． 【答案】 【分析】利用关于原点对称的点的坐标规律，即对称点的横纵坐标分别是原坐标横纵坐标的相反数，直接求解即可． 【详解】解：∵点是点关于原点的对称点， ∴对称点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 3．如图，各顶点的坐标分别为，，． (1)将先向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到，请在平面直角坐标系中画出； (2)将绕点逆时针旋转后得到请在平面直角坐标系中画出； (3)若与关于原点中心对称，则点的坐标为________． 【答案】(1)如图所示即为所求， (2) 如图所示即为所求， (3) ． 【分析】对于（1），根据点的平移规则：横坐标右移加、纵坐标下移减，计算出A、B、C平移后的对应点坐标，再顺次连接三点得到平移后的三角形． 对于（2），先确定旋转中心，再根据绕定点逆时针旋转的坐标变换规则，分别计算A、B、C旋转后的对应点坐标，顺次连接三点得到旋转后的三角形． 对于（3），因为关于原点中心对称的点横、纵坐标均互为相反数，所以直接根据点A的坐标计算其中心对称点的坐标． 【详解】（1）解：根据平移规则，点向下平移4个单位、向右平移1个单位后坐标变为， 计算得各顶点坐标：，，， 在坐标系中描点顺次连线即可得到所求三角形． （2）解：将各顶点与旋转中心连接， 将线段绕旋转中心逆时针旋转，得到各顶点坐标：， 描点顺次连线即可得到． （3）解：关于原点中心对称的点，横、纵坐标均为原坐标的相反数， ∴各顶点坐标为， 描点顺次连线即可得到， 的坐标为． 题型20.已知两点关于原点对称求参数 1．在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴，． 2．已知点与点关于原点对称，则______． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征，求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：点与点关于原点对称， 根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，可得 ，， 则． 3．在平面直角坐标系中，对于点，若点B的坐标为（a为常数），则称点B是点A的“a级伴随点”．例如：点的“级伴随点”为，即点B的坐标为． (1)已知点的“3级伴随点”是点D，求点D的坐标； (2)已知点是点的“级伴随点”，若点与点关于原点对称，求的值； (3)若点E在x轴正半轴上，点E的“a级伴随点”为点F，且，直接写出a的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，新定义，熟练掌握点的坐标的特征进行求解是解决本题的关键． （1）根据题意，应用新定义进行计算即可得出答案； （2）根据新定义进行计算可得点的坐标为，点与点关于原点对称求出，，然后代入求解； （3）设，则点的“a级伴随点”，表示出，，则，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点的“3级伴随点”是点D， ∴点D的横坐标为，点D的纵坐标为， ∴点D的坐标为； （2）∵点是点的“级伴随点”， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴点的坐标为， ∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴，， ∴； （3）解：设，则点的“a级伴随点”， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 解得：． 题型21.判断两个点是否关于原点对称 1．2025年10月，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功．科研人员在监测飞船运行轨迹时，需要确定飞船在太空中的位置．在平面直角坐标系中，若飞船A的位置表示为，飞船B的位置表示为，则飞船A与飞船B关于（     ）对称 A．原点 B．x轴 C．y轴 D．直线 【答案】A 【详解】解：由于点A与点B的横纵坐标都互为相反数，符合关于原点对称的点的坐标特征， 则飞船A与飞船B关于原点对称． 2．点与点关于______对称． 【答案】原点 【分析】根据关于原点对称坐标的特征进行判断即可． 【详解】解：由题意得，点与点的横、纵坐标均互为相反数， ∴两点关于原点对称． 3．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形ABC（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)请作出关于轴对称的并写出点的坐标； (3)将每个顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，顺次连接这些点，会得到一个新图案，这个新图案与有怎样的位置关系？ 【答案】(1) 建立平面直角坐标系如图所示． (2) 如图，即为所求． (3)关于原点对称 【分析】本题考查利用轴对称设计图案，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据点的坐标建立平面直角坐标系即可． （2）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （3）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图所示，即为所求； 这个新图案与关于原点对称． 题型22.中点坐标 1．若点与点关于点对称，则的值是多少(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若两点关于某点对称，则该点是两点连线的中点，利用中点坐标公式求出和的值，再计算即可． 【详解】解：∵点与点关于点对称 ∴点是线段的中点 根据中点坐标公式可得 ， ， 解得，， ∴ ． 2．在平面直角坐标系中，已知点和点，则线段的中点的坐标为__________． 【答案】 【分析】若已知点，，则线段的中点坐标为，将已知点坐标代入公式即可求解． 【详解】解：，， 线段的中点坐标为，即． 3．下面是在“平面直角坐标系中线段的中点”主题下设计的问题，请你解答． (1)观察发现：在下面给出的平面直角坐标系中，描出下列各点：，，，，并连接，，请写出线段的中点坐标：__________，线段的中点坐标：________． (2)探究迁移：如果有，两点，那么线段的中点坐标是__________． (3)拓展应用：已知三点，，，点与点，，中的一个点构成的线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，求点的坐标． 【答案】(1)连接线段，如下图；；； (2) (3) 【分析】（1）根据要求描点，连线，进而根据图象确定中点坐标即可； （2）根据（1）中的两个中点坐标，进行猜想即可； （3）分3种情况，结合中点坐标公式，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，描点，作图见答案 由图可知：线段的中点坐标为，线段的中点坐标为； （2）解：由（1）可知：的中点坐标为，线段的中点坐标为； 猜想：如果有，两点， 则线段的中点坐标是； （3）解：情况1：与中点重合时，， ， 此时； 情况2：与中点重合时，， ， 此时； 情况3：与中点重合时，， ， 此时； 综上所述，点的坐标为． 题型23.坐标系中的动点问题（不含函数） 1．平面直角坐标系中，点，，，若轴，则线段的最小值及此时点C的坐标分别为（   ） A．7， B．2， C．1， D．1， 【答案】D 【分析】根据轴可得点的纵坐标，再利用“直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短”的性质，判断最短时点的位置，进而计算的最小值和点的坐标. 【详解】解：∵轴， ，， ∴，即点在直线上运动， ∴当直线时，长度最小， 如图： 此时点的横坐标与点的横坐标相同， ∵， ∴此时点的坐标为，的最小值为． 2．如图，，，，，动点在线段上，动点在轴上，则的最小值是_______． 【答案】 【分析】连接，当、、三点共线，且时，的值最小，最小值是，根据题意可得，，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接，当、、三点共线，且时，的值最小，最小值是， ，，， ，， ， ， ． 3．如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，点C在y轴上，且轴，a，b满足．点P从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着的路线运动（回到O为止）． (1)求出点A，B的坐标； (2)点P运动t秒后，是否存在点P到x轴的距离为个单位长度的情况．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或 【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值，即可得出答案； （2）分四种情况：当点P运动到上时，当点P运动到上时，当点P运动到上时，当点P运动到上时，分别列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ，， ，， ∴，； （2）解：存在． ①当点P运动到上时，，根据题意得： ，解得，不符合题意，舍去； ②当点P运动到上时，，根据题意得： ，解得， ∴点P的坐标为； ③当点P运动到上时，，根据题意得： ，解得， ∴点P的坐标为； ④当点P运动到上时，，根据题意得： ，解得，不符合题意，舍去； 综上所述，满足条件的点P的坐标为：或． 题型24.点坐标规律探索 1．如图，在平面直角坐标系中有点，点P第一次向上平移1个单位至点，接着第二次向左平移2个单位至点，第三次向上平移1个单位至点，第四次向右平移3个单位至点，…，以此规律平移下去，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】我们先把平移规律按每4次为一组整理，观察下标为4的倍数的点的坐标特征：已知，第八次平移得……，总结规律：当下标（为正整数）时，对应点的坐标为．对于，令，解得，代入规律得横坐标为，纵坐标为． 【详解】解：我们先把平移规律按每4次为一组整理，观察下标为4的倍数的点的坐标特征： 已知，继续按规则推导后续点： 第五次向上平移1个单位得， 第六次向左平移5个单位得， 第七次向上平移1个单位得， 第八次向右平移6个单位得…… 总结规律：当下标（为正整数）时， 对应点的坐标为． 对于，令，解得， 代入规律得横坐标为，纵坐标为， 因此的坐标是． 2．如图，在平面直角坐标系中，，，，，一只蜗牛从点出发，沿循环爬行，当它停止爬行时，一共爬行了2026个单位长度，则这只蜗牛停止爬行时所在位置的坐标为_____． 【答案】 【分析】根据点的坐标计算矩形各边的长度，进而求出四边形的周长，用总爬行长度除以周长，根据余数确定蜗牛停止时的位置． 【详解】解：根据题意，得，，，， ∴，，，， ∴四边形的周长为， ， ∴蜗牛爬行了101圈后，又沿方向爬行了6个单位长度， ∵， ∴蜗牛停止爬行时所在位置即为点， ∴这只蜗牛停止爬行时所在位置的坐标为． 3．如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动． 第一次：原点； 第二次：； 第三次：； 第四次：； 第五次：； 归纳上述规律，完成下列问题． (1)写出点的坐标为_________； (2)第2024次运动后，点的坐标为_________； (3)若点的横坐标为，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据点的运动方式发现其坐标的变化规律是解题的关键． （1）根据动点的运动方式，即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）根据题意求出n的值，求出点的坐标即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知， 因为，，，，， 所以点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，(n为正整数）． 令， 解得， 所以． 即点的坐标为． （2）根据（1）的发现可知，每4次一循环， ， 所以点的坐标为． （3）解：观察图象，由动点的运动规律可知，的横坐标为的相反数，纵坐标每4次运动组成一个循环：． 根据题意，得，解得． 点的坐标为． 题型25.用方向角和距离确定物体的位置 1．已知我市新华书店在某学校北偏西方向处，新华书店可能是图中（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】根据方位角的定义求解即可． 【详解】解：由图可得，北偏西为，乙到中心距离为；丙到中心距离为， ∴位于学校北偏西方向处的是丙，即新华书店可能是图中丙． 2．如图，描述点的位置：点在点的北偏东_______方向上处． 【答案】40 【详解】解：， ∴点在点的北偏东方向上处． 3．1路公共汽车从起点站先沿西偏北方向行驶3千米，然后向正西方向行驶4千米，最后沿南偏西方向行驶3千米到达终点站．根据上面的描述，把公共汽车行驶的路线图画完整． 【答案】 【分析】本题主要考查根据方向、角度和距离画线路图、应用比例尺画图，用方向和距离结合来画路线时，要注意三个要素：一是观测点（即参照物），二是方向，三是距离．地图上按上北下南左西右东确定方向，观察可知，图上1厘米表示实际1千米，因此几千米在图上就画几厘米即可． 【详解】略 ✺巩固测试 一、单选题 1．小丽同学是某校2024年入学的，她在5班，学号是23，如果用6位数字给她编学籍号，下面比较实用的是（    ） A．202405 B．240623 C．240523 D．230524 【答案】C 【详解】解：∵小丽2024年入学，6位编码下取入学年份后两位为24；小丽在5班，占2位编码为05；小丽学号是23，占2位编码为23； ∴按规则组合得到学籍号为240523． 2．在平面直角坐标系中，若轴上的点到轴的距离为，则点的坐标为（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】解：y轴上点的横坐标为0，因此点P的坐标为； ∵点P到x轴的距离为6， ∴， ∴或， ∴点P的坐标为或． 3．点在第二象限，则点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先根据点A的位置推导a、b的符号，再判断点B横纵坐标的符号，确定点B所在象限． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，， ∴， ∴， ∴点在第四象限． 4．在平面直角坐标系中，将点先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“右移横坐标加，下移纵坐标减”的规律计算即可得到结果． 【详解】解：已知点，先向右平移4个单位长度，横坐标变为， 再向下平移2个单位长度，纵坐标变为， ∴． 5．如图，在正方形网格图中，位于点南偏西的方向上，同时又在点西北方向上的点可能是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】根据方位角的含义绘制点的南偏西方向和点西北方向，即可得到答案． 【详解】解：如图，绘制点的南偏西方向：从点的正南方，向西（左）偏转的方向， 绘制点西北方向：从点的正北方，向西（左）偏转，也就是正西和正北的角平分线方向，两直线交于点， ∴位于点南偏西的方向上，同时又在点西北方向上的点可能是点． 二、填空题 6．将点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后，与点重合，则的值为______________． 【答案】 【分析】左减右加横坐标，上加下减纵坐标；根据平移后坐标列方程求出、的值，再代入计算． 【详解】解：点向左平移个单位，横坐标变为；向上平移个单位，纵坐标变为． 平移后点坐标为，与重合， 故，． 由，得； 由，得． ． 7．已知点关于y轴对称的点的坐标为，那么n的值为__________，点A关于原点对称的点的坐标是_____________． 【答案】 【详解】解：关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数，点关于轴对称的点的坐标为， ， 点的坐标为， 关于原点对称的点，横纵坐标均互为相反数， 点关于原点对称的点的坐标是． 8．如图，已知中，，，在边上有两点且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】可以通过建立坐标系结合几何对称的方法来求解的最小值． 【详解】解：作， ， ， ， 由勾股定理得，， ， 以中点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系： ，， 设，由于，则 ， ， ， 将问题转化为：在轴上找一点，使得到和的距离之和最小（是将向左平移1个单位得到的点） 作关于轴的对称点，连接， 则与轴交点可使即为最小，最小为， ． 9．如图是三艘军舰的位置示意图，已知C舰到A舰的图上距离为4cm，实际A舰在C舰的正东方向40千米处，B舰到C舰的图上距离为2cm，请通过计算，用方向和距离描述B舰相对于C舰的实际位置：______． 【答案】北偏东方向，距离C舰20千米处 【分析】根据题意可得之间的距离为千米，且在的北偏东方向，求解即可． 【详解】解：根据已知C舰到A舰的图上距离为4cm，实际A舰在C舰的正东方向40千米处可得，代表的距离为千米， B舰到C舰的图上距离为2cm，则之间的距离为千米， 根据图形可得，在的北偏东方向， 则B舰相对于C舰的实际位置为北偏东方向，距离C舰20千米处． 10．年是红军长征胜利周年，如图，是红军长征路线图，若表示吴起镇会师的坐标，瑞金的坐标为，则表示会宁会师的点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据表示吴起镇会师的坐标，瑞金的坐标为，建立平面直角坐标系，结合坐标系即可得出结果． 【详解】解：∵表示吴起镇会师的坐标，瑞金的坐标为， ∴建立平面直角坐标系如图所示： ∴表示会宁会师的点的坐标为． 三、解答题 11．在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为． (1)若点P在x轴上，求点P的坐标； (2)若点P的横坐标比纵坐标大2，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用x轴上点的纵坐标为0列方程求解a，再计算点P的坐标即可； （2）根据横坐标比纵坐标大2的数量关系列方程求解a，再计算点P的坐标． 【详解】（1）解：∵ 点P在x轴上， ∴， 解得， 将代入横坐标得：， ∴点P的坐标为． （2）解：∵点P的横坐标比纵坐标大2， ∴， 整理得， 解得 ， 将代入横纵坐标得：， ， ∴ 点P的坐标为． 12．2024年7月27日，“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”被正式列入《世界遗产名录》．北京中轴线是一组自南向北贯穿北京老城，由一系列建筑与空间构成的宏大建筑群．从南至北由15处核心遗产点构成，呈严格对称，居中纵贯的网格分布．五一小长假，某班组织中轴线北线的探秘之旅，在出发前，每位同学拿到了如下图所示的用坐标表示中轴线几处核心遗产点的示意图，已知人民大会堂的坐标是，端门的坐标是． (1)请根据题意在图上建立平面直角坐标系； (2)在（1）的条件下，写出太庙的坐标为___________； (3)甲同学给在人民大会堂的乙同学发消息说：“我在人民英雄纪念碑，就是你的东南方向．”甲同学又告诉在国家博物馆的丙同学：“我在你的西南方向．”请你根据这些信息： ①用点在图上表示人民英雄纪念碑的位置； ②在（1）的条件下，点坐标为___________． 【答案】(1) 建立平面直角坐标系如图， (2) (3) ①A点如图所示， ②． 【分析】（1）根据人民大会堂的坐标是，可知天安门为原点，进而建立平面直角坐标系即可； （2）根据坐标系求解即可； （3）①根据方向角的定义即可找到A点位置；②根据A点位置求解即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：太庙的坐标为； （3）解：①略； ②点坐标为． 13．如图，在平面直角坐标系中，点、且实数a，b满足，过点B作轴交y轴于点C．点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向x轴负方向运动．点Q从O点出发，以每秒2个单位长度的速度向y轴正方向运动． (1)直接写出点A的坐标_________，点B的坐标_________； (2)动点P、Q分别在射线、上运动，连接、，当时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据偶次方和绝对值的非负性求出、的值，从而得到点、的坐标； （2）表示出秒时点和点的坐标，用含的式子表示出和的面积，根据题意列出关于的方程，求出的值即可确定点的坐标． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得，， ∴的坐标，的坐标； （2）解：∵轴交轴于点，， ∴，， 设运动时间为秒，则，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得或， ∴或， ∴或， ∴点的坐标为或． 14．按要求完成下列各题： (1)在如图所示的平面直角坐标系中表示下面各点：，，，，，，． (2)点到原点的距离是________； (3)将点沿轴的负方向平移6个单位，它与点________重合； (4)连接，则直线与轴是什么关系？ (5)点到轴、轴的距离分别是多少？ 【答案】(1) (2)3 (3)D (4)轴 (5)点到轴的距离为7个单位，到轴的距离为5个单位 【分析】（1）根据平面直角坐标系中，点的表示方法依次在坐标系标出各点即可； （2）根据点A的坐标可得出点A在x轴上，即可得出点A到原点的距离； （3）根据点的平移的性质得出平移后的位置； （4）利用点的坐标特征得出直线与y轴的位置关系； （5）利用点F的横、纵坐标得出点分别到x、y轴的距离． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）图可知，点A到原点的距离是3； （3）解：将点向x轴的负方向平移6个单位得到，即，故它与点D重合； （4）解：∵，两点对应的横坐标相同， ∴轴； （5）解：∵点到x轴的距离为该点纵坐标对应的数7的绝对值， ∴点到轴的距离为7个单位， ∵点到y轴的距离为该点横坐标对应的数5的绝对值， ∴点到y轴的距离为5个单位． 15．在平面直角坐标系中，对于点，和图形，将图形沿射线方向平移，平移距离为线段的长，得到图形，若点在图形上，则称点为图形关于点的“移动关联点”．如图，点，，点在线段上． (1)若，，，其中点________是线段关于点的“移动关联点”，点________是线段关于点的“移动关联点”； (2)若点为关于点的“移动关联点”，则点的横坐标的取值范围是________； (3)已知正方形，点，点，点，点． ①当时，若点为正方形关于点的“移动关联点”，则点的横坐标的取值范围是________； ②已知点，，若线段上任意一点，都是正方形关于点的“移动关联点”，则的取值范围是________． 【答案】(1)， (2) (3)①；② 【分析】（1）点，，将线段沿射线方向平移，平移距离为线段的长，原线段端点平移后为、，将线段沿射线方向平移，平移距离为线段的长，原线段端点平移后为、，根据以上结论即可解题． （2）原中，平移后的横坐标，，，故，即． （3）①时，原正方形中横坐标，纵坐标，满足 ，得，由此得， ，，故，，最后把所得范围合并即得的范围． ② 线段：，，由题意得线段整体在平移后的正方形内，平移后正方形的范围为，得，解得，平移后正方形的横坐标范围为，最后根据即得的范围． 【详解】（1）解：点，，将线段沿射线方向平移，平移距离为线段的长，原线段端点平移后为、，只有在平移后的线段上，故第一个空为． 点，，将线段沿射线方向平移，平移距离为线段的长，原线段端点平移后为、，满足，，在平移后的线段上，故第二个空为． （2）解：点在线段上，设，， 中任意点横坐标，平移后的横坐标， 最小为，最小为，故， 最大为，最大为，故， ∴． （3）解：①当时，正方形顶点：， 原正方形中横坐标，纵坐标， 设，，， 由平移规律： ， ∴， ， ∴， 又∵， ∴， 即，，， ∴，， ∴． ② 线段：，， ∵线段上任意一点，都是正方形关于点的“移动关联点”， ∴线段整体在平移后的正方形内， 原正方形纵坐标， 平移后正方形的范围为，即， 要使完全包含在的范围内， ∴ ， 解得，即 平移后正方形的横坐标范围为， 的必须在这个范围内，代入， ， 解得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $