第23章 模型构建专题 解直角三角形应用中的基本模型-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（沪科版·新教材）

模型构建专题 解直角 模型① “背靠背”模型 模型分析：如下图，这种类型的特点是两个直 角三角形是并列关系，有（或者通过平移后有） 公共直角顶点和一条公共直角边，其中这条公 共直角边是沟通两个直角三角形关系的煤介。 基本模型（图示）： 1.某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机 组中，“风电塔筒”（如图①）非常重要，它的高度 是一个重要的设计参数，于是小组成员开展了 “测量风电塔筒高度”的实践活动.如图②，已知 一风电塔筒AH垂直于地面，测角仪CD,EF 在AH两侧，CD=EF=1.6m,点C与点E相 距182m(点C,H,E在同一条直线上)，在点D 处测得筒尖顶点A的仰角为45°，在点F处测 得筒尖顶点A的仰角为53°.求风电塔筒AH 的高度（结果精确到0.1m,参考数据：sin53°≈ 4 3 4 500s53°≈ ，tan53≈3 D459 图① 图② 三 角形应用中的基本模型 模型② “子母”模型 模型分析：如下图，这种类型的特点是一个直 角三角形包含另一个直角三角形，两个直角 三角形有公共直角和一条公共直角边，其中 这条公共直角边是沟通两个直角三角形关系 的媒介. 基本模型（图示）： B 2.沿江大堤经过改造后的某处 横断面为右图所示的梯形 ABCD,高DH=12m,斜坡 26 CD的坡度i=1：1.此处大堤 C 的正上方有高压电线穿过，PD表示高压电 线上的点与堤面AD的最近距离（点P,D, H在同一直线上)，在点C处测得∠DCP =26°. (1)求斜坡CD的坡角a. (2)电力部门要求此处高压电线离堤面AD 的安全距离不低于18m,请问此次改造是否 符合电力部门的安全要求（参考数据：sin26 ≈0.44，tan26°≈0.49，sin71°≈0.95，tan71 ≈2.90)？ 上册第23章 3.某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看 到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离 BQ=4m,仰角为a;淇淇向前走了3m后到 达点D,透过点P恰好看到月亮，仰角为B, 示意图如下图所示.已知淇淇的眼睛与水平 地面BQ的距离AB=CD=1.6m,点P到 BQ的距离PQ=2.6m,AC的延长线交PQ 于点E(图中所有点均在同一平面内). (l)求3的大小及tana的值. (2)求CP的长及sin∠APC的值， P房 A1.g. 模型③“拥抱”模型 模型分析：如下图，这种类型的特点是两个直 角三角形的直角顶点重合，两条直角边分别 有一部分重合，斜边相交，两个直角三角形重 合的直角边的关系是沟通两个直角三角形关 系的媒介， 基本模型（图示）： 42 九年级数学HK版 4.如右图，CD是一座东西走北 东 CD 向的大桥，一辆汽车在笔直 的公路1上由南向北行驶， 459 在A处测得桥头C在北偏 子309 A 东30°方向上，行驶500m后到达B处，测得 桥头D在北偏东45°方向上.已知大桥CD 长300m,求桥头C到公路1的距离（结果保 留根号). 5.数学活动小组欲测量山坡上一棵大树CD 的高度.如下图，DC⊥AM于点E,在A处 测得大树底端C的仰角为15°，沿水平地面 前进30m到达B处，测得大树顶端D的仰 角为53°，山坡坡角∠CBM=30°（图中所有 点均在同一平面内). (1)山坡BC的长为 m. (2)求这棵大树CD的高度（结果保留整数， 4 3 参考数据：sin53≈5，cos53”≈亏，tan53”≈ D 8≈1.73) C 53 i30 M E B15°A第4课时坡度、坐标系中的倾斜角问题 1.A 2.解：(1)如图，过点B作BE⊥AM于点E. ,斜坡AB的坡度为1：3， BE 1 AE=3AE=3BE. 在Rt△ABE中，AB=BE+AE,即(10√0)=BE+ (3BE)2, 解得BE=10. 故平台BN的高度为10m. (2)如图，延长CD交AM于点F,则CF⊥AM, .四边形BEFD为矩形， ,∴.DF=BE=10m,BD=EF 设CD=xm,则CF=(x+l0)m. 在Rt△ACF中，∠CAF=30°， AFAF tan∠CAp气E&3=x十10 3 10)m, 在Rt△CBD中，∠CBD=60°， 则BD tan∠CBD-3xm, 由(1)可知，AE=3BE=30m, √3(x+10)- 3x=30,解得x=15V3-15. 故建筑物的高度为(15√3-15)m. B60 i=13 D A30° 3.B【解析】如图，过点F作AB⊥y 轴交y轴于点A,过点G作GB⊥ AB于点B, 则∠FGO+∠FGB=90°，∠BFG +∠FGB=90°，∠AEF+∠AFEO =90°， ,∴.∠BFG=∠FGO ,AB⊥y轴，GB⊥AB,∠AOG=90°，∴.四边形 AOGB为矩形， ..AO=GB,AB=OG=17. :∠EFG=90°，.∠AFE+∠BFG=90°， ∴.∠AEF=∠BFG=∠FGO. 在R△AEF中，os∠AEP-S,即S-名，解得 AE=6. 由勾股定理，得AF=√EF一AE=8,∴.BF=AB一 AF=17-8=9. BF 在Rt△BFG中，cos∠BFG= 93 C,即C=5,解得FG =15. 由勾股定理，得BG=√FG一BF=12,则点F的坐 标是(8,12). 36 九年级数学HK版 4.解：(1)过点C作CE⊥AB于点E,过点D作DF⊥AB 于点F,如图，则四边形DFEC为矩形， .'FE=DC=2.5 m,DF=CE=5 m. 在Rt△AFD中，背水坡AD的坡度i为1：1.2， .AF=1.2DF=1.2×5=6(m). CE 在Rt△CEB中，taaE3,EB三an30=53m, ∴.AB=AF+FE+EB=(8.5+5√3)m. D'DC GF E B (2)如图，延长CD至点D,延长BA至点A',连接 A'D',过点D'作DG⊥A'B于点G,则四边形D'DFG 为矩形， ..D'D=GF,D'G=DF=5 m. 由题意，得D'D=0.5m,A'G=1.4DG=7m, .GF=0.5m, ..A'A=A'G+GF-AF=1.5 m, ∴梯形D/A'AD的面积=2×0.5+1.5)X5=5 (m2). 故横截面增加的面积为5m. 模型构建专题解直角三角形 应用中的基本模型 1.解：连接DF交AH于点G,如图. 由题意，得CD=EF=GH= 1.6 m,DF CE 182 m,DF ⊥AH. D45.. 53 设DG=xm, ∴FG=DF-DG=(182-x)m. 在Rt△ADG中，∠ADG=45°， ∴.AG=DG=xm. 在Rt△AFG中，∠AFG=53°， ,∴.AG=FG·tan53°=(182-x)tan53°m, ∴x=(182-x)tan53°，解得x≈104， .AG≈104m, .AH=AG+GH≈104+1.6=105.6(m). 故风电塔筒AH的高度约为105.6m. 2.解：(1)，斜坡CD的坡度i=1：1, ∴.tana=DH：CH=1:1=1, .a=45°. 故斜坡CD的坡角a为45°. (2)在Rt△CDH中， a=45°， .'.CH=DH=12 m, ∠PCH=∠PCD+a=26+45°=71. 在Rt△PCH中， :tan∠PCH=CH H_PD+12≈2.90， 12 .PD≈22.8m. 22.8m>18m, ∴此次改造符合电力部门的安全要求. 3.解：(1)由题意，得PQ⊥AE,PQ=2.6m,AB=CD= EQ=1.6 m,AE=BQ=4 m,AC=BD=3 m,.'.CE= 4-3=1(m),PE=2.6-1.6=1(m),∠CEP=90°， ..CE=PE, PE 1 ∴.B=45°，tana=AE=4 (2),CE=PE=1m,∠CEP=90°， ∴.Cp=√2+1平=√2(m). 如图，过点C作CH⊥AP 于点H. 1 由(1)，得tana=4,.设A P窗户 CH=xm,则AH=4.xm, B x2+(4x)2=AC2=9, D 解得x=3区（负值已舍去）.CH=3Y厘 17 17m, 3I7 CH173√/34 :.sin/APC-CP √2 34 4.解：如图，延长DC交直线I于点H,则DH⊥AH.设 CH=z m. CH 在Rt△AHC中，AH= tan∠HAC tan30=3.x m. ,AB=500m,∴.HB=AH AB=(W5x-500)m. 在Rt△BHD中，：∠HBD= ∠HDB=45°，∴.HB=HD 又：HD=(x+300)m, .∴.√3x-500=x+300,解得x=400(3+1). 故桥头C到公路l的距离为400(3+1)m. 5.解：(1)30 (2)在Rt△CBE中，：∠CBE=30°，BC=30m, .CEBC-15 m.BE-BC cos30"5m. 在Rt△DEB中，：∠DBE=53°， .4 DE=BE,tan53°≈155X3=20,V3(m, .CD=DE-CE≈203-15≈20(m). 故这棵大树CD的高度约为20m. 实践应用专题解直角三角形的 实际应用 1.解：如图，过点E作EH⊥AG于点H, B C 42 32 D 则四边形CDHE为矩形， .EH=CD=1.8 m,DH=CE=1 m. 在Rt△CDF中，∠CFD=42°，CD=1.8m, CD ..DF= .8=2(m, tan∠CFD≈ 10 ,.HF=DF-DH≈2-1=1(m). 在Rt△EHG中，∠EGH=32°，EH=1.8m, EH .HG= ≈1.8=2.88(m, tan∠EGH≈5 6 ∴.FG=HG-HF≈2.88-1=1.88(m). 故调整后的滑梯会多占约1.88m长的一段地面. AB 2.解：在Rt△ABD中，tan∠ADB=BD AB .BD= tan313. :∠ABE=∠CDE=90°，∠AEB=∠CED, .△ABEp△CDE, ÷品能0+， 3 6 .2AB= an3T十6，解得AB≈18. AB 故龙灯最高点到地面的高度AB约为18m. 3.解：(1)由题意，得AB=10×8=80(m). 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=45°， 则BC=AB=80m. 故无人机从点B到点C的飞行距离为80m. (2)如图所示，延长ED交BC的 456yV45020y 延长线于点F, 则四边形ABFE为矩形， .'EF=AB=80 m. 设DE=xm,则DF=(80- x)m. 在Rt△DFC中，∠DCF=45°，∠DFC=90°， 则FC=DF=(80-x)m, .'BF=FC+BC=(160-x)m. 在Rt△BFD中，∠FBD=20°. DF :tan∠FBD=BF' .DF=BF·tan∠FBD,即80-x=(160-x)tan20°， 解得x≈35. 故慈氏塔DE的高度约为35m. 章末对点导练 1.B 2.sin41°<cos46°<cos37°<cos21°【解析】：sin41°= cos49°，且当a为锐角时，cosa的值随a的增大而减小， ∴.sin41°<cos46°<cos37°<cos21°. 3.A【解析】：∠B=45°，AD⊥BC, ÷AD=AB·m45°=25x5=25. 2 'sinc-AD_/3 AC-2AC-4 ,E,F分别为AB,BC的中点，.EF是△ABC的中 位线EBF=专AC=2. 上册详解详析 37