第21章 二次函数与反比例函数 章末核心考点与素养提升-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（沪科版·新教材）

点E,P的横坐标均为t,点 2+3+2-1-2)×1=号，解得： E,P分别在直线和抛物线上， DE=+4,DP=-名+ 5 t= (Ⅱ)当t>3时，过点D作DH⊥ PE-DP-DE-- CE于H,则BD=t-(一t+4t) +4,Sam=合X(-2E+ =t-3t,CE=t-t-2, 4t)×8=-2(t-4)2+32,∴.当t A.SEm-合(BD+CE)· =4时，SAC最大，最大值为32. DH,即2(-3z+t-t一2)×1= 3.1)-号-号2 (2)①当点D在x轴上方时，直 号解得6=受+1会去)6= 2 线1的解折式为y=号十号： 4+1(舍去).综上所述，t的值为 2 ②当点D在x轴下方时，直线1 的解折式为y号一号：综上， 21.5反比例函数 第1课时反比例函数的概念 直线1的解析式为y=一 3x+ 1.D2.D3.②⑤4.B 号或y=号x号 5.t394 6.5-6 7.C【变式2 4.(1)a=-1,b=4. 8.(1)3(2)1(3)49.B10.C (2)由(1)得：y=-x2+4x,易求 点B(t,-+4t),C(t+1,-+ 11.B12.B13.y= 2t十3)，OA的解析式为y=x, 14.(1)设反比例函数的关系式为y ∴.D(t,t),E(t+1,t+1). =飞，把x=-1,y=2代入得k x ①设BD与x轴交于点M,过点 A作AN⊥CE,则M(t,0),N(t+ =-2,y=-2 1,3,∴Ssam十SaE=2BD· (2)-3214-4-2 OM+2AN·CE=2(-E+4u 15.D由S名y10cd,得)- (2)自变量x的取值范围是x>0. -0+(-6+2+3-1-10 (3)当x=10cm时，y=2cm;当 ·(3-41)=号(-+3)+ y=5cm时，x=4cm. 2 16.(1)y=x-1-z+1（x≠-1). 号-3r+0=+ge+ 2t-8+2=2 (2当x=-2县 第2课时反比例函数的图象 ②(I)当2<t<3时，过点D作 和性质 DH⊥CE于H,则H(t+1,t),1.B2.D3.C4.m>5 BD=-t+4t-t=-t+3t,CE5.D【变式】A6.k<27.D =t+1-(-t2+2t+3)=2-t- 8.y>4或y09.D10.C 2,DH=t十1-t=1,∴.S四边形B11.B12.k1<k<k2 =2(BD+CE)·DH,即号（-1R.Iy=-2,补图略。 31 (2)当y=5时，-6=5，解得：x 9.②③ x 10.由题意得：E、M、D位于反比例 号∴当5，且≠0时， 函数图象上，则Sm=, 2 <-8或>0. So=会，过点M作MG1y 14.D 轴于点G,作MN⊥x轴于点N, 15.(1)m<2 (2)y=6 x 则SCONMG=|k|,又，'M为矩形 (3)(3,2)或(-2，-3)或(-3， ABCO对角线的交点，.S矩形AB0 -2)4 =4 StONMC=4||,由于函数图 第3课时反比例函数性质的 象在第一象限，>0，则会+令 综合运用 +9=4k,解得：k=3. 1.C2.33.24.C 11.(1)过点D作x轴的垂线，垂足 5.-1<x<0或x>16.-8 为F,点D的坐标为(8,6)， 7.(1)36 ∴.OF=8,DF=6,.OD=10, (2)△ABC的面积为6. .AD=10,∴.点A坐标为(8,16)， 8.-39.C10.B11.D12.-2 .k=xy=8×16=128,∴.反比例 13.(1)y=- 4 x 函数表达式为y=128 (2)b的值为1或9. (2).点A坐标为(8,16)， 微课堂求反比例函数中的k值 .OA的表达式为y=2x, 【变式练】3 设E点坐标为(m,0),则M点 专题六反比例函数与代数问 坐标(m,2m),F点坐标(8,0)， 题的结合 ,M点正好是线段EP中点， 1.二、四2.无实数根 3.1(答案不唯一) P(m,4m）,128 4m, 4.x≤-9或x>05.B6.C 解得m=4W2或m=-4v2, 7.38. 3 9.010.16 .E(42,0). 综合与实践 函数建模与实际应用 11.(1)k=3.(2)AB=4√2. (1),抛物线y=ax2十bx的顶点坐 12.(1)415 标为(2，一1)， (2)△P0Q的面积为号， b2, 2 13.-6<x<0或x>214.4 解得 a=4' -6 15.2≤m≤4 三一1 (b=-1. 16.(1)28 (2)当x=3时，y=mx十n=2x “抛物线的解析式为y=4丈一z +n=6+n,y= 至-号由题意， 当y=0时，子2-x=0,解得 得6十心号解得心9 0,x2=4,∴.C点坐标为(4,0)； (2)直线y=x十1与坐标轴交于 专题七反比例函数与几何 A,B两点，.令x=0,得y=1,令y 问题的结合 =0,则x+1=0,x=一1，∴.A(-1, 1.C2.63.84.(1)W3(2)4 0),B(0,1),∴.OA=OB=1,∴.△ABO 5.C6.87.B8.S1=4S4 是等腰直角三角形，∴.∠BAO=45°. 32 ,直线y=x十1是心形叶片的对称 -200)2+7200=7000(元). 轴，且点C,C是叶片上的一对对称 :10.3 点，∴.∠CGA=90°，CC=2CG, ∴.∠GCA=45°，∴△AGC是等腰直 1.1y=,2m=1. 12.(1)0.81.4 角三角形，∴0G-受AC (2)0.7≤0≤2.8 C点坐标为(4,0)，.AC=4-13.B14.A15.A (-1)=5,∴cG=52 16.(1)a=b-2; 2 ,:.CC= (2)①b>4; 2CG=5√2； ②证明：，y=ax2+bx十c, (3),右侧幼苗上方轮廓线与下方 六抛物线的对称轴x=一名 轮廓线形状相同，开口相反，设右侧 b 1 幼苗上方轮廓线的表达式为丛= x2+bx+c(0<x≤4)，代入(0， 4-2 c=0, >4,0<告<1-1< 0)、(4,4)得 解 4=-子×16+46， 1 一<一2 4一2 b 得6二2y=-+2x(0< 1 c=0, a=b-2>0, ∴抛物线开口向上，在对称轴的 ≤4).设M点坐标为(m,-子m+ 右侧y随x的增大而增大， 2m)0<m≤)，则N(m,e), 'n>m≥- 2Q点在P点 MN=-子m+2m-子m= 的右侧，2>y1: 17.(1)1 -m+2m=-号(m-2+2, (2)设BC交y轴于E,设菱形 的边长为2t,则AB=BC=CD :-合<0,0<m≤4，当m=2 =AD=2t,BE=CE=t, 时，MN的最大值为2. .B(-t,2),.OE=,AE= 章末核心考点与素养提升 √AB-BE=√5t,∴.OA=OE 1.(1)1或-5(2)1(3)-5 +AE-=t+√3t,∴.D(2t,t+3t), 2.B3.D4.D 把D2t,+√3t)代入y=x2得： 5.y=-2(x-2)2+46.C7.D 8.B +31=,解得1号或=0（会 9.(1)y=-0.5x+160120≤x≤180 (2)设销售利润为0元， 去凌形的边长为29 则=(x一80)（一0.5x+160)= (3)n一m为定值，理由如下：过 7r+20x-12800=-号(z B作BF⊥y轴于F,过D作DE ⊥y轴于E,易证△ABF≌ 1 -20)2+720,:a=-2<0, △DAE(AAS),.BF=AE= .当x<200时，y随x的增大而 m,AF=DE=n,易知点B(m, 增大，.当x=180时，销售利润 m2),D(n,n2),则OF=m2, 最大，最大利润是：w=一壹180 ∴.OF+AF+AE=m2+n+m= n2,∴.m+n=(n-m)(n+m),由 33 题意，可知m十≠0，∴.n一m=1. 第22章相似形 -MN-5,.MB-AB- 22.1比例线段 AM=1-5-1=3-5 第1课时相似的图形 2 2 1.B2.B3.B4.155.2 3-√5 ·煨 2 3√5 6.∠A=∠A'或∠B=∠B 5-1 W5-1 7.由题意，得8：6=5：A'D',.A'D 2 =m,“∠A=∠B=65, (3-5)(5+1)= 2w5-2 (5-1)(W5+1) 4 .∠C=∠D=180°-65°=115°. 8D9.C10.B11. 5,1矩形BCNM是黄金矩 形 12品3能-3-专 第3课时平行线分线段成比 (2)证明：DE∥BC, 例定理及其推论 ∴∠D=∠B,∠E=∠C, 1.D2.43.0 EF AD 又”∠DAE=∠BAC铝 5.B6.6 4.AC-36 AEDE AC-BC 7.CF-15.BF-g ∴.△ADE与△ABC相似. 8.B9.C10.6或12 13.图略 14.(1)AD=1+5 1.BC-9,DB-15. 2 12.(1)AB=4,BC=10. ②)相似比为骨-1 (2)过点A作AG∥DF交BE 于点H,交CF于点G,又AD 第2课时比例的基本性质与 ∥BE∥CF,AD=7, 黄金分割 ∴.AD=HE=GF=7, 1.C2.100 3.5:7 CF=14,∴.CG=14-7=7, 4.1√2=2：2√2 BE/C,器船名， 5.(1)成比例，a:b=c:d ∴.BH=2,∴.BE=2+7=9. (2)成比例，a:c=d:b 微课堂作平行线转化线段的比 (3)不成比例 【变式练】B 6.C 22.2相似三角形的判定 7.(1)a:b=3:2.(2)a-b=1 第1课时相似三角形 a-3 &.B9.D10.C11.D12. 1.B248告是 13.△ABC的周长为8，△A'B'C4.15 24 45.A6.4 的周长为12. 7.答案不唯一，如△ADFp△ECF 14.(1)-1+5 8.证明略. 2 (2)右边窗户BCNM是黄金矩形. 9.A10.C11.B12.8cm13.3 证明：设AB=CD=1,,矩形14.CE=4.5cm ABCD是黄金矩形，∴.AD=AM15.(1).PM∥BC,.△APM∽ 34 △MNB.器-0，PY- AB’1 熙又∠B=∠C=9, PM-cmi ∴.△APB∽△EPC. 5.证明略. (2若△PNB△PAD,则器 6.A7.A8.C9.54 75 10.3 除，又由PM/NB得器 :11.(1)△PBA与△ABC相似，理由 盼恶搬营 t t 如下：.AB=√22+1=√5，BC =2s,此时相似比为一专 ,NB_2 =6,P=1嚣-跽-9 5 ∠PBA=∠ABC,∴.△PBA 第2课时三角形相似的判定定理1 ∽△ABC. 1.D2.B3.C (2).△PBA∽△ABC∴.∠BAC 4.∠1=∠C(答案不唯一) =∠BPA,,∠BPA=90°+45°= 5.56.157.证明略. 135°，.∠BAC=135 8.AC=2√2Icm. 12.(1)证明略； 9B10号1.9 2带-紧带肥. 12.(1)略. (2)证明略. 又.∠C=∠C,EC=5,BC=13, 13.(1).∠ABC=90°，DE⊥DG, ∴.△CDE∽△CAB, ∴.∠ADG=∠ABC=90°， 器既品 ∴.∠BAD+∠ADB=90°， ∠ADB+∠CDG=90°， 13.(1)1:3(2)(3)略 ∴.∠BAE=∠CDG, 第4课时三角形相似的判定定理3 1.A2.B3.D4.B5.1.5 'BF⊥AC,∴.∠ABE+∠BAC =90°，.∠C+∠BAC=90°， 6.∠A=∠D或BC=2EF 7.证明略.8.D9.B10.B .∠ABE=∠C, 11.①②④12.证明略. .△ABE∽△DCG. 13.相似三角形有3对：△ABD) (2)证明：△ABE∽△ACD,或 △A'B'D',△ABC∽△A'B'C', △DCG∽△ACD.易证∠BAE △CADp△CA'D'.证明略. =∠CAD,∠AEB=∠ADC可 14.(1)△ABC∽△DEF,由三边对 知△ABE∽△ACD. 应成比例可知； 14.（1)证明略. (2)不唯一，△P2PD,△P4PF, (②)由1证得号-是，即CE=2 △P2PD,△PPD,△P2PP, ∴.AE=9-2=7 △PFD中，选2个即可.图略. 第3课时三角形相似的判定定理2： 第5课时直角三角形相似的判定 1.B2.D3.D 1.D2.B3.C4.D5.9 4.△APB与△PCE相似，理由如 6.(1)相似，理由略； 下：设BP=2k,BC=3k,∴.AB= BC=CD=3k,PC=k.又E是 (2)BE⊥AC,BE- 2AC,理由略。 DC的中点，C-昌起提 7.B8.A9.A 10.(1)证明略。 =2咒-路=2即0 (2)在Rt△BCE中，由BC=AD =12,CE=5,.BE= 35 VBC+CE二18，由△ABr∽6（号 △nPC,得瓷-能，即侣 (2)在矩形ABCD中由于对折， 器AF=6 ∴.∠D=∠FEM=90°，.∠1十 ∠2=90°，又.∠A=∠B=90° 11.在Rt△ABC中，AB=√WBC+AC ∴.∠1+∠3=90°，.∠2=∠3， =5,由题意知：AP=5-t,AQ=2t. 当PQ∥BC时，△AQPP△ACB, △AEF△BME,能- 器能登-5号 BM=是. AE 5 解得：=9,9<2，当PQLAB 7.(1)△ABC与△DAC相似，理由 是：.CD=2,BC=8,AC=4, 时，△MPQ△MCB8- 瓷0∠0∠C 能号5解得得 2525 .△ABCc∽△DAC: (2).∠CAD=∠B,∠C=∠C, <2.综上所述，当1=9或 △ABCn△DAC瓷-器. 时，以A,PQ为顶点的三角 即-￥y- x 形与△ABC相似. 12.(1)证明略 8.EB-AB-1,AB-3,AE (2)连接AC,.∠ABC=90°， =2.,四边形ABCD是正方形， ∴.AC=√AB+BC=√32+4 .∠DAE=∠FBE=90°，AD= =5,.DA=5√5，CD=10, AB=3,又∠DEA=∠FEB,∴. ∴.△ACD满足AC2+CD2= △ADEO△BFE,÷能-架， AD,.∠ACD=90°，过点D作 DE⊥BC延长线于点E,由(1) ∴BF-多∴EF=VB+B亚 得此时△CEDAR.÷器- -脚F的长为空 DE=CD=2,.CE=6,DE=8,在9.'∠A=∠A,∠ADB=∠AEC= CBAC Rt△BDE中，BD=√BE十DE 90,∴△ABDn△ACE.0 =√(4+6)2+8=2√4. 专题八相似三角形的基本模型 能：∠A=∠A,AMDE☑ 1.C2.AF=12cm. △ABC 3证明略。49 22.3相似三角形的性质 1.A2.A3.8:9 27 5.在△ABC中，∠C=90°，AC=8, cm 4.B BC=6,∴.AB=√AC+BC= 5.D6.1:4 10,又BD=BC=6,∴AD=AB.EF的长是空cmAC的长是am -BD=4,.DE⊥AB,.∠ADE 8.4:25或9：259.B10.D =∠C=90°，又∠A=∠A, 11.1:312.①②③ △AED△AC-把， 13.(1)证明：.DF∥AB,DE∥BC, ∴.∠DFC=∠ABF,∠AED= ∴DE-ABc-音×6=3 ∠ABF,.∠DFC=∠AED, 3644 章末核心考 01分点突破 考点一 二次函数的概念 1.已知函数y=(m十3)x+4-3十5是关于x的 二次函数. (1)m的值为 (2)当m为 时，该函数图象的开口向上 (3)当m为 时，该函数有最大值 考点二二次函数的图象与性质 2.已知二次函数y=(a一1)x2,当x>0时，y随 x增大而增大，则实数a的取值范围是() A.a0 B.a1 C.a1 D.a<1 3.关于二次函数y=x2十2x一8，下列说法正确 的是 A.图象的对称轴在y轴的右侧 B.图象与y轴的交点坐标为(0,8) C.图象与x轴的交点坐标为（一2,0）和(4,0) D.y的最小值为一9 4.将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向下平移 两个单位，以下错误的是 () A.开口方向不变 B.对称轴不变 C.y随x的变化情况不变 D.与y轴的交点不变 5.一个二次函数图象的顶点坐标是(2,4)，且过 另一点(0，一4)，则这个二次函数的解析式为 考点三二次函数与一元二次方程的关系 6.已知抛物线y=ax2+bx+c上的部分点的横 坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： /-1 0 3 … 30 -1m 3 以下结论正确的是 A.抛物线y=ax2十bx十c的开口向下 B.当x<3时，y随x增大而增大 点与素养提升 C.方程a.x2+bx+c=0的根为0和2 D.当y>0时，x的取值范围是0<x<2 7.如图，已知抛物线y=ax2十c与直线y=kx十m 交于A(一3，y1),B(1,y2)两点，则关于x的不 等式ax2十c≥一kx十m的解集是 () A.x≤一3或x≥1 B.x≤-1或x≥>3 C.-3≤x≤1 D.-1≤x≤3 第7题图 第8题图 考点四 二次函数的应用 8.如图，等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC =8,点D、点E分别是BC、AC边上的点，DE ∥AB,则S△BDE的最大值是 ( A.3 B.4 C.5 D.6 9.一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶，该茶叶的成 本价是80元/kg,销售单价不低于120元/kg 且不高于180元/kg,经销一段时间后得到如 下数据： 销售单价x 120 130 180 (元/kg) 每天销售量y(kg) 100 95 70 设y与x的关系是我们所学过的某一种函数 关系。 (1)直接写出y与x的函数关系式： 自变量x的取值范围为： (2)当销售单价为多少时，每天销售利润最大？ 最大利润是多少？ 考点五反比例函数 10.如图，□OABC的顶点O 是坐标原点，A在x轴的 正半轴上，B,C在第一象 限，反比例函数y=士的 图象经过点C,y=(k≠0)的图象经过点 B.若OC=AC,则k= 11.如图，直线l:y=一x十4与x轴交于点A,与 y轴交于点B,点P(m,n)在直线l上，反比例 函数y=飞(k>0,x>0)的图象经过点P. (1)若m=1,求反比例函数的解析式； (2)若Sag=}SAA,求m的值. 0 45 12.浮力式密度计是测量液体密度的仪器，通常 是一个密封的玻璃管，底部有重物，上部有刻 度，把它放入液体中，它会竖直漂浮.密度计 上与液面平齐的刻度为浸没深度h(单位： cm),且液体密度p(单位：g/cm3)是浸没深度 h(单位：cm)的反比例函数.小明在家里制作 简易浮力式密度计，经过测量与查阅资料得 到浸没深度h与液体密度ρ的对应关系（如 下表) 酒精 水 蜂蜜 浸没深度h(cm) 17.5 14 10 液体密度p(g/cm3) m n (1)m ,n= (2)如果该简易密度计能竖直漂浮的最小浸 没深度为5cm,最大浸没深度为20cm,则该 密度计能测量的液体密度ρ的范围为 02真题演练 13.(2025·湖南)已知m>n>0,若关于x的方 程x2+2x一3一m=0的解为x1,x2(x1< x2),关于x的方程x2+2x一3一n=0的解为 x3,x4(x3<x4).则下列结论正确的是() A.x3<x1<x2<x4B.x1<x3<x4<x2 C.x1<x2<x3<x4D.x3<x4<C1<x2 14.已知二次函数y=a(x-m)(x+m一4)+3(a ≠0)的图象上有两个点A(x1,y),B(x2, y2),其中x1<x2,则下列说法正确的是 ( A.若a>0,x1十x2>4时，则y1<y2 B.若a>0,x1十x2<4时，则y<y2 C.若a<0,x1十x2>4时，则y1<y2 D.若a<0,x1十x2<4时，则y1>y2 15.(2025·安徽)已知反比例函数y=(k≠0) 在第一象限内的图象与一次函数y=一x十b 46 的图象如图所示，则函数y=x2一bx十k一1 的图象可能为 16.已知抛物线y=a,x2+bx十c(a≠0)的图象过 点(-1，-1)，(0,1). (1)请用含b的关系式表示a; (2)当x=-2时，y>1. ①求b的取值范围； ②若点P(m,yh),Q(n,y2)在抛物线y=ax2 十bx十c(a≠0)的图象上，且n>m≥-，求 证：y2>y1 03素养提升 17.(2025·扬州)在平面直角坐标系xOy中，已 知点A在y轴正半轴上.如果四个点(0,0)、 (0,2)、(1,1)、(-1,1)中恰有三个点在二次 函数y=a.x2(a为常数，且a≠0)的图象上. (1)a= (2)如图1，已知菱形ABCD的顶点B、C、D 在该二次函数的图象上，且AD⊥y轴，求菱 形的边长， (3)如图2，已知正方形ABCD的顶点B、D 在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同 侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐 标分别为m、n,试探究n一m是否为定值.如 果是，求出这个值；如果不是，请说明理由 0 0 图1 图2