专题01 二次函数的图象和性质（高效培优专项训练）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数图象与性质，通过变换、增减性、最值、系数关系及函数共存五大题型，构建从基础操作到综合应用的知识链条，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次函数的变换|10题，含平移/旋转/翻折|多变换方式结合，涉及图象与解析式互化|从图形变换到代数表达，建立空间观念| |二次函数的增减性|6题，含点坐标比较与单调性判断|结合对称轴与开口方向分析，考查性质应用|从函数性质到点坐标关系，培养推理意识| |二次函数的最值|11题，含代数最值与实际应用|涵盖定区间最值、含参最值及生活问题|从数学模型到实际应用，发展模型观念| |二次函数图象与各系数的关系|11题，含多结论判断|通过图象特征推导系数关系，综合多性质|从形到数的转化，提升抽象能力与运算能力| |二次函数与一次函数图象共存|10题，含图象匹配与系数判断|结合两类函数图象特征，考查综合辨析|函数间关系的交叉应用，强化数学思维|

专题01 二次函数的图象和性质 题型一 二次函数的变换——平移、旋转、翻折 题型二 二次函数的增减性 题型三 二次函数的最值 题型四 二次函数图象与各系数的关系 题型五 二次函数图象与一次函数图象共存问题 题型一：二次函数的变换——平移、旋转、翻折 1．将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得，所得新抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 2．将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线为（   ） A． B． C． D． 3．抛物线可以看成由抛物线向 平移 个单位长度得到．抛物线的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ． 4．二次函数的图象如图，将其绕顶点旋转后得到的抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 5．抛物线y=2x2-4x+3绕坐标原点旋转180º所得的抛物线的解析式是 ． 6．要使二次函数 的图象平移或翻折后经过点(2，0)，有下列4种方法：①向右平移2个单位；②向右平移1个单位，再向下平移1个单位；③向下平移4个单位；④沿x 轴翻折，再向上平移4个单位.其中，正确的有(　　) A．1种 B．2 种 C．3 种 D．4 种 7．二次函数 图象 轴上方的部分沿 轴翻折到 轴下方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象 轴下方的部分组成一个“ ”形状的新图象，若直线 与该新图象有两个公共点，则 的取值范围为　 　. 8．如图，抛物线上点的横坐标为3，点为平面内任意一点，将线段绕点旋转得到线段（点，的对应点分别为点，），当点和点都落在抛物线上时，点的横坐标为（） A． B． C． D． 9．如图，函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论：①；②将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点；③当时，该图象与直线有四个交点；④（为实数）．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 10．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点的坐标为．将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到新的函数的图象． (1)求抛物线的解析式； (2)当函数的图象与直线有两个交点时，则的取值范围是_______； (3)若点在函数的图象上，求出的值； (4)当时，函数的最大值与最小值的差是时，直接写出的取值范围． 题型二：二次函数的增减性 1．已知点，，都在函数的图象上，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．已知点，，在函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．下列函数中，当时，y随x的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 4．已知二次函数的图象上有三个点）、、，若，则（    ）. A． B． C． D． 5．关于x的二次函数在y轴右侧y随x的增大而减小，则a的范围为（　　） A． B． C． D． 6．抛物线在对称轴左侧的部分是上升的，那么的取值范围是 ． 题型三：二次函数的最值 1．抛物线有（   ） A．最大值2 B．最小值2 C．最大值 D．最小值 2．当二次函数 有最大值时，x=　 　． 3．根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当小球达到最高点时，飞行时间t为（    ） A．2 B．1 C．20 D．5 4．二次函数在内的最小值是（    ） A．3 B．2 C．－29 D．－30 5．已知二次函数y=ax²+bx+c，当x=2时，该函数取最大值8，设该函数图象与x轴的一个交点横坐标为x1，若x1>4，则a的取值范围是（　　） A．-3<a<-1 B．-2<a<0 C．-1<a<1 D．2<a<4 6．已知二次函数，在时有最小值，则（   ） A．5 B．5或 C．5或 D．或 7．当-2≤x≤1时，二次函数y=-（x-m）2+m2+1有最大值3，则实数m的值为（　　） A．2或- B． 或- C． 或- D． 或- 8．现在，租赁汽车已成为外出旅行时的一种重要的交通方式.某租赁公司拥有20辆小型汽车，公司平均每日的各项支出共6250元.当每辆车的日租金为500元时，可全部租出：当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆. （1）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大?最大是多少元? （2）试说明租赁公司的日收益能否为4500元? 9．某种新产品进价是元，在试销阶段发现每件售价（元）与产品的日销售量（件）始终存在下表中的数量关系． 每件售价（元） 每日销售量（件） (1)请你根据上表所给数据表述出每件售价提高的数量（元）与日销售量减少的数量（件）之间的关系； (2)在不改变上述关系的情况下，请你帮助商场经理策划：每件商品定价为多少元时，每日盈利可达到； (3)每件商品定价为多少元时，每日盈利可达到最大值？ 10．某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为．当x等于多少时，窗户通过的光线最多？（结果精确到）此时，窗户的面积是多少？（结果精确到） 11．某超市以每个元的价格进了一批新型儿童玩具，当每个售价为元时，超市平均每天可售出个．国庆期间为了扩大销售，增加盈利，在售价不低于进价的前提下超市决定采取降价促销方式招揽顾客，经调查发现：在一定范围内，当玩具的单价每降低元，超市每天可多售出个，设每个玩具售价下降了元，超市每天的销售利润为元． (1)（2分）降价后超市平均每天可售出______个玩具； (2)（4分）求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (3)（4分）超市将每个玩具的售价定为多少元时，可使每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 题型四：二次函数图象与各系数的关系 1．二次函数的图象如图所示，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 2．对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：，，，，当时，y随x的增大而减小．其中结论正确为（   ） A． B． C． D． 3．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③若点，点是函数图象上的两点，则；④；⑤若为任意实数，则．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．如图，已知抛物线（为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，则下列结论正确的个数是（    ） ①；②；③；④若方程的两根为m，，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，且则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤，其中含所有正确结论的选项是（   ） A．①③⑤ B．②④ C．②⑤ D．②④⑤ 8．二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③若点、点是函数图象上的两点，则；④；其中正确的结论是（   ） A．②③④ B．②③ C．①④ D．①②④ 9．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，以下四个结论：①；②；③若点在此抛物线上，则；④若点在此抛物线上且，则．其中正确结论的序号是（　　） A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②④ 10．抛物线 的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线． 下列结论中： ①； ②； ③方程有两个不相等的实数根； ④； ⑤若点 在该抛物线上，则．其中正确的有 （填序号）． 11．如图为二次函数的图象，此图象与轴的交点坐标分别为、．下列说法：①；②方程的根为，；③当时，随着的增大而增大；④． 正确序号是 ． 题型五：二次函数图象与一次函数图象共存问题 1．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 2．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 3．在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 4．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 5．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 6．一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   7．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 8．在同一平面直角坐标系中，函数和函数（k是常数，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 9．在同一坐标系中，画出直线与抛物线，可能是（    ） A．B．C． D． 10．在同一坐标系下，函数与的图象只可能是（    ） A．B．C．D． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数的图象和性质 题型一 二次函数的变换——平移、旋转、翻折 题型二 二次函数的增减性 题型三 二次函数的最值 题型四 二次函数图象与各系数的关系 题型五 二次函数图象与一次函数图象共存问题 题型一：二次函数的变换——平移、旋转、翻折 1．将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得，所得新抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了抛物线的平移问题，根据平移的规律“左加右减，上加下减”，即可求解，熟练掌握抛物线的平移的规律“左加右减，上加下减”是解决此题的关键． 【详解】解：根据平移规律可知：所得新抛物线的解析式为， 故选：A． 2．将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移．二次函数图象的平移中解析式的变化规律：左加右减，上加下减；据此即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 故选：B． 3．抛物线可以看成由抛物线向 平移 个单位长度得到．抛物线的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ． 【答案】右 1 【分析】根据二次函数图像的平移及定点式的性质即可得到答案． 【详解】解：抛物线可以看成由抛物线向右平移1个单位长度得到．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是， 故答案为：右，1，，． 4．二次函数的图象如图，将其绕顶点旋转后得到的抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由旋转可知a的关系，c不变，即可得到解析式 【详解】旋转180°后，a变为3，对称轴为y轴，b=0，与y轴的交点为（0,3），所以表达式为，故选C。 5．抛物线y=2x2-4x+3绕坐标原点旋转180º所得的抛物线的解析式是 ． 【答案】y = -2 【分析】根据旋转的性质，可得a的绝对值不变，根据中心对称，可得答案． 【详解】将y=2x2﹣4x+3化为顶点式，得y=2（x﹣1）2+1， 抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是y=﹣2（x+1）2﹣1， 化为一般式，得 y=﹣2x2﹣4x﹣3， 故答案为y=﹣2x2﹣4x﹣3． 6．要使二次函数 的图象平移或翻折后经过点(2，0)，有下列4种方法：①向右平移2个单位；②向右平移1个单位，再向下平移1个单位；③向下平移4个单位；④沿x 轴翻折，再向上平移4个单位.其中，正确的有(　　) A．1种 B．2 种 C．3 种 D．4 种 【答案】D 【分析】根据二次函数图象平移规律与翻折规律逐一判断即可求解. 【详解】解：将二次函数y =x2的图象向右平移2个单位，则平移后的图象对应的函数表达式为y=(x-2)2，当x=2时，y=0，∴平移后的图象过点(2，0).故①符合题意；将二次函数 的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单位，则平移后的图象对应的函数表达式为 y= ，当x=2时，y=0，∴平移后的图象过点(2，0).故②符合题意；将二次函数 的图象向下平移4个单位，则平移后的图象对应的函数表达式为 当x=2时，y=0，∴平移后的图象过点(2，0).故③符合题意；将二次函数 的图象沿x 轴翻折，再向上平移4 个单位，则平移后的图象对应的函数表达式为 ，当x=2时，y=0，∴平移后的图象过点(2，0).故④符合题意.∴正确的有4种. 故答案为：D . 7．二次函数 图象 轴上方的部分沿 轴翻折到 轴下方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象 轴下方的部分组成一个“ ”形状的新图象，若直线 与该新图象有两个公共点，则 的取值范围为　 　. 【答案】 或 【分析】画出图象求出直线经过点A和原点时的b的值，结合图象可以确定b的范围，再求出直线与翻折后的抛物线只有一个交点时的b的值，可以利用方程组只有一组解△=0解决问题，由此再确定b的取值范围. 【详解】如图， 当直线 经过点A（−2，0）时，b=1， 当直线 经过点O（0，0）时，b=0， ∴0<b<1时，直线 与新图形有两个交点， 翻折后的抛物线为 由 方程组有一组解，消去y得到：2x2+3x−2b=0， ∵△=0， ∴9+16b=0， 由图象可知， 时，直线 与新图形有两个交点. 综上所述0<b<1或 时，直线 与新图形有两个交点. 故答案为 或 . 8．如图，抛物线上点的横坐标为3，点为平面内任意一点，将线段绕点旋转得到线段（点，的对应点分别为点，），当点和点都落在抛物线上时，点的横坐标为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，中点坐标等知识，先求得坐标，设，，由中点坐标得到，即，，即，再根据，都在抛物线上，得到，将与代入①中，得到，联立，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵横坐标为， ∴将代入，得， ∴坐标， 设，， ∵绕点旋转得到， ∴与关于点中心对称， ∴与中点都是， ∴，即， ，即， ∵，都在抛物线上， ∴， ， 将与代入①中，得： ， ∴， ∴， 联立得： ∶， ∴， ∴点横坐标为， 故选：D． 9．如图，函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论：①；②将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点；③当时，该图象与直线有四个交点；④（为实数）．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一次函数的综合、一元二次方程根的判别式等知识，较难的是③，正确找出两个临界位置是解题关键．求出函数的对称轴为直线，由此即可判断①正确；先利用待定系数法求出函数的解析式，再求出函数在段的图象的最高点的坐标为，由此即可判断②正确；找出两个临界位置：当直线经过点时，直线与函数图象有3个交点；当直线与函数在段的图象只有一个交点时，直线与函数图象有3个交点，求出的值，由此即可判断③正确；根据当时，函数取得最小值，最小值为，则对于任意实数，都有，由此即可判断④错误． 【详解】解：由图象可知：函数的对称轴为直线， ∴，即，结论①正确； 由题意可知，函数的图象经过点， 将点代入：，解得， ∴函数的解析式为，其顶点坐标为， ∴函数在段的图象的最高点的坐标为， ∴将函数图象向上平移1个单位长度后，在轴两个交点的中间部分段的图象的最高点的坐标为， ∴将函数图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，结论②正确； 由上可知，函数的解析式为， 当或时，， 当时，， 有两个临界位置：如图，当直线经过点时，直线与函数图象有3个交点， 则，解得； 如图，当直线与函数在段的图象只有一个交点时，直线与函数图象有3个交点， 联立得：，这个方程有两个相等的实数根， ∴方程根的判别式， 解得， ∴当时，该图象与直线有四个交点，结论③正确； 由上可知，函数图象的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数取得最小值，最小值为， ∴对于任意实数，都有，即，结论④错误； 综上，正确的是①②③， 故选：A． 10．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点的坐标为．将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到新的函数的图象． (1)求抛物线的解析式； (2)当函数的图象与直线有两个交点时，则的取值范围是_______； (3)若点在函数的图象上，求出的值； (4)当时，函数的最大值与最小值的差是时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 (4)或 【分析】（1）将代入待定系数法求解析式，即可求解； （2）观察函数图象，即可求解； （3）将代入解析式，解方程，即可求解； （4）分三种情况讨论，分别根据函数图象结合函数的最大值与最小值的差是时，列出方程或不等式，即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得：或（舍去） ∴； （2）解：∵，则顶点坐标为，对称轴为直线， ∴， ∵翻折， ∴在部分的图象的顶点坐标为，解析式为： ∴的解析式为 观察函数图象可得，函数的图象与直线有两个交点时，则的取值范围是或 （3）当时，，解得：或 当时，，解得：或 ∵点在函数的图象上， ∴或或或； （4）解：①当即时，依题意 解得：或（舍去） ②当时即时，依题意， 解得：（舍去）或（舍去） ③令， 解得：或 ∴当时，函数值的最大值为最小值为，符合题意， ∴ 解得： 综上所述，的取值范围为：或 题型二：二次函数的增减性 1．已知点，，都在函数的图象上，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点．根据函数的解析式求出函数图象的对称轴是直线，根据函数的性质得出图象的开口向下，当时，随的增大而减少，根据二次函数的对称性和增减性即可得到． 【详解】解：∵， 函数图象的对称轴是直线，图象的开口向下， 当时，随的增大而减少， 点关于对称轴的对称点的坐标是，且， ， 故选：B． 2．已知点，，在函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 【详解】解：由二次函数，则它的对称轴为，开口向上， 则图象上的点离对称轴越远则的值越大， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 3．下列函数中，当时，y随x的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数、二次函数、正比例函数图象和性质，根据各函数的解析式，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、正比例函数，当时，随的增大而增大， 故此选项不符合题意； B、一次函数，当时，随的增大而增大， 故此选项不符合题意； C、二次函数的图象，开口向上，对称轴为轴， 当时，y随x的增大而增大，故此选项不符合题意； D、二次函数的图像，开口向下，对称轴为轴， 当时，随的增大而减小，故此选项符合题意； 故选：D． 4．已知二次函数的图象上有三个点）、、，若，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知得出（-1，y1）和（3，y3）关于二次函数数y=x2+bx+c的对称轴对称，抛物线的开口向上，求出对称轴是直线x=1，根据-1＜0＜1＜3即可求出答案． 【详解】解：∵y1=y3， ∴（-1，y1）和（3，y3）关于二次函数数y=x2+bx+c的对称轴对称， ∴二次函数y=x2+bx+c的对称轴是直线x==1，且二次函数图象的开口向上， ∵x=0时，y=c， -1＜0＜1＜3， ∴y2＜c＜y1， 故选D． 5．关于x的二次函数在y轴右侧y随x的增大而减小，则a的范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据二次函数对称轴直线公式求出对称轴直线为，由于二次项系数a=-1＜0，且在y轴右侧y随x的增大而减小，所以可得对称轴直线在y轴左侧或与y轴重合，即，求解即可得出a的取值范围，从而得出答案. 【详解】解：关于x的二次函数的对称轴为直线， ∵，且在y轴右侧y随x的增大而减小， ∴， 解得：，故B正确. 故答案为：B. 6．抛物线在对称轴左侧的部分是上升的，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：抛物线在对称轴左侧的部分是上升的， ∴， 解得，， 故答案为： ． 题型三：二次函数的最值 1．抛物线有（   ） A．最大值2 B．最小值2 C．最大值 D．最小值 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，根据二次函数的性质及给出的解析式直接写出答案即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数有最大值2． 故选：A． 2．当二次函数 有最大值时，x=　 　． 【答案】2 【分析】利用配方法将一般式化简为顶点式即可求出最值。 【详解】解：∵ ， =-（x-2）2-2， ∴当x=2时，二次函数取最大值． 故答案为：2． 3．根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当小球达到最高点时，飞行时间t为（    ） A．2 B．1 C．20 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解决本题的关键是熟练二次函数解析式的特点及应用． 将函数关系式转化为顶点式即可求解． 【详解】根据题意，有， ∵ ∴当时，有最大值． 故选：A． 4．二次函数在内的最小值是（    ） A．3 B．2 C．－29 D．－30 【答案】C 【分析】根据图象，直接代入计算即可解答 【详解】解：由图可知，当x=4时，函数取得最小值y最小值=-2×16+3=-29．故选：C．    5．已知二次函数y=ax²+bx+c，当x=2时，该函数取最大值8，设该函数图象与x轴的一个交点横坐标为x1，若x1>4，则a的取值范围是（　　） A．-3<a<-1 B．-2<a<0 C．-1<a<1 D．2<a<4 【答案】B 【分析】利用二次函数的性质，当a＜0时，抛物线的开口向下，函数有最大值，可得到a＜0，y=a（x-2）2+8，再根据设该函数图象与x轴的一个交点横坐标为x1，若x1>4，可知当x=4时，y＞0，建立关于a的不等式，解不等式求出a的取值范围，综上所述可得答案。 【详解】解：∵当x=2时，该函数取最大值8， ∴抛物线的开口向下，顶点坐标为（2，8） ∴a＜0，y=a（x-2）2+8 ∵设该函数图象与x轴的一个交点横坐标为x1，若x1>4， ∴当x=4时，y＞0 ∴a（4-2）2+8＞0 解之：a＞-2 ∴a的取值范围是：-2<a<0. 故答案为：B. 6．已知二次函数，在时有最小值，则（   ） A．5 B．5或 C．5或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的增减性和对称性，注意分类讨论是解题的关键．结合二次函数的图象增减性，对称性，分和两种情况分别进行讨论即可． 【详解】解：当时， 二次函数的开口向上， 此时该函数对称轴为直线， 即当时，函数有最小值， ∵二次函数（）在时有最小值， ∴， 解得，； 当时， 二次函数的开口向下， 此时该函数对称轴为直线， 即当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， ∵二次函数的自变量x的取值范围为， ∴当时，函数有最小值， ∵二次函数（）在时有最小值， ∴， 解得，； 综上，或， 故选：C． 7．当-2≤x≤1时，二次函数y=-（x-m）2+m2+1有最大值3，则实数m的值为（　　） A．2或- B． 或- C． 或- D． 或- 【答案】D 【分析】求出二次函数对称轴为直线x=m，再分m＜-2，-2≤m≤1，m＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可． 【详解】二次函数y=-（x-m）2+m2+1， 可化为：y=-x2+2mx+1， 故二次函数的对称轴为直线x=m， ①m＜-2时，x=-2时二次函数有最大值， 此时-（-2-m）2+m2+1=3， 解得m=- ，与m＜-2矛盾，故m值不存在； ②当-2≤m≤1时，x=m时，二次函数有最大值， 此时，m2+1=3， 解得m=- ，m= （舍去）； ③当m＞1时，x=1时二次函数有最大值， 此时，-（1-m）2+m2+1=3， 解得m= ． 综上所述，m的值为 或- ． 故答案为：D． 8．现在，租赁汽车已成为外出旅行时的一种重要的交通方式.某租赁公司拥有20辆小型汽车，公司平均每日的各项支出共6250元.当每辆车的日租金为500元时，可全部租出：当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆. （1）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大?最大是多少元? （2）试说明租赁公司的日收益能否为4500元? 【答案】（1）每日租出15辆时，租赁公司日收益最大，最大收益为5000元；（2）不能 【分析】（1）设每日租出x辆，租赁公司日收益为y元，由题意可得每辆车的日租金为[500+50(20-x)]，然后根据日收益=每辆的租金×辆数就可得到y与x的关系式，接下来根据二次函数的性质进行解答； （2）令（1）关系式中的y=4500，求出x的值，然后根据x为整数进行解答. 【详解】（1）解：设每日租出x辆，租赁公司日收益为y元，根据题意得： ， 当时，y的值最大，最大值是5000， ∴每日租出15辆时，租赁公司日收益最大，最大收益为5000元. （2）解：根据题意，当时，即， 解得：. ∵x必须取整数， ∴不合题意， ∴租赁公司的日收益不能为4500元. 9．某种新产品进价是元，在试销阶段发现每件售价（元）与产品的日销售量（件）始终存在下表中的数量关系． 每件售价（元） 每日销售量（件） (1)请你根据上表所给数据表述出每件售价提高的数量（元）与日销售量减少的数量（件）之间的关系； (2)在不改变上述关系的情况下，请你帮助商场经理策划：每件商品定价为多少元时，每日盈利可达到； (3)每件商品定价为多少元时，每日盈利可达到最大值？ 【答案】(1)售价每上涨1元，日销售量就减少l件 (2)定价为或元 (3)定价元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用．熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的应用是解题的关键． （1）由表格可知，售价每上涨1元，日销售量就减少l件； （2）设每件产品涨价元，则销售价为元，日销售量为件，依题意得，，计算求出满足要求的解即可； （3）设每日盈利元，每件产品涨价元，依题意得，，由，可得当时，盈利最大，然后求定价即可． 【详解】（1）解：由表格可知，售价每上涨1元，日销售量就减少l件； （2）解：设每件产品涨价元，则销售价为元，日销售量为件， 依题意得，， 解得，，， ∴每件产品涨价或元，即定价为或元时，每日盈利可达到； （3）解：设每日盈利元，每件产品涨价元， 依题意得，， ∵， ∴当时，盈利最大， ∴每件商品定价为元时，每日盈利可达到最大值元． 10．某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为．当x等于多少时，窗户通过的光线最多？（结果精确到）此时，窗户的面积是多少？（结果精确到） 【答案】当x约为时，窗户通过的光线最多．此时，窗户的面积约为 【分析】先设圆半径、矩形的宽和窗户的面积，再根据给出的已知条件列出它们的函数关系式，根据函数关系式来求最大值． 【详解】解：∵， ∴． ∵，且， ∴． 设窗户的面积是，则 ． ∴当时，． 因此，当x约为时，窗户通过的光线最多．此时，窗户的面积约为． 11．某超市以每个元的价格进了一批新型儿童玩具，当每个售价为元时，超市平均每天可售出个．国庆期间为了扩大销售，增加盈利，在售价不低于进价的前提下超市决定采取降价促销方式招揽顾客，经调查发现：在一定范围内，当玩具的单价每降低元，超市每天可多售出个，设每个玩具售价下降了元，超市每天的销售利润为元． (1)（2分）降价后超市平均每天可售出______个玩具； (2)（4分）求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (3)（4分）超市将每个玩具的售价定为多少元时，可使每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2) (3)售价为元，最大利润为元 【分析】本题主要考查了列代数式、二次函数的应用等知识，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）根据“玩具的单价每降低元，超市每天可多售出个”即可获得答案； （2）根据“利润等于单个玩具利润乘以销售量”，即可获得答案； （3）将二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可获得答案． 【详解】（1）解：玩具的单价每降低元，超市每天可多售出个， 降价后超市平均每天可售出个玩具， 故答案为：； （2）解：由题意，可得， 函数关系为， 即， 其中的取值范围是； （3）解：， ， ∵，， 当时，有最大值为， 此时玩具的售价为：（元）， 答：该超市将每个玩具的售价定为元时，可使每天获得的利润最大，最大利润是元． 题型四：二次函数图象与各系数的关系 1．二次函数的图象如图所示，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由抛物线开口方向，对称轴位置可判断A、C，由时的函数值可判断D，由抛物线与x轴交点个数可判断B． 【详解】解：∵开口向下， ∴， ∵对称轴位于y轴右侧， ∴异号，即， 又∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵对称轴， ∴，即，故C选项错误，符合题意； 当时，， ∴，故D选项正确，不符合题意； 故选：C 2．对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：，，，，当时，y随x的增大而减小．其中结论正确为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的关系，由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，熟知二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定是解题的关键． 【详解】解：①由图象可知：，， ， ， ，故①正确符合题意； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ， ，故②不符合题意； ③当时，，故③不符合题意； ④当时，， ∴， 故④符合题意； ⑤由图象可知，当时，y随x的增大而减小，故⑤符合题意， 故选：D． 3．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③若点，点是函数图象上的两点，则；④；⑤若为任意实数，则．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，根据图象判断①，特殊点判断②，增减性判断③，对称轴结合特殊点以及的范围判断④，最值判断⑤． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在与之间（不包括这两点），对称轴为直线 ∴，，，， ∴，， ∴， ∴，故①正确； ∴；故②错误； ∵抛物线的开口向下， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越大，函数值越小， ∵， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴，故④正确； ∵当时，函数值最大， ∴， ∴， ∴；故⑤正确； 故正确的有：①③④⑤共4个． 故选：D． 4．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系．根据图象正确的获取信息，利用二次函数的性质进行判断，是解题的关键． ①根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，进行判断；②利用对称轴进行判断；③利用最值进行判断；④根据对称性和图象上的点，进行判断；⑤利用对称性进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上，则， ∵对称轴为直线，则， ∴，故②正确 抛物线与轴交于负半轴，则， ∴，故①错误； ∵当时，取得小值， ∴， 当m为任意实数，则，故③正确， ④∵抛物线关于对称， ∴和的函数值相同， 即：， 由图象知，当时，函数值大于0， ∴，故④正确； ⑤当关于对称时：即：时， 对应的函数值相同， 即：， ∴ ∴若，且，则；故⑤正确； 综上所述，正确的是②③④⑤，共4个， 故选：C． 5．如图，已知抛物线（为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，则下列结论正确的个数是（    ） ①；②；③；④若方程的两根为m，，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．根据抛物线开口方向、对称轴位置以及上，抛物线与轴交点位置判断的符号，即可判断①；结合图象可知当时，，即可判断②；由当时，可得，当时，，，即可判断③；由方程的两根为，可得直线与抛物线的交点的横坐标为，结合一次函数的性质可知直线经过第一、二、三象限，且过点，进而确定直线与抛物线的交点所在象限，即可判断④． 【详解】解：由图象可知，该抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴是直线， ∴． 又∵抛物线交轴于负半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵对称轴是直线，且抛物线过点， ∴当时，， ∴结合图象得，当时，，故②错误； ∵当时，，当时，， ∴， ∴， ∴，故③正确； 如图， 由方程的两根为，得直线与抛物线的交点的横坐标为， ∵直线经过第一、二、三象限，且过点， ∴直线与抛物线的交点在第一、三象限． 由图象可知，故④正确． 综上所述，正确的结论有3个． 故选：C． 6．如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，且则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象可得，与轴交于两点，可判定①②；设，且，代入二次函数计算可判定③；根据一元二次方程根与系数的关系可判定④；由此即可求解． 【详解】解：二次函数的图象与轴交于两点， ∴，故②错误； ∵图象开口向上，对称轴在轴左边，与轴交于负半轴， ∴， ∴， ∴，故①正确； 设，且， ∵， ∴，则， ∴，整理得，即， ∵， ∴，故③正确； 当时，，且， ∴， ∴，故④错误； ∴正确的有：①③，共2个， 故选：B ． 7．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤，其中含所有正确结论的选项是（   ） A．①③⑤ B．②④ C．②⑤ D．②④⑤ 【答案】D 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行分别推理，进而逐项判断即可． 【详解】解：①由抛物线开口向上，则， ∵点B在和之间， ∴， ∴，①错误； ②∵， ∴， ∴，故②正确； ③∵抛物线过， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③错误； ④∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故④正确； ⑤∵图象与y轴的交点B在和之间， ∴， ∵， ∴， ∴，故⑤正确． 故选：D． 8．二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③若点、点是函数图象上的两点，则；④；其中正确的结论是（   ） A．②③④ B．②③ C．①④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了二次含图象的性质，根据图象与轴交于点，对称轴为直线，可得另一个交点为，，根据二次函数与轴的交点在与之间（不包括这两点），可得，由此可得，分别代入计算，再根据二次函数图象的增减性即可求解． 【详解】解：二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线， ∴另一个交点为，， ∴， ∴同号，即， ∵二次函数与轴的交点在与之间（不包括这两点）， ∴， ∴，故①正确； 当时，，且， ∴，则， ∵， ∴，则，即， ∵， ∴，故②，④正确； ∵对称轴为，， ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；即离对称轴越远，值越小， ∵， ∴，故③错误； 综上所述，正确的有①②④， 故选：D ． 9．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，以下四个结论：①；②；③若点在此抛物线上，则；④若点在此抛物线上且，则．其中正确结论的序号是（　　） A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质，利用数形结合方法分析问题．由抛物线开口方向判断①结论；由对称轴可判断②结论；由函数的对称性和增减性判断③结论；由抛物线的对称性即可判断④结论． 【详解】解：抛物线开口向下， ，①结论正确； 抛物线的顶点为， 对称轴为直线， ， ，②结论正确； 由图象可知，抛物线与轴的一个交点为， 另一个交点为， 抛物线开口向下， 当时，随的增大而减小， ， ，③结论正确； 抛物线与轴的交点为，且轴为直线， 点关于对称轴的对称点为， 若点在此抛物线上且，则或，④结论错误； 即正确结论的序号是①②③， 故选：C． 10．抛物线 的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线． 下列结论中： ①； ②； ③方程有两个不相等的实数根； ④； ⑤若点 在该抛物线上，则．其中正确的有 （填序号）． 【答案】②③⑤ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，结合函数图象，根据二次函数的性质及二次函数与一元二次方程、一元二次不等式间的关系逐一判断即可． 【详解】解：①对称轴是轴的右侧， ， 抛物线与轴交于正半轴， ， ， 故①错误； ②， ，即， 故②正确； ③由图象得，与抛物线有两个交点， 方程有两个不相等的实数根； 故③正确； ④抛物线的对称轴，与轴交于， 另一个交点坐标， ∴4和是方程的两个根， ∴， ∴ 故④错误， ⑤∵抛物线的对称轴， ∴当时，二次函数由最大值， 点在该抛物线上， ， ， 故⑤正确； 综上，正确的有②③⑤， 故答案为：②③⑤． 11．如图为二次函数的图象，此图象与轴的交点坐标分别为、．下列说法：①；②方程的根为，；③当时，随着的增大而增大；④． 正确序号是 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据图象的开口方向、对称轴及y轴的交点可得a、b、c的符号，进而可判断①；根据图象与x轴的交点可判断②；根据图象的增减项可判断③；根据当时，可判断④，进而可求解． 【详解】解：∵该二次函数的图象开口向上，与y轴的负半轴相交， ∴，， ∵图象与轴的交点坐标分别为、， ∴对称轴为直线，方程的根为，，故②正确； ∴，则， ∴，故①正确； ∵该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故③正确； 由图象，当时，， ∴，故④正确， 综上，正确的序号为：①②③④． 故答案为：①②③④ 题型五：二次函数图象与一次函数图象共存问题 1．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象，解题的关键是对参数和进行分类讨论．分当，时，当，时，当，时，当，时，四种情况讨论即可． 【详解】解：对于一次函数和二次函数的图象， ①当，时，一次函数的图象过第一、二、三象限，二次函数的图象开口向上，对称轴在轴左侧，没有选项符合； ②当，时，一次函数的图象过第一、三、四象限，二次函数的图象开口向下，对称轴在轴左侧，没有选项符合； ③当，时，一次函数的图象过第一、二、四象限，二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，选项B符合； ④当，时，一次函数的图象过第二、三、四象限，二次函数的图象开口向下，对称轴在轴右侧，没有选项符合； 故选：B． 2．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质．先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致，反之也可，用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下． 【详解】解：A、由一次函数的图象可知由二次函数的图象可知，两者相矛盾，故选项不符合题意； B、由一次函数的图象可知，由二次函数的图象可知，两者相矛盾，故选项符合题意； C、由一次函数的图象可知，由二次函数的图象可知，两者相矛盾，故选项符合题意； D、由一次函数的图象可知，由二次函数的图象可知，两者相吻合，故选项符合题意； 故选：D． 3．在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数图象综合判断，已知函数经过的象限求参数范围，二次函数图象与系数的关系等知识点，熟练掌握一次函数及二次函数图象与其系数的关系是解题的关键． 先由一次函数的图象得到字母系数的正负，再由二次函数的图象得到字母系数的正负，比较其是否一致即可． 【详解】解：A. 由一次函数的图象可知：，，由二次函数的图象可知：，，两者相一致； B. 由一次函数的图象可知：，，由二次函数的图象可知：，，两者相矛盾； C. 由一次函数的图象可知：，，由二次函数的图象可知：，，两者相矛盾； D. 由一次函数的图象可知：，，由二次函数的图象可知：，，两者相矛盾； 故选：． 4．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据的正负确定一次函数图象经过的象限是解题的关键．逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向、对称轴以及与轴的关系即可得出的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论． 【详解】解：A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧，且与轴交于正半轴， ∴，，， ∴ ∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故选项A错误，不符合题意； B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在轴左侧，且与轴交于正半轴， ∴，，， ∴， ∴一次函数图象应该过第一、二、三象限，故选项B正确，符合题意； C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在轴右侧，且与轴交于正半轴， ∴，，， ∴， ∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，故选项C错误，不符合题意； D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在轴左侧，且与轴交于正半轴， ∴，，， ∴， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故选项D错误，不符合题意． 故选：B． 5．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的是二次函数和一次函数的图象，能根据函数图象所在的象限判断出，的符号是解题的关键．本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致即可． 【详解】解：A、一次函数的图象经过一二四象限，故，，由二次函数的图象可知，，此选项错误，不符合题意； B、一次函数的图象经过一二三象限，故，，由二次函数的图象可知，，此选项错误，不符合题意； C、一次函数的图象经过一二四象限，故，，由二次函数的图象可知，，此选项错误，不符合题意； D、一次函数的图象经过一二三象限，故，，由二次函数的图象可知，，此选项正确，符合题意． 故选：D． 6．一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数以及二次函数的图象综合判断，正确确定，的符号是解题关键．直接利用一次函数图象经过的象限得出，的符号，进而结合二次函数图象的性质得出答案． 【详解】解：一次函数的图象经过一、三、四象限， ，， ， 二次函数的图象开口方向向上，图象经过原点，对称轴在轴左侧， 故选：C． 7．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，一次函数图象与系数的关系． 先由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，再由一次函数的性质解答． 【详解】∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限． 故选：B． 8．在同一平面直角坐标系中，函数和函数（k是常数，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合判断．熟练掌握函数图象与系数的关系，是解决问题的关键．对于一次函数，当时，图象必过一、三象限；当时，图象必过二、四象限；当时，图象必过一、二象限；当时，图象必过三、四象限；对于二次函数，当时，开口向上；当时，开口向下；当a，b同号时，对称轴位于y轴左侧；当a，b异号时，对称轴位于y轴右侧． 分别根据一次函数和二次函数的图象与系数的关系进行判断即可． 【详解】解：A、由一次函数的图象可知，； 由二次函数图象开口向下可知，， ∴，矛盾， ∴A不正确； B、由一次函数的图象可知，； 由二次函数图象开口向上可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵对称轴为直线，在y轴左侧， ∴B不正确； C、由一次函数的图象可知，； 由二次函数图象开口向上可知，， ∴，矛盾， ∴C不正确； D、由一次函数的图象可知，； 由二次函数图象开口向上可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵对称轴为直线，在y轴左侧， ∴D正确． 故选：D． 9．在同一坐标系中，画出直线与抛物线，可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象及二次函数的图象，根据直线的图象判断出a，b的情况，再根据抛物线的图象判断出a，b的情况，再比较是否一致，逐一判断即可． 【详解】解：A、由直线的图象可得，由抛物线的图象可得，则A满足，故符合题意； B、由直线的图象可得，由抛物线的图象可得，则B不满足，故不符合题意； C、由直线的图象可得，由抛物线的图象可得，则C不满足，故不符合题意； D、由直线的图象可得，由抛物线的图象可得，则D不满足，故不符合题意； 故选：A． 10．在同一坐标系下，函数与的图象只可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题．关键是的正负的确定，对于二次函数，当时，开口向上；当时，开口向下．对称轴为，与轴的交点坐标为，根据二次函数的图象与性质以及一次函数的图象与性质，采用数形结合的方法，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A．由函数的图象可知，即函数开口方向朝下，交于轴的负半轴，与图象相符，故选项正确； B．由函数的图象可知，且与交轴的交点为，即函数开口方向朝下，经过点，则， 所以， 所以函数， 所以函数与轴有一个交点，与图象不符，故选项错误． C．由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，交于轴的正半轴，与图象不符，故C选项错误； D．由函数的图象可知，即函数交于轴的负半轴，与图象不符，故选项错误； 故选：A． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数的图象和性质 题型一 二次函数的变换——平移、旋转、翻折 题型二 二次函数的增减性 题型三 二次函数的最值 题型四 二次函数图象与各系数的关系 题型五 二次函数图象与一次函数图象共存问题 题型一：二次函数的变换——平移、旋转、翻折 1．【答案】A 【分析】本题主要考查了抛物线的平移问题，根据平移的规律“左加右减，上加下减”，即可求解，熟练掌握抛物线的平移的规律“左加右减，上加下减”是解决此题的关键． 【详解】解：根据平移规律可知：所得新抛物线的解析式为， 故选：A． 2．【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移．二次函数图象的平移中解析式的变化规律：左加右减，上加下减；据此即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 故选：B． 3．【答案】右 1 【分析】根据二次函数图像的平移及定点式的性质即可得到答案． 【详解】解：抛物线可以看成由抛物线向右平移1个单位长度得到．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是， 故答案为：右，1，，． 4．【答案】C 【分析】由旋转可知a的关系，c不变，即可得到解析式 【详解】旋转180°后，a变为3，对称轴为y轴，b=0，与y轴的交点为（0,3），所以表达式为，故选C。 5．【答案】y = -2 【分析】根据旋转的性质，可得a的绝对值不变，根据中心对称，可得答案． 【详解】将y=2x2﹣4x+3化为顶点式，得y=2（x﹣1）2+1， 抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是y=﹣2（x+1）2﹣1， 化为一般式，得 y=﹣2x2﹣4x﹣3， 故答案为y=﹣2x2﹣4x﹣3． 6．【答案】D 【分析】根据二次函数图象平移规律与翻折规律逐一判断即可求解. 【详解】解：将二次函数y =x2的图象向右平移2个单位，则平移后的图象对应的函数表达式为y=(x-2)2，当x=2时，y=0，∴平移后的图象过点(2，0).故①符合题意；将二次函数 的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单位，则平移后的图象对应的函数表达式为 y= ，当x=2时，y=0，∴平移后的图象过点(2，0).故②符合题意；将二次函数 的图象向下平移4个单位，则平移后的图象对应的函数表达式为 当x=2时，y=0，∴平移后的图象过点(2，0).故③符合题意；将二次函数 的图象沿x 轴翻折，再向上平移4 个单位，则平移后的图象对应的函数表达式为 ，当x=2时，y=0，∴平移后的图象过点(2，0).故④符合题意.∴正确的有4种. 故答案为：D . 7．【答案】 或 【分析】画出图象求出直线经过点A和原点时的b的值，结合图象可以确定b的范围，再求出直线与翻折后的抛物线只有一个交点时的b的值，可以利用方程组只有一组解△=0解决问题，由此再确定b的取值范围. 【详解】如图， 当直线 经过点A（−2，0）时，b=1， 当直线 经过点O（0，0）时，b=0， ∴0<b<1时，直线 与新图形有两个交点， 翻折后的抛物线为 由 方程组有一组解，消去y得到：2x2+3x−2b=0， ∵△=0， ∴9+16b=0， 由图象可知， 时，直线 与新图形有两个交点. 综上所述0<b<1或 时，直线 与新图形有两个交点. 故答案为 或 . 8．【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，中点坐标等知识，先求得坐标，设，，由中点坐标得到，即，，即，再根据，都在抛物线上，得到，将与代入①中，得到，联立，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵横坐标为， ∴将代入，得， ∴坐标， 设，， ∵绕点旋转得到， ∴与关于点中心对称， ∴与中点都是， ∴，即， ，即， ∵，都在抛物线上， ∴， ， 将与代入①中，得： ， ∴， ∴， 联立得： ∶， ∴， ∴点横坐标为， 故选：D． 9．【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一次函数的综合、一元二次方程根的判别式等知识，较难的是③，正确找出两个临界位置是解题关键．求出函数的对称轴为直线，由此即可判断①正确；先利用待定系数法求出函数的解析式，再求出函数在段的图象的最高点的坐标为，由此即可判断②正确；找出两个临界位置：当直线经过点时，直线与函数图象有3个交点；当直线与函数在段的图象只有一个交点时，直线与函数图象有3个交点，求出的值，由此即可判断③正确；根据当时，函数取得最小值，最小值为，则对于任意实数，都有，由此即可判断④错误． 【详解】解：由图象可知：函数的对称轴为直线， ∴，即，结论①正确； 由题意可知，函数的图象经过点， 将点代入：，解得， ∴函数的解析式为，其顶点坐标为， ∴函数在段的图象的最高点的坐标为， ∴将函数图象向上平移1个单位长度后，在轴两个交点的中间部分段的图象的最高点的坐标为， ∴将函数图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，结论②正确； 由上可知，函数的解析式为， 当或时，， 当时，， 有两个临界位置：如图，当直线经过点时，直线与函数图象有3个交点， 则，解得； 如图，当直线与函数在段的图象只有一个交点时，直线与函数图象有3个交点， 联立得：，这个方程有两个相等的实数根， ∴方程根的判别式， 解得， ∴当时，该图象与直线有四个交点，结论③正确； 由上可知，函数图象的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数取得最小值，最小值为， ∴对于任意实数，都有，即，结论④错误； 综上，正确的是①②③， 故选：A． 10．【答案】(1) (2)或 (3)或或或 (4)或 【分析】（1）将代入待定系数法求解析式，即可求解； （2）观察函数图象，即可求解； （3）将代入解析式，解方程，即可求解； （4）分三种情况讨论，分别根据函数图象结合函数的最大值与最小值的差是时，列出方程或不等式，即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得：或（舍去） ∴； （2）解：∵，则顶点坐标为，对称轴为直线， ∴， ∵翻折， ∴在部分的图象的顶点坐标为，解析式为： ∴的解析式为 观察函数图象可得，函数的图象与直线有两个交点时，则的取值范围是或 （3）当时，，解得：或 当时，，解得：或 ∵点在函数的图象上， ∴或或或； （4）解：①当即时，依题意 解得：或（舍去） ②当时即时，依题意， 解得：（舍去）或（舍去） ③令， 解得：或 ∴当时，函数值的最大值为最小值为，符合题意， ∴ 解得： 综上所述，的取值范围为：或 题型二：二次函数的增减性 1．【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点．根据函数的解析式求出函数图象的对称轴是直线，根据函数的性质得出图象的开口向下，当时，随的增大而减少，根据二次函数的对称性和增减性即可得到． 【详解】解：∵， 函数图象的对称轴是直线，图象的开口向下， 当时，随的增大而减少， 点关于对称轴的对称点的坐标是，且， ， 故选：B． 2．【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 【详解】解：由二次函数，则它的对称轴为，开口向上， 则图象上的点离对称轴越远则的值越大， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 3．【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数、二次函数、正比例函数图象和性质，根据各函数的解析式，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、正比例函数，当时，随的增大而增大， 故此选项不符合题意； B、一次函数，当时，随的增大而增大， 故此选项不符合题意； C、二次函数的图象，开口向上，对称轴为轴， 当时，y随x的增大而增大，故此选项不符合题意； D、二次函数的图像，开口向下，对称轴为轴， 当时，随的增大而减小，故此选项符合题意； 故选：D． 4．【答案】D 【分析】根据已知得出（-1，y1）和（3，y3）关于二次函数数y=x2+bx+c的对称轴对称，抛物线的开口向上，求出对称轴是直线x=1，根据-1＜0＜1＜3即可求出答案． 【详解】解：∵y1=y3， ∴（-1，y1）和（3，y3）关于二次函数数y=x2+bx+c的对称轴对称， ∴二次函数y=x2+bx+c的对称轴是直线x==1，且二次函数图象的开口向上， ∵x=0时，y=c， -1＜0＜1＜3， ∴y2＜c＜y1， 故选D． 5．【答案】B 【分析】首先根据二次函数对称轴直线公式求出对称轴直线为，由于二次项系数a=-1＜0，且在y轴右侧y随x的增大而减小，所以可得对称轴直线在y轴左侧或与y轴重合，即，求解即可得出a的取值范围，从而得出答案. 【详解】解：关于x的二次函数的对称轴为直线， ∵，且在y轴右侧y随x的增大而减小， ∴， 解得：，故B正确. 故答案为：B. 6．【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：抛物线在对称轴左侧的部分是上升的， ∴， 解得，， 故答案为： ． 题型三：二次函数的最值 1．【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，根据二次函数的性质及给出的解析式直接写出答案即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数有最大值2． 故选：A． 2．【答案】2 【分析】利用配方法将一般式化简为顶点式即可求出最值。 【详解】解：∵ ， =-（x-2）2-2， ∴当x=2时，二次函数取最大值． 故答案为：2． 3．【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解决本题的关键是熟练二次函数解析式的特点及应用． 将函数关系式转化为顶点式即可求解． 【详解】根据题意，有， ∵ ∴当时，有最大值． 故选：A． 4．【答案】C 【分析】根据图象，直接代入计算即可解答 【详解】解：由图可知，当x=4时，函数取得最小值y最小值=-2×16+3=-29．故选：C．    5．【答案】B 【分析】利用二次函数的性质，当a＜0时，抛物线的开口向下，函数有最大值，可得到a＜0，y=a（x-2）2+8，再根据设该函数图象与x轴的一个交点横坐标为x1，若x1>4，可知当x=4时，y＞0，建立关于a的不等式，解不等式求出a的取值范围，综上所述可得答案。 【详解】解：∵当x=2时，该函数取最大值8， ∴抛物线的开口向下，顶点坐标为（2，8） ∴a＜0，y=a（x-2）2+8 ∵设该函数图象与x轴的一个交点横坐标为x1，若x1>4， ∴当x=4时，y＞0 ∴a（4-2）2+8＞0 解之：a＞-2 ∴a的取值范围是：-2<a<0. 故答案为：B. 6．【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的增减性和对称性，注意分类讨论是解题的关键．结合二次函数的图象增减性，对称性，分和两种情况分别进行讨论即可． 【详解】解：当时， 二次函数的开口向上， 此时该函数对称轴为直线， 即当时，函数有最小值， ∵二次函数（）在时有最小值， ∴， 解得，； 当时， 二次函数的开口向下， 此时该函数对称轴为直线， 即当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， ∵二次函数的自变量x的取值范围为， ∴当时，函数有最小值， ∵二次函数（）在时有最小值， ∴， 解得，； 综上，或， 故选：C． 7．【答案】D 【分析】求出二次函数对称轴为直线x=m，再分m＜-2，-2≤m≤1，m＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可． 【详解】二次函数y=-（x-m）2+m2+1， 可化为：y=-x2+2mx+1， 故二次函数的对称轴为直线x=m， ①m＜-2时，x=-2时二次函数有最大值， 此时-（-2-m）2+m2+1=3， 解得m=- ，与m＜-2矛盾，故m值不存在； ②当-2≤m≤1时，x=m时，二次函数有最大值， 此时，m2+1=3， 解得m=- ，m= （舍去）； ③当m＞1时，x=1时二次函数有最大值， 此时，-（1-m）2+m2+1=3， 解得m= ． 综上所述，m的值为 或- ． 故答案为：D． 8．【答案】（1）每日租出15辆时，租赁公司日收益最大，最大收益为5000元；（2）不能 【分析】（1）设每日租出x辆，租赁公司日收益为y元，由题意可得每辆车的日租金为[500+50(20-x)]，然后根据日收益=每辆的租金×辆数就可得到y与x的关系式，接下来根据二次函数的性质进行解答； （2）令（1）关系式中的y=4500，求出x的值，然后根据x为整数进行解答. 【详解】（1）解：设每日租出x辆，租赁公司日收益为y元，根据题意得： ， 当时，y的值最大，最大值是5000， ∴每日租出15辆时，租赁公司日收益最大，最大收益为5000元. （2）解：根据题意，当时，即， 解得：. ∵x必须取整数， ∴不合题意， ∴租赁公司的日收益不能为4500元. 9．【答案】(1)售价每上涨1元，日销售量就减少l件 (2)定价为或元 (3)定价元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用．熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的应用是解题的关键． （1）由表格可知，售价每上涨1元，日销售量就减少l件； （2）设每件产品涨价元，则销售价为元，日销售量为件，依题意得，，计算求出满足要求的解即可； （3）设每日盈利元，每件产品涨价元，依题意得，，由，可得当时，盈利最大，然后求定价即可． 【详解】（1）解：由表格可知，售价每上涨1元，日销售量就减少l件； （2）解：设每件产品涨价元，则销售价为元，日销售量为件， 依题意得，， 解得，，， ∴每件产品涨价或元，即定价为或元时，每日盈利可达到； （3）解：设每日盈利元，每件产品涨价元， 依题意得，， ∵， ∴当时，盈利最大， ∴每件商品定价为元时，每日盈利可达到最大值元． 10．【答案】当x约为时，窗户通过的光线最多．此时，窗户的面积约为 【分析】先设圆半径、矩形的宽和窗户的面积，再根据给出的已知条件列出它们的函数关系式，根据函数关系式来求最大值． 【详解】解：∵， ∴． ∵，且， ∴． 设窗户的面积是，则 ． ∴当时，． 因此，当x约为时，窗户通过的光线最多．此时，窗户的面积约为． 11．【答案】(1) (2) (3)售价为元，最大利润为元 【分析】本题主要考查了列代数式、二次函数的应用等知识，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）根据“玩具的单价每降低元，超市每天可多售出个”即可获得答案； （2）根据“利润等于单个玩具利润乘以销售量”，即可获得答案； （3）将二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可获得答案． 【详解】（1）解：玩具的单价每降低元，超市每天可多售出个， 降价后超市平均每天可售出个玩具， 故答案为：； （2）解：由题意，可得， 函数关系为， 即， 其中的取值范围是； （3）解：， ， ∵，， 当时，有最大值为， 此时玩具的售价为：（元）， 答：该超市将每个玩具的售价定为元时，可使每天获得的利润最大，最大利润是元． 题型四：二次函数图象与各系数的关系 1．【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由抛物线开口方向，对称轴位置可判断A、C，由时的函数值可判断D，由抛物线与x轴交点个数可判断B． 【详解】解：∵开口向下， ∴， ∵对称轴位于y轴右侧， ∴异号，即， 又∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵对称轴， ∴，即，故C选项错误，符合题意； 当时，， ∴，故D选项正确，不符合题意； 故选：C 2．【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的关系，由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，熟知二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定是解题的关键． 【详解】解：①由图象可知：，， ， ， ，故①正确符合题意； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ， ，故②不符合题意； ③当时，，故③不符合题意； ④当时，， ∴， 故④符合题意； ⑤由图象可知，当时，y随x的增大而减小，故⑤符合题意， 故选：D． 3．【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，根据图象判断①，特殊点判断②，增减性判断③，对称轴结合特殊点以及的范围判断④，最值判断⑤． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在与之间（不包括这两点），对称轴为直线 ∴，，，， ∴，， ∴， ∴，故①正确； ∴；故②错误； ∵抛物线的开口向下， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越大，函数值越小， ∵， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴，故④正确； ∵当时，函数值最大， ∴， ∴， ∴；故⑤正确； 故正确的有：①③④⑤共4个． 故选：D． 4．【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系．根据图象正确的获取信息，利用二次函数的性质进行判断，是解题的关键． ①根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，进行判断；②利用对称轴进行判断；③利用最值进行判断；④根据对称性和图象上的点，进行判断；⑤利用对称性进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上，则， ∵对称轴为直线，则， ∴，故②正确 抛物线与轴交于负半轴，则， ∴，故①错误； ∵当时，取得小值， ∴， 当m为任意实数，则，故③正确， ④∵抛物线关于对称， ∴和的函数值相同， 即：， 由图象知，当时，函数值大于0， ∴，故④正确； ⑤当关于对称时：即：时， 对应的函数值相同， 即：， ∴ ∴若，且，则；故⑤正确； 综上所述，正确的是②③④⑤，共4个， 故选：C． 5．【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．根据抛物线开口方向、对称轴位置以及上，抛物线与轴交点位置判断的符号，即可判断①；结合图象可知当时，，即可判断②；由当时，可得，当时，，，即可判断③；由方程的两根为，可得直线与抛物线的交点的横坐标为，结合一次函数的性质可知直线经过第一、二、三象限，且过点，进而确定直线与抛物线的交点所在象限，即可判断④． 【详解】解：由图象可知，该抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴是直线， ∴． 又∵抛物线交轴于负半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵对称轴是直线，且抛物线过点， ∴当时，， ∴结合图象得，当时，，故②错误； ∵当时，，当时，， ∴， ∴， ∴，故③正确； 如图， 由方程的两根为，得直线与抛物线的交点的横坐标为， ∵直线经过第一、二、三象限，且过点， ∴直线与抛物线的交点在第一、三象限． 由图象可知，故④正确． 综上所述，正确的结论有3个． 故选：C． 6．【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象可得，与轴交于两点，可判定①②；设，且，代入二次函数计算可判定③；根据一元二次方程根与系数的关系可判定④；由此即可求解． 【详解】解：二次函数的图象与轴交于两点， ∴，故②错误； ∵图象开口向上，对称轴在轴左边，与轴交于负半轴， ∴， ∴， ∴，故①正确； 设，且， ∵， ∴，则， ∴，整理得，即， ∵， ∴，故③正确； 当时，，且， ∴， ∴，故④错误； ∴正确的有：①③，共2个， 故选：B ． 7．【答案】D 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行分别推理，进而逐项判断即可． 【详解】解：①由抛物线开口向上，则， ∵点B在和之间， ∴， ∴，①错误； ②∵， ∴， ∴，故②正确； ③∵抛物线过， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③错误； ④∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故④正确； ⑤∵图象与y轴的交点B在和之间， ∴， ∵， ∴， ∴，故⑤正确． 故选：D． 8．【答案】D 【分析】本题考查了二次含图象的性质，根据图象与轴交于点，对称轴为直线，可得另一个交点为，，根据二次函数与轴的交点在与之间（不包括这两点），可得，由此可得，分别代入计算，再根据二次函数图象的增减性即可求解． 【详解】解：二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线， ∴另一个交点为，， ∴， ∴同号，即， ∵二次函数与轴的交点在与之间（不包括这两点）， ∴， ∴，故①正确； 当时，，且， ∴，则， ∵， ∴，则，即， ∵， ∴，故②，④正确； ∵对称轴为，， ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；即离对称轴越远，值越小， ∵， ∴，故③错误； 综上所述，正确的有①②④， 故选：D ． 9．【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质，利用数形结合方法分析问题．由抛物线开口方向判断①结论；由对称轴可判断②结论；由函数的对称性和增减性判断③结论；由抛物线的对称性即可判断④结论． 【详解】解：抛物线开口向下， ，①结论正确； 抛物线的顶点为， 对称轴为直线， ， ，②结论正确； 由图象可知，抛物线与轴的一个交点为， 另一个交点为， 抛物线开口向下， 当时，随的增大而减小， ， ，③结论正确； 抛物线与轴的交点为，且轴为直线， 点关于对称轴的对称点为， 若点在此抛物线上且，则或，④结论错误； 即正确结论的序号是①②③， 故选：C． 10．【答案】②③⑤ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，结合函数图象，根据二次函数的性质及二次函数与一元二次方程、一元二次不等式间的关系逐一判断即可． 【详解】解：①对称轴是轴的右侧， ， 抛物线与轴交于正半轴， ， ， 故①错误； ②， ，即， 故②正确； ③由图象得，与抛物线有两个交点， 方程有两个不相等的实数根； 故③正确； ④抛物线的对称轴，与轴交于， 另一个交点坐标， ∴4和是方程的两个根， ∴， ∴ 故④错误， ⑤∵抛物线的对称轴， ∴当时，二次函数由最大值， 点在该抛物线上， ， ， 故⑤正确； 综上，正确的有②③⑤， 故答案为：②③⑤． 11．【答案】①②③④ 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据图象的开口方向、对称轴及y轴的交点可得a、b、c的符号，进而可判断①；根据图象与x轴的交点可判断②；根据图象的增减项可判断③；根据当时，可判断④，进而可求解． 【详解】解：∵该二次函数的图象开口向上，与y轴的负半轴相交， ∴，， ∵图象与轴的交点坐标分别为、， ∴对称轴为直线，方程的根为，，故②正确； ∴，则， ∴，故①正确； ∵该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故③正确； 由图象，当时，， ∴，故④正确， 综上，正确的序号为：①②③④． 故答案为：①②③④ 题型五：二次函数图象与一次函数图象共存问题 1．【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象，解题的关键是对参数和进行分类讨论．分当，时，当，时，当，时，当，时，四种情况讨论即可． 【详解】解：对于一次函数和二次函数的图象， ①当，时，一次函数的图象过第一、二、三象限，二次函数的图象开口向上，对称轴在轴左侧，没有选项符合； ②当，时，一次函数的图象过第一、三、四象限，二次函数的图象开口向下，对称轴在轴左侧，没有选项符合； ③当，时，一次函数的图象过第一、二、四象限，二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，选项B符合； ④当，时，一次函数的图象过第二、三、四象限，二次函数的图象开口向下，对称轴在轴右侧，没有选项符合； 故选：B． 2．【答案】D 【分析】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质．先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致，反之也可，用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下． 【详解】解：A、由一次函数的图象可知由二次函数的图象可知，两者相矛盾，故选项不符合题意； B、由一次函数的图象可知，由二次函数的图象可知，两者相矛盾，故选项符合题意； C、由一次函数的图象可知，由二次函数的图象可知，两者相矛盾，故选项符合题意； D、由一次函数的图象可知，由二次函数的图象可知，两者相吻合，故选项符合题意； 故选：D． 3．【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数图象综合判断，已知函数经过的象限求参数范围，二次函数图象与系数的关系等知识点，熟练掌握一次函数及二次函数图象与其系数的关系是解题的关键． 先由一次函数的图象得到字母系数的正负，再由二次函数的图象得到字母系数的正负，比较其是否一致即可． 【详解】解：A. 由一次函数的图象可知：，，由二次函数的图象可知：，，两者相一致； B. 由一次函数的图象可知：，，由二次函数的图象可知：，，两者相矛盾； C. 由一次函数的图象可知：，，由二次函数的图象可知：，，两者相矛盾； D. 由一次函数的图象可知：，，由二次函数的图象可知：，，两者相矛盾； 故选：． 4．【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据的正负确定一次函数图象经过的象限是解题的关键．逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向、对称轴以及与轴的关系即可得出的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论． 【详解】解：A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧，且与轴交于正半轴， ∴，，， ∴ ∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故选项A错误，不符合题意； B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在轴左侧，且与轴交于正半轴， ∴，，， ∴， ∴一次函数图象应该过第一、二、三象限，故选项B正确，符合题意； C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在轴右侧，且与轴交于正半轴， ∴，，， ∴， ∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，故选项C错误，不符合题意； D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在轴左侧，且与轴交于正半轴， ∴，，， ∴， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故选项D错误，不符合题意． 故选：B． 5．【答案】D 【分析】此题考查的是二次函数和一次函数的图象，能根据函数图象所在的象限判断出，的符号是解题的关键．本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致即可． 【详解】解：A、一次函数的图象经过一二四象限，故，，由二次函数的图象可知，，此选项错误，不符合题意； B、一次函数的图象经过一二三象限，故，，由二次函数的图象可知，，此选项错误，不符合题意； C、一次函数的图象经过一二四象限，故，，由二次函数的图象可知，，此选项错误，不符合题意； D、一次函数的图象经过一二三象限，故，，由二次函数的图象可知，，此选项正确，符合题意． 故选：D． 6．【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数以及二次函数的图象综合判断，正确确定，的符号是解题关键．直接利用一次函数图象经过的象限得出，的符号，进而结合二次函数图象的性质得出答案． 【详解】解：一次函数的图象经过一、三、四象限， ，， ， 二次函数的图象开口方向向上，图象经过原点，对称轴在轴左侧， 故选：C． 7．【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，一次函数图象与系数的关系． 先由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，再由一次函数的性质解答． 【详解】∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限． 故选：B． 8．【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合判断．熟练掌握函数图象与系数的关系，是解决问题的关键．对于一次函数，当时，图象必过一、三象限；当时，图象必过二、四象限；当时，图象必过一、二象限；当时，图象必过三、四象限；对于二次函数，当时，开口向上；当时，开口向下；当a，b同号时，对称轴位于y轴左侧；当a，b异号时，对称轴位于y轴右侧． 分别根据一次函数和二次函数的图象与系数的关系进行判断即可． 【详解】解：A、由一次函数的图象可知，； 由二次函数图象开口向下可知，， ∴，矛盾， ∴A不正确； B、由一次函数的图象可知，； 由二次函数图象开口向上可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵对称轴为直线，在y轴左侧， ∴B不正确； C、由一次函数的图象可知，； 由二次函数图象开口向上可知，， ∴，矛盾， ∴C不正确； D、由一次函数的图象可知，； 由二次函数图象开口向上可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵对称轴为直线，在y轴左侧， ∴D正确． 故选：D． 9．【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象及二次函数的图象，根据直线的图象判断出a，b的情况，再根据抛物线的图象判断出a，b的情况，再比较是否一致，逐一判断即可． 【详解】解：A、由直线的图象可得，由抛物线的图象可得，则A满足，故符合题意； B、由直线的图象可得，由抛物线的图象可得，则B不满足，故不符合题意； C、由直线的图象可得，由抛物线的图象可得，则C不满足，故不符合题意； D、由直线的图象可得，由抛物线的图象可得，则D不满足，故不符合题意； 故选：A． 10．【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题．关键是的正负的确定，对于二次函数，当时，开口向上；当时，开口向下．对称轴为，与轴的交点坐标为，根据二次函数的图象与性质以及一次函数的图象与性质，采用数形结合的方法，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A．由函数的图象可知，即函数开口方向朝下，交于轴的负半轴，与图象相符，故选项正确； B．由函数的图象可知，且与交轴的交点为，即函数开口方向朝下，经过点，则， 所以， 所以函数， 所以函数与轴有一个交点，与图象不符，故选项错误． C．由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，交于轴的正半轴，与图象不符，故C选项错误； D．由函数的图象可知，即函数交于轴的负半轴，与图象不符，故选项错误； 故选：A． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $