21.4 二次函数的应用 综合专项练习 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦函数应用综合，以动态几何与实际问题为载体，系统整合函数建模、数形结合及分类讨论思想，强化二次函数性质与最值求解的应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|----|----|----| |动态几何|1-3、9-10题|运动过程分段分析、坐标系建立、面积公式转化|从图形运动抽象函数关系，结合几何性质推导解析式| |实际应用|4-8、11-13题|增长率模型、利润公式、最值计算|实际问题→等量关系→函数表达式→性质应用| |综合解答|14-61题|待定系数法、分类讨论、参数思想|函数与几何综合，通过建模解决存在性、最值问题|

2026-2027学年九年级数学沪科版函数应用综合专项练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在平行四边形中，，P，Q两点同时从点A出发，以相同速度分别沿着，运动，则的面积y与运动时间x之间的函数图象可能是（     ） A． B． C． D． 2．如图，是等腰直角三角形，，，点是边上一个动点，沿的路径运动，过点作于点，设，的面积为，则下列能大致反映与函数关系的图象是（     ） A． B． C． D． 3．如图①，中，．点P从B出发沿向点A匀速运动，同时点Q从A出发沿向点C匀速运动，当一个点到达终点，两个点均停止运动．若它们的速度均为每秒1个单位长度．连接，设运动时间为x秒，的面积为y．y与x的函数图像如图②所示，则y的最大值为（） A．3 B．4 C．4 D．8 4．某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 5．某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 6．据省统计局公布的数据，长春市2024年第一季度总值约为千亿元人民币，若我市第三季度总值为千亿元人民币，平均每个季度增长的百分率为，则关于的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 7．为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 8．为了迎接体考，小南坚持每天进行跳绳练习．本周五她参与了学校的志愿服务活动，跳绳量比周四减少了．为补上周五缺失的练习，小南决定周六、周日连续两天提高跳绳量，设日均增长率为，若小南周四跳绳量为个，则小南周日跳绳量关于的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．某水果店单件水果售价（元）与销售月份满足一次函数关系 ，单件水果进价（元）与销售月份满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为并且经过，则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为___________元． 10．如图，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流________________击中昆虫．（填“能”或“不能”） 11．某工厂第一年的利润为万元，第三年的利润万元与平均年增长率之间的函数关系式是______，自变量x的取值范围是______． 12．某超市一月份的营业额为30万元，三月份的营业额为y万元．设每月的平均增长率为x，则y与x之间的函数表达式为_______ 13．某公司年的利润为万元，年的利润为万元，若该公司近两年每年利润的增长率都为，则关于的函数解析式是______． 三、解答题 14．如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 15．用长为的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框．窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材宽度不计） 16．某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称，，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，与相交于轴上点（点在地面）． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知抛物线的函数表达式为，，求的长； (3)一辆满载装修材料的货车，顶部离地面的高度为，其横截面是一个长方形，宽为，试说明这辆货车能否顺利通过门洞？ 17．某城市建设调研小组发现，广州部分公交站台的遮阳棚在风雨天气下存在安全隐患与遮挡不足的问题．为优化设计，该小组考察了某遮阳棚的结构．以下为该小组调研报告的部分记录，请认真阅读，并解决问题． 发现问题确定目标 遮阳棚抗风加固 公交车安全停靠 模型抽象与图形表示 遮阳棚横截面示意图，棚顶可视为抛物线的一部分如图2所示． 公交车停靠示意图如图3所示（忽略公交车车顶的实际弧度、空调装置等微小起伏，假设车厢顶部在车辆全长范围内是完全平坦且水平的．） 条件与规范整理 如图4当风力较大时，需在棚内侧安装钢架（为线段）加固，且在棚顶与钢架之间安装一根垂直钢架（在棚顶，在上，轴）． 车身完全覆盖要求： 公交车需完全停入遮阳棚下方，即车辆整体（包括车厢最高点）均位于遮阳棚的横向覆盖范围内． 垂直安全间隙要求： 车厢最高点与棚顶之间需保持一定的安全间隙，以避免因车辆振动、风载或路面不平等因素发生碰撞． 实测数据采集 棚顶最高点到地面距离为4米，棚顶与立柱交点到地面距离为2米，、两点水平距离为12米． 已知车身长约8米，公交车车厢最高点距地面约米，车身宽度与站台停靠都匹配，不考虑宽度影响． 问题解决： (1)如图2，以地面为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式： (2)如图3，请通过计算说明钢架加固前该公交车能否完全停入遮阳棚正下方； (3)如图4，根据安全规范，垂直钢架的长度不低于米．请问钢架加固后遮阳棚是否存在安全隐患或遮挡不足的问题． 18．某抛物线型拱桥示意图如图所示．水面宽与桥长均为米，在距离点米的处，测得桥面到桥拱的距离为米，以桥拱顶点为原点，桥面所在直线为 轴建立平面直角坐标系．如图，桥面上方有根高度均为米的支柱、、，过相邻支柱顶端的两根钢缆可以近似看做两条形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为米． (1)求拱桥和其中一条钢缆抛物线的函数解析式； (2)春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图），求出可以在竖直方向安装的灯带中最短的灯带长度． 19．某古镇有一座抛物线形的石拱桥，其示意图如图，桥洞的水面宽度为，拱顶（点）与水面的距离为．以水面的中点为原点，所在的直线为轴，过点且垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的表达式． (2)今年元宵节，古镇居民计划在桥洞两侧对称地悬挂两个灯笼，以增添节日气氛．灯笼悬挂点距离水面．请你计算这两个灯笼悬挂点之间的水平距离．（结果保留根号） 20．图1是抛物线形拱桥平面示意图，当拱顶离水面时，水面宽．此时桥拱与水面的交点分别为点 A 和点 B，拱顶为点 C． (1)请从下列两种方案中任选一种，在图2中画出平面直角坐标系，并求出所选方案中的抛物线解析式． 方案一：以点A为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系； 方案二：以点C为原点，抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系． (2)当水面下降时，水面宽度增加多少？ 21．某市政工程修建的排水管道截面如图所示，其轮廓为抛物线的一部分，以管道底面截得的线段的中点O为坐标原点，直线为x轴，过原点的竖直直线为y轴建立平面直角坐标系．已知管道底面的宽，管道顶部D（抛物线顶点）距离底面的高度．为提升排水效率，需在管道内安装两层水平滤网和，上层滤网距离底面，下层滤网距离底面，滤网两端均与管道内壁贴合． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若滤网的材料价格为100元（按滤网水平长度计价，不考虑管道纵深长度），上下两层滤网单价相同，求出两层滤网的材料总费用． 22．2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． (1)某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； (2)该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 23．清明节是我国的传统节日．这天人们都会以扫墓献花等方式来缅怀逝者．八年级小宇同学的爸爸是开花店的，于是他就想趁着清明假期赚点零花钱，他以8元束的价格从爸爸那里购入一批菊花，准备在清明节那天销售．开花店的爸爸告诉他前4天的这种菊花日销售量y（束）与销售单价x（元）的对应值表： 销售单价元 16 18 20 22 日销售量束 24 20 16 12 小宇马上判断出y与x是一次函数关系．请你根据以上信息，帮助小宇完成下列问题： (1)y与x之间的函数关系式是：________． (2)当销售单价为多少元时，日销售利润为182元？ (3)当销售单价为多少元时，小宇获得的日销售利润最大？最大利润是多少？ 24．某商场销售一种进价为每件15元的商品，售价为每件25元时，每天可售出50件；售价每上涨1元，每天的销售量就减少2件.设每件商品的售价为元（且为整数），每天的销售量为件. (1)求与的函数关系式； (2)设每天的销售利润为元，当每件商品的售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 25．2026年美加墨世界杯开幕式于当地时间6月11日在墨西哥墨西哥城体育场（原阿兹特克体育场）举行．在小组赛中，阿根廷队中场德保罗送出过顶长传，足球飞行轨迹近似为二次函数抛物线．以德保罗传球时的站立位置为坐标原点，水平前进方向为x轴正方向建立平面直角坐标系（单位：米），已知： ①传球瞬间，足球高度为1米，即坐标为：； ②足球飞行水平距离20米时，达到最高点，高度为5米； ③前锋梅西在禁区内准备接球攻门，球门范围：水平距离传球点，球门高度． (1)求足球飞行轨迹对应的二次函数表达式； (2)若梅西头球攻门时，头部触球高度为2米，求足球从德保罗传球点水平飞行到梅西头部触球位置的距离是多少米？（结果保留根号） (3)若梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，计算判断足球在水平距离的范围内，能否飞入球门？ 26．体育课期间，黄老师和黎老师交流中考实心球项目，他们发现实心球从出手到落地的过程中，球的竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化，黄老师利用鹰眼系统记录了邓同学训练时实心球在空中运动时的水平距离与竖直高度的数据如下表．随后，黎老师根据表中的数据建立如下图所示的平面直角坐标系．根据图中点的分布情况，他发现其图象是二次函数的一部分，请根据所给信息回答下列问题： 水平距离 0 2 4 5 6 8 9 竖直高度 2 2 (1)在投掷过程中，邓同学出手时实心球的竖直高度是 m，实心球在空中的最大高度是 m； (2)求图中抛物线的解析式； (3)根据深圳中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于米时，即可得满分，邓同学在此次训练中是否得到满分，请说明理由； (4)已知图中抛物线经过，两点，且，分别位于对称轴两侧，若在该两点之间的部分函数图象中，函数的最大值与最小值的差为，则的值为_______． 27．马年央视春晚上，一款表演机器人在舞台中央完成腾空跃起动作，其运动轨迹可近似看作抛物线．机器人从地面起跳点腾空，最高点距地面米，落地点与起跳点水平距离为米．如图，以起跳点为坐标原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式． (2)若舞台上一处灯光装置的坐标为，判断机器人在运动过程中是否会经过该灯光装置所在位置？ (3)若机器人在竖直高度不低于米的区域完成旋转表演，求机器人进行旋转表演的水平距离． 28．为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，在某次练习中，小明投掷时出手点距水平地面的高度为，实心球到达最高点时，距出手点的水平距离是，距水平地面的高度是，记落地点为，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求实心球运动路线所在抛物线的表达式； (2)若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到为满分，请通过计算判断该次练习小明同学能否得满分； (3)小明投掷实心球时，有一位身高的同学正好闯入实心球场地且在线段上跑动，若闯入的同学是安全的，求此时该同学所在位置的横坐标的取值范围． 29．某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 30．政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造． 问题 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱．现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外． 过程 方法说明 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算． 操作说明 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 数据测量 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高． 建立模型 计算，交流展示…… 请根据上述信息，完成下列问题： (1)设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为，求a，b的值； (2)求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？ 31．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．如图2，选取合适的原点，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口点在轴上，喷水口离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其中，点在轴上，测得其水平宽度，竖直高度．那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示． 信息1：把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，，上边缘抛物线的最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 信息2：下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变． 问题解决 (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求洒水车喷出水的最大射程． (2)求出下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标． (3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（矩形），求出的取值范围． 32．“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． (1)如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与O点水平距离的C处达到最高，高度为． ①设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为．请建立平面直角坐标系，并求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是（），丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度． 33．综合与实践 问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析．研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每亩的产量（千克）与每亩施氮量（千克）的关系可近似用下图中的两条抛物线描述，其中．设中肥力麦田每亩的产量为（千克），低肥力麦田每亩的产量为（千克）．已知点，，均在描述与关系的抛物线上，且点是这条抛物线的顶点． (1)建立模型：求中肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式； (2)应用分析：已知低肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式为． ①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同，当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以及此时两种麦田小麦每亩产量的差； ②现有面积均为1亩的中肥力、低肥力麦田各一块．当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别达到最大时，两块麦田的总产量为千克；当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为千克．经判断小于，请直接写出与的差． 34．某城市跨河步行桥主缆L呈现抛物线形态，桥面为水平平面，主缆最低点M距离桥面的高度为7米．桥塔竖直立于桥面两侧，两座桥塔高度均为13米，两塔底部A、D水平相距24米．如图所示，以桥面所在直线为轴，主缆最低点M在桥面的投影点为坐标原点O，建立平面直角坐标系．施工期间在桥面左侧安放一块横截面为长方形的安全警示牌，宽米，高米，警示牌侧边点H距离原点6米． (1)求L的表达式； (2)按照施工安全规范，警示牌顶部距离上方的主缆至少需要3.5米，请判断当前警示牌位置是否符合安全要求；若不符合，需要移动警示牌的位置，请求出需要沿轴移动的最小距离与移动方向． 35．如图，抛物线交轴于点． (1)若点的坐标为，的顶点坐标为，求的值； (2)过点的直线与轴右侧的抛物线交于另一个点，与抛物线交于点． ①若直线与轴垂直，求的值； ②若点在轴左侧，且是线段的中点，试判断点是否为的顶点，并说明理由． 36．已知抛物线．（t为常数）． (1)若抛物线过点，，求t的值． (2)抛物线与x轴交于A、B两点，点为线段上一点，过点P作x轴垂线，分别与抛物线和直线交于点M，N，求最大值． (3)点，都在抛物线上，当，时，都有，求t的取值范围． 37．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线交抛物线的对称轴于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若点在轴下方的抛物线上运动，直线，分别交抛物线的对称轴于点，，当点，均在点的下方时，试判断是否为定值？若是，求这个定值；若不是，请说明理由． 38．如图，已知抛物线与轴交于、两点，其中点，对称轴为，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式． (2)点是抛物线对称轴上一动点． a：当的周长最小值时，求的值． b：点是对称轴右侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请求出所有点的坐标． 39．如图，抛物线与x轴交于点和点B，其顶点坐标为，P是第一象限内抛物线上的动点，过点P向x轴作垂线，交直线于点M，交x轴于点N，连接、． (1)求该抛物线的解析式； (2)当取得最大值时，求线段的长； (3)若直线把的面积分成两部分，求点P的坐标． 40．如图，抛物线与y轴交于点，顶点为D，对称轴为直线，点P在抛物线上，点P的纵坐标为2，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，交y轴于点E．若的面积是的面积的3倍，求抛物线的解析式． 41．综合与探究，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为坐标原点，作直线． (1)求该抛物线的解析式． (2)在抛物线上有两个动点，，点在第一象限，横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，点的横坐标为．若的面积记作，的面积记作，当有最大值时，求点的坐标．（自行完成作图并解答） (3)把抛物线沿射线方向平移，平移后，新抛物线过点，点是新抛物线对称轴与轴的交点，点是新抛物线对称轴上的动点，连接，．若平分，请直接写出符合条件的点坐标．（自行完成作图并作答） 42．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，对称轴是直线．动点M以每秒1个单位长度的速度，沿x轴从点O向点B运动，设运动时间为t（）秒，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，当t为何值时，四边形为平行四边形； (3)动点M开始运动时，另一动点Q同时以每秒0.5个单位长度的速度，沿x轴从点O向点A运动．当t为何值时，四边形的面积最大，并求最大面积． 43．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点为，与轴的交点分别为，，且．直线轴，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图①，点是轴下方抛物线上一动点，连接，，，求四边形面积的最大值及此时点的坐标． (3)如图②，点是点右侧抛物线上一动点，过点作直线轴，交直线于点，是否存在点，使以，，为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 44．平面直角坐标系中，抛物线经过和两点． (1)求，的值． (2)如图，过原点的两条直线与该抛物线相交于点，，，（点在第三象限，点在第二象限）． ①求线段长度的最小值； ②连接，分别交轴于，两点，设，的面积分别为，，是否存在直线使?若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 45．已知抛物线与轴交于，（点在点的左侧），与轴交于点，且．        (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)如图，若为轴正半轴上一点，作直线，分别与抛物线交于，两点，试判断是否为定值，若其值为定值，求出该定值；若不是定值，说明理由； (3)如图，，是抛物线上异于，的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上，求证：直线必经过一个定点，并求该定点坐标． 46．定义：如果二次函数与一次函数的图象有两个不同的交点，且其中一个交点为二次函数的顶点，那么我们把这两点所连线段叫做“顶点弦”． 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点． (1)如图1，若点为线段的中点，二次函数的“顶点弦”为线段，且点为顶点，求该二次函数的解析式； (2)在（1）的条件下，若直线上方抛物线上有一点，使，求点的坐标； (3)点在线段上，若抛物线和抛物线的“顶点弦”分别为和，点为和的顶点，且，求的值． 47．如图，已知二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，其中点坐标为． (1)求的值； (2)点是抛物线上第四象限的一动点，当时，求线段的长． 48．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点 C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点 D为抛物线上一点且在x轴上方，满足，求D点坐标； (3)点 M为线段上一动点（不与B，C重合），过点M作轴于点 P，交抛物线于点N．如图2，在抛物线上找一点Q，连接，使得与的面积相等，求线段长度的最小值，并写出此时Q点坐标． 49．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，点B在抛物线上．设其横坐标为m．点C是平面直角坐标系中异于点B的一点，其坐标是，连接，当不与坐标轴垂直时，以为斜边作 ，使轴． (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)当点B在抛物线对称轴左侧，且是等腰直角三角形时，求m的值； (3)当的边与抛物线有公共点时，求m的取值范围； (4)当抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大，或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 50．已知二次函数． (1)求m的值． (2)当x为何值时，此二次函数有最小值？求出这个最小值，并指出当x如何取值时，y随x的增大而减小？ (3)若将此二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，直接写出平移后新抛物线的顶点坐标．在新抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使以点Q与原抛物线的顶点P及原点O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 51．如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，D是其对称轴与x轴的交点． (1)求抛物线的表达式． (2)在抛物线的对称轴上有一点M，使得的值最小，求点M的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是等腰三角形？如果存在，请直接写出P点坐标；如果不存在，请说明理由． 52．已知抛物线（a，b，c为常数，）与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，且．过点C作x轴的平行线与抛物线相交于点D． (1)若，． ①求该抛物线的顶点P的坐标； ②点M在抛物线上，以为边的的顶点E在直线上，求点M的坐标； (2)若点，点F在抛物线的对称轴上，以为边作，当取得最小值时，求a的值． 53．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，与轴相交于点，点是抛物线上一动点，设点的横坐标为． (1)求出的长； (2)连接，若，求出的值； (3)连接，过点作直线，交轴于点．过点作轴交直线于点，交直线于点． ①如图2，当时，若点和点到直线距离之和不超过，求的取值范围； ②如图3，当点在对称轴右侧的抛物线上，过点作对称轴的垂线，垂足分别为点，点．若四边形在直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半时，直接写出的值． 54．如图1，抛物线经过点，，与y轴交于点C，P为抛物线上一点，Q在射线上，且． (1)求抛物线的解析式； (2)当点Q也在抛物线上时，求点Q的坐标； (3)如图2，设点P的横坐标为m，以为对角线作矩形，且轴，当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，请直接写出m的取值范围． 55．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点B．点D是抛物线上的一个动点，点D的横坐标为m． (1)求该抛物线的解析式； (2)该抛物线的对称轴为_____； (3)当与的面积相等时，求m的值； (4)若点D在第一象限内抛物线上，过点D作轴于点E，交于点P，且满足与相似，直接写出m的值． 56．如图，抛物线交x轴于、两点，交y轴于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一点，设P点的横坐标为m． ①当点P在第一象限时，过点P作轴，交BC于点D，过点D作轴，垂足为E，连接，当和相似时，求点P的坐标； ②请直接写出使的点P的坐标． 57．在平面直角坐标系中，把与轴交点相同的二次函数的图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线交轴于点，（点在点的左侧），交轴于点，其顶点为． (1)求点的坐标； (2)若抛物线与是“共根抛物线”，且抛物线经过点，求对应的函数解析式； (3)设点是抛物线上的一个动点，且位于其对称轴的左侧，与为“共根抛物线”，点为抛物线的顶点，连接，若与相似，直接写出点的坐标． 58．已知抛物线的对称轴在轴右侧，当时，的最小值为，最大值为． (1)求整数，的值； (2)在（1）的条件下，直线与抛物线在范围内有两个交点，点，均在抛物线上，在的左侧． ①求的取值范围； ②若，过点作轴，垂足为，交直线于点．设的面积为，的面积为，若，且，求的近似值． 59．二次函数的图象经过，两点． (1)求二次函数的表达式． (2)将二次函数的图象沿 轴方向平移，平移距离为个单位长度，当时，新函数的最大值是8，求n的值． 60．在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)当时，先随增大而减小，后随增大而增大，求的取值范围； (3)将抛物线向上平移个单位，得到图形，当时，图形与直线有且只有一个公共点，请直接写出的取值范围． 61．已知抛物线． (1)求抛物线顶点的纵坐标； (2)点，，（）都在抛物线上． （i）求的值； （ⅱ）设为正整数，线段上横坐标为整数的点的个数为，请比较与的大小，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年九年级数学沪科版函数应用综合专项练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B B C B C A C 1．D 【分析】分三个阶段分析：当点P运动到点B之前；当点P在边上，点Q在边上时；当点P在边上，点Q在边上时．即可得出答案． 【详解】当点P运动到点B之前，与不固定，则的底上的高也发生变化，可知y与x满足二次函数关系，故A、B错误； 当点P在边上，点Q在边上时，的底随x呈现一次函数关系，但高保持不变，故此时图象呈直线形式； 当点P在边上，点Q在边上时，同第一阶段，的面积与x呈现非线性关系，和的面积与x均呈现线性关系，故利用总面积相减可知，的面积与x呈现非线性关系（二次函数关系），故选D． 2．B 【分析】过A点作于H，利用等腰直角三角形的性质得到，，分类讨论：当时，如图1，易得，根据三角形面积公式得到；当时，如图2，易得，根据三角形面积公式得，于是可判断当时，y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分，当时，y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断． 【详解】解：过A点作于H， ∵是等腰直角三角形， ∴，， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分，当时，y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，故B选项符合题意． 3．B 【分析】根据函数图象确定运动停止的时间，结合直角三角形角的性质求出的长，用表示出和的长，利用三角形面积公式建立与的函数关系式，利用二次函数的性质求最大值 【详解】解：设， 在中，，， ，. 点、的速度均为1， 点到达终点需秒，点到达终点需秒. ， 点先到达终点. 由图可知，运动总时间为秒， ， ， 解得， ， 由题意得：，，则， 过点作于点， 在中，， ， ， ， ∴抛物线开口向下， 当时，有最大值， ，且， 当时，． 4．C 【分析】把解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为90， ∴这条鱼此次射出的水流的最大高度是． 5．B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键； 根据连续两次降价，每次降价的百分率为，则两次降价后的价格等于原价乘以的平方． 【详解】解：∵每次降价的百分率都是， ∴第一次降价后价格为， 第二次降价后价格为， ∴， 故选：B． 6．C 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键． 根据平均每个季度增长的百分率为，第二季度总值约为千亿元，第三季度总值为千亿元，则函数解析式即可求得． 【详解】解：根据题意得： 关于的函数表达式是：， 故选：C． 7．A 【分析】主要考查增长率问题，列函数关系式，正确理解题意是关键；一般用增长后的量=增长前的量增长率，如果设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，然后根据已知条件可得答案． 【详解】解：设该公司投放垃圾桶数量的月平均增长率为x， 依题意得第三个月投放垃圾桶个， 则 故选：A. 8．C 【分析】本题考查的知识点是二次函数的实际应用，解题关键是正确理解题意． 先求出周五的跳绳量，再根据日均增长率，即可求出周日的跳绳量，从而得出周日跳绳量关于的函数关系式． 【详解】解：小南周四跳绳量为个， 周五跳绳量为个， 又周六、周日两天日均增长率为， 周日的跳绳量为个， 小南周日跳绳量关于的函数关系式为． 故选：． 9．7 【分析】先求解，设单件水果利润为：元，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意设， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线为， 设单件水果利润为：元， ∴， ∵， ∴当时，单件利润的最大值为元． 10．不能 【分析】要判断水流能否击中昆虫，只需验证点是否在抛物线上，即将代入函数解析式计算y的值，并与昆虫的高度进行比较． 【详解】解：当时，， ∵，即当水平距离为时，水流的高度为，低于昆虫所在的高度， ∴不在抛物线上， ∴这次射出的水流不能击中昆虫． 11． （或） 【详解】解：由题意可知第一年的利润为万元； 第二年的利润为万元； 第三年的利润为万元， 则（或）； 由于利润呈增长状态，因此增长率为正，即． 12． 【分析】本题考查了二次函数的应用．由题意知，二月份的营业额万元，三月份的营业额万元，依题意得，． 【详解】解：由题意知，二月份的营业额万元，三月份的营业额万元， 依题意得，， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用（增长率问题），根据连续增长的规律推导函数解析式是解题的关键． 根据增长率模型，每年利润增长率为，经过两年连续增长，两年后的利润为初始利润乘以． 【详解】解：年利润为万元，每年增长率为， 则年利润为万元， 年利润为万元， 故关于的函数解析式为． 故答案为：． 14．(1)抛物线的函数表达式为 (2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为 【分析】（1）由点的坐标设抛物线的交点式，再把点D的坐标代入计算可得； （2）由抛物线的对称性得，据此知，再由时，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可求得． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， ∵当时，， ∴点D的坐标为， ∴将点D坐标代入解析式得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由抛物线的对称性得， ∴， 当时，， ∴矩形的周长 ， ∵， ∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为． 15．窗框的高与宽各为、时，它的透光面积最大，最大透光面积是 【分析】因为窗框的宽为，则高为：，设面积为S，根据长方形面积公式建立函数关系式，再由二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设窗框的宽为，则高为：，设面积为S， 根据题意可得：． ∵ ∴当时，， 此时高为 答：窗框的高与宽各为、时，它的透光面积最大，最大透光面积是． 16．(1) (2) (3)这辆货车能顺利通过门洞， 理由如下： 抛物线的函数表达式为， 门洞的最高点离的距离为， 当时，，即， 门洞的最高点到地面的距离为； 思路一：货车顶部离门洞最高点的距离为， 当时，， 解得，， ， 这辆货车能顺利通过门洞； 思路二：假设这辆货车能从门洞的正中间通过，则货车右侧离的距离为， 当时，， 货车顶部离门洞最高点的距离为， 这辆货车能顺利通过门洞． 【分析】（1）由顶点设顶点式，代入求解析式； （2）为同横坐标下两抛物线纵坐标之差，列方程求，利用轴对称求长度； （3） 算出顶点离地高度，代入货车对应高度求横向宽度，和车宽对比判断能否通行． 【详解】（1）解：， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， ， 结合二次函数的对称性得， 将代入得，， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）由（1）得抛物线的函数表达式为， ，，，且抛物线的函数表达式为， ； 解得， ； （3）略． 【点睛】本题依托二次函数实际应用，巧用顶点式求解析式，借助纵坐标差构造方程、轴对称求线段长，通过代入定值算横向跨度解决实际通行问题． 17．(1) (2)解：当时，， 解得或（舍去） ∵，且， ∴该公交车能够完全停入遮阳棚正下方； (3)钢架加固后遮阳棚不存在安全隐患或遮挡不足的问题 【分析】（1）建立平面直角坐标系，确定点的坐标，然后利用待定系数法求解； （2）当时，求出点的横坐标，然后根据车身长度进行比较即可； （3）求出直线的解析式，设，则，得出的最大值，然后根据临界点求值进行判断． 【详解】（1）解：根据题意得，，抛物线顶点坐标为， 假设抛物线解析式为， 将代入解析式得，， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：略； （3）解：设的解析式为， 将，代入解析式得， ， 解得， ∴的解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，的最大值为， ∴钢架加固后遮阳棚不存在安全隐患， 当时，， 解得， ∵， ∴不存在遮挡不足问题 ∴钢架加固后遮阳棚不存在安全隐患或遮挡不足的问题． 18．(1)拱桥抛物线表达式为；右边钢缆的抛物线表达式为；左边钢缆的抛物线表达式为 (2)灯带长度的最小值是 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设灯带长度为，则，即可得解． 【详解】（1）解：①由题意得，，右边钢缆的抛物线顶点为， 设右边钢缆的抛物线表达式为， ， ， ， ． ②由题意得，，左边钢缆的抛物线顶点为， 设左边钢缆的抛物线表达式为， ， ， ， ． 设拱桥抛物线表达式为，由题意得， ， ． ． （2）解：设灯带长度为， 则， ， 当时，有最小值为． 答：灯带长度的最小值是． 19．(1) (2) 【分析】（1）根据题意得到抛物线的顶点坐标为，设该抛物线的表达式为，将点B的坐标代入即可求出解析式； （2）代入（1）的解析式，求出x的值，由此解答； 【详解】（1）解：根据题意，得，拱顶（点）的坐标为， 设该抛物线的表达式为， 把代入，得， 解得， ∴该抛物线的表达式为． （2）解：把代入，得， 解得或， ∴两个灯笼悬挂点之间的水平距离为． 20．(1)方案一：,图见解析；方案二：,图见解析 (2) 【分析】（1）方案一，根据顶点坐标为，设解析式为，将点代入求出a值即可得；方案二，根据顶点坐标为，设解析式为，将点代入求出a值即可得； （2）根据当水面下降时，求出y 的值，把y值代入解析式求出x的值，再求出下降前和下降后的差值即可． 【详解】（1）解：方案一，如图， 根据题意可知，抛物线与x轴的交点为，，顶点坐标为， 设解析式为， 将点代入得， 解得：， 则抛物线解析式为； 方案二，如图， 根据题意可知，，，顶点坐标为， 设解析式为， 将点代入得， 解得：， 则抛物线解析式为； （2）解：如图，以点C为原点，抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系， 当水面下降时，， 将代入得：， 解得：， ∴水面宽度增加米． 21．(1) (2)元 【分析】（1）根据宽可得点A与点B的坐标，再由可得点D的坐标，设出函数的顶点式代入求解即可； （2）分别求解出点E，点F，点G，点H的横坐标，再结合价格求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，点，点，点， ∵点为抛物线的顶点， 设函数的顶点式为，即， 将点代入可得，，解得， ∴， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：∵上层滤网距离底面， ∴令，则， 即，解得， ∴点E的横坐标为，点F的横坐标为， ∴， ∵下层滤网距离底面， ∴令，则， 即，解得， ∴点G的横坐标为，点H的横坐标为， ∴， ∴总长度为， ∵滤网的材料价格为100元，且上下两层滤网单价相同， ∴材料总费用为元． 22．(1)每月产量的增长率为 . (2)应降价元，最大利润为 元. 【分析】（1）设每月产量的增长率为，根据原产量和增长两次后的产量关系列方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果； （2）设降价元，每天总利润为 元，根据总利润每件利润销售量列出二次函数解析式，配方后根据二次函数的性质即可求出最大利润和对应的降价金额． 【详解】（1）解：设每月产量的增长率为， 根据题意列方程得: ， 解得 , ，增长率不能为负，不符合实际，舍去， 答: 每月产量的增长率为； （2）解：设降价元，每天总利润为 元， 根据题意，每件盈利为 元，每天销售量为 件， ∴， ， 当时， 取得最大值，最大值为， 答: 该食品厂应降价元，才能使利润最大，最大利润为 元． 23．(1) (2)销售单价为15元或21元 (3)当销售单价为18元时，日销售利润最大，最大利润为200元 【分析】（1）用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）根据单束花的利润与销售量的乘积等于利润列一元二次方程求解即可； （3）设日销售利润为W元，列二次函数解析式，并根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 将，代入，得， 解得， 与x之间的函数关系式为． （2）解：由题意列方程：， 解得，， 答：当销售单价为15元或21元时，日销售利润为182元． （3）解：设日销售利润为W元， 则由题意知 ， ， 抛物线开口向下 当时，W有最大值200， 答：当销售单价为18元时，日销售利润最大，最大利润为200元． 24．(1)（且为整数） (2)当每件商品的售价定为32元或33元时，每天的销售利润最大，最大利润是612元 【分析】（1）根据“现有销售量原销售量涨价减少的销售量”列出与的函数关系式，并结合实际意义确定自变量的取值范围； （2）根据“总利润每件商品的利润销售量”得到关于的二次函数, 再利用二次函数的性质结合为整数的条件, 求出最大利润和对应售价． 【详解】（1）解：（且为整数）； （2）解：， 对称轴为直线， 因为x为整数，且两侧的整数为32和33，， 当时， （元）． 当时： （元）． 答：当售价定为32元或33元时，每天利润最大，最大利润为612元． 25．(1) (2)足球从传球点水平飞行到头部触球的距离是米． (3)能 【分析】（1）由题意设足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为，代入即可求解； （2）令，代入表达式求解，再根据题意确定取值即可得结论． （3）分别计算，的函数值，进一步判断即可． 【详解】（1）解：由题意设足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为， 把代入得，， 解得， ∴足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为． （2）解：令，则， 解得，， 根据图象，头球点在最高点右侧，即，舍去， ∴足球从传球点水平飞行到头触球的距离是米． （3）解：当时，则， 当时，则， ∴梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，足球在水平距离的范围内，能飞入球门． 26．(1)2， (2) (3)邓同学在此次训练中能得到满分，理由如下： 把代入， 得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴邓同学在此次训练中能得到满分； (4)m的值为或 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）根据题意得到出手时实心球的竖直高度即为时y的值，再通过观察表格数据，利用二次函数的对称性确定对称轴和顶点坐标； （2）由（1）知顶点坐标，再利用待定系数法求解即可； （3）令得到一元二次方程，解方程与米比较即可； （4）根据，分别位于对称轴两侧求出的取值范围，再分情况讨论：求出当M为最低点，或N为最低点时的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，出手时实心球的竖直高度即为时y的值， 通过图表可得：当时，， 则在邓同学投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是2米， 由当时，；当时，可得： 对称轴为直线， 则当时，实心球在空中取得最大高度， 通过图表可得：当时，， 则实心球在空中的最大高度是米； （2）解：由（1）得抛物线的顶点坐标为， 则， 抛物线的解析式为， 将代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； （3）略； （4）解：由（1）知，抛物线对称轴为直线， ，分别位于对称轴两侧， 解得： ①如图，当时，， 即， 解得：或； 与相矛盾，故舍去， ； ②如右图，当时，， 即， 解得：或， 与相矛盾，故舍去， ， 综上所述，m的值为或． 27．(1)； (2)不会； (3)． 【分析】由题意得抛物线的顶点坐标为，且点在抛物线上，设该抛物线的函数解析式为，然后把代入即可求解； 将代入抛物线解析式，然后比较即可； 令，则，解得，从而求出机器人进行旋转表演的水平距离． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为，且点在抛物线上， 设该抛物线的函数解析式为， 把点代入得， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：不会， 将代入抛物线解析式，得， ∴机器人不会经过该灯光装置所在位置； （3）解：令，则，解得， ∴水平距离为（米）， ∴机器人进行旋转表演的水平距离为米． 28．(1) (2)由（1）知抛物线表达式为，出手点与落地点的水平距离，即点和点之间距离， 当时，， 解得，， 点坐标为或， ∵点在轴正半轴， ∴（不符合题意，舍去）， ， ， ， ， 小明此次练习能得满分． (3) 【分析】（1）根据题意写出坐标，待定系数法计算抛物线表达式． （2）根据（1）中的抛物线表达式求出轴交点坐标，对比交点到原点的距离和大小关系即可． （3）利用抛物线对称轴求出点关于对称轴对称点坐标，为了保证安全，即可求出横坐标范围， 【详解】（1）解：根据题意可知，抛物线的顶点为，点坐标为 设抛物线的顶点式为：， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：． （2）略 （3）由题意可知，抛物线的对称轴为直线， ， 点P关于抛物线对称轴对称的点的坐标为， ∵同学身高，为了保证安全，此时， 此时该同学所在位置的横坐标的取值范围为． 29．(1)； (2)． 【分析】（1）由题目所给条件可得点的坐标和抛物线顶点坐标，设出其顶点式，把点代入求解即可得到该抛物线的函数表达式； （2）题意为求点的坐标，令（1）中求得的函数表达式值为求解即可． 【详解】（1）解：由题可得，点的坐标为，该抛物线的顶点为， 设该抛物线的顶点式为， 把点代入得，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：令得， 两边同时乘以得， 因式分解得， 解得，， 点的坐标为， 水柱落地点与雕塑的水平距离为． 30．(1)， (2)米 【分析】（1）抛物线经过，对称轴为直线，再由待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的平移求出平移后的抛物线的表达式，再令，求出，即可求解半径． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线经过，对称轴为直线， ∴ 解得； ∴，； （2）解：由（1）可得原抛物线的表达式为， 配方可得， ∵现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变 ∴新抛物线的表达式为，即， 当时，， 解得，（舍去）， ∴（米） ∴改造后圆形喷水池的直径至少米． 31．(1)；洒水车喷出水的最大射程为 (2)点的坐标为 (3) 【分析】（1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得a的值，即可求得抛物线的解析式；令，求得x的值，即可确定最大射程； （2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，即可得点B的坐标； （3）求出的最小值为，的最大值为，得到的最大值为，从而确定的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得：，，且是上边缘抛物线的顶点， 设， 又抛物线过点， ，解得：， 上边缘抛物线的函数解析式为； 令，则，解得或（舍去）， 洒水车喷出水的最大射程为. （2）解：∵， ∴的对称轴为直线， 点的对称点为， 平移后仍过点， 是由向左平移得到的， ，点是由点向左平移得到的， 点的坐标为． （3）解：由题意可得，当点与点重合时，最小， 点的坐标为， ， 的最小值为， 当点在抛物线上时，最大，也最大 ， 点的纵坐标为， 当时，解得或（舍去）， 的最大值为， 的最大值为， 的取值范围为：． 32．(1)如图，建立平面直角坐标系． 函数表达式为； ②的取值范围为 (2)丙的平均速度为米/秒 【分析】（1）由题意得，，设函数表达式为：，把代入，即可求解； ②当时，，由题意得，，即可求解； （2）当时，，求得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，设函数表达式为：， 把代入，得， 解得， ∴函数表达式为：． ②当时，， 由题意得，， 当时，整理得，， 令， 当时，， 解得，， ∴的解集为； 当时，整理得，， 令， 当时，， 解得，， ∴的解集为或； 由题意得，， 综上所述，的取值范围为． （2）解：当时，， 解得，（舍去）， ∴丙的平均速度为（米/秒）． 33．(1)（） (2)①当低肥力麦田每亩的产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5千克；②15 【分析】（1）根据点是描述与关系的抛物线的顶点，则设，将点代入即可求解； （2）①根据二次函数的性质得到当时，取得最大值，此时，求出当时，的值，计算即可求解； ②根据二次函数的性质求出，的最大值，即可得到m的值，令，求出y的最大值，即可得到n的值，计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，点是描述与关系的抛物线的顶点， 设， 点在描述与关系的抛物线上， ，解得， 与的函数关系式为； （2）解：①． ∴，开口向下， 又， 当时，取得最大值，此时． 两种麦田每亩施氮量相同， 当时，， 此时． 答：当低肥力麦田每亩产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5千克． ②∵，， ∴的最大值为646，的最大值为309． ． 令 ， 当时，有最大值，为940． ， ． 34．(1) (2)米 【分析】（1）由题可设抛物线的表达式为，再代入点即可求解； （2）求出时，的值，再结合题意即可判断；设移动后警示牌内侧边缘（靠近原点一侧）的横坐标为，令，求出即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点的坐标为， 设抛物线的表达式为， 因为两塔底部、水平相距24米，且关于轴对称， 所以点的横坐标为， 又因为桥塔高度为13米，所以点的坐标为， 将点代入，得：， 解得：， 所以的表达式为：； （2）解：由题意可知，警示牌位于轴左侧，宽为2米，侧边点距离原点6米， 当时，(米)， 此时警示牌顶部距离主缆的距离为：(米)， 因为，所以当前警示牌位置不符合安全要求， 设移动后警示牌内侧边缘（靠近原点一侧）的横坐标为， 根据安全规范，主缆高度至少为米， 令，代入，得：， 解得， 因为警示牌在左侧，且需移动距离最小，故应向左移动，取， 原警示牌内侧边缘横坐标为， 所以移动距离为：(米)， 答：当前警示牌位置不符合安全要求，需要沿轴向左移动米． 35．(1) (2)①；②解：点是的顶点， 理由：如图，由①得抛物线的顶点坐标为，， 当点为的顶点时，即， ∵点是线段的中点， ∴， ∴，即， 将代入，得， ∴在抛物线的图象上， ∴点为的顶点． 【分析】（1）将的顶点坐标为和点A的坐标代入中即可解答； （2）①易求抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线（即轴），由题意可得点与点关于直线对称，，求出，将代入，得到，进而得到，求出，得到，即可解答；②由①得抛物线的顶点坐标为，，当点为的顶点时，即，根据中点坐标求出，判断点是否在抛物线的图象上，即可解答． 【详解】（1）解：∵的顶点坐标为， ∴， 将点代入得：， 解得：； （2）解：①抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，且抛物线的开口方向都向上， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线（即轴）， ∵直线与轴垂直， ∴点与点关于直线对称，， ∴， 将代入，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②略 36．(1) (2)的最大值为 (3)或 【分析】（1）根据抛物线的对称性可进行求解； （2）由题意易得，，然后可得，进而根据二次函数的性质进行求解即可； （3）由题意可知抛物线的对称轴为直线，开口向下，则可分：①当时，②当时，③当时，④当时，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线可知：对称轴为直线， ∵抛物线过点，， ∴这两点关于对称轴对称，即， ∴； （2）解：令，则有，解得：， ∴抛物线与x轴的交点横坐标为，， ∵点为线段上一点， ∴， 解得：， ∵过点P作x轴垂线，分别与抛物线和直线交于点M，N，且， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴的最大值为； （3）解：由题意可知抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 根据题意可知：当，时，的最小值应大于的最大值， 分析抛物线对称轴与和时三种关系， ①当时，如图， 此时，都有，符合题意； ②当时，且当时，此时当时，取得最小值，当时，取得最大值， ∴，解得：， ∴当时，恒成立， 当时，如图， 此时， 在上取得最大值，在上取得最小值， ∴，解得：， ∴当时，都有； ③当时，如图， 此时， 在上取得最大值，在上取得最小值， ∴，解得：， ∴当时，都有； ④当时，则， 若时，则的最大值大于，即不成立， 若时，如图， ∴当时，点C的纵坐标取得最大值，当时，点D的纵坐标取得最小值， ∴， 解得：； 综上所述：t的取值范围为或． 37．(1) (2)是定值，且 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，进而求出点坐标，设，求出的坐标，进而求出的长，计算即可得到结论． 【详解】（1）解：抛物线交轴于，两点， ， 解得，                                   抛物线的函数解析式为； （2）解：在中，当时，， ， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 抛物线的解析式为 对称轴为直线， 在中，当时，， ， 如图，设点， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入，得， 解得， 直线的解析式， 在中，当时，， ， ． 同理可得直线的解析式为，                      在中，当时，， ， ， ． ∴是定值，且． 38．(1) (2)a：2；b：或或 【分析】（1）根据抛物线与x轴交于点，称轴为求解即可； （2）a：先求出点C和点B的坐标，如图所示，连接交对称轴于P，连接，根据轴对称最短路径可知与抛物线对称轴的交点即为点P，进一步求解即可； b：当点P为直角顶点时，由对称性可知；当点B为直角顶点时，若点P在x轴的下方时，作于点H，设，对称轴与x轴交于点G，证明得，，则，代入函数解析式即可求解；若点P在x轴的上方时，作于点H，设，对称轴与x轴交于点G，同样的方法求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，称轴为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：a：当时，， ∴点C的坐标为． 当时，， 解得， ∴点B的坐标为， 如图所示，连接交对称轴于P，连接， 由轴对称的性质可知， ∴的周长为， 此时的周长最短， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为． ∴，， ∴； b：当点P为直角顶点时，如图， ∵点P在对称轴上， ∴此时点Q与点A重合，即； 当点B为直角顶点时， 如图，若点P在x轴的下方时，作于点H，设，对称轴与x轴交于点G， ∴． ∵． ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∴， ∴，代入抛物线解析式得， ， 整理得，， 解得（舍去），， ∴． 如图，若点P在x轴的上方时，作于点H，设，对称轴与x轴交于点G， 同理可证 ∴，， ∴， ∴，代入抛物线解析式得， ， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴． 综上所述，点Q的坐标为或或． 39．(1) (2) (3)点P的坐标为或 【分析】（1）设抛物线解析式为，利用待定系数法求解； （2）首先求出，，得到直线的解析式为，设，则，表示出，然后利用二次函数的性质得到当时，取得最大值为，然后求解即可； （3）首先表示出，然后根据题意分两种情况讨论，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点B，其顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， 当时，， ∴， 当时，， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵二次项系数， ∴当时，取得最大值为， ∴此时点P的坐标为， ∴， ∴； （3）解：由（2）得，，， ∴， ∵直线把的面积分成两部分， ∴当时， 解得（舍去），， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴点P的坐标为； 当， 解得（舍去），， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或． 40． 【分析】先利用点C坐标与对称轴为求出，再求出点D的坐标，进而分别求出点C、D到的距离，利用列出方程，求出、的值，从而求出抛物线的解析式． 【详解】解：如图，令直线与交于点F， 将点代入抛物线得：， 抛物线对称轴为， ， ， 抛物线解析式为， 将代入得：， ， 轴，点P的纵坐标为2， 、， 、， 抛物线的图象开口向下， ， ， ， ， ， 解得：， ， 抛物线的解析式为． 41．(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据待定系数法求出直线的解析式为，结合已知可得，，， ，则，，，则可求出，根据二次函数的性质得出当时，S有最大值，此时，即可求解； （3）根据题意判断出点C与点B是平移前后的对应点，则把原抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得出新抛物线，根据平移规律得出，则新抛物线的对称轴为直线，，根据角平分线的定义和平行线的性质可得出，根据等边对等角得出，设，根据两点距离公式得出，解方程即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得， ∴； （2）解：当时，， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点在第一象限，横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，点的横坐标为， ∴，，，Q的纵坐标为，则， 或 ∴，，， ∴ ， ∵， ∴当时，S有最大值， 此时， ∴； （3）解：∵抛物线沿射线方向平移，平移后，新抛物线过点， ∴相当于点C与点B是平移前后的对应点， 即把原抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得出新抛物线， ∴， ∴新抛物线的对称轴为直线，， ∵平分， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴的坐标为或． 或 42．(1) (2)3秒 (3)当时，四边形的面积最大，最大面积为 【分析】（1）根据抛物线过点，，对称轴是求解即可； （2）用待定系数法求出直线的解析式为，求出，根据四边形为平行四边形得．设，，得出求解即可； （3）根据列出函数解析式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，，对称轴是直线， ∴， 解得， ∴； （2）解：设直线的解析式为，把代入得， ， 解得． ∴． ∵， ∴， 当时，， ∴． ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． ∵过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P， ∴设，， ∴， 解得， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴； （3）解：由题意，得，则， 由（2）得，． ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，四边形的面积最大，最大面积为． 43．(1) (2)四边形面积的最大值为，此时点的坐标为 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）由一元二次方程根与系数的关系得，结合题意求出，，再利用待定系数法计算即可得出结果； （2）连接，过点作轴，交于点，求出，则，求出，当的面积取最大值时，四边形的面积最大，设，且，求出直线的解析式为，则点的坐标为，从而可得，再结合，计算即可得出结果； （3）设，则，分以下两种情况讨论：①点在直线下方时；②点在直线上方时，分别利用相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得，是方程的两根， ， 由， 解得， ，， ， 解得， 抛物线解析式为． （2）解：如图③，连接，过点作轴，交于点， 抛物线的对称轴为直线， ∴由（1）可得， ， 的面积为定值，， 当的面积取最大值时，四边形的面积最大， 设，且， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得， 直线的解析式为， 点的坐标为， ， ， ， 当时，面积最大为， 四边形面积的最大值为，此时点的坐标为． （3）解：设，则， 分以下两种情况讨论： ①如图④，点在直线下方时． 当，则， ， 解得（舍去），； 当，则， ， 解得（舍去），（舍去）， ②如图⑤，点在直线上方时． 当，则， ， 解得（舍去），； 当，则， ， 解得（舍去），． 综合①②可得点的坐标为或或． 【点睛】相似三角形的对应边成比例；采用分类讨论的思想是解此题的关键． 44．(1)； (2)①线段长度的最小值为；②． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①设，求得，利用二次函数的性质求解即可； ②设，，分别求得直线、，的解析式，分别求得点、、的坐标，再求得直线的解析式，求得点的坐标，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过和两点， ∴， 解得； （2）解：①由（1）得， ∴抛物线的解析式为， 设， ∴， 令，， ∴， ∴当时，线段长度的最小值为； ②设，， 设直线的解析式为， ∴， 则直线的解析式为， 令，则， 解得， ∴； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得，， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得，， 当时，， ∴， ∵，， 则直线的解析式为， 令，则， 解得， ∴； ∵，， ∴， ∴，的底边相同， ∴， ∴， ∴（舍去正值）， ∴ ∴直线的解析式为． 45．(1)该函数表达式为，点A坐标为 (2)是定值，为 (3) 证明：设， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 同理，直线， 直线， ∵直线与直线的交点始终在直线上， ∴设直线与直线的交点坐标为， ∴， ， ， ∴直线， ∵当时，， ∴直线必经过定点． 定点坐标为． 【分析】（1）求出点即可得抛物线的解析式，令可得点A的坐标； （2）设（），求出直线，与抛物线联立，求出，同理可求，再由求解即可； （3）求出直线，，的解析式，设直线与直线的交点坐标为，可得，即可解答． 【详解】（1）解：对于，令，则， ， ， 点， ， ， 即该函数表达式为， 令，则， 解得，， 点A坐标为； （2）解：如图， 设（） 设直线， 则， 解得， ∴直线， 与抛物线联立得 整理得 ∴ ∴ ∴ 同理可求直线， 与抛物线联立得 整理得， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴是定值，为． （3）略 46．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可求得，两点的坐标，再由中点坐标公式可求得点的坐标，设二次函数解析式的顶点式，再将点的坐标代入，即可求解； （2）设直线与轴交于点，过点作轴于点，从而求得，得到为等腰直角三角形，由，，得到，，利用待定系数法求得直线的解析式为，根据题意令，即可求解； （3）设，再根据顶点式可表示出和的解析式，由在抛物线上，在抛物线上，可得①，②，与③，联立即可确定点的坐标，再过点作轴于点，最后根据平行线分线段成比例列式计算即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点， ∴令，即，解得， 令，； ∴，， ∵点为线段的中点， ∴，即， ∵二次函数的“顶点弦”为线段，且点为顶点， ∴设二次函数解析式为， 将点代入，得，解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：设直线与轴交于点，过点作轴于点， ， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴点， 设直线的解析式为， 将点，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， ∴令，解得，（舍去）， ∴； （3）解：设， ∴，， ∵在抛物线上，在抛物线上， ∴①，②， ∵③， ∴联立①②③，得到，解得，（舍去）， ∴， 如图，过点作轴于点， ∴轴， ∴． 47．(1) (2) 【分析】（1）将代入中，进一步可得答案． （2）如图，记点关于轴对称点为，作直线交二次函数于点，此时，求解点坐标为，直线解析式为，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：将代入中， 得 ． 解得； （2）解：将代入中，得 ∴， 解得，， ∴点坐标为， 将代入中，得 解得， ∴点坐标为． 如图，记点关于轴对称点为，作直线交二次函数于点， 此时， ∵关于轴对称点为． ∴点坐标为． 设直线解析式为， 将、代入， 得， 解得， ∴直线解析式为． 联立方程， 解得，， ∴点坐标为． ∴． ∴的长为． 48．(1) (2) (3)最小值为1，或 【分析】（1）把，点分别代入解析式，计算即可． （2）取点，先证明，再计算直线的解析式，联立抛物线的解析式构造一元二次方程，解答即可． （3）确定直线的解析式为：，设，则，，则，，设，则点Q到直线的距离为，利用三角形面积相等，构造二次函数求值计算即可． 【详解】（1）解：把，点分别代入解析式，得 得， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：取点，作直线交抛物线于点Ｄ， ∵抛物线， ∴， ∵，点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点在直线上， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线的解析式为． 根据题意，得， 解得（舍去）， 当时，， 故． （3）解：设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 设，则，， ∴，，， 设， 则点Q到直线的距离为， ∵与的面积相等，， ∴ 解得； 故点Q到直线的距离为1； ∴， ∴或， 当时， 则， 又， ∴ ， 令， ∵， ∴函数p有最小值，且当时，p取得最小值1，此时的值最小为1； 此时，，Q点坐标． 当时， 则， 又， ∴ ， 令， ∵， ∴函数p有最小值，且当时，p取得最小值1，此时的值最小为1； 此时，，Q点坐标． 综上所述：线段长度的最小值为1，或 49．(1) (2)或 (3)或 (4)或 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式； （2）再结合直角三角形、等腰直角三角形的性质得到点坐标与线段关系，根据题目要求列方程或不等式求解；用到抛物线的单调性、坐标与线段长度的关系等初中知识点，逐步推导即可得到结果； （3）先求出的横坐标和纵坐标的范围，再将横坐标代入到抛物线中，根据与抛物线有交点可得，代入解不等式即可； （4）根据抛物线的解析式可知抛物线的对称轴和增减性，数形结合求出的取值范围，同时要注意不与坐标轴垂直时的的值即可． 【详解】（1）解：把代入，得，解得， ∴抛物线对应的函数表达式为． （2）解：抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点B横坐标为m， ∴ ， 由点在对称轴左侧，得， ∵，是 的斜边， ∴ ， 又∵轴， ∴轴，， ∵， ∴ ， ∴轴，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴ ，， ∴， 此时分两种情况讨论： ①， 解得， ∵， ∴ ； ② ， 解得， ∵， ∴ 由不与坐标轴垂直得，两个解均满足条件， ∴m的值为或． （3）解：∵是竖直线段， ∴横坐标为，纵坐标范围介于和之间， 若与抛物线有公共点，则抛物线在处的纵坐标需满足要求， ∴抛物线在处的纵坐标为， ∴， 代入整理得， ∴所有零点为，，，， 解得或， ∵不与坐标轴垂直， ∴，即， ∴m的取值范围是 或 ． （4）抛物线的对称轴为，当时随增大而减小，当时随增大而增大； 如图所示，当点在抛物线上时，即, 解得 如图所示，当时，抛物线在三角形内部随增大而增大， ∵不与坐标轴垂直， ∴， 解得， 当抛物线与三角形无公共部分在三角形的内部， 当时，抛物线在三角形内部也具有单调性， ∴的取值范围是或． 50．(1)m的值为2 (2)当x为0时，此二次函数有最小值5，当时，y随x的增大而减小 (3)新抛物线的顶点坐标为，存在，点的坐标为或或或或 【分析】（1）由二次函数定义可知，的指数必须等于 2，且二次项系数 ，由此解出 的值． （2）将代入函数解析式得，根据二次函数的顶点坐标公式和开口方向，可确定其顶点坐标、最小值及增减性． （3）由平移规律“左加右减、上加下减”得新抛物线顶点为，设，分别讨论、、三种情况，利用两点间距离公式列方程求解 值，即可得到所有满足条件的点的坐标． 【详解】（1）解：根据题意得，且， 解得， 所以的值为 2； （2）解：∵的值为 2， ∴， ∴二次函数的顶点坐标为， ∵， ∴当 时，此二次函数有最小值 5，当时，随的增大而减小； （3）解：∵，顶点坐标为， ∴将此二次函数的图象向左平移 3个单位长度，再向下平移1个单位长度， 平移后新抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 设， 则 ① 当时， ，解得 或 9， ∴ 点的坐标为或； ②当时， ，解得， ∴点的坐标为； ③ 当时， ，解得或， ∴点的坐标为或． 综上，点的坐标为或或或或． 51．(1) (2) (3)存在，P点坐标为或或或 【分析】（1）把两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）由抛物线的对称性可知点与点关于对称轴对称，所以与抛物线对称轴的交点为，此时最小，即最小值等于线段长，求出直线与抛物线对称轴交点坐标即可； （3）分两种情况讨论：i）当是以为腰的等腰三角形时，又可分两种情况讨论：①，②，设出点 P 的坐标，利用两点间的距离公式列出方程求解即可；ii）当是以为底的等腰三角形时，点 P 在的垂直平分线上，，利用两点间的距离公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：由抛物线的对称性可知点与点关于抛物线的对称轴对称， 设与抛物线对称轴的交点为，连接，此时最小，即最小值，如图， ， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，点与点关于抛物线的对称轴对称， ， 设直线解析式为， 则，解得， ∴直线解析式为， 当时，， ． （3）解：∵， ∴对称轴为直线， ， 设点的坐标为， ， ， 分两种情况讨论：i）当是以为腰的等腰三角形时，又可分两种情况讨论： ①若，则，解得（舍弃）或 6 ， 所以点的坐标为； ②若，则，解得， 所以点 P 的坐标为或； ii）当是以为底的等腰三角形时，， 则，解得：， 所以点的坐标为； 综上所述，点的坐标，分别是或或或． 52．(1)①；②点； (2) 【分析】（1）①先求解出函数解析式，并化为顶点式求解顶点坐标即可； ②先求解出直线的函数表达式，设出点E的坐标，根据的性质得到点M的坐标，再由点M在抛物线上，列式求解即可； （2）先得到抛物线的解析式和对称轴，再添加辅助线，平移至，使得点G的对应点为点F，点B的对应点为点，根据平移的性质得到四边形为平行四边形，则有当点A，点F，点三点共线时，取得最小值，得到点的坐标，利用，求解即可． 【详解】（1）解：①∵，，且． ∴，可得， ∴抛物线为， 化为顶点式为， 则该抛物线的顶点P的坐标为； ②由①知，抛物线为， 令，即，解得或， ∴点，点， 令，可得， ∴点， ∵过点C作x轴的平行线与抛物线相交于点D． ∴点D的纵坐标为， 则，解得或， ∴点， ∴， 设直线的函数表达式为， 将点与点代入函数表达式， 则，可得， ∴直线的函数表达式为， 以为边的如图， 则有， ∵顶点E在直线上， 设点， ∴点M的横坐标为，纵坐标为， ∴点， ∵点M在抛物线上， ∴， 整理可得，解得（舍）或， ∴点； （2）解：∵，则． ∴抛物线为， ∵点， ∴，可得， ∴抛物线为（）， ∴抛物线的对称轴为，点，点， 点F在抛物线的对称轴上，以为边作， 平移至，使得点G的对应点为点F，点B的对应点为点， 连接，，，如图， ∵，且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵点F在抛物线的对称轴上， ∴， ∴， 当点A，点F，点三点共线时，取得最小值， 即， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴，且， ∵， ∴， ∵点， ∴点， ∴，即， 可得，解得（负值舍掉） 即当取得最小值时，a的值为． 53．(1)， (2) (3)①或；②或 【分析】（1）当时，则，即可求出点B，进而可求出，当时，则，求出点A，B的坐标，进而可求出． （2）由全等三角形的性质得出点E在一三象限的角平分线上，即直线在一次函数上，又点E在二次函数解析式上，联立建立关于m的一元二次方程，求解即可得出m的值． （3）①过点作于点，过点作于点，由等腰直角三角形的性质得出，，根据三角形直角边小于斜边得出，根据一次函数的图象和性质求出点E的坐标，得出，进而可求出m的取值范围，最后结合题干m的范围得出最终的范围． ②分两种情况求解，四边形为矩形或者正方形，根据矩形或者正方形的性质结合四边形在直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半建立关于m的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：当时， 则， ∴， ∴， 当时，则， 解得：，， ∴，， ∴． （2）解：由（1）可知， 若， ∴， ∴点E在一三象限的角平分线上 ∴， ∴点E到x轴的距离等于点E到y轴的距离， 即直线在一次函数上， ∵是抛物线上一动点， ∴， 又∵在一次函数上， ∴， ∴ 解得：． （3）解：①过点作于点，过点作于点，如图， ∵， ∴， ∴，， ∵点和点到直线距离之和不超过， ∴， ∴，即， 设的解析式为， 则， 解得， ∴的解析式为， ∵， ∴直线的一次系数为， 故设直线的解析为， 把代入， 则， ∴， ∴直线的解析为， 把代入，得， ∴点， 又∵点， ∴， 则，解得 或， ∵， ∴，或； ②根据题意可知四边形为矩形或者正方形， ∵，点，点， ∴，， 根据题意可知当时，四边形为正方形，且在直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半，如图， 则，解得，或， ∵点在对称轴右侧的抛物线上， ∴， ∴； 设线段与直线交于点I，线段与直线交于点K，根据题意可知当时，四边形为矩形，且在直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半，如图， 同理可得，点，点，点， ∵直线的解析式为， ∴点，点， 则，解得，或， ∵， ∴， 综上所述，当或时，四边形在直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何的结合，难度较大，涉及二次函数的性质、全等三角形的判定和性质、一次函数的解析式和性质、等腰三角形的性质和判定、解不等式、正方形的性质和矩形的性质等知识点，解题的关键是熟悉二次函数的性质和特殊四边形的性质，以及动态思想的应用． 54．(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）把点，代入列方程计算即可； （2）设，根据Q在射线上，且，可得，再把代入解方程即可； （3）二次函数与y轴交于点，对称轴为直线，顶点，当时y随x的增大而减小，再根据，，，分情况讨论，分别画出以为对角线作矩形，结合图形分析即可． 【详解】（1）解：把点，代入得， 解得， ∴抛物线的解析式； （2）解：设， ∵Q在射线上，且， ∴点横纵坐标分别乘以得到点横纵坐标，即， ∵点Q也在抛物线上， ∴， 整理得， 解得， 当时，，，此时； 当时，，，此时； ∴或； （3）解：设点P的横坐标为m，则，， ∵以为对角线作矩形，且轴， ∴，， 二次函数与y轴交于点，对称轴为直线，顶点， ∴当时y随x的增大而减小， 当时，以为对角线作矩形如图所示： ∵抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小， ∴， 解得， 此时； 当时，以为对角线作矩形如图所示： 此时抛物线在矩形内部没有点，不合题意； 当时，以为对角线作矩形如图所示： 此时抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小，即； 当时，以为对角线作矩形如图所示： 此时抛物线在矩形内部的点的纵坐标既有随x的增大而减小也有随x的增大而增大，都不合题意； 综上所述，当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，m的取值范围为或． 55．(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）根据题意列方程组，解方程组得到该抛物线的解析式为； （2）先化为顶点式，由对称轴公式求解即可； （3）根据点是抛物线上的一个动点，与的面积相等，于是得到或经过的中点，进而求解即可； （4）设直线的解析式为，解方程得到直线的解析式为，由题意，，则，根据已知条件得到是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，求得，得到，①当时，②当时，根据相似三角形的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点， ∴ 解得， ∴该抛物线的解析式为， （2）解：， ∴该抛物线的对称轴为直线； （3）解：∵抛物线与轴交于点， ∴)， ∵点是抛物线上的一个动点，与的面积相等， ∴当时或当经过的中点时满足条件， 当时，点B、点D关于直线对称， ∴点的横坐标为2，即； 当经过的中点时，设中点为，则， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为， 联立方程组，解得，， ∴点D的横坐标， 综上，或； （4）解：设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 由题意，，则，，如图， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ①当时， 则， ∴ 解得 ∵， ∴； ②当时， 则， ∴， 解得或 (不合题意舍去)， 综上，或． 56．(1) (2)①点的坐标为或；②点的坐标为或． 【分析】（1）将、两点坐标代入抛物线，列出关于a和b的方程组求解即可；（2）①设，由点和点可得的表达式，分两种情况：当时和当时根据相似三角形的性质求解即可； ②如图，过点B作的角平分线分别交y轴、抛物线于点M、P，在x轴的下方作，设点M的坐标为，求出点M的坐标，得出直线的解析式，联立方程，求出点P的坐标，同理可得点． 【详解】（1）解：将、两点坐标代入抛物线解析式， 可得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）①设， 由点和点可得的表达式：， 则， ， 轴，轴， ， （Ⅰ）当时，， 则， ， ； （Ⅱ）当时， ， 则， ， ， ∴当与相似时，点的坐标为或； ②如图，过点B作的角平分线分别交y轴、抛物线于点M、P，过作交于，在x轴的下方作，设点M的坐标为， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即， 解得， ∴点M的坐标为， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴点P的坐标为， 由作图可知，M与点N关于x轴对称， ∴点N的坐标为， 同理可得点的坐标为， 综上点P的坐标为或． 57．(1)点的坐标为 (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）令，解得，依据点在点的左侧求出点的坐标； （2）设交点式，把代入即可求得解析式； （3）由与相似得是等腰直角三角形，分两种情况结合题目条件求点的坐标． 【详解】（1）解：令，代入： ， ， 因式分解：， 解得：， 在左侧， ． （2）解：共根抛物线过、，设交点式： ， 把代入： ， ， ， 展开解析式： ， ． （3）解：， 顶点，对称轴：； 是与轴交点，令，， ， 已知，，， 则为等腰直角三角形，， 又， 也是等腰直角三角形， 过、，设： ， 顶点，在直线上，为竖直线段： ， 在上、对称轴左侧，是等腰直角三角形， 由题意，，则存在两种情况： ①， 则， 又竖直， 则水平， 因为， 所以横坐标：，纵坐标， 在：上，， ，， 则， 解得或， 点的坐标为或（与点重合，舍去）； ②， 则 因为， 所以横坐标：，纵坐标， 在：上，，，， 则， 解得或， 点的坐标为或（与点重合，舍去）， 综上，点的坐标为或． 58．(1)， (2)①；② 【分析】（1）根据题意求得抛物线对称轴为，根据对称轴在轴右侧得出，分情况讨论，当对称轴在时，求得最小值和最大值，进而求得的值，当对称轴时，同理求得最值，根据是整数进行取舍，即可求解； （2）①联立直线与抛物线得出，根据题意得出且，，解不等式组，求得的范围，即可求解； ②分别表示出，，，将代入，进而根据建立方程， 解方程，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线开口向上， 对称轴为， 由对称轴在轴右侧得 ∴ ∵当时，的最小值为，最大值为 情形一：当对称轴在时，即， 又 ∴ ∴最小值为，即最小值在顶点处，得：，即① 最大值在或， 当时，， 代入①解得：，或，（舍去） 当时，， 代入①解得：（舍去）或（舍去） 情形二：当对称轴时，即 ∴， ∴最大值为时， 最小值为时， 解得：，不是整数， 综上所述，，； （2）解：①联立直线与抛物线 得 ∵直线与抛物线在范围内有两个交点， 设， ∴且， 解 ∴或 解得： 解得 综上所述： ②设的面积为，的面积为，， ∵在上， ∴，，， ∴，， 又∵，则 ∴ ∴ ∵ ∴① ∵在的左侧 ∴，则 ∴ （i）当时， ∴ 当时， 解得：（舍去） （ii）当或时， ∴ 当时， 解得： 59．(1) (2)或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分两种情况进行讨论，抛物线向左平移或者向右平移，根据平移规律可得新抛物线解析式，结合函数图象的性质求解即可． 【详解】（1）解：代入，得： ， 解得：， 故表达式为． （2）解：∵， ∴原函数顶点为 ， 当向左平移时，则新函数解析式为，此时对称轴为直线， ∵， ∴， ∵新函数图象开口向上， ∴时新函数的函数值大于时新函数的函数值， ∴当时，函数取得最大值8， 即， 解得：（舍去）； ∴； 当向右平移时，则新函数解析式为，此时对称轴为直线， 而， 当，即时，，且新函数图象开口向上， 即时新函数的函数值大于时新函数的函数值， ∴当时，函数取得最大值8， 即， 解得：，两个值均不符合题意，舍去； 当，即时，，且新函数图象开口向上， 即时新函数的函数值大于时新函数的函数值， ∴当时，函数取得最大值8， 即， 解得：（舍去）， 综上，满足题意的n的值为或． 60．(1)顶点坐标为 (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再将其化为顶点式，即可解答； （2）根据抛物线的性质求解即可； （3）求出直线的解析式为，将抛物线向上平移个单位（）得到，①当直线l与抛物线相切时，图形与直线有且只有一个公共点；②直线l在图形G的左端点下方，右端点上方时，图形与直线有且只有一个公共点．据此分别求解即可． 【详解】（1）解：将，代入抛物线得 ，解得， ∴抛物线为， ∴顶点坐标为； （2）解：，， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，抛物线中随增大而减小，当时，随增大而增大， 当时，先随增大而减小，后随增大而增大， ， 解得； （3）解：设直线的解析式为， 将，代入得，解得， 直线的解析式为， 将抛物线向上平移个单位（）得到图形． ①当直线l与抛物线相切时，图形与直线有且只有一个公共点 如图， 则联立，得， 则该方程有两个相同的实数根， ∴， 解得， 此时抛物线， 解方程组得， ∴图形与直线的公共点为，满足当； ②当时，对于直线l有， 图形有， 当时，对于直线l有， 图形有， ∵图形与直线有且只有一个公共点， ∴，解得． 综上所述，的取值范围为或． 61．(1) (2)（i）；（ⅱ）当时，；当时，． 理由如下：由（i）得，已知，显然成立， 令，解得， 也就是说，当时，恒成立， 故只用讨论的情形： 时，，故整数点只有， ，； 时，，故整数点有， ，； 时，，故整数点有， ，； 时，，故整数点有， ，； 时，，故整数点有， ，； 综上所述，当时，；当时，． 【分析】（1）根据抛物线解析式求出抛物线与轴的两个交点，再根据对称性代入对称轴横坐标，即可求出顶点纵坐标； （2）（i）根据点的纵坐标，令求出，即可求出 （ⅱ）根据（i）求出，那么不可能超过，令，可知时，恒成立，故只用对依次分类讨论即可． 【详解】（1）解：令，求得抛物线与轴的两个交点为， 则抛物线的对称轴为， 把代入抛物线解析式得 解得，即为抛物线顶点的纵坐标． （2）解：（i）令，可得， 即， ， 故解得， ； （ⅱ）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $