21.4 二次函数的应用【五大题型】专项练习 2026--2027学年沪科版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数应用五大高频题型，通过典例与变式构建从实际情境到函数模型的转化体系，强化数学建模与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |抛物线型问题|1例+5变式|含喷灌、投篮、机器人运动等情境，涉及顶点坐标、解析式及实际验证|以二次函数顶点、解析式求解为核心，关联最值、几何图形性质，形成“情境抽象-模型建立-求解验证”逻辑链| |拱桥问题|1例+4变式|涵盖河道拱桥、锅盖、碗壁等截面，考查抛物线解析式与水位变化| |面积问题|1例+5变式|结合动点探究三角形、四边形面积最值，涉及坐标几何转化| |方案选择问题|1例+3变式|含窗口排队、租车、销售方案，需建立函数关系优化决策| |利润问题|1例+3变式|围绕销售单价、销量与利润关系，求解最大利润及方案比较|

九年级上册21.4二次函数的应用【五大题型】 【沪科版数学2024】 【题型一 抛物线型问题】 1 【题型二 拱桥问题】 5 【题型三 面积问题】 7 【题型四 方案选择问题】 10 【题型五 利润问题】 12 【题型1抛物线型问题】 【例1】（2025-2026学年人教版九下期末练习） 如图①，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线.图②是喷射出的水 流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点O处，喷水头的高度(喷水头距喷灌架 底部的距离)设置的是1米，当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度 5米. (1)水流运行轨迹的顶点坐标为 ； (2)求水流运行轨迹的函数解析式； (3)若在距喷灌架水平距离12米处有一棵3.4米高的果树AB，问：水流是否会碰到这 棵果树?请通过计算说明. 【变式1-1】（2025-2026合肥48中九上期末）某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系. (1)求出抛物线的解析式： (2)若队员与篮圈中心的水平距离为7m，篮圈距地面3m，问此球能否准确投中? 【变式1-2】（2026合肥瑶海三模数学）综合与实践 【实践背景】某游乐园计划新建一个小型过山车项目.过山车的轨道由多段抛物线组成，保证车厢在重力作用下平稳运行.如图1，某段轨道的起点站台A和终点站台C等高，均垂直于地面基座BD，以点B为坐标原点，BD所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系.经设计，该段轨道的纵向截面轮廓符合抛物线其中y表示轨道上某点离地而基座的高度(单位：米).数学实践小组围绕过山车的设计参数测算、轨道改造与安全优化开展探究活动，请你参与并完成下列任务. 【实践任务一】轨道最低点安全高度测算 过山车轨道的最低点不能过低，否则会影响下方通道的安全.请你求出该段轨道最低点离地面的距离，并验证其是否满足“轨道下方最低安全高度不低于1.8米”的设计要求. 【实践任务二】轨道分段改造设计 为增加过山车的趣味性，工程师决定在与起点站台AB相距3米的位置增设一根垂直于地面的支撑杆EF(如图2)，将原轨道截断并重新连接，形成左右两段独立的抛物线轨道(和设计规范要求：左边抛物线轨道(的最低点与支撑杆EF相距1米，且离地面高度为2米.请求出支撑杆EF的高度. 【实践任务三】轨道位置的调整与优化 为提升过山车的刺激程度，现将支撑杆EF的高度提升为4米，并调整其在基座上的水平位置.已知调整后右边抛物线轨道(的二次项系数始终为设EF与AB的距离为n米，为保证运行安全，要求抛物线轨道(上所有点离地面的高度都不低于2米.求n的最小值. 【变式1-3】（2025-2026学年安徽省九年级期末A20联盟） 青蛙起跳后的运动路线为抛物线.某仿青蛙机器人从水平地面起跳并落回地面，其运动路线的最高点距地面40cm，起跳点与落地点的水平距离为80cm.如图①，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线，仿青蛙机器入在水平地面上的起跳点为O，落地点为M.以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系. (1)写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式. (2)已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变.如图①，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P(0，50)处起跳，落地点Q在x轴的正半轴上.求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长. (3)仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于2cm，才能安全通过.如图②，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD，其中.AB =45cm,BC=30cm,CD=40cm.仿青蛙机器人从距离AB左侧30cm处的地面起跳,发现不能安全通过该障碍物.如图③，若团队人员想放置一个平台，使仿青蛙机器人从平台上起跳，且能够刚好安全通过该障碍物.请直接写出该平台的高度(平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内). 【变式1-4】（2025-2026河南禹州九上期末）无限少年·2025年河南省青少年羽毛球公开赛暨河南省羽毛球队苗子选拔赛(禹州站)4月20日在禹州市体育公园收拍落幕.中小学羽毛球热潮席卷校园，某学校计划组织羽毛球赛.甲、乙两名同学在羽毛球场训练，建立如图所示的平面直角坐标系，在羽毛球飞行过程中，记羽毛球的竖直高度为y(单位：m)，羽毛球与点O的水平距离为x(单位：m). 甲同学发球后到乙同学击球前，羽毛球的竖直高度y与水平距离x近似满足二次函数关系，部分对应数据如下： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 竖直高度y/m 0.9 2.4 3.3 3.6 3.3 根据以上数据，回答下列问题： (1)①甲同学发球后到乙同学击球前，羽毛球飞行到最高点时，竖直高度y为 m，此时水平距离x为 m； ②求y与x的函数关系式. (2)若甲发球过网后，乙在羽毛球与点O 的水平距离为5m 时第一次击球.根据以往经验，乙有两种击球方式.以方式一击球，羽毛球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=0.7x+n;；以方式二击球，羽毛球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系以上两种击球方式均能使球过网后落地.选择方式 击球(填“一”或“二”)，落地点与点O的水平距离更大，并说明理由. 【变式1-5】（2026山东中考数学） “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景(如图1).甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分(以下“花枪”均指花枪的中点). (1)如图2，甲站在地面的O点处，从距离地面高的A点踢出花枪，A点与O点的水平距离OB是花枪飞行到与O点水平距离3m的C处达到最高，高度为3m. ①设花枪离地面的高度为y(m)，到O点的水平距离为x(m).请建立平面直角坐标系，并求y关于x的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与O点水平距离dm处接花枪，能接到的高度最大为最小为求d的取值范围. (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪.已知花枪飞行高度h(m)与时间t(s)之间的关系式是丙在距花枪落地点5m处沿直线运动到花枪落地点.求丙的平均速度. 【题型2拱桥问题】 【例2】如图，某小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16m,AE=8m,， 抛物线的顶点C到ED的距离是11m.以ED所在的直线为x轴， 抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系. (1)求抛物线的解析式； (2)已知从某时刻开始的40h内，水面与河底ED的距离h(单位：m)随时间t(单位：h)的变化满足函数关系且当水面到顶点C的距离不大于5m时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行? 【变式2-1】（2025年南京联合体九上期末） 如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面宽AB为16m，当水位上升1.4m时,水面宽CD为12m. （1）把桥拱看作一个二次函数的图像，以AB所在的直线为x轴，以AB的中点O为原点建立如图①所示的平面直角坐标系，求这个函数的表达式； （2）有一艘装满货物的船，露出水面部分的高为0.5m，宽为7.5m(横断面如图②)，以5km/h的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥40km时，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.25m,如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥?说明理由. 【变式2-2】（2026年长安区初三一模）如图1是家里常用的炒菜锅，其主视图可抽象为图2中的几何图形，已知其中经过锅心和盖心的纵截面是两段抛物线组合而成的封闭图形.锅口和锅盖贴合面的直径AB=32cm,锅深(OD=12cm,锅盖的高度(OC=4cm,，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点C、D在y轴上. (1)求锅盖所在抛物线的函数表达式； (2)若在锅里平放一个直径为16cm的圆盘，圆盘的边缘P、Q两点在炒菜锅所在的抛物线上(点P、Q关于y轴对称,PQ=16cm),求点P到锅盖的竖直高度. 【变式2-3】（2025-2026合肥瑶海38中九上期中）苏州自古以桥梁之盛闻名内外，素有东方威尼斯之称.如图是抛物线形拱桥，当拱顶距水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加 m. 【变式2-4】（2025-2026合肥瑶海38中九上期中）如图1是我们生活中常见的一只碗， 图2是从正面看到的碗的形状示意图，碗壁近似呈抛物线形，该抛物线关于碗口AB的垂直 平分线对称，且碗底MN与碗口AB平行，C、D均在抛物线上，(已知 以MN所在直线为x轴，过点A且垂直于MN的直线为y 轴建立平面直角坐标系，碗壁抛物线满足关系式(b、c为常数). (1)求点B的坐标； (2)若碗中装入一定量的水，水面，且EF与AB之间的距离为求水面的宽度EF 【题型3面积问题】 【例3】（2025-2026人教版九上周测练习） 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C. (1)求A和B的坐标; (2)点D为第一象限内抛物线上一动点，连接BD，CD. ①当点D运动到何处时，CD=BD?请直接写出点D的坐标： ②当点D运动到何处时，的面积最大?求出点D的坐标和面积的最大值. 【变式3-1】（2025-2026合肥瑶海38中九上期中）如图，已知抛物线过点A(-2,-2),点B(6,-6). (1)该抛物线的顶点坐标为 . (2)点C是AB上方抛物线上一动点(不与点A，B重合)，连接AC，BC，则面积的最大值为 . 【变式3-2】如图，抛物线与x轴交于点A(-1,0)和点B(4,0),与y轴交于点C,顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴交于点E. (1)求抛物线的表达式； (2)点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，若求点P的坐标； 【变式3-3】在平面直角坐标系中，过点A(3，4)的抛物线与x轴交于点B(-1,0),与y轴交于点C,过点A作轴于点D. (1)求抛物线的解析式. (2)如图1，点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，连接PD交AB于点Q，连接AP，当时，求点P的坐标. 【变式3-4】在已知抛物线经过点A(-4,0)、B(1,0)、C(0,4). (1)求抛物线解析式和直线AC的解析式； (2)如图(1)，若点P是第四象限抛物线上的一点，若求点P的坐标； (3)如图(2)，点M是直线AC上方抛物线上的一个动点(不与A、C重合)，过点M作MH垂直AC于点H，求MH的最大值. 【变式3-5】（2025-2026山西九年级上册期末练习）综合与实践 问题情境： 学校有一块矩形空地，空地中有一条小路可近似地看成抛物线的一部分，该抛物线的顶点在矩形空地的长边上.为了将此矩形空地加以利用，设置课外活动区和劳动实践区，其余部分为绿化区域，现面向全体同学征集设计方案. 方案设计： 小慧同学设计了如下方案： 第一步，如图1，在矩形OABC中，(OA=8m,，以OA边所在直线为x轴，OC边所在直线为y轴建立平面直角坐标系，其中抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点D，抛物线的顶点G在矩形OABC的BC边上.根据测得的数据得到小路所在抛物线的函数表达式为 第二步：如图2，连接AD，将其作为小路，在线段AD上取一点F，过点F作轴与抛 物线交于点E，连接DE，将设置为课外活动区. 第三步：如图2，在线段AD上取一点M，过点M分别作轴于点H，y轴于点N，将四边形MNOH设置为劳动实践区. 问题解决： (1)请直接写出直线AD的函数表达式. (2)①当是以EF为底边的等腰三角形时，求所设置的课外活动区底边EF的长; ②求所设置的劳动实践区(四边形MNOH)的最大面积. (3)在满足(2)的条件下，请直接写出学校此矩形空地中绿化区域的面积.(小路的面积忽略不计) 【题型4方案选择问题】 【例4】（2025-2026年九年级宣城一模） 【问题背景】今年11月份以来，广德“三件套”越来越火，全国各地游客纷纷来广德打卡，让“卡旺卡”供不应求，每天都有数百人在门口排队.数学小组对排队现象进行了研究，因条件有限仅研究了排队人数与工作窗口数之间的关系. 【研究条件】 条件1：门店内各窗口分别设置、互不影响； 条件2：顾客进店购买时都满足：排队人数w=现场总人数y-已购买人数； 条件3：由于条件限制开，门店最多开放8个窗口，平均每个窗口每分钟可完成购买6人. 【模型构建】门店开业后，经研究发现，现场总人数y与营业时间x之间满足函数关系式： 【模型应用】 (1)当开通4个窗口时，营业时间x分钟时，已购买人数为 ，排队人数w与营业时间x的函数关系式为 (2)在(1)的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少? (3)市文旅出于安全方面考虑要求： ①排队人数在开始营业10分钟(包括含10分钟)减少； ②门店老板由于场地受限，出于安全考虑，要求尽量少安排窗口，以节省开支.若同时满足以上两个要求，可开设几个窗口，请说明理由? 【变式4-1】 某商品的进价为20元每件，售价为25元每件时，每天可卖出250件.市场调查反映，如果 调整价格，一件商品每涨价1元，那么每天要少卖出10件. (1)求出每天所得的销售利润w(单位：元)与每件涨价x(单位：元)之间的函数解析式； (2)求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大； (3)商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案. 方案A：每件商品涨价不超过5元； 方案B：每件商品的利润至少为16元. 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由. 【变式4-2】（2026武汉四调）学校计划租用客车送师生到劳动基地开展实践活动.收集信息如下： 信息1：客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，3辆A型客车载客人数和2辆B型客车载客人数相同，2辆A型客车和3辆B型客车共载客260人. 信息2：A型客车租车费用固定为1200元/辆；B型客车租一辆车的费用为2150元，每多租一辆，B型客车租车单价减少50元. 信息3：学校参加实践活动的师生共有950人；租用A，B两种型号客车共20辆，其中A 型客车不少于9辆. 问题解决 (1)求A，B两种型号每辆车满员时的载客人数； (2)设租用B型客车x(单位：辆)，本次实践活动的租车总费用是W(单位：元)，求W与x的函数关系式；(租车总费用=租用A型客车的费用+租用B型客车的费用) (3)设计一种方案，使本次实践活动的租车总费用最少，请说明理由. 【变式4-3】（2026年云南盘龙区模拟）请你根据下列素材，完成有关任务. 背景 云南七彩紫洋芋，亮如紫玉、口感香糯，表皮黑紫、果肉带深紫花纹，耐储存且营养丰富，富含多种人体必需微量元素，是健康饮食的优质选择.近年来，云南多地因地制宜发展其种植产业，在乡村振兴路上焕发出强劲动力. 素材一 某社区种植户今年种植的七彩紫洋芋喜获丰收，采挖上市15天全部售罄，该社区种植户对销售情况进行统计后发现，在该七彩紫洋芋上市第x天时，日销售量P(单位：千克)与x之间的函数关系式为 素材二 七彩紫洋芋单价y(单位：元/千克)与x之间的函数关系如图所示. 请完成下列任务： 任务一 当0<x≤15时，求y与x之间的函数关系式； 任务二 该社区种植户售卖七彩紫洋芋的第一周(即(，到第几天时，售卖日销售额最高?最高日销售额为多少元? 【题型5利润问题】 【例5】（2024-2025学年合肥45中九上期末） 项目主题：吴山贡鹅的最优销售单价. 项目背景：吴山贡鹅是安徽省合肥市的一道传统名菜，属于徽菜系.吴山贡鹅源于唐朝乾隆年间，已有千年历史.唐末五代十国时期，合肥人民以当地特产鹅配美味佐料制成卤鹅进贡给吴王杨行密，吴王食之大悦，称之为“贡品”，从此吴山贡鹅名扬天下.某校学习小组以探究“吴山贡鹅的最优销售单价”为主题展开项目学习. 驱动任务：探究吴山贡鹅销售总利润与销售单价的关系. 研究步骤： (1)学习小组到合肥某特产专卖店了解到吴山贡鹅的成本为80元/千克； (2)该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对吴山贡鹅的销售量进行统计(不考虑其他因素)； (3)数据分析，得出结论. 收集数据： 贡鹅销售单价x(元/千克) … 130 135 140 145 150 … 每月销售数量y(千克) … 560 520 480 440 400 … 问题解决：请根据此项目实施的相关信息完成下列任务： (1)根据表中信息可知：该吴山贡鹅每月的销售数量y(千克)是吴山贡鹅的销售单价x(元/千克)的 函数(选填“一次”或“二次”)，y与x的函数关系式为 ; (2)吴山贡鹅的单价定为多少时，才能使吴山贡鹅的每月销售利润w(元)最大，并求出最大利润. 【变式5-1】（2025-2026温州九上期末练习）中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗.今年中秋节期间，某商家以50元/盒的价格购进一批某品牌月饼.在销售中，该商家发现售价定为80元/盒时，每天可售出100盒：售价每降低1元/盒时，每天可多售出5盒，设该品牌月饼售价降低x元/盒时，商家每天销售该品牌月饼的利润为y元. (1)求出y关于x的函数解析式； (2)要使每天销售该品牌月饼的利润为3120元，为了尽快减少库存，每盒月饼的售价应定为多少元? (3)每盒月饼的售价定为多少元时，每天销售该月饼获得利润最大?最大利润是多少? 【变式5-2】（2025-2026学年徐州九上期末仿真）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升，书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元，根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元. (1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y(本)与销售单价x(元)之间的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当销售单价定为多少时，书店每天销售利润最大?最大利润为多少元? (3)书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值. 【变式5-3】(2025-2026南京求真中学月考）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y(件)与售价x(元/件)(x为正整数)之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据： x(元/件) 4 5 6 y(件) 10000 9500 9000 (1)y与x的函数关系式是 (不求自变量的取值范围)； (2)在销售中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件.若某一周该商品的销售量不于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元? (3)抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大.则m的取值范围为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上册21.4二次函数的应用【五大题型】 【沪科版数学2024】 【题型一 抛物线型问题】 1 【题型二 拱桥问题】 7 【题型三 面积问题】 11 【题型四 方案选择问题】 17 【题型五 利润问题】 20 【题型1抛物线型问题】 【例1】（2025-2026学年人教版九下期末练习） 如图①，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线.图②是喷射出的水 流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点O处，喷水头的高度(喷水头距喷灌架 底部的距离)设置的是1米，当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度 5米. (1)水流运行轨迹的顶点坐标为 ； (2)求水流运行轨迹的函数解析式； (3)若在距喷灌架水平距离12米处有一棵3.4米高的果树AB，问：水流是否会碰到这 棵果树?请通过计算说明. 【答案】（1）（8,5） （2）设该水流运行轨迹的函数解析式为 将（0，1）代入，得1= 解得 ∴水流运行轨迹的函数解析式为 （3）令x=12时， ∵4＞3.4 ∴水流不会碰到果树 【变式1-1】（2025-2026合肥48中九上期末）某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系. (1)求出抛物线的解析式： (2)若队员与篮圈中心的水平距离为7m，篮圈距地面3m，问此球能否准确投中? 【答案】 (2)此球一定能投中 【变式1-2】（2026合肥瑶海三模数学）综合与实践 【实践背景】某游乐园计划新建一个小型过山车项目.过山车的轨道由多段抛物线组成，保证车厢在重力作用下平稳运行.如图1，某段轨道的起点站台A和终点站台C等高，均垂直于地面基座BD，以点B为坐标原点，BD所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系.经设计，该段轨道的纵向截面轮廓符合抛物线其中y表示轨道上某点离地而基座的高度(单位：米).数学实践小组围绕过山车的设计参数测算、轨道改造与安全优化开展探究活动，请你参与并完成下列任务. 【实践任务一】轨道最低点安全高度测算 过山车轨道的最低点不能过低，否则会影响下方通道的安全.请你求出该段轨道最低点离地面的距离，并验证其是否满足“轨道下方最低安全高度不低于1.8米”的设计要求. 【实践任务二】轨道分段改造设计 为增加过山车的趣味性，工程师决定在与起点站台AB相距3米的位置增设一根垂直于地面的支撑杆EF(如图2)，将原轨道截断并重新连接，形成左右两段独立的抛物线轨道(和设计规范要求：左边抛物线轨道(的最低点与支撑杆EF相距1米，且离地面高度为2米.请求出支撑杆EF的高度. 【实践任务三】轨道位置的调整与优化 为提升过山车的刺激程度，现将支撑杆EF的高度提升为4米，并调整其在基座上的水平位置.已知调整后右边抛物线轨道(的二次项系数始终为设EF与AB的距离为n米，为保证运行安全，要求抛物线轨道(上所有点离地面的高度都不低于2米.求n的最小值. 【答案】解：【实践任务一】将二次函数变形，得 ∴抛物线开口向上. ∴当x=4时,y取得最小值2. ∵2>1.8，∴该段轨道满足“轨道下方最低安全高度不低于1.8米”的设计要求. 【实践任务二】由题意，得的顶点坐标为(2，2). 设抛物线的表达式为 易得点A(0,4),将(0,4)代入,得 解得的表达式为当x=3时, ∴支撑杆EF的高度为2.5米 【实践任务三】由题意,得点E(n,4),C(8,4). ∵抛物线过点E,C,的对称轴为直线 设的表达式为 ∵抛物线开口向上，∴要使(上所有点离地面高度都不低于2米，只需 将点C(8,4)代入,得 (关键点)解得 ∵0<n<8,∴4≤n<8,∴n的最小值为4. 【变式1-3】（2025-2026学年安徽省九年级期末A20联盟） 青蛙起跳后的运动路线为抛物线.某仿青蛙机器人从水平地面起跳并落回地面，其运动路线的最高点距地面40cm，起跳点与落地点的水平距离为80cm.如图①，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线，仿青蛙机器入在水平地面上的起跳点为O，落地点为M.以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系. (1)写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式. (2)已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变.如图①，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P(0，50)处起跳，落地点Q在x轴的正半轴上.求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长. (3)仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于2cm，才能安全通过.如图②，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD，其中.AB =45cm,BC=30cm,CD=40cm.仿青蛙机器人从距离AB左侧30cm处的地面起跳,发现不能安全通过该障碍物.如图③，若团队人员想放置一个平台，使仿青蛙机器人从平台上起跳，且能够刚好安全通过该障碍物.请直接写出该平台的高度(平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内). 【答案】 (1)解：∵其运动路线的最高点距地面40cm，起跳点与落地点的水平距离为80cm， ∴顶点N的坐标为(40,40), 设抛物线的函数表达式为 ∵图像过原点， ∴ 解得： (2)解:∵抛物线的形状不变,P(0,50), ∴新的抛物线可以看作由开始的抛物线向上平移了50个单位长度得到的， ∴新的抛物线的表达式为 当y=0时， 解得：(舍去), 故起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长为100cm； (3)解：设直线AD的函数表达式为y=ax+b, 由题意,A(30,45),D(60,40), 将A(30,45),D(60,40)代入得: 解得： 则 设该平台的高度为cm， 由题意，设从平台起跳的函数表达式为 设 由题意知， ∴当x=60时，w取最小值为 解得 ∴该平台的高度为12cm. 【变式1-4】（2025-2026河南禹州九上期末）无限少年·2025年河南省青少年羽毛球公开赛暨河南省羽毛球队苗子选拔赛(禹州站)4月20日在禹州市体育公园收拍落幕.中小学羽毛球热潮席卷校园，某学校计划组织羽毛球赛.甲、乙两名同学在羽毛球场训练，建立如图所示的平面直角坐标系，在羽毛球飞行过程中，记羽毛球的竖直高度为y(单位：m)，羽毛球与点O的水平距离为x(单位：m). 甲同学发球后到乙同学击球前，羽毛球的竖直高度y与水平距离x近似满足二次函数关系，部分对应数据如下： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 竖直高度y/m 0.9 2.4 3.3 3.6 3.3 根据以上数据，回答下列问题： (1)①甲同学发球后到乙同学击球前，羽毛球飞行到最高点时，竖直高度y为 m，此时水平距离x为 m； ②求y与x的函数关系式. (2)若甲发球过网后，乙在羽毛球与点O 的水平距离为5m 时第一次击球.根据以往经验，乙有两种击球方式.以方式一击球，羽毛球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=0.7x+n;；以方式二击球，羽毛球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系以上两种击球方式均能使球过网后落地.选择方式 击球(填“一”或“二”)，落地点与点O的水平距离更大，并说明理由. 【答案】①： 3.6 , 3 ②： 【解析】观察表格可知，（2,3.3）和（4,3.3）为一组对称点 ∴对称轴为直线.则顶点坐标是（3，3.6） 即该函数图像的最高点 ②设该函数关系式为 将（1,2.4）代入，得 解得 （2）方案一 理由如下 方案一：将x=5代入中，得=2.4 则击球点坐标为（5,2.4）把（5,2.4）代入y=0.7x+n中，2.4=5×0.7+n,解得n=-1.1 ∴直线y=0.7x-1.1 取y=0时，0.7x-1.1=0；解得x= 方案二： 同理，把（5,2.4）带入中，得 解得m=-0.3∴ 令y=0时，=0解得 ∵ ∴选择方案一，落球点与点O的距离更大. 【变式1-5】（2026山东中考数学） “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景(如图1).甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分(以下“花枪”均指花枪的中点). (1)如图2，甲站在地面的O点处，从距离地面高的A点踢出花枪，A点与O点的水平距离OB是花枪飞行到与O点水平距离3m的C处达到最高，高度为3m. ①设花枪离地面的高度为y(m)，到O点的水平距离为x(m).请建立平面直角坐标系，并求y关于x的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与O点水平距离dm处接花枪，能接到的高度最大为最小为求d的取值范围. (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪.已知花枪飞行高度h(m)与时间t(s)之间的关系式是丙在距花枪落地点5m处沿直线运动到花枪落地点.求丙的平均速度. 【答案】解：(1)①如图所示，以O点为坐标原点，建立平面直角坐标系.则C(3,3)， 设表达式为 把代入得 解得 ②当时， 解得， 当时 解得， ∵在下落过程中 (2)当h=0时 解得，（舍去） 所以丙的平均速度为 【题型2拱桥问题】 【例2】如图，某小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16m,AE=8m,， 抛物线的顶点C到ED的距离是11m.以ED所在的直线为x轴， 抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系. (1)求抛物线的解析式； (2)已知从某时刻开始的40h内，水面与河底ED的距离h(单位：m)随时间t(单位：h)的变化满足函数关系且当水面到顶点C的距离不大于5m时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行? 【答案】依题意可得，顶点C的坐标为（0,11）.点B的坐标为（8,8）.设抛物线的解析式为有8=64a+11,解得所以抛物线的解析式为 (2)令解得 因为所以当时，水面到顶点C的距离不大于5m，需禁止船只通行，禁止船只通行的时间为35-3=32(h). 答：禁止船只通行的时间为32h. 【变式2-1】（2025年南京联合体九上期末） 如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面宽AB为16m，当水位上升1.4m时,水面宽CD为12m. （1）把桥拱看作一个二次函数的图像，以AB所在的直线为x轴，以AB的中点O为原点建立如图①所示的平面直角坐标系，求这个函数的表达式； （2）有一艘装满货物的船，露出水面部分的高为0.5m，宽为7.5m(横断面如图②)，以5km/h的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥40km时，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.25m,如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥?说明理由. 【答案】(1)解:∵AB为16m,AB的中点O为原点, ∴点A，B的坐标分别是((-8,0),(8,0). ∴可设此函数的表达式为y=a(x+8)(x-8). ∵当水位上升1.4m时,水面宽CD为12m, ∴点D的坐标分别是(6,1.4). 把x=6,y=1.4代入y=a(x+8)(x-8), 解得 ∴此函数的表达式为 即 (2)船不能安全通过此桥. 把代入得 ∵当船行至桥时水位上升高度为40÷5×0.25=2(m), ∴船顶距AB高为 ∵船不能安全通过此桥 【变式2-2】（2026年长安区初三一模）如图1是家里常用的炒菜锅，其主视图可抽象为图2中的几何图形，已知其中经过锅心和盖心的纵截面是两段抛物线组合而成的封闭图形.锅口和锅盖贴合面的直径AB=32cm,锅深(OD=12cm,锅盖的高度(OC=4cm,，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点C、D在y轴上. (1)求锅盖所在抛物线的函数表达式； (2)若在锅里平放一个直径为16cm的圆盘，圆盘的边缘P、Q两点在炒菜锅所在的抛物线上(点P、Q关于y轴对称,PQ=16cm),求点P到锅盖的竖直高度. 【答案】解：(1)由题知：锅盖所在抛物线的顶点为C(0，4)， ∴令锅盖所在抛物线的关系式为：将点B(16,0)代入得:解得 (2)由题可得锅所在抛物线关系式为：……… 将代入得y=-9, 将代入得y=3. ∴点P到锅盖的竖直高度为12cm. 【变式2-3】（2025-2026合肥瑶海38中九上期中）苏州自古以桥梁之盛闻名内外，素有东方威尼斯之称.如图是抛物线形拱桥，当拱顶距水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加 m. 【答案】（-4） 【解析】以抛物线形拱桥的最高点为坐标原点，以竖直向上为y轴正方向，水平向右为x轴正方向，建立平面直角坐标系； 设该抛物线解析式为，将x=2时，y=-2代入，得 解得 ∴ 若水面下降2m,取y=-4,得 解得 ∴ 则水面宽度增加（-4）m 【变式2-4】（2025-2026合肥瑶海38中九上期中）如图1是我们生活中常见的一只碗， 图2是从正面看到的碗的形状示意图，碗壁近似呈抛物线形，该抛物线关于碗口AB的垂直 平分线对称，且碗底MN与碗口AB平行，C、D均在抛物线上，(已知 以MN所在直线为x轴，过点A且垂直于MN的直线为y 轴建立平面直角坐标系，碗壁抛物线满足关系式(b、c为常数). (1)求点B的坐标； (2)若碗中装入一定量的水，水面，且EF与AB之间的距离为求水面的宽度EF 【答案】(1)∵AB=12,∴抛物线的对称轴为直线x=6, 解得b=-2. ∵MN=4cm,CM=DN=cm,CM⊥MN,DN⊥MN, 将点代入得c=7, ∴抛物线解析式为 在 中,当x=12时, ∴点B的坐标为(12,7). (2)∵EF与AB之间的距离为∴点E与点F的纵坐标为令得解得 ∴11-1=10(cm), 即水面的宽度EF为10cm. 【题型3面积问题】 【例3】（2025-2026人教版九上周测练习） 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C. (1)求A和B的坐标; (2)点D为第一象限内抛物线上一动点，连接BD，CD. ①当点D运动到何处时，CD=BD?请直接写出点D的坐标： ②当点D运动到何处时，的面积最大?求出点D的坐标和面积的最大值. 【答案】（1）∵抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边) 令y=0时，得=0，解得 ∴A（-1,0），B（4,0） （2）①若点D满足CD=BD，则点D在线段BC的垂直平分线上，又C（0,4），B（4,0） ∴AD所在的直线解析式为y=x;联立得 =x 解得 ∵点D为第一象限内抛物线上一动点，∴ 把x=代入y=x中，得D点坐标（，） ②抛物线解析式可转化为一般式： 设D（m,） 依次连接OD,BD,CD 如图所示 =- =- = =6≤16 当且仅当m=2时，取得最大值16 此时点D坐标为（2,6） 【变式3-1】（2025-2026合肥瑶海38中九上期中）如图，已知抛物线过点A(-2,-2),点B(6,-6). (1)该抛物线的顶点坐标为 . (2)点C是AB上方抛物线上一动点(不与点A，B重合)，连接AC，BC，则面积的最大值为 . 【答案】将A(-2,-2),点B(6,-6)代入抛物线中，得 解得 ∴ 将其转化为顶点式则顶点坐标为（1，） （2）设点C的横坐标为m，则C且 过C点作CD∥y轴，交AB于点D,如图所示 设直线AB的解析式为y=kx+n 由题意得 解得 ∴y= 则D CD=== = ==≤16 当且仅当m=2时，取得最大值16 【变式3-2】如图，抛物线与x轴交于点A(-1,0)和点B(4,0),与y轴交于点C,顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴交于点E. (1)求抛物线的表达式； (2)点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，若求点P的坐标； 【答案】（1）将A(-1,0)和点B(4,0)代入抛物线中，得 解得∴ （2）设P点坐标为,过P点作PH⊥x轴，交BC于点G 设过C（0,4）和B（4,0）两点所在的直线解析式为y=kx+n 可列方程组解得k=-1,n=4 ∴则G点坐标 ∵ ∴= 即 经整理解得, ∴点P坐标为（1,6）或（3,4） 【变式3-3】在平面直角坐标系中，过点A(3，4)的抛物线与x轴交于点B(-1,0),与y轴交于点C,过点A作轴于点D. (1)求抛物线的解析式. (2)如图1，点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，连接PD交AB于点Q，连接AP，当时，求点P的坐标. 【答案】（1）将A(3，4)和B(-1,0)代入中，得 解得∴ 若，在满足同高的情况下，则DQ=2PQ 同理∴∵=+即= 设P点坐标为（），过P点作PH⊥x轴，交AB于点G 根据A(3，4)，B(-1,0)可知，直线AB的解析式为y=x+1 则 = ∵=∴×2=解得, 【变式3-4】在已知抛物线经过点A(-4,0)、B(1,0)、C(0,4). (1)求抛物线解析式和直线AC的解析式； (2)如图(1)，若点P是第四象限抛物线上的一点，若求点P的坐标； (3)如图(2)，点M是直线AC上方抛物线上的一个动点(不与A、C重合)，过点M作MH垂直AC于点H，求MH的最大值. 【答案】（1）将A(-4,0)、B(1,0)、C(0,4)代入抛物线中，得 解得∴ （2）设P点坐标为（） 连接OP,如图所示 且=20 ∴=24 解得（舍）， ∴点P坐标为（6，-50） （3）∵，边AC的长为定值， 若取得最大值，则对应边上的高MH即最大值 设M（） 连接OM,∵ 即 === 当且仅当n=-2时，有最大值8 在中，AC= ∵ 即 解得MH=,MH的最大值是 【变式3-5】（2025-2026山西九年级上册期末练习）综合与实践 问题情境： 学校有一块矩形空地，空地中有一条小路可近似地看成抛物线的一部分，该抛物线的顶点在矩形空地的长边上.为了将此矩形空地加以利用，设置课外活动区和劳动实践区，其余部分为绿化区域，现面向全体同学征集设计方案. 方案设计： 小慧同学设计了如下方案： 第一步，如图1，在矩形OABC中，(OA=8m,，以OA边所在直线为x轴，OC边所在直线为y轴建立平面直角坐标系，其中抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点D，抛物线的顶点G在矩形OABC的BC边上.根据测得的数据得到小路所在抛物线的函数表达式为 第二步：如图2，连接AD，将其作为小路，在线段AD上取一点F，过点F作轴与抛 物线交于点E，连接DE，将设置为课外活动区. 第三步：如图2，在线段AD上取一点M，过点M分别作轴于点H，y轴于点N，将四边形MNOH设置为劳动实践区. 问题解决： (1)请直接写出直线AD的函数表达式. (2)①当是以EF为底边的等腰三角形时，求所设置的课外活动区底边EF的长; ②求所设置的劳动实践区(四边形MNOH)的最大面积. (3)在满足(2)的条件下，请直接写出学校此矩形空地中绿化区域的面积.(小路的面积忽略不计) 【答案】由题意知A（8,0），D（0,4），设直线AD的解析式为， 将A（8,0），D（0,4）代入，得 解得 ∴直线AD的解析式为 （2）①设F点坐标（n,）∵EF∥y轴且点E在抛物线上， ∴E（n,） ∵DE=DF，过D点作DQ⊥EF,根据等腰三角形三线合一性质，得EQ=FQ ∴4-解得 ∴=6，=2 则EF=6-2=4 ②设点M坐标（m,） =（）=≤8 当且仅当m=4时有最大值8 ∴矩形MNOH的最大值是8（m²） （3）由题意知，抛物线解析式为，则顶点G坐标（3，） =8×=50 已知设置为课外活动区，劳动实践区(四边形MNOH)面积为8m²； 又∵（m²） ∴50-8-8=34（m²） 学校此矩形空地中绿化区域的面积是34（m²） 【题型4方案选择问题】 【例4】（2025-2026年九年级宣城一模） 【问题背景】今年11月份以来，广德“三件套”越来越火，全国各地游客纷纷来广德打卡，让“卡旺卡”供不应求，每天都有数百人在门口排队.数学小组对排队现象进行了研究，因条件有限仅研究了排队人数与工作窗口数之间的关系. 【研究条件】 条件1：门店内各窗口分别设置、互不影响； 条件2：顾客进店购买时都满足：排队人数w=现场总人数y-已购买人数； 条件3：由于条件限制开，门店最多开放8个窗口，平均每个窗口每分钟可完成购买6人. 【模型构建】门店开业后，经研究发现，现场总人数y与营业时间x之间满足函数关系式： 【模型应用】 (1)当开通4个窗口时，营业时间x分钟时，已购买人数为 ，排队人数w与营业时间x的函数关系式为 (2)在(1)的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少? (3)市文旅出于安全方面考虑要求： ①排队人数在开始营业10分钟(包括含10分钟)减少； ②门店老板由于场地受限，出于安全考虑，要求尽量少安排窗口，以节省开支.若同时满足以上两个要求，可开设几个窗口，请说明理由? 【答案】 (2)解:把整理成顶点坐标式，可得： ∴当x=18时,w达到最大值,最大值是424, 答：排队人数在第18分钟达到最大值，最大人数是424人； (3)解：设开通了m个窗口， 根据题意可得： 整理得：对称轴为 ∵排队人数在开始10分钟内(包含10分钟)减少， ∴0<30-3m≤10, 解得： ∵最多可以开通8个窗口， ∵尽量少安排窗口，以节省开支，其中m为整数且 ∴取m=7, 最少开设7个窗口 【变式4-1】 某商品的进价为20元每件，售价为25元每件时，每天可卖出250件.市场调查反映，如果 调整价格，一件商品每涨价1元，那么每天要少卖出10件. (1)求出每天所得的销售利润w(单位：元)与每件涨价x(单位：元)之间的函数解析式； (2)求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大； (3)商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案. 方案A：每件商品涨价不超过5元； 方案B：每件商品的利润至少为16元. 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由. 【答案】)或w=-10(x- (2)因为-10<0，抛物线开口向下.所以二次函数有最大值，当时.销 售利润最大,此时销售单价为10+25=35(元). 答：当销售单价为35元时，该商品每天的销售利润最大. (3)由(2)可知，抛物线的对称轴为直线x=10，开口向下，对称轴左侧ω随x的增大而增大， 对称轴右侧w随x的增大而减小. 方案A:根据题意得.x≤5,即0≤x≤5. 当x=5时，利润最大.最大利润为w=-10×5²+200×5+1250=2000(元). 方案:根据题意得,25+x-20≥16.x≥11.即ll≤x≤25.当x=11时,利润最大,最大利润 为ω=-10×11=+200×11+1250=2210(元). 【变式4-2】（2026武汉四调）学校计划租用客车送师生到劳动基地开展实践活动.收集信息如下： 信息1：客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，3辆A型客车载客人数和2辆B型客车载客人数相同，2辆A型客车和3辆B型客车共载客260人. 信息2：A型客车租车费用固定为1200元/辆；B型客车租一辆车的费用为2150元，每多租一辆，B型客车租车单价减少50元. 信息3：学校参加实践活动的师生共有950人；租用A，B两种型号客车共20辆，其中A 型客车不少于9辆. 问题解决 (1)求A，B两种型号每辆车满员时的载客人数； (2)设租用B型客车x(单位：辆)，本次实践活动的租车总费用是W(单位：元)，求W与x的函数关系式；(租车总费用=租用A型客车的费用+租用B型客车的费用) (3)设计一种方案，使本次实践活动的租车总费用最少，请说明理由. 【答案】（1）由题意得解得 （2） （3）∵解得 由（2）可知 a=-50＜0,w关于x的抛物线开口向下，有最大值 对称轴为直线x= 当x＜10时，w随着x的增大而增大，当x＞10时，w随着x的增大而减小 ∵,x为正整数解 ∴x取8时，抛物线取得最小值，把x=8代入上式，得 =28800（元） 使本次实践活动的租车总费用最少. 【变式4-3】（2026年云南盘龙区模拟）请你根据下列素材，完成有关任务. 背景 云南七彩紫洋芋，亮如紫玉、口感香糯，表皮黑紫、果肉带深紫花纹，耐储存且营养丰富，富含多种人体必需微量元素，是健康饮食的优质选择.近年来，云南多地因地制宜发展其种植产业，在乡村振兴路上焕发出强劲动力. 素材一 某社区种植户今年种植的七彩紫洋芋喜获丰收，采挖上市15天全部售罄，该社区种植户对销售情况进行统计后发现，在该七彩紫洋芋上市第x天时，日销售量P(单位：千克)与x之间的函数关系式为 素材二 七彩紫洋芋单价y(单位：元/千克)与x之间的函数关系如图所示. 请完成下列任务： 任务一 当0<x≤15时，求y与x之间的函数关系式； 任务二 该社区种植户售卖七彩紫洋芋的第一周(即(，到第几天时，售卖日销售额最高?最高日销售额为多少元? 【答案】 任务一： 由题意得y= 设售卖日销售额为w元 由题意得w=经整理后为w= 当时，x=5有最大值，100×5=500（元） 当时，w=,a=-4＜0，抛物线开口向下 对称轴为直线x= ∴x＜15时，w随x的增大而增大，x=7时有最大值 W=644（元） 综上所述，售卖第7天达到日销售额最大值，为644元. 【题型5利润问题】 【例5】（2024-2025学年合肥45中九上期末） 项目主题：吴山贡鹅的最优销售单价. 项目背景：吴山贡鹅是安徽省合肥市的一道传统名菜，属于徽菜系.吴山贡鹅源于唐朝乾隆年间，已有千年历史.唐末五代十国时期，合肥人民以当地特产鹅配美味佐料制成卤鹅进贡给吴王杨行密，吴王食之大悦，称之为“贡品”，从此吴山贡鹅名扬天下.某校学习小组以探究“吴山贡鹅的最优销售单价”为主题展开项目学习. 驱动任务：探究吴山贡鹅销售总利润与销售单价的关系. 研究步骤： (1)学习小组到合肥某特产专卖店了解到吴山贡鹅的成本为80元/千克； (2)该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对吴山贡鹅的销售量进行统计(不考虑其他因素)； (3)数据分析，得出结论. 收集数据： 贡鹅销售单价x(元/千克) … 130 135 140 145 150 … 每月销售数量y(千克) … 560 520 480 440 400 … 问题解决：请根据此项目实施的相关信息完成下列任务： (1)根据表中信息可知：该吴山贡鹅每月的销售数量y(千克)是吴山贡鹅的销售单价x(元/千克)的 函数(选填“一次”或“二次”)，y与x的函数关系式为 ; (2)吴山贡鹅的单价定为多少时，才能使吴山贡鹅的每月销售利润w(元)最大，并求出最大利润. 【答案】（1）一次函数 y=-8x+1600 （2）经整理后为 ∵a=-8＜0，抛物线开口向下 对称轴为直线x=，当x＜140时，w随x的增大而增大，当x＞140时，w随x的增大而减小 ∴x=140时，有最大值，-8×=28800 故吴山贡鹅单价定价为140元时，每月销售利润达到最大值，最大值为28800元. 【变式5-1】（2025-2026温州九上期末练习）中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗.今年中秋节期间，某商家以50元/盒的价格购进一批某品牌月饼.在销售中，该商家发现售价定为80元/盒时，每天可售出100盒：售价每降低1元/盒时，每天可多售出5盒，设该品牌月饼售价降低x元/盒时，商家每天销售该品牌月饼的利润为y元. (1)求出y关于x的函数解析式； (2)要使每天销售该品牌月饼的利润为3120元，为了尽快减少库存，每盒月饼的售价应定为多少元? (3)每盒月饼的售价定为多少元时，每天销售该月饼获得利润最大?最大利润是多少? 【答案】（1）经整理后为 （2）由题意可列方程：=3120 解得 为了尽可能降低库存，所以x=4不合题意，舍去 （3） ∵-5＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x= 当x=5时，y取得最大值，=3125（元） 80-5=75（元），销售单价为75元时，最大利润为3125元. 【变式5-2】（2025-2026学年徐州九上期末仿真）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升，书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元，根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元. (1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y(本)与销售单价x(元)之间的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当销售单价定为多少时，书店每天销售利润最大?最大利润为多少元? (3)书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值. 【答案】(1)解：∵书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元，每本进价为20元， 根据题意得： (2)解：设可获得利润为w元. ∴当.x=35时，w取得最大值，最大值为2250， 答：当销售单价定为35 元时，书店每天销售利润最大，最大利润为2250元； (3)解：设每天扣除捐赠后可获得利润为W元. ∴该函数图象的对称轴为 当时，W取得最大值， (不合题意舍去)， 【变式5-3】(2025-2026南京求真中学月考）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y(件)与售价x(元/件)(x为正整数)之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据： x(元/件) 4 5 6 y(件) 10000 9500 9000 (1)y与x的函数关系式是 (不求自变量的取值范围)； (2)在销售中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件.若某一周该商品的销售量不于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元? (3)抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大.则m的取值范围为 . 【答案】（1）取x=4,y=10000;x=5，y=9500代入y=kx+b中，得 ,解得 ∴y=-500x+12000 （2）设总利润为w（元），由题意知 w=经整理 ∵-500＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x= 当x＜13.5时，w随着x的增大而增大； 当x＞13.5时，w随着x的增大而减小 ∵3≤x≤15 ∴x取12或14时，所获利润最大 又因为该商品的销售量不于6000件，-500x+12000≥6000 解得x≤12，所以x=14不合题意，舍去 =54000（元） （3）设捐赠后的总利润为元，则： 经整理后为 ∵二次项系数，抛物线开口向下 该抛物线的对称轴为： 已知该商场这种商品售价不大于元/件时（即），利润仍随售价的增大而增大. 所以关于x的二次函数，对于自变量x的取值范围在对称轴及其左侧区间，能满足题意 因此，对称轴必须大于或等于： 即 解得 又∵。 综上所述 1 学科网（北京）股份有限公司 $名校真题&实战演练 精研核心好题·告别盲目刷题 九年级上册21.4二次函数的应用【五大题型】 【沪科版数学2024】 题型分类 【题型一抛物线型问题】 1 【题型二 拱桥问题】 …5 【题型三面积问题】 7 【题型四方案选择问题】 【题型五利润问题】12 触类旁通 【题型1抛物线型问题】 【例1】(2025-2026学年人教版九下期末练习) 如图①，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线.图②是喷射出的水 流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点0处，喷水头的高度（喷水头距喷灌架 底部的距离)设置的是1米，当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度 5米. (1)水流运行轨迹的顶点坐标为 (2)求水流运行轨迹的函数解析式： (3)若在距喷灌架水平距离12米处有一棵3.4米高的果树AB,问：水流是否会碰到这 棵果树？请通过计算说明 图个 图② 【变式1-1】(2025-2026合肥48中九上期末)某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队 员甲正在投篮，已知球出手时离地面高0m,当球出手后水平距离为4蜘时到达最大高度4细， 设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系： (1)求出抛物线的解析式： (2)若队员与篮圈中心的水平距离为7m,篮圈距地面3m,问此球能否准确投中？ 1 名校真题&实战演练 精研核心好题·告别盲目刷题 4m 4m 【变式1-2】(2026合淝肥瑶海三模数学)综合与实践 【实践背景】某游乐园计划新建一个小型过山车项目.过山车的轨道由多段抛物线组成，保 证车厢在重力作用下平稳运行.如图1，某段轨道的起点站台A和终点站台C等高，均垂直 于地面基座BD,以点B为坐标原点，BD所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角 坐标系.经设计，该段轨道的纵向截面轮廓符合抛物线y=后x2-x+4(0≤x≤⑧)，其中y表 示轨道上某点离地而基座的高度（单位：米）.数学实践小组围绕过山车的设计参数测算、轨 道改造与安全优化开展探究活动，请你参与并完成下列任务 【实践任务一】轨道最低点安全高度测算 过山车轨道的最低点不能过低，否则会影响下方通道的安全.请你求出该段轨道最低点离 地面的距离，并验证其是否满足“轨道下方最低安全高度不低于1.8米”的设计要求。 【实践任务二】轨道分段改造设计 为增加过山车的趣味性，工程师决定在与起点站台AB相距3米的位置增设一根垂直于地 面的支撑杆E℉（如图2），将原轨道截断并重新连接，形成左右两段独立的抛物线轨道(G1 和G2.设计规范要求：左边抛物线轨道(G1的最低点与支撑杆℉相距1米，且离地面高度 为2米.请求出支撑杆E℉的高度， 【实践任务三】轨道位置的调整与优化 为提升过山车的刺激程度，现将支撑杆E℉的高度提升为4米，并调整其在基座上的水平 位置.已知调整后右边抛物线轨道(G2的二次项系数始终为，设EF与AB的距离为n米， 为保证运行安全，要求抛物线轨道(G,上所有点离地面的高度都不低于2米.求的最小 值 图1 图2 9 名校真题&实战演练 精研核心好题·告别盲目刷题 【变式1-3】(2025-2026学年安微省九年级期末A20联盟) 青蛙起跳后的运动路线为抛物线.某仿青蛙机器人从水平地面起跳并落回地面，其运动路 线的最高点距地面40cm,起跳点与落地点的水平距离为80cm如图①，将仿青蛙机器人的 运动路线抽象为抛物线，其顶点为N,对称轴为直线L,仿青蛙机器入在水平地面上的起跳 点为O,落地点为M以0为原点，OM所在直线为x轴，过点0与OM所在水平地面垂直的 直线为y轴，建立平面直角坐标系. y/cm Mxcm B & 图① 图② 图③ (1)写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式， (2)己知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变.如图①，若 仿青蛙机器人从点0正上方的点P(O,50)处起跳，落地点Q在x轴的正半轴上.求起跳点 P与落地点Q的水平距离0Q的长， (3)仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于2 cm,才能安全通过.如图②，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD,其中. ∠ABC=∠BCD=90°，AB=45Cm,BC=30cm,CD=40cm.仿青蛙机器人从距离AB左侧30cm处 的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物.如图③，若团队人员想放置一个平台，使仿青蛙 机器人从平台上起跳，且能够刚好安全通过该障碍物.请直接写出该平台的高度（平台的大 小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内)」 【变式1-4】(2025-2026河南禹州九上期末)无限少年·2025年河南省青少年羽毛球公 开赛暨河南省羽毛球队苗子选拔赛（禹州站）4月20日在禹州市体育公园收拍落幕.中 小学羽毛球热潮席卷校园，某学校计划组织羽毛球赛.甲、乙两名同学在羽毛球场训 练，建立如图所示的平面直角坐标系，在羽毛球飞行过程中，记羽毛球的竖直高度为 y(单位：m),羽毛球与点0的水平距离为x(单位：m). 竖直高度ym 球网 水平距离xm 甲同学发球后到乙同学击球前，羽毛球的竖直高度y与水平距离x近似满足二次函数关系， 部分对应数据如下： 水平距离x/m 0 3 名校真题&实战演练 精研核心好题·告别盲目刷题 竖直高度y/m 0.9 2.4 3.3 3.6 3.3 根据以上数据，回答下列问题： (1)①甲同学发球后到乙同学击球前，羽毛球飞行到最高点时，竖直高度y为 m, 此时水平距离x为m: ②求y与x的函数关系式 (2)若甲发球过网后，乙在羽毛球与点0的水平距离为5m时第一次击球.根据以往经验，乙 有两种击球方式.以方式一击球，羽毛球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关 系y=O.7x+;；以方式二击球，羽毛球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系 y=m(x-4④)2+2.7m≠0).以上两种击球方式均能使球过网后落地.选择方式一 击球（填“一”或“二”），落地点与点0的水平距离更大，并说明理由 【变式1-5】(2026山东中考数学) “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）.甲、乙、 丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花 枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）. 地面 图 图二 (1)如图2，甲站在地面的0点处，从距离地面酷m高的A点踢出花枪，A点与0点的水 平距离0B是m,花枪飞行到与0点水平距离3m的C处达到最高，高度为3m ①设花枪离地面的高度为y(m),到0点的水平距离为x(m).请建立平面直角坐标系，并 求y关于x的函数表达式： ②花枪下落过程中，乙在与0点水平距离血处接花枪，能接到的高度最大为号m,最小为m 求d的取值范围. (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪.已知花枪飞行高度hm) 与时间t(s)之间的关系式是h=-5t2+7t+8(t)0),丙在距花枪落地点5m处沿直线运动到花 枪落地点.求丙的平均速度 4 名校真题&实战演练 精研核心好题·告别盲目刷题 【题型2拱桥问题】 y/m 【例2】如图，某小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线 由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE,ED,DB组成，已知 A 河底ED是水平的，ED=16m,AE=8m,, 抛物线的顶点C到ED的距离是11m以ED所在的直线为x轴， 王h 抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系： 0 D x/m (1)求抛物线的解析式： (2)已知从某时刻开始的40h内，水面与河底ED的距离h(单位：m)随时间t(单位：h)的变 化满足函数关系h=-t-192+80≤t≤40).且当水面到顶点c的距离不大于5n时， 需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？ 【变式2-1】(2025年南京联合体九上期末) 如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面宽AB为16m,当水位上升1.4m时，水面宽C D为12m. (1)把桥拱看作一个二次函数的图像，以AB所在的直线为x轴，以AB的中点0为原点建 立如图①所示的平面直角坐标系，求这个函数的表达式： (2)有一艘装满货物的船，露出水面部分的高为0.5m,宽为7.5m(横断面如图②)，以5km /h的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥4Okm时，桥下水位正好在AB处，之后水位每小 时上涨0.25m,如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？说明理由， 7.5m 0.5m ① ② D ① 【变式2-2】(2026年长安区初三一模)如图1是家里常用的炒菜锅，其主视图可抽象为 图2中的几何图形，已知其中经过锅心和盖心的纵截面是两段抛物线组合而成的封闭图形， 锅口和锅盖贴合面的直径AB=32cm,锅深(OD=12Cm,锅盖的高度(OC=4cm,,以AB所在直线为x 轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点C、D在y轴上. (1)求锅盖所在抛物线的函数表达式： 5 名校真题&实战演练 精研核心好题·告别盲目刷题 (2)若在锅里平放一个直径为16cm的圆盘，圆盘的边缘P、Q两点在炒菜锅所在的抛物线上（点 P、Q关于y轴对称，PQ=16cm),求点P到锅盖的竖直高度. B 图1 图2 (第25题图) 【变式2-3】(2025-2026合肥瑶海38中九上期中)苏州自古以桥梁之盛闻名内外，素有 东方威尼斯之称.如图是抛物线形拱桥，当拱顶距水面2时，水面宽4m,水面下降2 m,水面宽度增加 m. 4m 【变式2-4】(2025-2026合肥瑶海38中九上期中)如图1是我们生活中常见的一只碗， 图2是从正面看到的碗的形状示意图，碗壁近似呈抛物线形，该抛物线关于碗口AB的垂直 平分线对称，且碗底MN与碗口AB平行，C、D均在抛物线上，(CMLMN,DNLMN,已知AB= 12cm,MW=4cm,CM=DN=三cm,以MN所在直线为x轴，过点A且垂直于MN的直线为y 轴建立平面直角坐标系，碗壁抛物线满足关系式=名x2+bx+c(6、c为常数)。 (1)求点B的坐标： (②)若碗中装入一定量的水，水面EFAB,且EF与AB之间的距离为号cm,求水面的宽度EF Ay/cm x/cm 图1 图2 6 名校真题&实战演练 精研核心好题·告别盲目刷题 【题型3面积问题】 【例3】(2025-2026人教版九上周测练习) 在平面直角坐标系中，抛物线y=一(x-)+与x轴交于A,B两点（点A在点B的左边》， 与y轴交于点C. 备用图 (1)求A和B的坐标； (②)点D为第一象限内抛物线上一动点，连接BD,CD. ①当点D运动到何处时，CD=BD?请直接写出点D的坐标： ②当点D运动到何处时，△BCD的面积最大？求出点D的坐标和△BCD面积的最大值. 【变式3-1】(2025-2026合肥瑶海38中九上期中)如图，已知抛物线y=ax2+bx 过点A(-2,-2),点B(6,-6). (1)该抛物线的顶点坐标为 (2)点C是AB上方抛物线上一动点（不与点A,B重合），连接AC,BC,则△ABC 面积的最大值为 【变式3-2】如图，抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于点A(-1,0)和点B(4,0),与y 轴交于点C,顶点为D,连接AC,BC,BC与抛物线的对称轴l交于点E. (1)求抛物线的表达式： (②)点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB,PC,若SAPc=SAABC求点P的坐标： 名校真题&实战演练 精研核心好题·告别盲目刷题 0 E 【变式3-3】在平面直角坐标系中，过点A(3,4)的抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于点B (-1,O),与y轴交于点C,过点A作AD1x轴于点D. (1)求抛物线的解析式. (②)如图1，点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，连接PD交AB于点Q,连接A P,当S△4QD=2S△4PQ时，求点P的坐标. B 0 【变式3-4】在已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-4,0)、B(1,0)、C(0,4). B B 图1 图2 (1)求抛物线解析式和直线AC的解析式： (2)如图(1)，若点P是第四象限抛物线上的一点，若S△P4c=24,求点P的坐标； (3)如图(2)，点M是直线AC上方抛物线上的一个动点（不与A、C重合），过点M作MH垂直 AC于点H,求MH的最大值. 名校真题&实战演练 精研核心好题·告别盲目刷题 【变式3-5】(2025-2026山西九年级上册期末练习)综合与实践 问题情境： 学校有一块矩形空地，空地中有一条小路可近似地看成抛物线的一部分，该抛物线的顶 点在矩形空地的长边上.为了将此矩形空地加以利用，设置课外活动区和劳动实践区，其 余部分为绿化区域，现面向全体同学征集设计方案。 方案设计： 小慧同学设计了如下方案： 第一步，如图1，在矩形OABC中，(OA=8m,,以OA边所在直线为x轴，OC边所在直 线为y轴建立平面直角坐标系，其中抛物线与x轴交于点A,与y轴交于点D,抛物线的 顶点G在矩形OABC的BC边上.根据测得的数据得到小路所在抛物线的函数表达式为 y-+2+4 第二步：如图2，连接AD,将其作为小路，在线段AD上取一点F,过点F作FEy轴与抛 物线交于点E,连接DE,将△DEF设置为课外活动区 第三步：如图2，在线段AD上取一点M,过点M分别作MHLx轴于点H,MNLy轴于点 N,将四边形MNOH设置为劳动实践区. 问题解决： (1)请直接写出直线AD的函数表达式. (2)①当△DEF是以EF为底边的等腰三角形时，求所设置的课外活动区底边EF的长： ②求所设置的劳动实践区（四边形MNOH)的最大面积. (3)在满足(2)的条件下，请直接写出学校此矩形空地中绿化区域的面积.（小路的面积忽 略不计) G G B B E M A主 H A下 图1 图2 名校真题&实战演练 精研核心好题·告别盲目刷题 【题型4方案选择问题】 【例4】(2025-2026年九年级宜城一模) 【问题背景】今年11月份以来，广德“三件套”越来越火，全国各地游客纷纷来广德打卡， 让“卡旺卡”供不应求，每天都有数百人在门口排队.数学小组对排队现象进行了研究，因 条件有限仅研究了排队人数与工作窗口数之间的关系。 【研究条件】 条件1：门店内各窗口分别设置、互不影响： 条件2：顾客进店购买时都满足：排队人数w=现场总人数y-己购买人数； 条件3：由于条件限制开，门店最多开放8个窗口，平均每个窗口每分钟可完成购买6人. 【模型构建】门店开业后，经研究发现，现场总人数y与营业时间x之间满足函数关系式： y=-x2+60x+100(0≤x<30). 【模型应用】 (1)当开通4个窗口时，营业时间x分钟时，己购买人数为 ,排队人数w与营业 时间x的函数关系式为 (2)在(1)的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ (3)市文旅出于安全方面考虑要求： ①排队人数在开始营业10分钟（包括含10分钟）减少： ②门店老板由于场地受限，出于安全考虑，要求尽量少安排窗口，以节省开支.若同 时满足以上两个要求，可开设几个窗口，请说明理由？ 【变式4-1】 某商品的进价为20元每件，售价为25元每件时，每天可卖出250件.市场调查反映，如果 调整价格，一件商品每涨价1元，那么每天要少卖出10件 (1)求出每天所得的销售利润w(单位：元)与每件涨价x(单位：元)之间的函数解析式： (2)求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大； (3)商场的营销在调控价格方面，提出了A,B两种营销方案 方案A:每件商品涨价不超过5元： 方案B:每件商品的利润至少为16元 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由： 10 名校真题&实战演练 精研核心好题·告别盲目刷题 【变式4-2】(2026武汉四调)学校计划租用客车送师生到劳动基地开展实践活动.收集信 息如下： 信息1：客运公司有A,B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，3辆A 型客车载客人数和2辆B型客车载客人数相同，2辆A型客车和3辆B型客车共载客260人. 信息2：A型客车租车费用固定为1200元/辆：B型客车租一辆车的费用为2150元， 每多租一辆，B型客车租车单价减少50元. 信息3：学校参加实践活动的师生共有950人：租用A,B两种型号客车共20辆， 其中A型客车不少于9辆. 问题解决 (1)求A,B两种型号每辆车满员时的载客人数： (2)设租用B型客车x(单位：辆)，本次实践活动的租车总费用是W(单位：元)，求 W与x的函数关系式：（租车总费用=租用A型客车的费用+租用B型客车的费用） (3)设计一种方案，使本次实践活动的租车总费用最少，请说明理由. 【变式4-3】(2026年云南盘龙区模拟)请你根据下列素材，完成有关任务 云南七彩紫洋芋，亮如紫玉、口感香糯，表皮黑紫、果肉带深紫花纹 耐储存且营养丰富，富含多种人体必需微量元素，是健康饮食的优质选择 背景 近年来，云南多地因地制宜发展其种植产业，在乡村振兴路上焕发出强劲动 力. 某社区种植户今年种植的七彩紫洋芋喜获丰收，采挖上市15天全部售 罄，该社区种植户对销售情况进行统计后发现，在该七彩紫洋芋上市第x天 素材一 时，日销售量P(单位：千克)与x之间的函数关系式为 10x(0<x≤9) P= 1-20x+300(9<x≤15) 七彩紫洋芋单价y(单位：元/千克)与x之间的函数关系如图所示. y(元/千克) 10 素材二 6 0 5 15x（天) 请完成下列任务： 任务一 当0<x≤15时，求y与x之间的函数关系式： 11 名校真题&实战演练 精研核心好题·告别盲目刷题 该社区种植户售卖七彩紫洋芋的第一周（即(0<x≤7），到第几天时，售卖日 任务二 销售额最高？最高日销售额为多少元？ 【题型5利润问题】 【例5】(2024-2025学年合肥45中九上期末) 项目主题：吴山贡鹅的最优销售单价 项目背景：吴山贡鹅是安徽省合肥市的一道传统名菜，属于徽菜系.吴山贡鹅源于唐朝乾隆 年间，已有千年历史.唐末五代十国时期，合肥人民以当地特产鹅配美味佐料制成卤鹅进贡 给吴王杨行密，吴王食之大悦，称之为“贡品”，从此吴山贡鹅名扬天下某校学习小组以探 究“吴山贡鹅的最优销售单价”为主题展开项目学习. 驱动任务：探究吴山贡鹅销售总利润与销售单价的关系 研究步骤： (1)学习小组到合肥某特产专卖店了解到吴山贡鹅的成本为80元/千克： (2)该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对吴山贡鹅的销售量进行统计（不考 虑其他因素)： (3)数据分析，得出结论 收集数据： 贡鹅销售单价x (元/千克) 130 135 140 145 150 每月销售数量y (千克) 560 520 480 440 400 问题解决：请根据此项目实施的相关信息完成下列任务： (1)根据表中信息可知：该吴山贡鹅每月的销售数量y(千克)是吴山贡鹅的销售单价 x(元/千克)的 函数（选填“一次”或“二次”），y与x的函数关系式 为 (2)吴山贡鹅的单价定为多少时，才能使吴山贡鹅的每月销售利润w(元)最大，并求 出最大利润 【变式5-1】(2025-2026温州九上期末练习)中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗.今年 中秋节期间，某商家以50元/盒的价格购进一批某品牌月饼.在销售中，该商家发现 售价定为80元/盒时，每天可售出100盒：售价每降低1元/盒时，每天可多售出5 盒，设该品牌月饼售价降低x元/盒时，商家每天销售该品牌月饼的利润为y元 (1)求出y关于x的函数解析式： (2)要使每天销售该品牌月饼的利润为3120元，为了尽快减少库存，每盒月饼的售价 应定为多少元？ (3)每盒月饼的售价定为多少元时，每天销售该月饼获得利润最大？最大利润是多少？ 12 名校真题&实战演练 精研核心好题·告别盲目刷题 【变式5-2】(2025-2026学年徐州九上期末仿真)当今，越来越多的青少年在观看影片《流 浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升，书店为满足广大顾客需求， 订购该科幻小说若干本，每本进价为20元，根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的 销售量是250本，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利 润不低于10元且不高于18元. (1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y(本)与销售单价x(元)之间的函数关系 式及自变量的取值范围； (2)当销售单价定为多少时，书店每天销售利润最大？最大利润为多少元？ (3)书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠α(0<α≤6)元给困难职工，每天扣除捐赠后 可获得最大利润为l960元，求a的值. 【变式5-3】(2025-2026南京求真中学月考)一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进 价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y(件)与售价x(元/件)(x为正整 数)之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据： x(元/件) 6 6 y(件) 10000 9500 9000 (1)y与x的函数关系式是 (不求自变量的取值范围)； (2)在销售中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件.若某一周该商品的销售量不 于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？ (3)抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐 赠m元(1≤m≤6)，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大. 则m的取值范围为。 13