专题2.1 认识实数《知识解读·题型专练》2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 以无理数概念为起点，通过定义辨析、大小估算、性质应用、大小比较及勾股定理结合的递进式题型设计，系统构建实数认知体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |无理数的定义|3题|判断识别、概念辨析|从概念本质出发，建立无理数与有理数的区分标准| |无理数的大小估算|5题|范围确定、实际应用|基于平方数特征，培养数感与估算能力| |无理数整数部分计算|4题|整数部分提取、符号表示|深化估算应用，发展数学抽象能力| |实数的性质|6题|相反数、绝对值、数轴表示|联结数与形，体现几何直观与空间观念| |实数的大小比较|5题|直接比较、平方比较|强化运算能力，建立比较逻辑| |勾股定理与无理数|4题|数轴构造、长度计算|融合几何与代数，发展应用意识与推理能力|

专题2.1 认识实数（专题训练） 【新教材北师大版】 题型归纳 题型·1·无理数的定义 1 题型·2·无理数的大小估算 2 题型·2·无理数整数部分的有关计算.. 2 题型·3·实数的性质 3 题型·4·实数的大小比较 3 题型·5·勾股定理与无理数 4 题型·1·无理数的定义 1．在下列实数中，属于无理数的是（     ） A． B． C． D． 2．在实数：，，，，，中，无理数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．有下面四个推断： ①两个无理数的和一定是无理数； ②两个无理数的积一定是无理数； ③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ④一个有理数与一个无理数的积一定是无理数． 上述推断中，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型·2·无理数的大小估算 4．若为正整数，且满足，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．估计的值应在（     ） A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 6．一个三角形的两边长分别为和，则此三角形第三边的长可能是（     ） A． B． C． D． 7．已知，则实数m的范围是（     ） A． B． C． D． 8．学校要修建一个长为12米，宽为7米的矩形花坛，规划时需要确定花坛对角线长度来安排灌溉管道走向．通过计算，对角线的长度为米．以下对该对角线长度的估计，正确的是（    ）． A．在13米和14米之间 B．在14米和15米之间 C．在15米和16米之间 D．在16米和17米之间 题型·2·无理数整数部分的有关计算.. 9．若的整数部分为x，x的值是（    ） A．3 B．4 C．2 D．5 10．估算的整数部分是（   ） A． B． C． D． 11．+3整数部分是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 12．规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：，．按此规定的值为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型·3·实数的性质 13．的相反数是（     ） A．6 B． C． D． 14．若实数a的相反数是，则a等于（    ） A．4 B． C． D． 15．如图，数轴上点A表示的数是，点A与点B到原点的距离相等，则点B表示的数是（     ） A． B．0 C． D．25 16．在，π，3，这四个数中，最小的数是（     ） A． B．π C．3 D． 17．的相反数是______，的绝对值是______． 18．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是_____________． 题型·4·实数的大小比较 19．比较大小：_________．（填“＞”或“＜”） 20．比较大小：______1．（填“”或“”） 21．请写出一个绝对值大于且小于的无理数是_____． 22．在电子制作的过程中，我们发现电阻的阻值为，电阻的阻值为，比较大小：_____2.3（填“＞”或“＜”）． 23．若，，则a______b（填“”“”或“”）． 题型·5·勾股定理与无理数 24．如图，数轴上点A对应的数是0，点B对应的数是1，，垂足为B，以A为圆心，为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（     ） A．2.2 B． C． D． 25．如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，于点，且，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 26．如图，在中，，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点．点为原点，点所表示的数为，则的值是___________． 27．如图，数轴上有一个边长为1的正方形，其中点，表示的数分别为，，以点为圆心，对角线为半径画弧交数轴上点的左侧于点，则点表示的数为_____． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 认识实数（专题训练） 【新教材北师大版】 题型归纳 题型·1·无理数的定义 1 题型·2·无理数的大小估算 2 题型·2·无理数整数部分的有关计算.. 4 题型·3·实数的性质 6 题型·4·实数的大小比较 7 题型·5·勾股定理与无理数 9 题型·1·无理数的定义 1．在下列实数中，属于无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，均为有理数， ∴选项A、C、D不符合题意； ∵是无理数， ∴选项B符合题意． 2．在实数：，，，，，中，无理数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据无理数的概念判断即可． 【详解】解：在所列实数中，无理数有，这个． 3．有下面四个推断： ①两个无理数的和一定是无理数； ②两个无理数的积一定是无理数； ③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ④一个有理数与一个无理数的积一定是无理数． 上述推断中，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】通过举反例和反证法逐个判断四个推断的正误即可得到结果． 【详解】① 推断“两个无理数的和一定是无理数”，取无理数和，，是有理数，因此①错误； ② 推断“两个无理数的积一定是无理数”，取无理数和，，是有理数，因此②错误； ③ 推断“一个有理数与一个无理数的和一定是无理数”，设是有理数，是无理数，假设为有理数，可得， ∵ 两个有理数的差仍为有理数， ∴ 为有理数，与是无理数矛盾，因此③正确； ④ 推断“一个有理数与一个无理数的积一定是无理数”，取有理数和无理数，，是有理数，因此④错误； 综上，正确的推断只有个． 题型·2·无理数的大小估算 4．若为正整数，且满足，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】找到与相邻的完全平方数，估算的取值范围，结合已知不等式确定的值． 【详解】解：∵，，且， ∴，即， ∵为正整数且， ∴． 5．估计的值应在（     ） A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 【答案】D 【分析】先估算的取值范围，再利用不等式性质得到的范围，即可确定结果． 【详解】解：， ，即， ，即， 的值在到之间． 6．一个三角形的两边长分别为和，则此三角形第三边的长可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先估算出，设此三角形第三边的长为，再由三角形的三边关系计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴，即， 设此三角形第三边的长为， 由三角形的三边关系可得：， ∵， ∴， ∴此三角形第三边的长可能是． 7．已知，则实数m的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定的取值范围，再求出的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即； 则， ∴， 即． 8．学校要修建一个长为12米，宽为7米的矩形花坛，规划时需要确定花坛对角线长度来安排灌溉管道走向．通过计算，对角线的长度为米．以下对该对角线长度的估计，正确的是（    ）． A．在13米和14米之间 B．在14米和15米之间 C．在15米和16米之间 D．在16米和17米之间 【答案】A 【分析】找到与193相邻的两个完全平方数，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵，，， ∴， 即， 因此对角线长度在13米和14米之间． 题型·2·无理数整数部分的有关计算.. 9．若的整数部分为x，x的值是（    ） A．3 B．4 C．2 D．5 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估算，利用夹逼法求出无理数的范围，进而求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为3，即：； 故选A． 10．估算的整数部分是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数大小的估算，熟练掌握无理数大小的估算方法是解题的关键． 根据无理数大小的估算方法即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ∴的整数部分是， 故选： A． 11．+3整数部分是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】先估算的大小，进而估算的大小，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， +3整数部分是7． 故选C． 【点睛】本题考查了无理数大小的估算，正确的估算出的大小是解题的关键． 12．规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：，．按此规定的值为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先估算出，可得到的大致范围，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，新定义运算，估算出的大致范围是解题的关键． 题型·3·实数的性质 13．的相反数是（     ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，根据定义直接求解即可； 【详解】解：的相反数是． 14．若实数a的相反数是，则a等于（    ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵实数的相反数是 ∴． 15．如图，数轴上点A表示的数是，点A与点B到原点的距离相等，则点B表示的数是（     ） A． B．0 C． D．25 【答案】C 【详解】解：点A、B到原点距离相等，则两数互为相反数， 而 的相反数是， ∴点B表示的数是. 16．在，π，3，这四个数中，最小的数是（     ） A． B．π C．3 D． 【答案】D 【详解】∵正数大于一切负数， ∴四个数中的正数，大于两个负数和， 两个负数比较大小，绝对值大的数反而小， ，，且， ，因此四个数中最小的数是． 17．的相反数是______，的绝对值是______． 【答案】 【详解】解：的相反数为. ， ，则 ． 18．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质，先根据数轴推出，进而得到，据此化简绝对值和求算术平方根，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 题型·4·实数的大小比较 19．比较大小：_________．（填“＞”或“＜”） 【答案】＞ 【分析】两个负数比较大小，先比较绝对值，绝对值大的数反而小，可通过平方比较和的大小． 【详解】解：∵ ， ∵ ，， ∴ ∴． 20．比较大小：______1．（填“”或“”） 【答案】 【分析】通过变形将问题转化为比较和的大小，利用算术平方根的性质估算即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 21．请写出一个绝对值大于且小于的无理数是_____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意确定所求无理数的绝对值介于和之间，找出被开方数介于和之间的开方开不尽的数即可． 【详解】解：设所求无理数为，由题意得， ， ， 符合题意．（答案不唯一）． 22．在电子制作的过程中，我们发现电阻的阻值为，电阻的阻值为，比较大小：_____2.3（填“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】要比较两个正数的大小，可将两个数分别平方，通过比较平方结果的大小得到原数的大小关系，正数中平方更大的数更大． 【详解】解： ， ， ，， ， ． 23．若，，则a______b（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较、无理数的估算，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键．先求出，再估算，则，从而可得，由此即可得． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型·5·勾股定理与无理数 24．如图，数轴上点A对应的数是0，点B对应的数是1，，垂足为B，以A为圆心，为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（     ） A．2.2 B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据勾股定理求出的长，再根据同圆的半径相等可知＝，再根据条件：点对应的数是原点，可求出点D表示的数． 【详解】解：∵， ∴＝， ∴， ∵以为圆心，为半径画弧，交数轴于点， ∴， ∴点表示的数是：． 25．如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，于点，且，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先运用勾股定理求得线段的长，再计算出此题结果即可． 【详解】解：由题意得，， ， 点表示的数为． 26．如图，在中，，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点．点为原点，点所表示的数为，则的值是___________． 【答案】 【分析】先根据勾股定理求出的长，进而可求出A点表示的数． 【详解】解：∵， ∴． ，， ∴， ， 点表示的数是． 27．如图，数轴上有一个边长为1的正方形，其中点，表示的数分别为，，以点为圆心，对角线为半径画弧交数轴上点的左侧于点，则点表示的数为_____． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上的数字表示，勾股定理等知识点，熟练掌握勾股定理的运算是解题的关键． 利用勾股定理求出的长，得到的长，即可表示点． 【详解】解：在中，， 根据题意，可得：， 因为点表示的数为：， 故点表示的数为； 故答案为： 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $