29.2圆的有关性质知识归纳与题型突破（暑假预习讲义）2026-2027学年人教版数学九年级上册（十题型）

29.2圆的有关性质知识归纳与题型突破（暑假预习讲义）2026-2027学年人教版九年级上册（十题型） 知识归纳 【知识点1 垂径定理及其推论】 （1）垂径定理      垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论      推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．      推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．      推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 【知识点2 弧、弦、角、距的概念】 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． 【知识点3 圆周角定理及其推论】 圆周角定理 定理：圆周角的度数等于它所对的弧的圆心角度数的一半 是所对的圆心角， 是所对的圆周角， 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等 和都是所对的圆周角 推论2：直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径 是的直径 是所对的圆周角 是所对的圆周角 是的直径 【知识点4 圆内接四边形】 圆的内接四边形对角互补 四边形是的内接四边形 题型突破 题型一：由垂径定理及其推论判断正误 1.如图，是的直径，弦于点，连接、，下列结论中不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 2.在学习了《圆》这一章节之后,甲、乙两位同学分别整理了一个命题: 甲:相等的弦所对的圆心角相等;乙:平分弦的直径垂直于这条弦. 下面对这两个命题的判断,正确的是 A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错 3.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是（　　） A．DE=BE B． C．△BOC是等边三角形 D．四边形ODBC是菱形 题型二：根据垂径定理求值 1.在半径为r的圆中，弦垂直平分，若，则r的值是（    ）    A． B． C． D． 2.在中，弦，过点的直线垂直于于点，交于点，，则的长为 ． 3.如图，在中，弦，点C在上移动，连接，过点C作交于点D、E，则的最大值为 ． 4.《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，则直径长为 寸． 5.如图，是的直径，弦于点E，，若，求的长．    题型三：利用垂径定理求平行弦问题 1.在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是 ． 2.如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD = ． 3.一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径为5，水面宽为6，如果再注入一些水，当水面宽变为8时，则水的最大深度为 ．    4.如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为 ． 5.如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5． （1）若，，求的长； （2）若，且，求弦的长； 题型四：圆心角、弧、弦的概念辨析 1.下列命题：①一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；②平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；③相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；④不在同一直线上的三个点确定一个圆． 其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.下列说法正确的是（    ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等 C．弦相等，圆心到弦的距离相等 D．圆心到弦的距离相等，则弦相等 3.如图所示，在中，，则在①；②；③；④中，正确结论的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 4.如图，的顶点A、B、C均在上，点A是中点，则下列结论正确的是（　　）    A． B． C． D． 5.判断下列命题是真命题还是假命题（写在横线上）： （1）在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等． （2）在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等． （3）在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等． （4）在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦也不相等． 题型五：用圆心角、弧、弦的关系求值 1.如图，是的直径，点C，D在上，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 2.如图，是的直径，、是的两条弦，交于点G，点C是的中点，点B是的中点，若，，则的长为（   ）    A．3 B．4 C．6 D．8 3.如图，已知圆内接四边形中，对角线是的直径，，是的中点，则的面积是 ． 4.如图，A、B、C、D是上的点，如果，，那么 ．    5.如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4 cm，则⊙O的周长为 ． 题型六：利用圆心角、弧、弦的关系进行证明 1.如图，中，弦与相交于点H，，连接、．求证：．    2.如图，已知圆内接中，，为的中点，于，求证：．    3.如图，在中，弦与弦相交于点E，且．求证：．      4.如图，在上依次取点B，A，C使，连接，取的中点D，连接，在弦右侧取点E，使，且，连接．    (1)求证：． (2)若，求的长． 题型七：圆周角的运用 1.如图，是的直径，弦，交于点，若弧的度数是，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 2.如图，的直径是，，圆的半径是4，则弦的长是（    ）．    A． B． C． D． 3.如图，在中，为的直径，已知，，，，则 ．    4.如图，内接于，连接，若，则的度数为 ．    5.如图，为半圆的直径，，点到弦的距离为4，点从出发沿方向向点以每秒1个单位长度的速度运动，连接，当为等腰三角形时，点运动的时间是(    ) A．或4 B．或5 C．4或5 D．，4或5 题型八：圆内接四边形的运用 1.如图，是的直径，内接于，延长在外相交于点，若，则的度数是（    ）      A． B． C． D． 2.如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，若连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3.如图，的顶点都在上，点为上一点，且点不在上，则的大小为 ． 4.如图，的内接四边形两组对边的延长线分别交于点E、F，若，，且，则 （用含有的代数式表示）． 5.如图，以的边为直径作交于且，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 题型九：利用圆的有关性质求值 1.如图，中，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2.如图，在中，，过，两点的交于点，交于点，连接并延长交于点．连接，，若，，，则的值为（    ）． A． B． C． D．3 3.如图，为的外接圆，，垂足为点D，直径平分，交于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，求的值． 4.如图1，四边形内接于，E为延长线上一点，平分.    (1)求证：； (2)若为等边三角形，则 度；（直接写答案） (3)如图2，若为直径，过A点作于E，且，求的半径. 题型十：利用圆的有关性质进行证明 1.如图，是的外角的角平分线，与的外接圆交于点D，． (1)求所对圆心角的度数； (2)连，求证：； (3)探究线段之间的数量关系，并证明你的结论． 2.如图，已知圆的直径垂直于弦于点，连接并延长交于点，且．证明：是的中点．    3.已知为的外接圆，． (1)如图1，延长至点B，使，连接． ①求证：为直角三角形； ②若的半径为4，，求的值； (2)如图2，若，E为上的一点，且点D，E位于AC两侧，作关于对称的图形，连接，试猜想三者之间的数量关系并给予证明． 学科网（北京）股份有限公司 $29.2圆的有关性质知识归纳与题型突破（暑假预习讲义) 2026-2027学年人教版九年级上册（十题型) 知识归纳 【知识点1垂径定理及其推论】 (1)垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 (2)垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的一条弧. 【知识点2弧、弦、角、距的概念】 (1)定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 (2)推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它 们所对应的其余各组量都分别相等. 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的 “弧”是指同为优弧或劣弧， (3)正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等， 三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等.这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆 心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合. 【知识点3圆周角定理及其推论】 圆周角定理 ·∠AOB是AB所对的圆心角， 定理：圆周角的度数等于它 ∠C是AB所对的圆周角， 所对的弧的圆心角度 ∠C=∠AOB 数的一半 2 D :∠C和∠D都是AB所对的圆周 角 推论1：同弧或等弧所对的圆 ∴.∠C=∠D 周角相等 :AB是⊙O的直径 ∠C是AB所对的圆周角 推论2：直径所对的圆周角是 A ∴.∠C=90° 直角，90°的圆周 :∠C是AB所对的圆周角 角所对的弦是直径 ∠C=90° AB是⊙O的直径 【知识点4圆内接四边形】 :四边形ABCD是⊙O的内接四边形 :.∠B+∠D=180° 圆的内接四边形对角互补 ∠BAD+∠C=180° ∠C=∠DAE 题型突破 题型一：由垂径定理及其推论判断正误 1.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E,连接BC、BD,下列结论中不一定正确 的是() 0 A.AE=BE B.AD=BD C.OE=DE D.AC=BC 【答案】C 2.在学习了《圆》这一章节之后，甲、乙两位同学分别整理了一个命题： 甲：相等的弦所对的圆心角相等：乙：平分弦的直径垂直于这条弦 下面对这两个命题的判断，正确的是 A.甲对乙错 B.甲错乙对 C.甲乙都对 D.甲乙都错 【答案】D 3.如图，AB是⊙0的直径，弦CD⊥AB于点E,则下列结论正确的是() A.DE=BE B.BC=BD C.△B0C是等边三角形 D.四边形ODBC是菱形 【答案】B 题型二：根据垂径定理求值 1.在半径为r的圆中，弦BC垂直平分OA,若BC=6,则r的值是( A.3 B.33 c.23 33 2 【答案】C 2.在⊙0中，弦AB=8,过点0的直线垂直于AB于点D,交⊙0于点E,OD=3,则 DE的长为 【答案】2或8 3.如图，在⊙O中，弦AB=6,点C在AB上移动，连接OC,过点C作DE⊥OC交⊙0于 点DE,则DE的最大值为， 【答案】6 4.《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆 材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之、深一寸，锯道长一尺， 问径几何？”用几何语言表达为：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,EB=I寸， CD=I0寸，则直径AB长为 寸. B 0 0 【答案】26 5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点B,CD=2OE,若AB=4,求CD的长. 0 C B 【答案】 2V2 【详解】解：连接OC, ,AB=4, ..OC=OB=2. CD⊥AB,CD=2OE, CE=DE=OE-CD.20EC-90 1 2 .2CE2=22, 解得：CE=2, CD=2CE-22 A E B 题型三：利用垂径定理求平行弦问题 1.在半径为10的⊙O中，弦AB=12,弦CD=16,且AB‖CD,则AB与CD之间的距离 是一 【答案】2或14 2.如图，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G,B,F,E,GB=5,驴=4，那么AD= D E C B G 【答案】 3.一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径为5，水面宽AB为6，如果再注入一些 水，当水面宽变为8时，则水的最大深度为一· B 【答案】2或8 4.如图，AB,CD是半径为15的⊙0的两条弦，AB=24,CD=18,N是直径，AB⊥N于点 E,CD⊥MN于点F,P为EF上任意一点，则PA十PC的最小值为一· 【答案】21V2 5.如图，A,B,C,D在⊙O上，AB/1CD经过圆心O的线段EF⊥AB于点F,与CD交于 点B,已知⊙0半径为5. F B D (1)若AB=6,CD=8,求EF的长： (2)若CD=4V6,且EF=BF,求弦AB的长： 【答案】(1)7；(2)8 【详解】解：(1)连接A0和D0, B E EF⊥AB,且EF过圆心， N-号AB=3 A0=5, OF=AO-AF2=4 .AB//CD, .EF⊥CD 同理DE=CD=4, 0E=V0D2-DE=3' ∴.EF=OF+OE=4+3=7: (2)如图，连接B0和D0, 万 D :CD=46, DE=26, OE=OD2-DE2=1' 设EF=BF=X,则OF=X-1, 在Rt△OBF中，OF+BF2=BO, x-1P+X=25解得x1=4X,=-3(舍去)， .BF=4, ..AB=2BF=8. 题型四：圆心角、弧、弦的概念辨析 1.下列命题：①一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；②平分弦的直径垂直于 弦，并且平分弦所对的两条弧：③相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；④不在 同一直线上的三个点确定一个圆.其中正确的个数是( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 2.下列说法正确的是( ) A.相等的圆心角所对的弧相等 B.在同圆中，等弧所对的圆心角相等 C.弦相等，圆心到弦的距离相等 D.圆心到弦的距离相等，则弦相等 【答案】B 3.如图所示，在⊙O中，AB=CD,则在①AB=CD;②AC=BD;③ ∠AOC=∠BOD;④AC=BD中，正确结论的个数是( B A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 4.如图，△ABC的顶点A、BC均在⊙O上，点A是CB中点，则下列结论正确的是( ) B A.AB=OC B.∠BAC+∠AOC=180° C.BC=2AC D.∠BAC+∠A0C=180° 2 【答案】B 5.判断下列命题是真命题还是假命题（写在横线上）： (1)在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等. (2)在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等， (3)在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等。 (4)在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦也不相等. 【答案】 真命题 假命题 真命题 假命题 题型五：用圆心角、弧、弦的关系求值 1.如图，AB是⊙O的直径，点C,D在⊙O上，AC=AD,∠AOD=70°，则∠BCO 的度数是( B 0 A.30° B.35° C.40° D.55° 【答案】B 2.如图，AB是⊙O的直径，CD、BE是⊙O的两条弦，CD交AB于点G,点C是BE的中 点，点B是CD的中点，若AB=10,BG=2,则BE的长为() B A.3 B.4 C.6 D.8 【答案】D 3.如图，已知圆内接四边形ABCD中，对角线AD是⊙O的直径，AB=BC=CD=2,E 是AD的中点，则△ADE的面积是 D 【答案】4 4.如图，A、BCD是⊙O上的点，如果AB=CD,∠AOB=70°，那么∠COD= B 【答案】70 5.如图，AB是⊙0的直径，四边形ABCD内接于⊙0，若BC=CD=DA=4cm,则⊙0的周长为_ 【答案】8πcm 题型六：利用圆心角、弧、弦的关系进行证明 1.如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点HAB=CD,连接AD、BC.求证：AH=CH 【答案】见解析 【详解】证明：，AB=CD .AB=CD .'AC+BC=AC+AD, BC-AD .AD=BC, .AC=AC, .∠ADH=∠CBH, BD=BD ∴.∠A=∠C, △ADH≌△CBH(ASA) .AH=CH. 2.如图，已知圆内接△ABC中，AB>AC,D为BAC的中点，DE⊥AB于E,求证： BD2-AD=AB·AC B 【答案】 【详解】证明：在BA上截取BF=CA,连接DF,DC,如图， D B D为BAC的中点， .DB=DC,∠DBF=∠ACD, 在△DBF,△DCA中， b, .△DBF≌△DCA(SAS), ..DF=DA, :DE⊥AB, ∴.AE=EF, .BF=BE-EF=BE-AE=CA. 在Rt△BDE,Rt△ADE中，BD2=BE2+DE2,AD2=AE2+DE2, 六BD2-AD'=BE2-AE2=(BE+AE(BE-AE)=ABAC即 BD2-AD=AB·AC 3.如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E,且AB=CD.求证：CE=BE Q 【答案】见解析 【详解】证明：.AB=CD, .'.AB=CD' ∴.AB-BC=CD-BC 即AC=BD, ∴.∠B=∠C, ∴.BE=CE; 4.如图，在⊙O上依次取点B,A,C使BA=AC,连接AC,AB,BC,取AB的中点 D,连接CD,在弦BC右侧取点B,使2CE=AC,且CE‖AB,连接BE. (1)求证：△DBC≈△ECB. (②)若AC=8,∠ABC=30°，求BE的长. 【答案】(1)见解析 (②)4V7 【详解】(1)BA=AC, ..BA=CA, 2CE=AC. ..BA=2CE, :D为AB的中点， ..BA=2BD, ..BD=CE, CE‖AB, .∠DBC=∠ECB .BC=BC, .△DBC≈△ECB (2)作DH⊥AC于点H, B .BA=CA, ∴.∠ACB=∠ABC=30°，DAH=∠ACB+∠ABC=60· .BA=CA=8, ..DA=4,HA=2,HC=HA+AC=10,HD=23. 在Rt△DHC中，DC=V/DH2+HC=23+102=47 :△DBC≈△ECB, ..BE=CD=47. 题型七：圆周角的运用 1.如图，AB是⊙O的直径，弦AC,BD交于点E,若弧CD的度数是54°，则∠AED的 度数是() 0 B A.54° B.60° C.63° D.72° 【答案】C 2.如图，⊙O的直径是AB,∠BPQ=45°，圆的半径是4，则弦BQ的长是( 0 A.43 B.4V2 c.23 D.2V2 【答案】B 3.如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，己知AB=4,CD=1,∠B=55°， ∠C=65°，则BC= 【答案】V13 4.如图，△ABC内接于⊙O,AC=BC,连接OB,若∠C=52°，则∠OBC的度数为 【答案】26°/26度 5.如图，AB为半圆的直径，AB=10,点O到弦AC的距离为4，点P从出发沿BA方向向 点A以每秒1个单位长度的速度运动，连接CP,当△APC为等腰三角形时，点P运动的时 间是( ) C B A. 4或4 14 B. 或5 C.4或5 D. 1 5, 4或5 5 【答案】D 题型八：圆内接四边形的运用 1.如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙0，OC⊥AD,延长AB,CD在⊙0外相交于点 E,若∠ACD=100°，则∠E的度数是( ) D B E A.25 B.30° C.35 D.40° 【答案】B 2.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE,若 ∠BCD=2∠BAD,若连接OD,则∠DOE的度数是( B E A.30° B.35° C.45° D.60° 【答案】D ▣OABC AB、C 3.如图， 的顶点 都在 上，点D为0 ⊙0 上一点，且点D不在B上 则∠ADB的大小为 D A 【答案】30 4.如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点R、F,若∠E=Q, ∠F=B,且a≠B,则∠A= (用含有a、β的代数式表示)， E a 0 【答案】 180°-&-β 2 5.如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O交AC于D且OD‖BC,⊙O交BC于点E. (1)求证：CD=DE: (2)若AB=12,AD=4,求CE的长度. 【答案】()证明见解析 8 【详解】(1)证明：：四边形ABED内接于⊙O, .∠DEB+∠A=180°， 又∠DEB+∠DEC=180° .∠DEC=∠A, OD‖BC, ∴.∠C=∠ADO, OA=OD. ∴.∠A=∠ADO .∠C=∠DEC, ..CD=DE: (2)解：如图所示，连接AE, B AB为直径， .∠AEB=90°， ∴.∠CAE+∠C=90°，∠AED+∠DEC=90°， 由(1)CD=DE,∠C=∠DEC, ,∠CAE=∠AED, ..AD=DE. ..AD=DC, ,AC=2AD=8, 由(1)可得∠BAC=∠ADO,∠C=∠ADO, 则∠C=∠BAC, .AB=BC=12, 设CE=x,则BE=12-x, .AC2-CE2=AB2-BE2, g2-X2=122-(12-x2 解得号 CE=8 题型九：利用圆的有关性质求值 1.如图，⊙O中，OA⊥BC,∠B=50°，则∠D的度数为( B A.20° B.50° C.40° D.25° 【答案】A 2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，过B,C两点的⊙O交AC于点D,交AB于点E, 连接EO并延长交⊙O于点F.连接BF,CF,若∠EDC=135°，AE=2,BE=4,则 CF的值为( D 0 B A.V10 B.2/2 c.23 D.3 【答案】A 3.如图，⊙O为△ABC的外接圆，AD⊥BC,垂足为点D,直径AE平分∠BAD,交 BC于点R,连接BE 4 D (1)求证：BE=BF: (2)若AB=10,BF=5,求EF:AF的值. 【答案】(1)见解析 (2)2:3 【详解】(1).直径AE平分∠BAD, .∠BAE=∠DAE,∠ABE=90° .∴.∠BAE+∠AEB=90°， .AD⊥BC, .∠DAE+∠AFD=90°， ∴.∠AEB=∠AFD ,:∠AFD=∠BFE, ∴.∠BFE=∠BEF, ∴.BE=BF (2)过点B作BH⊥EA, 在Rt△EBA中，根据勾股定理得 EA-BE2+BA2-55 BE·BA=EA·BH 2 2 .BH=25 在Rt△BHE中，根据勾股定理得 EH=VBE2-BH2=V5 .'BE=BF,BH⊥EA ∴.EF=2V5 ∴.AF=3V5 ∴.EF:AF=2:3. A B D E 4.如图1，四边形ADBC内接于⊙O,E为BD延长线上一点，AD平分∠EDC D D ·0 B 图1 图2 (1)求证：AB=AC: (2)若△ABC为等边三角形，则∠EDA=_度；（直接写答案） (3)如图2，若CD为直径，过A点作AE⊥BD于E,且DB=AE=2,求⊙O的半径 【答案】(1)见解析 (2)60 (3)5 【详解】(1)证明：：AD平分∠EDC, .∠EDA=∠ADC, ,四边形ADBC是圆⊙O内接四边形， ,∠EDA=∠ACB,又∠ADC=∠ABC, .∠ABC=∠ACB, ∴.AB=AC; (2)解：，△ABC为等边三角形， .∠ACB=60°， 又，四边形ADBC是圆⊙O内接四边形， ∴.∠EDA=∠ACB=60°， 故答案为：60： (3)解：在图2中，连接AO延长交BC于H,交⊙O于 K, E A D H 图2 .AB=AC. ∴.AB=AC,则BK=CK, .AH⊥BC,BH=CH, CD为直径， ∴.∠DBC=90°，又AE⊥BD, ∴.∠AEB=∠EBC=∠AHB=90° ∴四边形AEBH是矩形， ..BH=AE. .DB=AE=2. .BH=2,则BC=2BH=4, 在Rt△DBC中，CD=BD2+BC=2+4=25 .⊙0的半径为5. 题型十：利用圆的有关性质进行证明 1.如图，CD是△ABC的外角∠ECB的角平分线，与△ABC的外接圆⊙O交于点D, ∠ECB=120°. E E D D B 备用图 (1)求AB所对圆心角的度数： (2)连DB,DA,求证：DA=DB: (3)探究线段CD,CA,CB之间的数量关系，并证明你的结论. 【答案】(1)120° (2)见解析 (3)CB=CD+CA,证明见解析 【详解】(1)解：如图，连接OA,OB, D δ B ,∠ECB=120°， .∠ACB=180°-120°=60°， .AB=AB, ∴，∠ADB=∠ACB=60°， .AB所对圆心角∠AOB=2∠ADB=120°： (2)证明：CD是△ABC的外角∠ECB的角平分线，∠ECB=120°， ·∠DCB= 2 ∠ECB=60°， .DB=DB, .∠DCB=∠DAB=60°， 又∠ADB=60°， ∴，△ABD是等边三角形， ..DA=DB: (3)CB=CD+CA,证明：如图，延长CD至F,使DF=CA,连接BF, E F 0 A B ,四边形ABDC是圆内四边形， ∴.∠CDB+∠CAB=180°， ,∠CDB+∠FDB=180°， ∴.∠FDB=∠CAB 由(2)知△ABD是等边三角形， ∴.AB=BD .△CAB≌△FDB SAS, ∴∠ACB=∠F=60°，CB=BF, ∴.△CBF是等边三角形， ∴，CF=BC=CD+DF=CD+AC, 即CB=CD+CA. 2.如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E,连接CO并延长交AD于点F,且 CF⊥AD.证明：E是OB的中点. E D B 【答案】 【详解】证明：连接AC,如图， E B ,直径AB垂直于弦CD于点E, ..AC=AD, ∴.AC=AD, :过圆心O的CF⊥AD, ..AC=CD ..AC=CD, ∴.AC=AD=CD 则△ACD是等边三角形，又CF⊥AD, ∠FD-ACD=30 &在Rt△COE中，OE=OC OE10B. .点E为OB的中点. 3.已知⊙O为△ACD的外接圆，AD=CD B D 0 图1 图2 (1)如图1，延长AD至点B,使BD=AD,连接CB. ①求证：△ABC为直角三角形： ②若⊙O的半径为4，AD=5,求BC的值： (2)如图2，若∠ADC=90°，E为⊙O上的一点，且点D,E位于AC两侧，作△ADE关 于AD对称的图形△ADQ,连接QC,试猜想QA,QC,QD三者之间的数量关系并给予证 明. 【答案】（①①见解析：②5 4 (2)QC2=2QD2+QA2,证明见解析 【详解】(1)①证明：，AD=CD,BD=AD ∴.DB=DC .∠DAC=∠DCA,∠DCB=∠DBC .·∠BAC+∠ACB+∠B=180° .∴.∠DAC+∠DCA+∠DCB+∠DBC=180° .∴.∠DCA+∠DCB=90 即∠ACB=90 ∴.△ABC为直角三角形： ②解：连接OA,OD,如图， B D <H 0 .AD=CD, .AD=CD. .OD⊥AC且AH=CH, ,⊙0的半径为4， ∴.OA=OD=4. 设DH=x,则OH=4-x, .AH2=OA2-OH2,AH2=AD2-DH2, 52-x2=42-4-x2 解得：X=25 8 M:点 由①知：BC⊥AC, OD⊥AC, .OD‖BC .AH=CH, BC=2DH-25 4 (2)解：QC2=2QD2+QA2,证明如下： 延长QA交⊙O于点F,连接DF,FC,如图， :∠ADC=90°，AD=CD ∴.∠DAC=∠DCA=45° ∴.∠DFA=∠E=∠DCA=45°，∠DFC=∠DAC=45° ∴.∠QFC=∠AFD+∠DFC=90° ∴.QC2=QF2+CF2. ,△ADQ与△ADE关于AD对称， ∴.∠DQA=∠E=45°， ,∠DQA=∠DFA=45°， ∴DQ=DF .∠QDF=180°-∠DQA-∠QFD=90°. ..DQ2+DF2=QF2. 即QF2=2DQ2. ,∠QDF=∠ADC=90°， ∴.∠QDA=∠CDF. 在△QDA和△FDC中， b, .△QDA≌△FDC. ∴.QA=FC. ∴.QC2=2QD2+QA2