16.3.2 完全平方公式 同步练习 2026—2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学完全平方公式同步练，通过三级分层设计（基础12题、中档8题、难题7题），实现从公式识别到综合应用的递进，强化运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |★☆☆|公式直接应用（识别、展开）|选择题1直接考查公式结构，强化抽象能力| |★★☆|公式变形与简单应用（参数求解、化简）|填空题13参数双向求解，培养推理意识| |★★★|综合应用与探究（几何、实际问题、规律）|解答题21几何面积应用，体现模型意识|

第十六章 整式的乘法 16.3.2 完全平方公式 难度：★☆☆ 1. 下列可以用完全平方公式 (a+b)² = a²+2ab+b² 直接展开的是（ ） A. (x+2)² B. (x+2)(x-2) C. (x+2)(x+3) D. (x+2)³ 2. 计算 (a+3)² 的结果为（ ） A. a²+6a+9 B. a²+9 C. a²+3a+9 D. a²+6a+3 3. 计算 (2m-1)² 的结果为（ ） A. 4m²-4m+1 B. 4m²-2m+1 C. 4m²-4m-1 D. 2m²-4m+1 4. 下列代数式中，能写成完全平方式（两数之和的平方）的是（ ） A. a²+b² B. a²+2ab-b² C. a²+2ab+b² D. a²+4ab+b² 5. 下列计算正确的是（ ） A. (x+1)² = x²+1 B. (x-1)² = x²-2x+1 C. (2x+1)² = 4x²+2x+1 D. (x+2)² = x²+4x+2 6. 若 (x+m)² = x²+4x+n，则 m = ______，n = ______（ ） A. m=2，n=4 B. m=2， n=16 C. m=-2， n=4 D. m=-2，n=16 7. 计算 (3a+2b)² 的结果为（ ） A. 9a²+12ab+4b² B. 9a²+6ab+4b² C. 9a²+12ab+2b² D. 3a²+12ab+4b² 8. 用完全平方公式计算 101² 的结果为（ ） A. 10201 B. 100201 C. 10821 D. 10021 9. 若 x²+6x+k 是完全平方式，则 k 的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 10. 一个正方形的边长为 (x+1) cm，则它的面积为（ ）cm² A. x²+1 B. x²+2x C. x²+2x+1 D. x²+1+2x 11. 若 (a-3)² = a²-6a+b，则 b 的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. -9 12. 计算 (a+4)² - (a+2)² 的结果为（ ） A. 4a+12 B. 4a+4 C. 8a+12 D. 2a+12 难度：★★☆ 13. 若 (x+a)² = x²+bx+16，则 a = ______，b = ______。 14. 化简 (2x+3)² - 4x² = ______。 15. 若 x+y = 4，xy=3，则 (x+y)² - 2xy = ______。 16. 一个正方形边长增加 3 cm 后面积增加 39 cm²，则原正方形边长为______ cm。 17. 观察：(x-1)² = x²-2x+1；(x-2)² = x²-4x+4； 则 (x-3)² = ______，(x-n)² = ______。 18. 已知 x = 3，y = 2，则 (x+y)² - (x-y)² = ______。 19. 化简 (a+b-1)² = ______。 20. 若 (x-2)² = x²-4x+m，则 m =______； 若 (2x+a)² = 4x²+bx+9，则 a =______，b =______。 难度：★★★ 21. 【几何面积】一块正方形地面，边长为 x m。 (1) 用完全平方公式表示这块地面的面积； (2) 若边长增加 2 m，求增加部分的面积（用含 x 的代数式表示）； (3) 当 x = 8 时，求增加部分的实际面积。 22. 【完全平方式探究】 若多项式 x² + 6x + k 是完全平方式，求 k 的值并说明理由。 23. 【利润问题】 某商品进价为 a 元/件，标价比进价多 20 元。 (1) 用含 a 的代数式表示该商品的标价； (2) 若按标价打 9 折出售，求每件利润（用含 a 的代数式表示）； (3) 当利润为 10 元时，求 a 的值。 24. 【规律探究】 观察下列完全平方展开等式： 第 1 个： 第 2 个： 第 3 个： (1) 直接写出 与 的展开式； (2) 若 ，求常数 k 的值； (3) 利用完全平方公式简便计算 。 25. 【实际应用】 某广场计划建一个边长为 x m 的正方形花坛。 (1) 若边长增加 5 m，面积增加多少平方米？（用含 x 的代数式表示） (2) 若面积增加 165 m²，求原正方形花坛的边长 x； (3) 当 x = 10 时，扩建后花坛的面积是原来面积的多少倍？ 26. 【参数讨论】 已知 (x+a)² = x²+bx+36 对任意 x 都成立。 (1) 求 a 的值； (2) 当 x = 1 时，求 bx 的值； (3) 判断 bx+36 是否为完全平方式，并说明理由。 27. 【综合探究】 已知实数 a、b 满足 a+b = 7，ab = 10。 (1) 求 (a-b)² 的值； (2) 求 a²+b² 的值； (3) 写出满足条件的一组 (a, b) 的具体数值。 参考答案 1. A 2. A 3. A 4. C 5. B 6. A 7. A 8. A 9. C 10. C 11. C 12. A 13. a²=16 ⇒ a=±4；b=2a=±8，故 a=±4, b=±8。 14. (2x+3)²-4x² = (4x²+12x+9)-4x² = 12x+9。 15.10 16. 设原边长 a cm，(a+3)²-a² = 6a+9 = 39，解 6a=30，a=5 cm。 17. (x-3)² = x²-6x+9；(x-n)² = x²-2nx+n²。 18. (x+y)²-(x-y)² = (x²+2xy+y²)-(x²-2xy+y²) = 4xy = 4×3×2 = 24。 19. (a+b-1)² = [(a+b)-1]² = (a+b)²-2(a+b)+1 = a²+2ab+b²-2a-2b+1。 20. (x-2)² = x²-4x+4，故 m=4。 (2x+a)² = 4x²+4ax+a² = 4x²+bx+9， 故 4ax+a²=bx+9，即 4a=b 且 a²=9，故 a=±3，b=±12。 21. (1) x² (m²)。 (2) 增加部分面积 = (x+2)²-x² = x²+4x+4-x² = 4x+4 (m²)。 (3) x=8 时，4x+4 = 4×8+4 = 36 (m²)。 22. x²+6x+k = (x+3)² ⇒ x²+6x+9，故 k=9。 理由：若 k=9，则 x²+6x+9 = (x+3)²，完全平方公式成立。 23. (1) 标价 = a+20 (元)。 (2) 利润 = 0.9(a+20)-a = 0.9a+18-a = -0.1a+18 (元)。 (3) -0.1a+18 = 10 ⇒ -0.1a = -8 ⇒ a = 80 (元)。 24.(1) ； (2) 由 ，得 (3) 25. (1) 增加面积 = (x+5)²-x² = 10x+25 (m²)。 (2) 10x+25=165 ⇒ 10x=140 ⇒ x=14 m。 (3) 原面积 = 14²=196 m²；扩建后面积 = (14+5)²=19²=361 m²； 361÷196 = ≈ 1.84倍。 26. (1) (x+a)² = x²+2ax+a² = x²+bx+36，故 2a=b 且 a²=36，a=±6，b=±12。 (2) x=1 时，bx = b × 1 = b = ±12。 (3)不是完全平方式。 理由：完全平方式分为单项式平方、二次三项式平方，次数只能是 0、2、4……； 是一次二项式，最高次数为 1，无法写成某个整式的平方，因此不是完全平方式。 27. (1) (a-b)² = (a+b)²-4ab = 49-40 = 9。 (2) a²+b² = (a+b)²-2ab = 49-20 = 29。 (3) 解方程组： a+b=7, ab=10 ⇒ t²-7t+10=0 ⇒ (t-5)(t-2)=0 ⇒ t=5 或 t=2 故 (a,b) = (5,2) 或 (2,5)。 学科网（北京）股份有限公司 $