1.4 正方形的性质与判定(2) 同步练2026-2027学年数学九年级上册北师大版

**基本信息** 三级分层设计，覆盖正方形判定与性质，从基础巩固到综合拓展，适配新授课差异化教学需求，培养几何直观、推理能力与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|单一判定方法（矩形/菱形→正方形）|选择填空结合基础证明，如补充矩形变正方形条件，夯实概念理解| |B级|性质综合应用（与中点、动态图形结合）|几何动态问题，如正方形中对称点移动，提升空间观念与运算能力| |C级|动态探究与定值证明|探究性证明题，如矩形DEFG为正方形及CE+CG定值，发展推理意识与创新思维|

第一章 特殊平行四边形 第四节 正方形的性质与判定(2) 今日复习 正方形的判定： (1)有一组邻边相等并且有一个角是直角的 是正方形； (2)有一组邻边相等的 是正方形； (3)有一个角是直角的 是正方形. 名师点拨 正方形的判定方法： (1)平行四边形+一个矩形的独有特征+一个菱形的独有特征⇒正方形； (2)菱形+一个矩形的独有特征⇒正方形； (3)矩形+一个菱形的独有特征⇒正方形. 课时三级达标 A级 双基过手 1.(2026·编写)如图,四边形 ABCD 是矩形，则只需补充条件 (用字母表示，只添加一个条件)就可以判定四边形ABCD是正方形. 2.(1)(2026·编写)如图,在矩形ABCD中,M,N分别是边AD,BC 的中点,E,F分别是边 BM,CM 的中点,当 AB :AD= 时,四边形 MENF 是正方形. (2)(2026·编写)数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个如图1所示的菱形教具，此时测得∠D=60°,对角线 AC长为16 cm,改变教具的形状成为如图2所示的正方形，则正方形的边长为 . 3.(2026·编写)如图，下列四组条件中，能判定□ABCD 是正方形的有 个.①AB=BC,∠A=90°;②AC⊥BD,AC=BD;③OA=OD,BC=CD;④∠BOC=90°,∠ABD=∠DCA. 4.(2026·编写)如图,E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,DA 的中点,要使四边形EFGH 是正方形,BD,AC应满足的条件是 . 5.(2026·编写)如图,四边形 ABCD 是矩形，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是 ( ) A.∠D=90° B. BC=CD C. AD=BC D. AB=CD 6.(2026·编写)如图,四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是 ( ) A.当AB=BC时,它是菱形 B.当∠ABC=90°时,它是矩形 C.当AC⊥BD时,它是菱形 D.当AC=BD时,它是正方形 7.(2026·编写)已知四边形 EFGH 是平行四边形，则下列结论中正确的是 ( ) A.当EG=FH时,它是菱形 B.当EG⊥FH时,它是矩形 C.当EF=FG时,它是菱形 D.当∠EFG=90°时,它是正方形 8.(2025·东部新区)下列说法中，正确的是( ) A.四个角相等的四边形是矩形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.对角线相等的四边形是矩形 D.四条边相等的四边形是正方形 9.如图,在四边形ABCD中,AB=BC,对角线 BD平分∠ABC,P 是BD 上一点,过点 P 作 PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为点 M,N. (1)求证:∠ADB=∠CDB; (2)若∠ADC=90°,求证:四边形 MPND是正方形. 10.(2025·青羊)如图,四边形 AECF 是菱形,对角线AC,EF 交于点O,D,B是对角线EF 所在直线上两点，且DE=BF，连接 AD,AB,CD,CB,已知∠ADO=45°. (1)求证:四边形ABCD 是正方形; (2)若正方形 ABCD的面积为72,BF=4,求点 F 到线段AE 的距离. B级 能力提升 11.(2026·编写)如图,正方形 ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点 F在BC边上，点B 关于直线EF 的对称点记为点B',连接B'D,B'E,B'F.当点 F在BC边上移动使得四边形 BEB'F成为正方形时,B'D 的长为 . 12. (2026 ·编写)如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AD是BC 边上的中线,E为AD 的中点,过点 A 作AF ∥BC 交BE 的延长线于点 F.连接 CF,当∠ACB= 时,四边形ADCF 为正方形;连接DF,当∠ACB= 时,四边形 ABDF 为菱形. 13.(2026·编写)如图,以Rt△ABC 的斜边 BC 为边，向外作正方形 BCDE，设正方形的对角线 BD与CE 的交点为O,连接AO.如果AC=3,AO=6,那么 AB的值是 14.(2026·编写)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,AB=BC=4,AD=3,E是边AB 上一点,且∠DCE=45°,求 DE的长度. C C级 综合拓展 15.(2026·编写)如图,已知四边形 ABCD为正方形， E为对角线AC上一动点,连接DE,过点 E作EF⊥DE,交BC于点 F,以 DE,EF 为邻边作矩形DEFG,连接CG. (1)求证:矩形 DEFG是正方形. (2)探究：CE+CG的值是否为定值?若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由. 【今日复习】 (1)平行四边形 (2)矩形 (3)菱形 【课时三级达标】 A级(双基过手) 1. AB=AD(答案不唯一) 2.(1)1:2 (2)16 cm 3.4 4. BD=AC且BD⊥AC 5. B 6. D 7. C 8. A 9.【证明】(1)∵对角线 BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠CBD.∵AB=CB,BD=BD, ∴△ABD≌△CBD(SAS),∴∠ADB=∠CDB. (2)∵PM⊥AD,PN⊥CD,∴∠PMD=∠PND=90°. ∵∠ADC=90°,∴四边形 MPND 是矩形. ∵∠ADB=∠CDB,PM⊥AD,PN⊥CD, ∴PM=PN,∴四边形MPND是正方形. 10.(1)【证明】∵菱形 AECF 的对角线AC,EF交于点O, ∴AC⊥EF,OA=OC, OE=OF. ∵DE=BF,∴BO=DO. 又∵AC⊥BD, ∴四边形ABCD是菱形. ∵∠ADO=45°, ∴∠DAO=∠ADO=45°, ∴AO=DO,∴AC=BD, ∴四边形 ABCD是正方形. (2)【解】∵正方形 ABCD 的面积为72, ∴BO=DO=CO=AO=6,∴AC=12. ∵BF=4,∴OF=BO-BF=2. ∵四边形 AECF 是菱形, ∴EF=2EO=2OF=4,AC⊥EF, ∴菱形AFCE的面积 在 Rt△AOE中, 设点 F到线段AE 的距离为h， 则AE·h=24,即 即点 F 到线段AE 的距离为 B级(能力提升) 11. 12.45°30° 14.【解】如图,过点 C作CG⊥AD交AD 延长线于点G,并延长DG至点F,使GF=BE. ∵∠A=∠B=∠CGA=90°,AB=BC, ∴四边形 ABCG为正方形， ∴AG=BC=4,∠BCG=90°,BC=CG. ∵AD=3,∴DG=4-3=1. ∵BC=CG,∠B=∠CGF=90°,BE=GF, ∴△EBC≌△FGC(SAS), ∴CE=CF,∠ECB=∠FCG. ∵∠DCE=45°, ∴∠DCG+∠BCE=∠DCG+∠FCG=45°, ∴∠DCE=∠DCF. ∵CE=CF,∠DCE=∠DCF,DC=DC, ∴△ECD≌△FCD(SAS),∴DE=DF. 设DE=x,则EB=GF=x-1, ∴AE=4-(x-1)=5-x. 在Rt△AED中, ,解得x=3.4, ∴DE=3.4. C级(综合拓展) 15.(1)【证明】如图,过点E作EM⊥BC于点M,EN⊥CD于点N,∴∠MEN=90°. ∵E是正方形ABCD 对角线上的点， ∴EM=EN. ∵∠DEF=90°,∴∠DEN=∠MEF. ENVIVILIVILISENGM 在△DEN和△FEM中, ∴△DEN≌△FEM(ASA),∴EF=DE. ∵四边形 DEFG是矩形,∴矩形 DEFG是正方形. (2)【解】CE+CG的值是定值,定值为6.理由如下: 在正方形 DEFG 和正方形 ABCD 中,DE=DG,AD=CD. ∵ ∠CDG + ∠CDE = ∠ADE + ∠CDE = 90°, ∴∠CDG=∠ADE. 在△ADE和△CDG中 ∴△ADE≌△CDG(SAS),∴AE=CG, 即CE+CG的值是定值，定值为6. 学科网（北京）股份有限公司 $