福建省莆田市哲理中学2025-2026学年八年级上学期第一次月考数学

**基本信息** 以真实情境为载体，融合文化传承与科技应用，梯度设计考查几何核心知识，培养数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/40|轴对称图形（博览会徽标）、三角形全等（沙燕风筝骨架）|结合非遗文化与生活场景| |填空题|6/24|三角形稳定性（榫卯结构）、三角板角度计算|联系传统工艺与工具使用| |解答题|9/56|全等证明（斜拉桥钢绳）、距离测量（池塘项目式学习）|综合应用与创新实践，体现数学语言表达|

2025-2026学年上学期哲理中学八年级第一次月考 一、单选题（每题4分，共40分） 1．中国的博览会是指规模庞大、内容广泛、展出者和参观者众多的展览会．下面各博览会徽标中，是轴对称图形的是（   ） A．B．  C．   D．   2．某晾衣架的示意图如图所示，若，则晾衣架底部横杆的长可能为（   ） A．50 B．56 C．60 D．66 3．如图，飞机要从地飞往地，因受大风影响，一开始就偏离航线（）（即），飞到了地，经地的导航站测得．此时飞机必须沿某一方向飞行才能到达地．则这一方向与方向的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，中，是的平分线，，垂足为E．若，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 5．如图是设计师为公园设计的一座斜拉桥的剖面图，是桥面，是桥柱，设计大桥时要保证桥柱和桥面是垂直的，且两根钢绳，与桥面的夹角相等，则下列说法中不正确的是（   ） A． B． C．为的中点 D． 6．请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出的依据是（　　） A． B． C． D． 7．沙燕风筝以深厚的文化底蕴、高超的制作技艺著称，已被列入国家级非遗名录．在如图所示的“风筝”骨架图案中，若，则添加如下的一个条件仍不能证明的是（　　）    A． B． C． D． 8．如图：三角形中，两个外角的平分线交于点D，度，则的度数是（    ）度 A．50 B．55 C．80 D．65 9．如图，在中，已知D为上一点，E、F分别为、的中点，且，则的面积为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 10．如图，在和中，，，，，连接、交于点，连接，下列结论：①；②；③平分，其中正确的为（   ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 二、填空题（每题4分） 11．太空舱是飞船进入轨道后航天员工作和生活的场所．如图是一个太空舱的简易图，它的对称轴有 条． 12．李爷爷是远近闻名的木匠，他善于运用榫卯结构制作各种家具，如图是李爷爷用榫卯结构制作的板凳，为了使板凳更加稳固，李爷爷在板凳的两条支腿中间固定上一根木条，这样做其中蕴含的数学原理是 ． 13．如图，与是一副叠放在一起的三角板，则 ． 14．如图，，和，和是对应边，四个点A、F、E、C在同一条直线上，若，，则 ． 15．如图，在中，，点D为BC的中点，则AD的取值范围为 ． 16．已知，，，是的三条边长，记，其中为整数．若，，，则t的取值范围为 ． 三、解答题 17．（8分）已知中，是的角平分线，是边上的高，且，，求的度数； 18． （8分）如图，，且，，求证：. D E F C B A 19．（8分）将一个三角形的其中一个角撕下来，拼到另一个角的旁边，可以得到三角形三个内角的和为．小明认为，不用撕角，利用尺规作平行线也可以说明这个结论．如图，，，是的三个内角． (1)利用尺规作过点的直线，使；（不写作法，保留作图痕迹） (2)试说明． 20．（8分）如图，海岸上有A，B两个观测点，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点的正北方．如果从观测点A看海岛C，D的视角与从观测点B看海岛C，D的视角相等，那么海岛C，B所在海岸的距离相等吗？为什么？ 21．（8分）如图，在中，是的中点， 于， 于点，且，求证：平分． 22．（10分）教材60页给出了如下问题：“如图，，分别是的对应边上的中线．与有什么关系？证明你的结论．” 通过对这道题的证明，我们可以得到一个真命题“全等三角形对应边上的中线相等”． 由此，我们猜想以下两个命题也是真命题． 命题1：全等三角形对应边上的高相等； 命题2：全等三角形对应角的平分线相等． 请你从中任选一个命题，画出图形，写出已知和求证，并进行证明． 23．（10分）和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 24．（12分）综合与实践 【项目主题】池塘不可达距离的测量方案设计 【项目背景】在数学项目式学习活动中，需测量池塘两侧A、B两点间的距离（无法直接测量）．如1图．现提供皮尺（量程）、测角仪等工具，要求设计几何测量方案． 【实践操作】 方案一（帽檐观测法） 1、如题2图，在点附近选取观测点，使、、三点共线； 2、调整帽子帽檐D，使视线通过帽檐上沿恰好对准点；（忽略眼睛与帽檐距离） 3、保持头部姿势不变，原地旋转，此时视线通过帽檐上沿落在点处； 4、用皮尺测得． 【问题解决】 (1)根据方案一，求、两点间的距离； (2)设计一个与方案一不同的测量方案，在3图中绘制几何图形，标明需测量的数据（如角度，线段长度等），并推导的表达式． 25．（14分）在平面直角坐标系中， B、C 在坐标轴上， 其中、，满足（，，，其中点B在x轴正半轴上， 点C在y轴正半轴上， 交y轴负半轴于点D． (1)如图1，若，直接写出点B的坐标为 ，点C的坐标为 ． (2)如图2， 交x轴负半轴于点E， 连接，，交于点F．求证： ； (3)在（2）的条件下，求证：点是的中点． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年上学期哲理中学八年级第一次综合训练》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B B B D C C B D 11． 12．三角形具有稳定性 13． 14．1 15． 16． 17．【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴； 18．【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴在和中 ∴， ∴. 19．【详解】解：如图所示，； （2）解：由作图，， 根据“内错角相等，两直线平行”， 所以, 根据“两直线平行，内错角相等”， 所以 因为是平角， 根据“平角的定义”， 所以， 所以． 20．【详解】解：相等，理由如下： 根据题意得：， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， 即海岛C，B所在海岸的距离相等． 21．【详解】证明：  ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵于， 于点， ∴平分． 22．【详解】解：选择命题1．已知：如图，分别是，的对应边上的高．求证：． 证明：． ． 分别是的对应边上的高， ， ， ． 选择命题2．已知：如图，分别是和的角平分线．求证：． 证明：． ，． ∵分别是和的角平分线， ∴， ∴， ， ． 23．【详解】（1）解：，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 延长，分别交、于F、G， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即； 24．【详解】（1）解：如图，连接． 由原地旋转可得， 又， ， ； （已知）； ； 故：A、B两点间的距离为． （2）解：（方法不唯一）方案： 1、如图，取一个可以直接到达A点和B点的点C； 2、连接并延长到，使；连接并延长到，使； 3、连接并测量出它的长度的长度就是间的距离． 证明：，，（对顶角相等）， ， ． 25．【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∴，， （2）证明：如图中， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， . （3）证明：如图3中，过点作于点，过点作于点． ∵， ∴，, ∴， 在和中， ， ∴, ∴， 同理可证， ∴， ∴, 在和中， ， ∴， ∴． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $