福建省莆田市莆田二中2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试题

2024-2025学年莆田二中八年级上学期第一次月考考试卷 (满分150分;考试时间:120分钟) 一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列图标中，不是由全等图形组合成的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（　　） A．三角形具有稳定性 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．两直线平行，内错角相等 3．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A．2cm，3cm，5cm B．3cm，3cm，6cm C．5cm，8cm，2cm D．2cm，5cm，6cm 4．已知图中的两个三角形全等，则∠1的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 5．如图，将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角，得到六边形ABCDGF，则下列说法正确的是（　　） A．外角和减少180° B．外角和增加180° C．内角和减少180° D．内角和增加180° 6．下列说法正确的有（　　） ①三角形的角平分线是射线； ②三角形的三条高线都在三角形内部； ③三角形的三条角平分线的交点叫做三角形的重心； ④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两个三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．用尺规作图作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠A′OB′＝∠AOB依据是（　　） A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS 8．如图，AB与CD相交于点E，EA＝EC，DE＝BE，若使△AED≌△CEB，则（　　） A．应补充条件∠A＝∠C B．应补充条件∠B＝∠D C．不用补充条件 D．以上说法都不正确 9．下列条件中，不能确定△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A﹣∠B＝90° B．∠B＝∠C＝∠A C．∠A＝90°﹣∠B D．∠A+∠B＝∠C 10．如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．若设∠B＝α，∠C＝β（α＞β），则用α，β表示∠DAE的关系式为（　　） A．90°﹣α+β B．α﹣β C． D． 2、 填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分。 11．正五边形外角和为 　 . 12．若三角形有两边长分别为2和5，第三边为a，则a的取值范围是　 　． 13．如图：△ABC≌△DEF，BC＝7，EC＝4，那么CF的长为 　 　． 14．生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获．如图是由一副三角板拼凑得到的，图中∠1＝　 　°． 15．如图，在正方形网格中，每个小正方形的面积为1，点A、B在格点上，在格点取一点C，使得△ABC的面积等于1的点个数有　 　个． 16．如图所示框架PABQ，其中AB＝21cm，AP，BQ足够长，PA⊥AB于A，QB⊥AB于B，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，使M，N运动的速度之比3：4，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，则线段AC的长为 　 　． 三、解答题 三、解答题(本大题共9小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（8分）如图，AB＝AD，AC平分∠DAB，求证：△ABC≌△ADC． 18．（8分）如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AC＝EF，AD＝BE，BC＝DF．求证：△ACB≌△EFD． 19．（8分）如图，△ABC≌△ADE，AC与DE相交于点F，∠B＝50°，∠C＝60°． （1）若AD平分∠BAC，求∠BAD的度数； （2）若AC⊥DE，求∠DAC的度数． 20．（8分）如图，已知三角形ABC，点E是AB上一点． （1）尺规作图：在BC上找到一点F，使得∠BFE＝∠C；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接CE，若∠EFC＝110°，且CE平分∠ACB，求∠FEC的度数． 21．（8分）如图，E为线段BC上一点，AB⊥BC，△ABE≌△ECD，判断AE与DE的关系，并证明． 22．（10分）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，CE经过点D． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）若AC＝6，求四边形ABCD的面积． 23．（10分）在△ABC中，∠ABC≠∠ACB，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于E，其夹角记为∠1． （1）如图，∠B＝40°，∠ACB＝70°，求∠1的度数； （2）探究∠1与∠ABC，∠ACB的数量关系． 24．（12分）阅读下列材料，并完成相应任务． 平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖. 任务一：探究同一种正多边形的密铺． 如图1，通过拼图发现正方形、正六边形都可以进行密铺，此时公共顶点处的几个角正好拼成了一个周角． 问题①铺的条件为：当公共顶点处所有角的和为 　 　°，并使相等的边重合时，该图形就可以进行密铺． 问题②认为正五边形可以进行密铺吗？并说明理由． 任务二：探究同一种一般多边形的密铺 经过同学们动手实验，每小组画出自己小组的拼接图，如图2． 问题③观察图2，可以发现任意 　 　和任意 　 　都可以单独密铺． 经过研究发现三对对边平行的六边形可以单独密铺，人们借助六边形的密铺，发现虽然正五边形不能进行密铺，但有些特殊五边形可以进行密铺，从此展开了对一般五边形的密铺探究． 目前可以密铺的凸五边形共有15种，如图3为其中一种五边形的密铺图． 问题④图4为图3中抽象出的一个五边形，其中∠C＝∠E＝90°，∠A＝∠B＝∠D，则∠A的度数为 　 　． 问题⑤继续研究发现，多个的多边形也可以进行镶嵌 现有如下若干个正多边形：①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，⑤正八边形，⑥正十边形，⑦正十二边形，这些正多边形的边长均相等．若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺，写出三种组合是 　 　；若选用三种不同的正多边形可以进行平面密铺，写出所有的组合是 　 　．（填数字序号即可） 问题⑥已知2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌（密铺），A的一个内角的度数是B的一个内角的度数的． （1）试分别确定A，B是什么正多边形； （2）画出这5个正多边形在平面镶嵌（密铺）的图形. 25．（14分）某同学在学习了角平分线内容后，对三角形内外交的角平分线问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： 【原问呈现】 （1）如图1，△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠P＝　 　； 【问题推广】 （2）如图1，△ABC中，若∠A＝θ，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求∠P的度数； （3）如图2，△ABC中，∠BAC的角平分线与△ABC的外角∠CBM的角平分线交于点P，过点B作BH⊥AP于点H，若∠ACB＝80°，求∠PBH的度数； （4）如图3，△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ．若∠F＝n°，请直接写出∠A的度数（结果用含n的代数式表示）． 2024-2025学年二中八年级上第一次月考考试卷参考答案 一、单选题 1. C 2. A 3. D 4. B 5. D 6. A 7. C 8. C 9. A 10．C 解：∵∠B＝α，∠C＝β（α＞β）， ∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠B＝180°﹣α﹣β， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠BAC＝90°﹣， ∵AD是高， ∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝90°﹣α， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝90°﹣﹣90°+α=， 故选：C． 二、填空题 11．360° 12．3＜a＜7 13．3 14．105 15．6 16．14cm或9cm 解：设：BM＝3x cm，则BN＝4x cm， ∵∠A＝∠B＝90°， （1）当△ACM≌△BNM时，有BM＝AM＝3x，BN＝AC， 又∵AM+BM＝21cm， ∴3x+3x＝21， ∴x＝3.5． ∴AC＝BN＝4x＝14cm； （2）当△ACM≌△BMN时，有AM＝BN＝4x，BM＝AC＝3x， 又∵AM+BM＝21cm， ∴4x+3x＝21， ∴x＝3， ∴AC＝BM＝9cm； 故答案为：14cm或9cm． 三、解答题 17．证明：∵AC平分∠DAB ∴∠DAC＝∠BAC， 在△ABC和△ADC中， ∴△ABC≌△ADC（SAS）． 18．证明：∵AD＝BE， ∴则AD+DB＝BE+BD，即AB＝DE， 在△ACB和△EFD中， ∵ ∴△ACB≌△EFD（SSS）． 19．解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝60°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD＝35°； （2）∵△ABC≌△ADE， ∴∠B＝∠D＝50°， ∵AC⊥DE， ∴∠DFA＝90°， ∴∠DAC＝90°﹣50°＝40°． 20．解：（1）如图1所示，过点E作EF∥AC交BC于F，点F即为所求； （2）如图2，连接CE， ∵EF∥AC， ∴∠FEC＝∠ACE，∠ACF＝180°﹣∠EFC＝70°， ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE=∠ACF＝35°， ∴∠FEC＝35°． 21．解：AE⊥DE，AE＝DE． 证明：∵AB⊥BC， ∴∠B＝90°． ∵△ABE≌△ECD， ∴AE＝ED，∠A＝∠DEC，∠AEB＝∠EDC，∠B＝∠C＝90°． ∵∠A+∠AEB＝90°， ∴∠AEB+∠DEC＝90°， ∴∠AED＝90°，即AE⊥DE． ∴AE⊥DE，AE＝DE． 22．（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE＝90°， ∴∠BAC＝， 在△ABC和△ADE中， ∴△ABC≌△ADE（SAS）； （2）解：由（1）知，△ABC≌△ADE， 则S△ABC＝S△ADE， ∴=S△ABC+S△ACD=S△ADE+S△ACD=S△ACE===18． 23.解：（1）在△ABC中，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝70°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠3＝∠BAC＝35°， 在△ADC中，∠ADC＝180°﹣∠3﹣∠ACD＝75°， ∵PE⊥AD， ∴∠DPE＝90°， ∴∠1＝180°﹣∠ADC﹣∠DPE＝180°﹣70°﹣75°＝15°； （2）设∠B＝n°，∠ACB＝m°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠2＝∠3＝∠BAC， ∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°， ∴∠CAB＝（180﹣n﹣m）°， ∴∠2＝∠3＝（180﹣n﹣m）°， ∴∠ADC＝∠B+∠2＝n°+（180﹣n﹣m）°=90°+n°﹣m°， ∵PE⊥AD， ∴∠DPE＝90°， ∴∠1＝90°﹣(90°+n°﹣m°)=(m﹣n)°=(∠ACB﹣∠B)， ∴∠ACB﹣∠B＝2∠1． 24．解：任务一：问题①密铺的条件为：当公共顶点处所有角的和为360°，并使相等的边重合时，该图形就可以进行密铺； 故答案为：360； 问题②：正五边形不可以进行密铺，理由如下： ∵正五边形的每一个内角度数为108°，360÷108＝3…36， ∴正五边形不可以进行密铺； 任务二：问题③：观察图2，可以发现任意三角形和任意四边形都可以单独密铺； 故答案为：三角形；四边形； 问题④：由图形并结合题意可得：∠A的度数为（540°﹣2×90°）÷3＝120°． 故答案为：120°． 问题⑤：∵①正三角形的一个内角为60°，②正方形的一个内角为90°，③正五边形的一个内角为108°，④正六边形的一个内角为120°，⑤正八边形的一个内角为135°，⑥正十边形的一个内角为144°，⑦正十二边形的一个内角为150°， ∵60×3+90×2＝360，60×2+120×2＝360，90+135×2＝360，60+150×2＝360，144+108×2＝360， 60+90×2+120＝360，150+90+120＝360，60×2+90+150＝360 故答案为：①②，①④，②⑤，①⑦，③⑥（写三个即可）；①②④，②④⑦，①②⑦； 问题⑥：（1）设B的内角为x，则A的内角为x， ∵2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌（密铺）， ∴3x+2×x＝360°， 解得：x＝60°， 则 x＝90°， ∴可确定A为正四边形，B为正三边形； （2）答案不唯一，所画图形如下： ． 25．解：（1）∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∠ABC＝50°，∠ACB＝80°， ∴∠PBC＝∠ABC＝25°，∠PCB＝∠ACB＝40°， ∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝115°， 故答案为：115°； （2）∵∠A＝θ， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣θ， ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠PCB， ∴2∠PBC+2∠PCB＝180°﹣θ，即∠PBC+∠PCB＝90°﹣θ ∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝90°+θ； （3）∵AP平分∠BAC，BP平分∠CBM， ∴∠BAC＝2∠BAP，∠CBM＝2∠CBP， ∵∠CBM＝∠BAC+∠ACB，∠ACB＝80°， ∴2∠CBP＝2∠BAP+∠ACB， ∴∠CBP＝∠BAP+40°， ∵∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠BAC， ∴∠ABC＝100°﹣2∠BAP ∴∠ABP＝∠ABC+∠CBP＝140°﹣∠BAP， ∴∠ABP+∠BAP＝140°， ∴∠P＝180°﹣∠BAP﹣∠ABP＝40°， ∵BH⊥AP，即∠BHP＝90°， ∴∠PBH＝180°﹣∠P﹣∠BHP＝50°； （4）如图3所示， ∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB， ∴∠ABC＝2∠DBC，∠ACB＝2∠DCB， ∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN， ∴∠MBC＝2∠EBC，∠BCN＝2∠ECB， ∵BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ， ∴∠EBC＝2∠FBE＝2∠FBC，∠ECQ＝2∠ECF＝2∠QCF， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠DBC＝180°﹣∠MBC，∠DCB＝180°﹣∠BCN， ∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣2∠DBC﹣2∠DCB ＝180°﹣2（180°﹣∠MBC）﹣2（180°﹣∠BCN） ＝2（∠MBC+∠BCN）﹣540°， ＝2（2∠EBC+2∠ECB）﹣540° ＝4（∠EBC+∠ECB）﹣540°， 又∵∠F+∠FBC+∠FCB＝180°，∠FBC＝∠EBC﹣∠FBE，∠FCB＝∠ECB+∠ECF， 即∠F+∠FBC+∠FCB＝∠F+∠EBC﹣∠FBE+∠ECB+∠ECF＝180°， ∴∠EBC+∠ECB＝180°﹣∠F﹣（∠ECF﹣∠FBE）， 又∵∠ECF＝∠QCF，∠FBE＝∠FBC， ∴∠ECF﹣∠FBE＝∠QCF﹣∠FBC＝∠F， ∴∠EBC+∠ECB＝180°﹣∠F﹣（∠ECF﹣∠FBE）＝180°﹣2∠F， ∴∠A＝4（∠EBC+∠ECB）﹣540°＝4（180°﹣2∠F）﹣540°＝180°﹣8∠F＝180°﹣8n°． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$