第二十五章 一元二次方程 章末综合训练 2026年暑假预习人教版九年级数学上册

**基本信息** 以一元二次方程概念为起点，通过解法训练、性质探究及实际应用，构建“概念-解法-性质-应用”完整逻辑链，覆盖中考核心题型 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|选择1-2题|定义判断及根的意义|概念生成：从一元二次方程定义到根的验证| |解法应用|选择4/7/19题|配方法/公式法/因式分解法|解法推导：三种基本解法的步骤与适用场景| |性质探究|选择5/8/9/13/14/16题|根的判别式及韦达定理应用|性质拓展：判别式判断根的情况，韦达定理解决代数式求值| |实际应用|选择10-12/22/24题|增长率/利润/几何面积模型|应用建模：将实际问题抽象为方程，体现模型意识与应用意识|

第二十五章 一元二次方程 章末综合训练 一、选择题 1.下列方程是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2.已知关于x的一元二次方程有一根为1，则m的值为（    ） A． B．0 C．或0 D．1 3.下表是随着的不同取值，代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（    ） ．．． -1 4 5 6 ．．． ．．． 8 0 0 8 ．．． A． B． C． D． 4.用配方法解一元二次方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 5.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 6.用公式法解一个一元二次方程的根为，则此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 7.方程的解是（　　） A． B． C． D． 8.关于的一元二次方程根的情况为（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 9.若m，n是方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A． B．2024 C．2026 D．2028 10.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与支干数目相同的小分支，主干、支干和小分支的总数是，求每个支干长出多少小分支．设每个支干长出x个小分支，那么根据题意可以列方程为（   ） A． B． C． D． 11.2025年11月29日在德州市体育运动中心举行了全市中学生男子篮球赛，小组赛每支球队与其他球队各赛一场，采用单循环赛制，总计将进行120场比赛．设有支球队参加比赛，可列方程为（    ） A． B． C． D． 12.为助力乡村振兴，河南某乡村合作社售卖铁棍山药，已知山药进价为15元/斤，销售单价x （元/斤）与月销售量y （斤）满足一次函数关系：， 若合作社每月销售山药获利3000元，并让顾客得到最大优惠，则销售单价为（    ） A．20元 B．25元 C．30元 D．35元 二、填空题 13.已知是方程的一个根，则的值为______． 14.方程的两个根是等腰三角形的腰和底，则该三角形的周长为________． 15.将代数式配方后，发现它的最小值为______________________ 16.若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为_______． 17.某人患有甲型H3N2流感，经过两轮传染后共有36个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染个人，则根据题意可列方程_____． 18.已知为实数，且，则的值是___________． 三、解答题 19.用适当的方法解下列一元二次方程： （1）． （2） （3） 20.若关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 21.已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何实数，该方程总有实数根； (2)若一个等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求m的值及这个三角形的周长． 22.如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长； (2)若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽； (3)能否围成面积为的花圃？请说明理由． 23.定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“纠缠方程”． (1)一元二次方程是“纠缠方程”的是_____． ①； ② ③ (2)若关于x的一元二次方程为“纠缠方程”，证明：为“纠缠方程”的根； (3)已知是关于x的“纠缠方程”，若m是该“纠缠方程”的一个根，求m的值． 24.根据以下素材，完成任务． 素材1：优优生鲜超市月份在某配送平台开展外送服务．已知该超市月份第一周在该配送平台完成订单单，月份第三周完成订单单． 素材2：该配送平台每单的配送成本为4元，当每单配送费定为8元时，日订单量为单；若配送费每提高1元，日订单量将减少单． 问题解决 任务： (1)求该超市月份第一周到第三周在该配送平台的订单量的周平均增长率； (2)为使在该配送平台日利润达到元，且尽可能降低用户的配送成本，则每单实际配送费应定为多少元？ 第二十五章 一元二次方程 章末综合训练答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B C B A A D C B A D B 二、填空题 13. 2028 14. 21 15. 5 16. 17. 18. 4 三、解答题 19. （1）解：， 移项，得 配方，得 即 两边开方，得 可得：或 解得：，． （2）解：解方程化为一般形式，得， ，，， ， ， 即，． （3）解：方程 可变形为 ， ， ， ， 所以或， 解得2，． 20.（1）解：关于x的一元二次方程有实数根，， ； （2）解：，，，， 整理得， 解得或， ， ． 21.（1）证明：∵ ∴ ∴无论取任何实数，方程总有实数根； （2）解：当腰为5时，5为方程的解， 把代入，得， 得， ∴ 或 解得， ∴方程的另外一个解为， ∴此时三角形三边长为3，5，5 ∵，符合题意， 此时三角形的周长； 当底为5时， ∵另两边恰好是这个方程的两根， ∴， 解得， ∴ ∴ ∴ 此时方程的解为， ∴此时三角形三边长为3，3，5 ∵，符合题意， ∴三角形的周长． 综上所述，当时，三角形的周长为13；当时，三角形的周长为11． 22.(1)米 （2）解：∵花圃的面积刚好为平方米， ∴， 化简得：， 解得：，， 当时，长，不合题意，舍去； 当时，长，符合题意； 答：花圃的长为9米，宽为5米． (3)解：不能围成面积为的花圃，理由如下： 当花圃的面积刚好为时， ， 化简得：， ∴， ∴该方程没有实数解， ∴不能围成面积为的花圃． 23.（1）③ （2）证明：∵关于x的一元二次方程为“纠缠方程”， ∴． ∴，即． 因式分解，得， 解得．，． ∴为“纠缠方程”的根； （3）解：∵是关于x的“纠缠方程”， ∴，即． ∴． ∵m是该“纠缠方程”的一个根， ∴． 整理方程，得， 解得，． ∴m的值为或． 24.（1）解：设该超市月份第一周到第三周订单量的周平均增长率为． 根据题意，得． 解得，(舍)． 答：该超市月份第一周到第三周在该配送平台的订单量的周平均增长率为． （2）解：设配送费用上涨元，则实际配送费为元，日订单量为单． 根据题意，得． 解得，． 要降低用户的配送成本， 每单实际配送费为(元)． 答：每单实际配送费应定为元． 学科网（北京）股份有限公司 $