2.3探索内角和的奥秘（同步练习）-2026-2027学年五年级上册数学北师大版

**基本信息** 聚焦多边形内角和，通过基础认知、理解应用、拓展探究三层设计，实现从概念到综合应用的巩固路径，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|内角和公式、图形性质|选择/判断/填空，直接考查概念，如多边形边数与内角和关系| |理解应用|公式应用、简单推理|填空/解答，结合三角板、等腰梯形等情境，培养推理意识| |拓展探究|综合应用、实际问题|剪角问题、规律探究，运用转化思想，发展创新意识|

2.3探索内角和的奥秘 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．将一个长方形框架拉成平行四边形，下面说法正确的是（    ）。 A．周长变长了 B．面积不变 C．内角和的度数变小了 D．高变短了 2．下面说法不正确的是（    ）。 A．梯形只有一组对边平行，平行四边形有两组对边平行。 B．用两根7厘米和两根4厘米的小棒摆平行四边形，只能摆出一种平行四边形。 C．在平行四边形中画一条线段，可以将它分成两个完全一样的梯形。 D．任意一个四边形的四个内角和都是360°。 3．一个多边形的内角和是，这个多边形一定是（    ）边形。 A．四 B．六 C．五 D．八 4．下面运用了“转化”的思想方法的有（    ）。    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．图中运用了转化思想的有（    ）。 A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题 6．一个多边形的内角和是720°，这个多边形是( )边形。 7．计算一个五边形的内角和时，我们可以把它分成3个三角形（如下图），它的内角和就是180°×3＝540°。像这样，如果一个多边形的内角和是1080°，那么这个多边形是( )边形。 8．如图：一副三角板叠放在一起，＝( )°，＝( )°。 9．等腰梯形中一个角是140°，另一个不相等的角是( )°，这个等腰梯形的内角和是( )°。 10．如图，照这样的规律继续研究下去，十边形的内角和为( )°，n边形的内角和为( )°。 图形名称 三角形 四边形 五边形 六边形 … 内角和 180° 360° 540° 720° 11．三角形的内角和是180°，则五边形的内角和是( )；如果一个多边形的内角和是1080°，那么这是一个( )边形。 12．三角形的内角和是( )度；五边形的内角和是( )度。 13．求不规则四边形的内角和。将任意一个四边形的四个角剪下来，可以拼成一个( )角，所以四边形的内角和是( )。 三、判断题 14．一个三角形被剪掉一个角之后，内角和减少了。( ) 15．任意四边形的内角和是任意三角形内角和的2倍。( ) 16．用一个10倍的放大镜看一个四边形，它的内角和为3600°。( ) 17．三角形和四边形的内角和都是180°。( ) 四、解答题 18．找规律，填一填，算一算。 图形 边数 三角形个数 内角和 180° 180°×（4－2） （1）每增加一条边，内角和就增加（    ）°。 （2）如果一个多边形有n（n≥3）条边，那么可以将它分成（    ）个三角形，n（n≥3）边形的内角和＝（    ）。 （3）请你算一算，十边形的内角和是多少度？ 19．画一画，填一填。 （1）先将下表中的多边形分成三角形，再填一填。 图形 边数 3 （    ） （    ） （    ） 内角和 （    ） （    ） （    ） 我发现：多边形（边数）的内角和＝_____________。 （2）一个多边形的内角和是，它是一个（    ）边形。 20．笑笑将任意一个四边形分成了两个三角形（如图），那么四边形的内角和是多少度？请写下你的想法。 21．挑战自我：探索四边形内角和。 22．一张长方形的纸，剪去一个角。剩下图形的内角和可能是多少？（画一画，算一算） 《2.3探索内角和的奥秘》参考答案 题号 1 2 3 4 5 答案 D B D D D 1．D 【分析】根据周长、面积、多边形内角和以及平行四边形的高的知识逐条判断即可。 围成封闭图形的所有边的总长度就是它的周长。平行四边形的面积＝底×高。一个n边形，从一个顶点出发向与之不相邻的顶点作对角线，把这个n边形分成个三角形，每个三角形的内角和是，这个n边形的内角和是。在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高，平行四边形有无数条高，习惯上作平行四边形的高时都从一个顶点出发作一边的垂线，用三角板的直角可以画出平行四边形的高。 【详解】A．四条边长度没变；因此变形后的四边形四条边仍是原长方形的边；所以周长不变。 B．两条对边之间的距离变近，即高变小了，所以面积就变小了。 C．长方形和平行四边形都是四边形，四边形的内角和相同，都是（4－2）×180°＝2×180°＝360°。 D．两条对边之间的距离变近，即高变小了。 故答案为：D 2．B 【分析】A．梯形的定义就是只有一组对边平行的四边形，平行四边形的定义是有两组对边分别平行的四边形。    B．用两根7厘米和两根4厘米的小棒摆平行四边形，由于平行四边形具有不稳定性，拉动它的对角可以改变形状，所以能摆出多种不同形状的平行四边形，而不是只能摆出一种。    C．在平行四边形中画一条线段，确实可以将它分成两个完全一样的梯形，这是基于平行四边形和梯形的性质。    D．任意一个四边形都可以通过连接对角线分成两个三角形，因为三角形内角和是180°，那么两个三角形内角和就是360°，所以任意一个四边形的四个内角和都是360°。    【详解】A．梯形只有一组对边平行，平行四边形有两组对边平行，不符合题意； B．用两根7厘米和两根4厘米的小棒摆平行四边形，不是只能摆出一种平行四边形，符合题意； C．在平行四边形中画一条线段，可以将它分成两个完全一样的梯形，不符合题意； D．任意一个四边形的四个内角和都是360°，不符合题意。 故答案为：B 3．D 【分析】三角形内角和是180°，可以把多边形分成多个三角形，据此分析每个选项多边形的内角和，选出内角和是1080°的即可。 【详解】 A．可以分成两个三角形，内角和为180°×2＝360°，不符合题意； B．可以分成四个三角形，内角和为180°×4＝720°，不符合题意； C．可以分成三个三角形，内角和为180°×3＝540°，不符合题意； D．可以分成六个三角形，内角和为180°×6＝1080°，符合题意。 这个多边形一定是八边形。 故答案为：D 4．D 【分析】转化思想是将未知解法或难以解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换，化归为已知知识范围内已经解决或容易解决的问题方法的数学思想。据此分析即可。 【详解】 多边形的内角和，可把多边形“转化”成几个三角形，然后利用三角形的内角和是180°，求出多边形的内角和为：180°×（n－2）。 将圆柱的体积转化为长方体的体积，用到转化思想。 是把异分母分数转化为同分母分数，运用了“转化”思想方法。 将平行四边形的面积转化为长方形的面积，用到转化思想。 运用了“转化”的思想方法的有4个。 故答案为：D 【点睛】此题考查了对“转化”思想方法的运用。 5．D 【分析】根据多边形内角和推导过程，小数乘法的计算方法，以及平行四边形面积公式的推导过程和圆柱体积的推导过程进行解答。 【详解】①探究多边形的内角和，从多边形的一个顶点出发，向和它不相邻的顶点连线，把这个多边形变成若干个三角形，也就是把多边形的内角和转化成若干个三角形的内角和，运用了“转化”的思想； ②小数乘法的计算时，先不看小数点，按照整数乘法的计算方法求出结果，再根据小数的位数点上小数点，这是把小数乘法转化成了整数乘法，运用了“转化”的思想； ③探究平行四边形的面积公式时，先把平行四边形沿着高剪开，然后拼成一个长方形，拼成的长方形与平行四边形面积不变，而且长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高，根据长方形的面积＝长×宽，得出平行四边形的面积＝底×高；运用了“转化”的思想； ④圆柱体积的推导过程：把圆柱底面分成若干份相等的扇形（如分成16等份），沿着圆柱底面的扇形和圆柱的高把圆柱切开，可以得到大小相等的16块，把16块圆柱的底面拼成一个近似长方形，则圆柱体就接近长方体，长方体的底面积就是圆柱的底面积，长方体的高是圆柱的高，长方体的体积＝底面积×高，那么圆柱的体积＝底面积×高，运用了“转化”的思想。 图中运用了转化思想的有①②③④。 6．六 【分析】三角形的内角和是180°，用720除以180，商是4，说明这个多边形能被分为4个三角形，而多边形的边数比所分成的三角形的个数多2，4加2即为多边形的边数。 【详解】720÷180＝4 4＋2＝6 一个多边形的内角和是720°，这个多边形是六边形。 7．八 【分析】由题意得，五边形可以分成3个三角形。如下图，六边形就可以分成4个三角形，七边形就可以分成5个三角形等等，也就是分成的三角形个数比多边形的边数少2。 由题意得，可以用1080°除以180°算出这个多边形分成三角形的个数，然后再加上2即可得到这个多边形的边数。 【详解】1080°÷180°＝6（个） 6＋2＝8（条），即这个多边形是八边形。 故如果一个多边形的内角和是1080°，那么这个多边形是八边形。 8． 15 120 【分析】根据对三角板的了解，其中一个三角板的度数分别是60°、30°、90°，另一个三角板的度数分别是45°、45°、90°，∠1是45°和30°角的夹角，用45°－30°即可求出∠1的度数；四边形可以分成两个三角形，三角形内角和为180°，180°×2＝360°，所以四边形的内角和是360°，∠2和60°的角还有两个直角组成一个平行四边形，用360°减去两个90°再减去一个60°，即可求出∠2的度数。 【详解】∠1＝45°－30°＝15° ∠2＝360°－90°－90°－60° ＝270°－90°－60° ＝180°－60° ＝120° 如图：一副三角板叠放在一起，∠1＝15°，∠2＝120°。 9． 40 360 【分析】等腰梯形是一个四边形，四边形的内角和是360°，等腰梯形中有两种不同的角，一种是锐角，一种是钝角，根据题意，用360°减去2个140°的角，求出另个两个相等的角的度数之和，再除以2，求出另一个不相等的角的度数。 【详解】360°－2×140° ＝360°－280° ＝80° 80°÷2＝40° 等腰梯形中一个角是140°，另一个不相等的角是40°，这个等腰梯形的内角和是360°。 【点睛】熟练掌握等腰梯形的特征是解答此题的关键。 10． 1440 180×（n－2） 【分析】四边形中共画出l条线段，将其分成2个三角形，这个四边形的内角和是180°×2＝360°.五边形中共画出2条线段，将其分成3个三角形，这个五边形的内角和是180°×3＝540°。六边形中共画出3条线段，将其分成4个三角形，这个六边形的内角和是180°×4＝720°。 按上述方式，从边数为n（n＞3）的多边形的一个顶点出发向与其不相邻的顶点画线段，最多能画（n－3）条，这些线段把多边形分成（n－2）个三角形，每个三角形的内角和是180°，这个多边形的内角和是180×（n－2），据此解答。 【详解】180°×（10－2） ＝180°×8 ＝1440° 所以十边形的内角和为1440°，n边形的内角和为（180×（n－2））°。 11． 540°/540度 八 【分析】根据多边形的内角和公式：多边形的内角和＝（多边形的边数－2）×180°；多边形的边数＝多边形的内角和÷180°＋2，据此进行求解。 【详解】（5－2）×180° ＝3×180° ＝540° 1080°÷180°＋2 ＝6＋2 ＝8（条） 五边形的内角和是540°；一个多边形的内角和是1080°，这个多边形有8条边，是一个八边形。 12． 180 540 【分析】根据三角形内角和是180°，五边形可以分成3个三角形，则五边形内角和＝三角形内角和×3，依次计算即可求解。 【详解】三角形内角和是：180°； 五边形内角和是：3×180°＝540° 所以三角形的内角和是180度；五边形的内角和是540度。 【点睛】此题主要考查了根据三角形的内角和推导多边形内角和。 13． 周 360° 【分析】根据题意，将任意一个四边形的四个角剪下来，假如这个四边形是一个正方形，正方形的四个角都是直角，即90°，那么剪下来拼成一个360°的角，即周角，据此解答。 【详解】 由分析可知：求不规则四边形的内角和。将任意一个四边形的四个角剪下来，可以拼成一个（周）角，所以四边形的内角和是（360°）。 【点睛】本题考查四边形的内角度数，熟练掌握并灵活运用。 14．× 【分析】一个角形被剪掉一个角之后变成一个三角形或一个四边形，三角形的内角和是180度，四边形的内角和是360度，所以一个三角形被剪掉一个角之后，内角和不变或增加，据此即可解答。 【详解】根据分析可知，一个三角形被剪掉一个角之后，内角和不变或增加，原说法错误。 故答案为：× 15．√ 【分析】任意三角形的内角和恒为180°，任意四边形的内角和恒为360°。360°是180°的2倍，因此该命题成立。 【详解】任意三角形的内角和为180°，任意四边形的内角和为360°。 ，所以任意四边形的内角和是任意三角形内角和的2倍。 故答案为：√ 16．× 【分析】放大镜只改变物体的视觉大小，不改变其角度大小。四边形的内角和恒为360°，与是否放大无关。因此，即使用放大镜观察，内角和也不会变为3600°。 【详解】用一个10倍的放大镜看四边形，只是将图形放大到原来的10倍，但每个角的大小不变，因此四个内角的和仍然是360°，而不是3600°。 故答案为：× 17．× 【分析】 三角形内角和是180°。把四边形分成2个三角形，如图：，四边形的内角和是180°×2＝360°。 【详解】三角形是180°，四边形的内角和是360°。 故答案为：× 18．表格见详解过程 （1）180 （2）n－2；180°×（n－2） （3）1440° 【分析】根据图示，把多边形分成若个三角形，然后利用三角形内角和求多边形的内角和即可； （1）根据表格中的规律可知：每增加一条边，内角和增加 180°； （2）根据表格中多边形的内角和总结规律：n边形的内角和＝180°×（n－2）（n不小于3）； （3）利用（2）中的规律做题即可。 【详解】 图形 边数 3 4 5 6 三角形个数 1 2 3 4 内角和 180° 180°×（4－2） 180°×（5－2） 180°×（6－2） （1）每增加一条边，内角和就增加180°。 （2）如果一个多边形有n（n≥3）条边，那么可以将它分成（n－2）个三角形，n（n≥3）边形的内角和＝180°×（n－2）。 （3）当n＝10时，内角和为： 180°×（10－2） ＝180°×8 ＝1440° 答：十边形的内角和是1440°。 【点睛】本题主要考查多边形内角和的推导。 19．（1）填表见详解；（边数－2）；（2）七 【分析】（1）根据“把多边形的一个顶点分别和与它不相邻的顶点连接起来，这时多边形分成了几个三角形，它的内角和就是乘几”可知，多边形（边数）的内角和＝（边数－2）。 （2）根据“多边形的内角和＝（边数－2）”可知，当一个多边形的内角和是时，它可以分成 （个）三角形，它的边数就是，所以它是一个七边形。 【详解】（1） 图形 边数 3 4 5 6 内角和 我发现：多边形（边数）的内角和＝（边数－2） （2） （个） （条） 则一个多边形的内角和是，它是一个七边形。 【点睛】本题考查的是多边形的内角和。三角形的内角和是180°，多边形可以分成了几个三角形，它的内角和就是乘几。 20．360°；两个三角形的内角和就是四边形的内角和，四边形的内角和是360°。 【分析】看图可知四边形分成了两个三角形，根据三角形内角和是180°用一个三角形内角和乘2，即可求出么四边形的内角和。据此解答即可。 【详解】180°×2＝360° 答：两个三角形的内角和就是四边形的内角和，四边形的内角和是360°。 21．四边形内角和是360° 【分析】可以用量角器分别量出四边形四个角的度数，再相加求出四边形内角和；也可以用拼组法，把四个角剪下拼在一起，得到四边形的内角和；还可以用分割法，连接一条对角线，把四边形分成两个三角形，四边形的内角和正好等于两个三角形的所有内角的度数和，也就是两个三角形的内角和，即2个180°。据此解答。 【详解】方法一：根据测量可知： 把四边形的四个内角的度数相加，结果等于360°。 方法二：把四边形的四个角拼在一起，组成了一个周角，等于360°。 方法三：180°×2＝360° 所以，四边形内角和是360°。 22．540°；360°；180°；图见详解 【分析】①可以在长与宽上各取一点（不是长方形顶点），沿着这两个点所在的之间剪去一个角，剩下的部分是五边形，五边形可以被分为3个三角形，三角形的内角和是180°，所以180°乘3即可求出这个五边形的内角和。 ②在长方形的长（下边的长）上取一点，沿着长方形左上角顶点与这一点所在的直线剪去一角，剩余图形是一个四边形，一个四边形能被分为2个三角形，所以它的内角和是180°的2倍，据此来算出内角和。 ③沿着长方形左上角与右下角的顶点所在直线剪去一角，剩余的图形是三角形，三角形的内角和是180°。 【详解】有三种可能： ①五边形，内角和为： （5－2）×180° ＝3×180° ＝540°； ②四边形，内角和180°×2＝360°； ③三角形，内角和为180°。 答：剩下图形的内角和可能是540°、360°、180°。 学科网（北京）股份有限公司 $