2.3探索内角和的奥秘+2.4整理与复习（同步练习）-2026-2027学年五年级上册数学北师大版

**基本信息** 本同步练以多边形内角和为核心，通过三级梯度设计，实现从概念理解到综合应用的递进，培养几何直观、运算能力与创新意识，适配新授课基础巩固与适度提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|内角和探究方法、公式推导|结合图形分三角形转化，强化几何直观| |方法应用|内角和计算、边数与内角和关系|递进式计算问题，发展运算能力与推理意识| |拓展探究|折叠角度、图形分割、三角形围法|跨情境综合题，如折纸五边形角度、和谐分割线，培养创新意识与应用能力|

3 探索内角和的奥秘 学科网（北京）股份有限公司 1.下面是四种探究四边形内角和的思考过程。 列式错误的是图( )，应改为 。 2.归纳法 分一分，填一填。 最少分成( )个三角形 内角和是( ) 最少分成( )个三角形 内角和是( ) 最少分成( )个三角形 内角和是( ) (1)我发现：最少分成的三角形个数比多边形的边数少( )，用( )的个数×180°就能算出多边形的内角和度数。 (2)用一个式子表示多边形内角和的计算方法：多边形的内角和= 。(多边形的边数为a，a大于或等于3) 3. (1)一个多边形的边数增加1条，它的内角和就增加( )°；一个十二边形的内角和比九边形的内角和多( )°。 (2)一个多边形的内角和是 900°，它是一个( )边形；过一个多边形的任意一个顶点可以画 7 条 对角线，此多边形的内 角 和是( )°。 (3)乐乐在计算一个多边形内角和时，少算了一个角，得到内角和是1230°，少算的角的度数是( )°，这个多边形是( )边形。 4.根据图示算出五边形的内角和。 5.在◯里填上“>”“<”或“=”。 (1)如图,∠2+∠3◯∠4+∠5。 (2)如图,∠2+∠3◯∠A+∠C。 6.在一节折纸活动课上，小明将如图①的正方形纸片两边对折至对角线，得到如图②的四边形，再将其一角对折，使对面两角的顶点重合，得到如图③的五边形,图③中∠1=( )°。 学科网（北京）股份有限公司 4 整理与复习 学科网（北京）股份有限公司 1.选一选。 (1)青青在课堂上研究三角形，用直尺、圆规绘制了下面三幅图，她在探究( )问题。 A.三角形的稳定性 B.三角形的内角和 C.三角形的三边关系 D.三角形的分类 (2)下图是从一些三角形卡片上撕下来的碎片，( )是从同一个三角形上撕下来的。 A. ①②③ B.②③④ C.③④⑤ D.①③⑤ 2. ( 1)在一个直角三角形中，一个锐角是 75°，另一个锐角是( )°。 (2)梯形、平行四边形、长方形、正方形的内角和都是( )°。 (3)如图，一个小孩坐在秋千上，从位置A 荡到位置B,连接A,B,C三点,组成三角形ABC,∠1=47°,那么∠2=( )°。三角形ABC 按角分是( )三角形。 (4)如图，在池塘的一侧选取一点O，测得OA=5m,OB=13 m,A,B 两点之间的距离是整米数,最短是( )m,最长是( )m。 (5)如图，用4根小棒围成一个梯形。从这4根小棒中拿走( )cm长的小棒，剩下的3根小棒就不能围成一个三角形。(单位: cm) 3.再添一条线段b，使这三条线段能围成一个三角形，用尺规作出这个三角形。 4.( 1)一个三角形中，一个内角的度数等于另外两个内角度数的和的 2倍，这一定是( )三角形。 A.锐角 B.直角 C.钝角 D.等腰 (2)把一根长15的铁丝折成一个三角形，三角形三条边的长度可能是( )。 A.3,4,8 B.3,9,3 C.4,7,5 D.4,4,7 (3)如图，3个三角形都被一张纸遮住了一部分，下面说法正确的是( )。 A.①号不可能是直角三角形 B.②号可能是等腰三角形 C.③号可能是锐角三角形 D.③号三角形的内角和大于①号三角形的内角和 学科网（北京）股份有限公司 5. ( 1)有 5根小棒,长度分别是3cm,5cm,8cm,9 cm，11 cm，要求从中选出 3 根首尾相接围成一个三角形。小文围出的三角形周长最长是( ) cm,最短是( ) cm。 (2)如图，将三角形的三个角向内折叠，使三个顶点交于一点，那么∠1+∠3的和是( )°。 (3)一根铁丝对折一次之后的长度是9.5cm,现要把它围成一个等腰三角形，若接头处忽略不计，且每条边的长度都是整厘米数，则等腰三角形的腰最长可达( )cm。 6.一个梯形，把它剪去一个角后，所剩的多边形内角和是多少度?画一画，再填一填。 7. ( 1)一个等腰三角形的一个内角是 64°，这个三角形的顶角是( )°或( )°。 (2)一个等腰三角形的顶角度数比一个底角大30°，这个等腰三角形的底角是( )°，顶角是( )°。 8. (1)如图,图中∠1=( )°,∠2=( )°。 (2)如图的正方形ABCD中，最大的三角形是等边三角形,∠1=( )°,∠2=( )°,∠3=( )°。 9.有一批长度分别为 1 cm,2 cm,3 cm,4 cm,5cm,6cm,7cm,8cm,9cm,10cm和 11cm的细木条，它们的数量都足够多，从中适当选取3根木条作为三条边，可围成一个三角形；如果规定其中一条边是 11 cm，你能围成多少个不同的三角形? 10. 已知三角形ABC，如果过顶点 B 的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为三角形 ABC 的关于点 B 的和谐分割线。 例如: 如图①,在三角形ABC中,∠A=90°, ∠C=20°, 若过顶点B的一条直线BD交AC于点D, 当∠DBC=20°时, 直线BD是三角形ABC的关于点B的和谐分割线。(注:∠DBC表示射线BD和BC形成的角) (1)在图②的三角形ABC中,∠C=15°,∠B=105°,在图②中画出三角形 ABC 关于点 B 的和谐分割线，并注明∠DBC 的度数。 (2)在三角形ABC中,∠C=18°,若存在三角形ABC的关于点 B 的和谐分割线，请画出一个满足题意的三角形ABC(要求在图中标注出∠A,∠ABD,∠DBC的度数),并直接写出所有符合要求的∠ABC的度数。 3 探索内角和的奥秘 1.② 180°×3−180° 2. (分法合理即可) (1)2 最少分成的三角形 (2)180°×(a-2) 3.(1)180 540 (2)七 1440 (3)30 九 4.180°×5-360°=540° 180°×4-180°=540° 5.(1)= (2)> 6.45 提示:如图,由题意得∠2=∠3=∠4=∠5=90°÷4=22.5°,所以∠3+∠4=45°。由折叠可知∠8=∠4+∠3=45°,根据四边形 AHCG 的内角和是360°可知∠6=∠7=(360°-2×45°)÷2=135°,所以∠1=180°-135°=45°。 4 1. (1)C (2)B 2.(1)15 (2)360 (3)86 锐角 (4)9 17 (5)12 3.画图不唯一，示例： 线段a： 线段b： 线段c： 4.(1)C (2)D (3)B 5.(1)28 20 (2)180 (3)9 6. (画法合理即可) 提示：将一个梯形剪去一个角，剩下的部分可能是一个三角形、一个四边形或一个五边形。 7.(1)64 52 提示：第一种情况，64°的角为顶角；第二种情况，64°的角为底角，这时等腰三角形的顶角为 180°-64°-64°=52°。 (2)50 80 提示：等腰三角形的内角和180°中包含一个顶角和两个底角。因为顶角度数比一个底角大30°，所以底角+30°+底角+底角=180°,求得底角=50°,顶角=50°+30°=80°。 8.(1)92 50 提示:根据∠2 和130°形成平角可知∠2=180°-130°=50°,再根据四边形内角和是 360°可知 ∠1=360°-123°-∠2-95°=92°。 (2)60 75 150 提示：如图，由题意可知最大的三角形是等边三角形，所以三角形DEC是等边三角形，即 DE=EC=DC,∠1=∠7=∠8=60°。又因为正方形四边相等,所以 AD =DC =CB,四个角都是 90°。所以AD=DE=EC=BC,所以三角形ADE和三角形BCE都是等腰三角形。∠5=90°-∠7=30°,∠6=90°-∠8=30°。根据三角形内角和为 180°，可以求出∠2=∠4=(180°-30°)÷2=75°。再根据∠1+∠2+∠3+∠4 是周角,可算出∠3=360°-60°-75°-75°=150°。 9.1+3+5+7+9+11=36(个) 答：能围成36个不同的三角形。 提示：现在一条边是11 cm，我们要保证的是任意两边之和大于第三边，这样我们要取出的两根木条的长度和大于11 cm 的情况如下：一边长度取11 cm,另一边可能取1 cm~11 cm,总共11 种情况;一边长度取 10 cm,另一边可能取 2 cm~10 cm,总共9种情况……一边长度取6 cm,另一边只能取6cm，总共1种。取一边长比6 cm小的情况都和前面的重复，据此求和即可。 10.(1) 提示:根据题意,∠A=180°-105°-15°=60°。当BD 与 AB 形成直角时，三角形 ABD 是直角三角形,此时∠ADB=180°-60°-90°=30°,∠BDC=180°-30°=150°,所以∠DBC=180°-150°-15°=15°,即∠DBC=∠C,符合题意。当 BD 与 BC 形成直角时，无法构成等腰三角形；当BD 与 AC 形成直角时，无法构成等腰三角形。据此解答。 (2)答案不唯一，如： ∠ABC 的度数为 126°或 117°或 108°或72°。 提示：当三角形ABC 是钝角三角形时，依次考虑BD与BC 垂直、BD 与AC 垂直、BD 与AB 垂直的情况；当三角形 ABC 是直角三角形即∠A =90°时，考虑三角形BDC构成等腰三角形的情况即可。据此解答。 学科网（北京）股份有限公司 $