1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习聚焦“用空间向量研究距离、夹角问题”，以基础题为核心，通过选择、填空、解答题的梯度设计，覆盖从单一距离/夹角计算到综合应用的巩固路径，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|点/线/面距离、线线/线面/面面夹角的单一计算|以正方体、长方体为模型，如选择题1直接考查线到平面距离，夯实空间向量工具性| |中档应用|结合几何模型的距离与夹角综合计算|融入三棱锥、四棱锥情境，如选择题8通过三棱柱重心问题，提升空间想象与推理能力| |综合提升|多面体中线面角及位置关系证明|以四棱台、直四棱柱为载体，如解答题16需证明垂直并求线面角，体现模型观念与运算能力|

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 课时同步练习 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】 一、选择题（共8小题） 1.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则A1A到平面B1D1DB的距离为(　　) A. B.2 C. D. 2.在三棱锥P-ABC中，底面ABC为正三角形，平面ABC，，，若P，A，B，C四点都在球O的表面上，则球心O到平面PBC的距离为（ ） A.    B.    C.    D. 3.（2024-2025·内蒙古高二期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，为棱的中点，且，，若点到平面的距离为，则实数的值为（    ） A. B. C. D. 4.（2024-2025·湖南郴州高一下期末）在长方体中，，，则直线和直线所成角的大小为（） A. B. C. D. 5.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1的中点，则直线A1B与平面BDE所成的角为(　　) A. B. C. D. 6.如图，在空间直角坐标系Dxyz中，四棱柱ABCD－A1B1C1D1为长方体，AA1＝AB＝2AD，点E，F分别为C1D1，A1B的中点，则平面A1B1B与平面A1BE夹角的余弦值为(　　) A.－ B.－ C. D. 7.如图，已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，E为线段AB上一点，且AE＝AB，则DC1与平面D1EC所成的角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 8.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，则A1B与平面ABD所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 二、多选题（共3小题） 9.已知平面α的一个法向量为n＝(－1，－2,2)，点A(x2,2x＋1,2)为平面α内一点，若点P(0,1,2)到平面α的距离为4，则x的值为(　　) A.2 B.1 C.－3 D.－6 10.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1和C1D1的中点，则下列结论正确的是(　　) A.A1C1∥平面CEF B.B1D⊥平面CEF C.＝＋－ D.点D与点B1到平面CEF的距离相等 11.（2025-2026·甘肃兰州高二下期中）直线的方向向量为，两个平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（） A.若，则直线平面 B.若，则平面平面 C.若，则平面所成锐二面角的大小为 D.若，则直线与平面所成角的大小为 三、填空题（共3小题） 12.已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1，AB＝1，AA1＝2，点E为CC1的中点，则点D1到平面BDE的距离为                  ． 13.已知平面的法向量为，且点，则点到平面的距离为                  ； 14.（2024-2025·宁夏高二期中）已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为                  ． 四、解答题（共2小题） 15.如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为矩形，A1A⊥平面ABCD，A1A＝A1D1＝1，AB＝AD＝2，求直线C1C与平面ACD1所成角的正弦值. 16.如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝，BC＝1，AD＝AA1＝3. (1)证明：AC⊥B1D； (2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 课时同步练习 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则A1A到平面B1D1DB的距离为(　　) A. B.2 C. D. 【答案】A 【解析】由正方体性质可知，A1A∥B1B，又A1A⊄平面B1D1DB，B1B⊂平面B1D1DB，所以A1A∥平面B1D1DB，A1A到平面B1D1DB的距离就是点A1到平面的距离．连接A1C1，交B1D1于O1(图略)，A1O1的长即为所求．由题意可得A1O1＝A1C1＝. 2.在三棱锥P-ABC中，底面ABC为正三角形，平面ABC，，，若P，A，B，C四点都在球O的表面上，则球心O到平面PBC的距离为（ ） A.    B.    C.    D. 【答案】B 【解析】设底面正的中心为，取中点，连接，则，，共线. 在正中，，由可得，进而. 因为平面，取中点，球心在过垂直底面的直线与过垂直的直线交点处， 所以. 已知，则，在中，由勾股定理得. 在中，，，得. ，，在中，. 在中，由余弦定理， 则. 因为，，，，平面，所以平面， 又平面，则平面平面，且平面平面. 过作于，平面，所以平面. 在中，. 即球心到平面的距离为. 该题答案为B选项. 3.（2024-2025·内蒙古高二期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，为棱的中点，且，，若点到平面的距离为，则实数的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为，为中点，所以. 又，，平面，所以平面. 以为原点，，的方向分别为，轴正方向，过作平行于的直线为轴， 如图所示建立空间直角坐标系. 已知， 可得，，，，. 则，因为，所以. ，，所以. 设平面的法向量，，. 由，令，得，，即. 点到平面的距离. 即，则. 当时，，（舍去，因为）. 当时，，. 答案是A选项. 4.（2024-2025·湖南郴州高一下期末）在长方体中，，，则直线和直线所成角的大小为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由长方体结构知且，则为平行四边形，故， 所以直线和直线所成角，即为或其补角，而，，， 所以，则. 答案为C. 5.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1的中点，则直线A1B与平面BDE所成的角为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】以D为原点建立空间直角坐标系(图略)， 可求得平面BDE的法向量n＝(1，－1，2)， 而＝(0，1，－1)， 所以cos〈n，〉＝＝－， 则〈n，〉＝， 故直线A1B与平面BDE所成的角为. 6.如图，在空间直角坐标系Dxyz中，四棱柱ABCD－A1B1C1D1为长方体，AA1＝AB＝2AD，点E，F分别为C1D1，A1B的中点，则平面A1B1B与平面A1BE夹角的余弦值为(　　) A.－ B.－ C. D. 【答案】C 【解析】设AD＝1， 则A1(1,0,2)，B(1,2,0)． 因为E，F分别为C1D1，A1B的中点， 所以E(0,1,2)，F(1,1,1)， 所以＝(－1,1,0)，＝(0,2，－2)． 设m＝(x，y，z)是平面A1BE的法向量， 则即 取x＝1，则y＝z＝1， 所以平面A1BE的一个法向量为m＝(1,1,1)． 又因为DA⊥平面A1B1B， 所以＝(1,0,0)是平面A1B1B的一个法向量， 所以cos〈m，〉＝＝＝. 所以平面A1B1B与平面A1BE夹角的余弦值为，故选C. 7.如图，已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，E为线段AB上一点，且AE＝AB，则DC1与平面D1EC所成的角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则C1(0,3,1)，D1(0,0,1)，E(1,1,0)，C(0,3,0)， 所以＝(0,3,1)，＝(1，1，－1)，＝(0，3，－1)． 设平面D1EC的法向量为n＝(x，y，z)， 则 即即 取y＝1，得n＝(2,1,3)． 因为cos〈，n〉＝＝＝， 所以DC1与平面D1EC所成的角的正弦值为，故选A. 8.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，则A1B与平面ABD所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵侧棱与底面垂直，∠ACB＝90°，∴以C为坐标原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设CA＝CB＝a， 则A(a,0,0)，B(0，a，0)，A1(a,0,2)，D(0,0,1)，∴E，G，∴＝，＝(0，－a，1)， ∵点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G， ∴⊥平面ABD，∴·＝0，即－＋＝0，解得a＝2， ∴＝，＝(2，－2，2)， ∵⊥平面ABD，∴为平面ABD的一个法向量， ∴cos〈，〉＝＝＝，∴A1B与平面ABD所成角的正弦值为.故选A. 二、多选题（共3小题） 9.已知平面α的一个法向量为n＝(－1，－2,2)，点A(x2,2x＋1,2)为平面α内一点，若点P(0,1,2)到平面α的距离为4，则x的值为(　　) A.2 B.1 C.－3 D.－6 【答案】AD 【解析】因为＝(0,1,2)－(x2,2x＋1,2)＝(－x2，－2x,0)，n＝(－1，－2,2)，所以·n＝x2＋4x，|n|＝＝3，所以点P到平面α的距离为d＝＝＝4，解得x＝2或x＝－6. 10.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1和C1D1的中点，则下列结论正确的是(　　) A.A1C1∥平面CEF B.B1D⊥平面CEF C.＝＋－ D.点D与点B1到平面CEF的距离相等 【答案】AC 【解析】对A，因为E，F分别是A1D1和C1D1的中点，故EF∥A1C1， 又A1C1⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，故A1C1∥平面CEF成立． 对B，以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体ABCD－A1B1C1D1边长为2，则＝(－2，－2，－2)，＝(0,1，－2)．故·＝0－2＋4＝2≠0.故，不互相垂直．又CF⊂平面CEF.故B1D⊥平面CEF不成立． 对C，＝(1，－2,2)，＋－＝(2,0,0)＋(0,0,2)－(0,2,0)＝(1，－2，2)．故＝＋－成立． 对D，若点D与点B1到平面CEF的距离相等，则点D与点B1中点O在平面CEF上．连接AC，AE，因为EF∥AC，所以E、F、C、A四点共面，从而平面CEF即平面CAEF.又点D与点B1中点O在A1ACC1上，故点O不在平面CEF上．故D不成立． 11.（2025-2026·甘肃兰州高二下期中）直线的方向向量为，两个平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（） A.若，则直线平面 B.若，则平面平面 C.若，则平面所成锐二面角的大小为 D.若，则直线与平面所成角的大小为 【答案】BCD 【解析】由得直线平面或，故A错误，由得平面平面，故B正确. 设平面所成锐二面角为，，由得，故平面所成锐二面角的大小为，C正确. 设直线与平面所成角为，，由得，故直线与平面所成角的大小为，D正确. 答案为BCD. 三、填空题（共3小题） 12.已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1，AB＝1，AA1＝2，点E为CC1的中点，则点D1到平面BDE的距离为                  ． 【答案】 【解析】以C为原点，以CD，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则B(0,1,0)，D(1,0,0)，E(0,0,1)，D1(1,0,2)，所以＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)． 设平面BDE的法向量n＝(x，y，z)， 则n⊥，n⊥， 所以即 令z＝1，得n＝(1,1,1)． 连接D1E，因为＝(0,0,1)－(1,0,2)＝(－1,0，－1)， 所以点D1到平面BDE的距离d＝＝＝. 13.已知平面的法向量为，且点，则点到平面的距离为                  ； 【答案】 【解析】由和，可得， 且， 所以点到平面的距离. 14.（2024-2025·宁夏高二期中）已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为                  ． 【答案】 【解析】已知，，则. 平面的法向量. 由于， 且， 则点到平面的距离. 四、解答题（共2小题） 15.如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为矩形，A1A⊥平面ABCD，A1A＝A1D1＝1，AB＝AD＝2，求直线C1C与平面ACD1所成角的正弦值. 【答案】解　根据题意，建立如图所示空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，C(2，2，0)，D1(0，1，1)，C1(1，1，1)， 所以＝(1，1，－1)，＝(2，2，0)，＝(0，1，1). 设n＝(x，y，z)为平面ACD1的法向量. 则所以 可取x＝1，则y＝－1，z＝1，所以n＝(1，－1，1). 设直线C1C与平面ACD1所成的角为θ， 则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝， 所以直线C1C与平面ACD1所成角的正弦值为. 16.如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝，BC＝1，AD＝AA1＝3. (1)证明：AC⊥B1D； (2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值． 【答案】(1)证明　以A为原点，以，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图所示)， 则A(0,0,0)，C(，1,0)，B1(，0,3)，D(0,3,0)，C1(，1,3)，D1(0,3,3)． 易知＝(，1,0)，＝(－，3，－3)， ∴·＝×(－)＋1×3＋0×(－3)＝0，∴AC⊥B1D. (2)解　设平面ACD1的法向量为m＝(x，y，z)， 又＝(，1,0)，＝(0,3,3)， 则 即 令x＝1，则y＝－，z＝， ∴平面ACD1的一个法向量为m＝(1，－，)． 设直线B1C1与平面ACD1所成的角为θ， ∵＝(0,1,0)， ∴sin θ＝|cos〈，m〉|＝＝＝， ∴直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $