第二章一元二次方程同步练习2026—2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 分层梯度清晰，从概念理解到综合应用，强化运算能力与模型意识，适配单元复习巩固。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|一元二次方程概念、基本解法（直接开平方法、因式分解法）|直接考查定义辨析（如选择题1）、简单解方程（解答题16），夯实运算能力| |能力提升|根的判别式、实际应用（增长率、利润问题）|结合矩形面积（选择题7）、销售利润（解答题19），培养模型意识与推理能力| |综合拓展|几何解法、跨知识综合|融入赵爽弦图（选择题10、解答题20），发展几何直观与创新意识|

第二章一元二次方程同步练习 2026—2027学年苏科版九年级上册数学 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　）。 A. 2x + 3 = 0　　　B. x² − 4x + 1 = 0　　　C. x² + y = 5　　　D. x − = 2 2. 方程 x² − 3x = 0 的解是（　　）。 A. x = 0　　　B. x = 3　　　C. x₁ = 0，x₂ = 3　　　D. x₁ = 0，x₂ = −3 3. 用配方法解方程 x² − 6x + 5 = 0，配方后得到的方程是（　　）。 A. (x − 3)² = 4　　　B. (x + 3)² = 4　　　C. (x − 3)² = 14　　　D. (x − 6)² = 31 4. 用直接开平方法解方程 (x − 1)² = 9，则 x 的值为（　　）。 A. 4　　　B. −2　　　C. 4 或 −2　　　D. ±3 5. 一元二次方程 x² + 4x + 4 = 0 的根的情况是（　　）。 A. 有两个不相等的实数根　　　B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根　　　D. 只有一个实数根 6. 根据表格，判断关于x的方程的一个解的范围是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 7．张伟计划用家里现有的篱笆围建一个矩形羊圈．他计算了一下，如果把10米长的墙作为所围的矩形的一边，则这个矩形的面积是单纯利用篱笆围成的最大矩形面积的2倍．张伟家里现有的篱笆总共长度是（    ） A．20米 B．24米 C．28米 D．32米 8．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D．且 9．下列说法：①关于x的一元二次方程无实数解；②无论m为何值，关于x的一元二次方程都有两个不相等的实数根；③若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是且．其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 10．对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．方程 x² − 9 = 0 的解是 ______． 12．若 x = −1 是一元二次方程 x² + mx − 2 = 0 的一个根，则 m =______． 13．已知m是方程的实数根，则的值为______． 14．一个三角形的两边长分别为5和7，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长为___________． 15．如图，要设计一幅长为，宽为的矩形图案，其中各有两条横、竖向的彩带，横、竖向彩带的宽度比为，彩带所占面积是图案面积的，设竖向彩带的宽为，则可列方程为___________． 三．解答题（本大题共5小题，共75分） 16．用适当的方法解下列一元二次方程： (1) x² − 16 = 0； (2) x² − 5x + 6 = 0。 17．已知关于 x 的一元二次方程 x² − 6x + m = 0。 (1) 若方程有两个相等的实数根，求 m 的值； (2) 当 m = 5 时，求方程的两个根。 18．红星村种的水稻 2021 年平均每公顷产 7200 kg，2023 年平均每公顷产 8450 kg。求水稻每公顷产量的年平均增长率。（列方程并求解） 19．某商店销售一种商品，每件进价为 40 元。经市场调查发现，若每件售价为 50 元，则每天可售出 200 件；若每件售价每提高 1 元，则每天销售量减少 10 件。设每件售价为 x 元（x > 50）。 (1) 用含 x 的式子表示每天的销售量为　　　　　　件； (2) 若商店希望每天的销售利润为 2000 元，求 x 的值。 20．请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得原方程的正数解为． 任务： (1)参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程，解法的正确构图是______（从序号①②③中选择）． (2)请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求方程的正数解（写出必要的思考过程，图2中的网格不要求全部使用） (3)一般地对于形如的一元二次方程可以构造图3来解，已知图3由个相同矩形构成，这个矩形的总面积为，中间围成的正方形边长为．那么______，______． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A C B D A C B A 11． 12．−1 13． 14．16 15． 16．解：(1) x² = 16，x = ±4，即 x₁ = 4，x₂ = −4； 　　(2) 因式分解得 (x − 2)(x − 3) = 0，x₁ = 2，x₂ = 3。 17．解：(1) Δ = (−6)² − 4×1×m = 36 − 4m = 0 ⇒ m = 9； 　　(2) m = 5 时，x² − 6x + 5 = 0，因式分解 (x − 1)(x − 5) = 0，x₁ = 1，x₂ = 5。 18．解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为 x，根据题意列方程： 7200(1+x)²=8450。 化简得(1+x)²==， 1+x=， 取正根 1+x= x= ∴ 水稻每公顷产量的年平均增长率约为。 19．解：(1) 200 − 10(x − 50) = 700 − 10x（件）； 　　(2) 利润 = (售价 − 进价) × 销售量，即 (x − 40)[700 − 10x] = 2000； 　　化简得 (x − 40)(70 − x) = 200， 展开 −x² + 110x − 2800 = 200， 即 x² − 110x + 3000 = 0； 　　因式分解 (x − 50)(x − 60) = 0，x₁ = 50（与已知 x>50 取边界，舍去），x₂ = 60； 　　∴ 每件售价应定为 60 元。（验证：售价 60 元时，销量 700 − 600 = 100 件， 利润 (60−40)×100 = 2000 元，成立。） 20．(1)② (2)如图： (3)； 【分析】本题考查构造图形解一元二次方程，解题的关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程，运用了数形结合的思想． （1）仿照阅读材料构造图形，即可判断出构图方法； （2）仿照阅读材料构造大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，即可解决问题； （3）根据个矩形的总面积为，知，即；而中间围成的正方形边长为，可得解． 【详解】（1）解：∵应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为， ∴大正方形的面积又可表示为， ∴大正方形的边长为， ∴， ∴， ∴解法正确的构图是②， 故答案为：②； （2）首先构造了如图2所示的图形， 图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为， ∴大正方形的面积又可表示为， ∴大正方形的边长为， ∴， 解得：， ∴方程的正数解是； （3）如图：∵， ∴， ∵个矩形的总面积为， ∴， ∴， 解得：， ∵中间围成的正方形边长为， ∴， ∵，表示边长， ∴， 解得：， 故答案为：；． 答案第2页，共3页 答案第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $