第五章 二元一次方程组 重难点训练 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 以“概念理解-解法突破-综合应用”为主线，系统整合12类题型，提炼换元法等解题技巧，强化运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|题型1-2（5题）|解的验证与构造|从方程解的定义到方程组解的判断，构建概念认知| |基本解法|题型3-4（7题）|代入/加减消元步骤优化|从系数特征选择消元方法，培养运算能力| |特殊与综合解法|题型5-7（9题）|换元法、错解复原策略|通过整体思想解决复杂问题，发展推理意识| |应用与拓展|题型8-12（15题）|实际问题建模、函数图象结合|从实际情境抽象方程模型，关联几何直观，提升应用意识|

暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲义 第五章二元一次方程组 题型归纳 题型1二元一次方程的解 题型2判断是否是二元一次方程组的解 题型3代入消元法 题型4加减消元法 题型5二元一次方程组的特殊解法 题型6二元一次方程组的错解复原问题 题型7方程组相同解问题 题型8二元一次方程组的应用 题型9两直线的交点与二元一次方程组的解 题型10图象法解二元一次方程组 题型11求直线围成的图形问题· 题型12三元一次方程组 题型速练 【题型1二元一次方程的解】 1.某段待检修的高铁轨道总长为a米.检修组长说：“若再铺设4米新轨，就能刚好分成x 段8米和'段10米的标准检测段”.技术员说：“若裁去6米破损段，就能刚好分成x+2) 段6米和-)段？米的合格施工段”，则“可能是()米。 A.50 B.51 C.52 D.53 1/12 暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲义 x=3 2.若某个二元一次方程的一组解为y=1,则这个方程可以是 (写出一个即 可) x+y=1 x=-1 3.已知二元一次方程组*的解是y=a,则*表示的方程可能是() A.2x-y=-3B.x+y=4 C.x-y=-3 D.2x+3y=-4 【题型2判断是否是二元一次方程组的解】 x=4 4.已知方程x-y=3,若将它与下列某个方程组成方程组，且该方程组的解为y=1,则这 个方程可以是() A.2x-y=6 B.2x+y=9 1 c.21 x+3y=8 D.x-2y=3 5.若关于x,y的二元一次方程心+y=C,mr+w=k的解的情况分别如表1、表2所示. 表1 … -3 -1 0 2 6 5 3 2 表2 x -3 -2 -1 0 2 -1 0 2 3 2/12 暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲义 ax+by=c 则方程组mx+y=k的解是() x=0 x=-2 x=1 x=2 A.y=4 B.y=6 c.\y=3 D.y=4 x=1 6.方程x+2y=5与下面一个方程组成的方程组的解为y=2,那么这个方程可以是() 1 A.2x+3y=7 B.x+2y=3 C.3x-y=1 D.x+y=4 【题型3代入消元法】 3x-y=2① 7.下列用代入法解方程组3x=11-2y②的步骤，其中最简单的是() A.@,得x=y+2 3③，再把③代入② B.由①，得y=3x-2③，再把③代入② 11-3x C.由②，得少=2”③，再把③代入① D.把②代入① 8.△，田各代表一个数，△+⑧+田=25，△=⊕+⊕+⊕，则△+△+田的值为 3/12 暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲义 9.规定：关于x,y的方程+by=k与bx+四=k互为共轭二元一次方程，其中a≠b,由这 ax+by=k 两个方程组成的方程组bx+四=k叫做共轭方程组.如2x+3y=6与3x+2y=6互为共轭二 2x+3y=6 元一次方程，3x+2y=6是共轭方程组， (1)方程9x+y=6的共轭二元一次方程是_； mx+y=m+1 (2)若关于x,y的方程组x+2(n-2)y=n为共轭方程组，求m,n的值. 【题型4加减消元法】 [2x+5y+4=0 10.已知实数x,y满足方程组3x-4y=17,求V4x-2y. 11.解方程组： x+2y=-2 (1)3x-4y=14: （x_y=2 36 (2)x-2y=61 x-3y=1① 12.小明同学解方程组2x-y=7②的过程如下： 解：①×2，得2x-6y=2.③第一步 4/12 暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲义 ③-②，得6y-y=2-7,第二步 -7y=5y-.第三步 把=7代入@，得x-3×=1x 22 7 7. 第四步 22 x= 所以这个方程组的解是 第五步 y (1)小明的解法中，从第 步开始出现错误： (2)请写出正确的解题过程。 【题型5二元一次方程组的特殊解法】 13.【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个题目： 3(3x+y)-5(x-y)=40 解方程组： 4(3x+y)+(x-y)=61. (1)如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，且容易出错。如果把方程组中的 (Bx+刀看成一个整体，把：-刀也看成一个整体，通过换元，可以解决问思。例如：设 [a=15 3x+y=a,x-y=b,则原方程组可化为， ,解关于a,b的方程组，得b=1,所 3x+y=15 以x-y=1,解这个方程组，得 【探索应用】 5/12 暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲义 2x+yx+3y=3 3 2 (2)运用上述方法解方程组： 2x+y_x+3y=6 6 2 (2a+mb=7 a=1.7 14.已知关于a、b的方程组5a-nb=6的解为b=9.7,则关于x、y的方程组 2(x-2)+m(y+1)=7 5x=n(y+1)+16 的解为 ax+by=c 「x=1 ax+2by=3c 15.三个同学对问题“若方程组a2x+by=C2的解是y=2,求方程组ax+2by=3c2的 解”提出各自的想法.甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数 有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以3， 通过换元替换的方法来解决”.参考他们的讨论，这个题目的解应该是 【题型6二元一次方程组的错解复原问题】 ax+3y=12① 16.甲、乙两名同学在解方程组bx-4y=4②时，甲把字母a看错了得到方程组的解为 x=4 x=3 y=1,乙把字母b看错了得到方程组的解为y=3 (1)求a,b的值； (2)求该方程组正确的解； ax+5y=10 x=-3 17.在解方程组4x-by=-4时，由于粗心，甲看错了方程组中的a,解得y=-1,乙看错 x=5 了方程组中的b,解得y=4,计算a+b= 6/12 暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲义 ax-4y=-6① x=3 18.甲、乙两人同解方程组5x=by+10②时，甲看错了方程①中的a,解得y=1,乙看 [x=-1 错了方程②中的b,解得y=2,求原方程组的正确解. 【题型7方程组相同解问题】 [x-2y=-6x+2y=10 19.已知关于x,y的二元一次方程组bx+ay=-8与ar-y=6有相同的解. (1)求这两个方程组的相同解： (2)求a,b的值. ax+by=1 x=2 20.若关于x,y的二元一次方程组ax-y=-2的解是y=3,则关于m,n的二元一次方 a(2m-1)+3nb=1 程组a(2m-1)-3nb=-2的解是 [2x+5y=6bx+y=-8 21.已知关于x,y的二元一次方程组ar-by=-4和3x-5y=16的解相同，求5a-3b+2 的算术平方根。 【题型8二元一次方程组的应用】 22.某学校采购体育用品，需要购买三种球类.己知某体育用品商店排球的单价为30元/ 个，篮球，足球的价格如下： ①篮球、足球、排球各买一个的价格共为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 7/12 暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲义 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价： (2)学校要购买篮球、足球共10个，设购买篮球个，篮球、足球的总费用为甲元，求关 于的函数解析式 (3)在(2)的条件下，且购买足球的个数不超过篮球个数的2倍.请问购买多少个篮球时花 费最少，最少费用是多少？ 23.为迎接黎苗族“三月三”传统节日，某校计划购买一批反映黎苗文化的甲、乙两种书 籍，用于建设民族文化阅读角.已知购买1本甲种书和2本乙种书共需95元：购买2本甲种书 和3本乙种书共需160元.求甲，乙两种书的单价分别为多少元？ 24.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：一条竿子一条索，索比竿 子长一托.折回索子却量竿，却比竿子短一托.其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索 去量竿，绳索比竿长5尺：如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺.设绳索长x尺，竿 长'尺，则符合题意的方程组是() x=y+5 x=y-5 A 2y-5 B 2=y+5 x=y+5 x=y-5 C. 2x=y-5 D 2x=y+5 【题型9两直线的交点与二元一次方程组的解】 2x+y=3 1 25.若函数y=-2x+3与y=2x+m的图象交于点P-少则方程组2x+y=m的解为 8/12 暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲义 ax-y=-b x=3 26.已知关于x,y的二元一次方程组x+y=-2的解是y=m,则一次函数y=ax+b和 y=-x-2 的图象的交点坐标为一· 27.以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个二元一次方程的图象.如图，二元一次 [2x+y=4 方程组x-y=a(a为常数)中的两个二元一次方程的图象交于点P,则a的值为 P 2x+y=4 x-y-a 【题型10图象法解二元一次方程组】 28.利用图象解下列方程组： [y=-2x-1 1 (1)y=2x+4; 2 2x-y=2 (2)x+y=-5. y=3x-6 29.利用一次函数的图象，求二元一次方程组x+y=4的解. 9/12 暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲义 30.如图，在平面直角坐标系中，一次函数'=+b A(-2,6) 的图象经过点 ,且与x轴相交 于点B,与正比例函数y=3x的图象相交于点C,点C的横坐标为1. 1=3x =kx+b (1)求k和b的值： [kx-y=-b (2)请直接写出方程组3x-y=0的解； 3)若点D在BC上，且满足 SADOC =4 ,求点D的坐标 【题型11求直线围成的图形问题】 31.已知一次函数的图象经过10,4)，B心-2）两点 4 3 2 5-4-3-2-11O1 2345 (1)求这个一次函数的解析式： (2)画出这个一次函数的图象： (3)求一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标： 10/12 暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲义 (4)该直线与两坐标轴所围成的三角形的面积. 2:y=-x 1 32.如图，直线与直线 交于点A,且直线与x轴，y轴分别交于B,C两点，且 -2,0),(0,4) 两点的坐标分别为 (1)求直线的函数解析式： (2)求△AOB的面积. 33.如图，直线y=2x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,与直线y=-x+1交于点D.直 线y=-x+1与x轴交于点C,与y轴交于点E D 备用图 (1)求点D的坐标： (2)P在直线CD上，△ADP的面积为2，求点P的坐标. 【题型12三元一次方程组】 11/12 暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲义 x-z=-2 x+z=2 34.解方程组： x-y+3z=4 35. 己知x+y=1,y+z=5,x+z=6,则z= a+b+c=12① a-b+c=4② 36. 解方程组： 2a-c=1③ 12/12暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 第五章 二元一次方程组 题型1 二元一次方程的解 题型2 判断是否是二元一次方程组的解 题型3 代入消元法 题型4 加减消元法 题型5 二元一次方程组的特殊解法 题型6 二元一次方程组的错解复原问题 题型7 方程组相同解问题 题型8 二元一次方程组的应用 题型9 两直线的交点与二元一次方程组的解 题型10 图象法解二元一次方程组 题型11 求直线围成的图形问题 题型12 三元一次方程组 【二元一次方程的解】 1．某段待检修的高铁轨道总长为米．检修组长说：“若再铺设米新轨，就能刚好分成段米和段米的标准检测段”．技术员说：“若裁去米破损段，就能刚好分成段米和段米的合格施工段”，则可能是（    ）米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列出关于，，的方程，利用，为非负整数的性质，求解得到的可能值，再匹配选项即可． 【详解】解：∵原轨道长米，若再铺设米新轨，就能刚好分成段米和段米的标准检测段， ∴， 整理得； ∵原轨道长米，若裁去米破损段，就能刚好分成段米和段米的合格施工段， ∴， 整理得； 可知， 整理得． ∵，为非负整数，且， 因此方程的非负整数解为，，， 将三组解分别代入计算： 当时，，不符合选项； 当时，，符合选项； 当时，，不符合选项； 因此可能为米． 2．若某个二元一次方程的一组解为，则这个方程可以是__________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：某个二元一次方程的一组解为， ， 因此满足条件的二元一次方程可以是． 3．已知二元一次方程组的解是，则*表示的方程可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方程组的解满足每个方程，先利用已知方程求出未知数的值，得到完整的解，再代入各选项验证即可得到答案． 【详解】解：将代入方程， 得到， 解得， 即方程组的解为， 将解代入各选项验证：A、，不成立，不符合题意； B、，不成立，不符合题意； C、，等式成立，符合题意； D、，不成立，不符合题意； 故选：C． 【判断是否是二元一次方程组的解】 4．已知方程，若将它与下列某个方程组成方程组，且该方程组的解为，则这个方程可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组解的定义，方程组的解满足组内每个方程，因此将已知的解代入各选项验证，等式成立的即为所求方程． 【详解】解：将代入选项A，得 ，等式不成立， ∴A错误； 将代入选项B，得 ，等式成立， ∴B正确； 将代入选项C，得 ，等式不成立， ∴C错误； 将代入选项D，得 ，等式不成立， ∴D错误． 5．若关于，的二元一次方程，的解的情况分别如表、表所示． 表 … … … … 表 … … … … 则方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二元一次方程组的解是同时满足方程组中两个方程的解，因此只需找出两个二元一次方程的共同解即可． 【详解】解：∵ 方程组的解需要同时满足两个方程， ∴ 该既是方程的解，也必须是方程的解， 对比表和表的各组解，可知同时满足两个方程， ∴方程组的解是． 6．方程与下面一个方程组成的方程组的解为，那么这个方程可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“方程组的解满足方程组中的每一个方程”，将已知解代入各选项中的方程，验证方程左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】解：将依次代入各选项的方程， A．左边，右边，，故此选项不符合题意； B．左边，右边，，故此选项不符合题意； C．左边，右边，，故此选项符合题意； D．左边，右边，，故此选项不符合题意． 【代入消元法】 7．下列用代入法解方程组的步骤，其中最简单的是（     ） A．由①，得③，再把③代入② B．由①，得③，再把③代入② C．由②，得③，再把③代入① D．把②代入① 【答案】D 【分析】观察方程组结构，寻找最简便的消元方式，优先利用已有整体形式代入简化计算． 【详解】解：， 方程②已经直接给出的表达式，两个方程都含， ∴直接将②整体代入①，即可消去未知数，无需额外变形得到分式形式，计算步骤最少，是最简单的解法． 8．，各代表一个数，，，则的值为___________． 【答案】 【分析】将代入求出的值，进而求出的值，即可求出的值． 【详解】解：将代入得， 解得， ∴， ∴． 9．规定：关于的方程与互为共轭二元一次方程，其中，由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组．如与互为共轭二元一次方程，是共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是 ； (2)若关于的方程组为共轭方程组，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据定义交换x和y的系数即可得到结果； （2）根据共轭方程组的定义，得到对应系数与常数项相等，列出方程组求解即可，用到的知识点是二元一次方程组的解法． 【详解】（1）解：根据共轭二元一次方程的定义，交换原方程x和y的系数，可得方程的共轭二元一次方程是； （2）解：∵为共轭方程组， ∴， 将代入得， 化简得， 解得， 将代入得，满足，符合题意， 因此． 【加减消元法】 10．已知实数，满足方程组，求． 【答案】4 【分析】先用加减消元法解二元一次方程组，再求的值即可． 【详解】解：， 得：③， 得：④， 得：，解得， 将代入①得：，解得， ∴方程组的解为， ∴． 11．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 将，得，解得， 把代入，得，解得， ∴方程组的解为； （2）解：， 将两边同乘12整理得， 得到方程组， 将，得， 解得， 把代入，得， 解得， ∴方程组的解为． 12．小明同学解方程组的过程如下： 解： ，得．③  第一步 ③②，得，  第二步 ．第三步 把代入①，得．第四步 所以这个方程组的解是  第五步 (1)小明的解法中，从第______步开始出现错误； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)二 (2) ①，得．③ ③②，得，解得． 将代入①，得． 所以这个方程组的解为． 【分析】（1）发现第二步③②出错即可； （2）直接利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：第二步③②时，应为，即，而不是． （2）略． 【二元一次方程组的特殊解法】 13．【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个题目： 解方程组：． (1)如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，且容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把也看成一个整体，通过换元，可以解决问题．例如：设，，则原方程组可化为________，解关于，的方程组，得，所以，解这个方程组，得________； 【探索应用】 (2)运用上述方法解方程组：． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意，原方程组可化为，再求出方程组的解即可； （2）设，，原方程组可化为，解得，再求出方程组的解即可． 【详解】（1）解： 设，， ∴原方程组可化为， 解得：， ∴， 解得：． （2）解： 设，， ∴原方程组可化为， 解得：， ∴， 解得：． 14．已知关于、的方程组的解为，则关于、的方程组的解为__________． 【答案】 【分析】利用整体换元的思路，将待求解的方程组变形为和已知解的原方程组结构一致的形式，通过对应关系得到关于，的简单方程组，进而求出结果． 【详解】解： 原方程组为， 对第二个方程移项变形得， 即， 整理得， 因此变形后的待求解方程组为 ， 关于、的方程组的解为， ， 解得． 15．三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以，通过换元替换的方法来解决”．参考他们的讨论，这个题目的解应该是__________． 【答案】 【分析】利用换元法求二元一次方程组的解． 【详解】解：整理方程组， 可得：， 方程组的解是， ， 方程组的解为． 【二元一次方程组的错解复原问题】 16．甲、乙两名同学在解方程组时，甲把字母看错了得到方程组的解为，乙把字母看错了得到方程组的解为 (1)求，的值； (2)求该方程组正确的解； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将代入②求b，将代入①求a即可； （2）把正确的，的值代入方程组，用加减法求解即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入②，得 ， 得． 将代入①， 得， 解得 ∴，． （2）解：由（1），得原方程组为 由，得 ， 解得， 将代入① 得， 解得 所以原方程组的解为． 17．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，解得，乙看错了方程组中的，解得，计算________． 【答案】 【分析】由题意列方程求出的值，代入代数式计算即可． 【详解】解：在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，解得，则的解为， ，解得； 在解方程组时，由于粗心，乙看错了方程组中的，解得，则的解为， ，解得； ． 18．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得．求原方程组的正确解． 【答案】 【分析】甲看错了方程①中的，但他解出的答案满足正确的方程②，故将代入方程②可得的值，同理，将代入方程①可得的值利用代入消元法解方程组即可． 【详解】解：由题意，将代入方程得：， 解得； 将代入方程得：， 解得． 即原方程组为，即， 将③代入①得：， 解得， 将代入③得：， 则原方程组的正确解为． 【方程组相同解问题】 19．已知关于，的二元一次方程组与有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）因为两个方程组有相同的解，所以这个解同时满足两个不含参数的方程和，将这两个方程联立组成新的方程组，求解即可得到相同的解． （2）把求得的相同解代入另外两个含参数的方程和，得到关于的二元一次方程组，求解该方程组即可得到的值． 【详解】（1）解：∵关于，的二元一次方程组与有相同的解， ∴联立方程组，得 ①②，得， 解得，              把代入①，得， 解得， ∴这两个方程组的相同解为； （2）解：把，代入方程组， 得， ④，得， 解得，       把代入④，得， 解得． 20．若关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是________． 【答案】 【分析】先对比两个方程组的结构，结合第一个方程组的解可得，再逐一解出的值即可． 【详解】解：对比两个方程组，得， 由得，则； 由解得， 即关于，的二元一次方程组的解是． 21．已知关于，的二元一次方程组和的解相同，求的算术平方根． 【答案】 【分析】根据同解方程定义可以重新组合得到二元一次方程组，利用加减消元的方法求出结果，再代入求出a，b的值，代入求出结果再求算术平方根． 【详解】解：由题可知，两个二元一次方程组的解也是方程组的解， 解方程组， 得：， 解得：， 将代入得：， 则方程组的解为， 把分别代入，， 得， 解得 ，         的算术平方根为． 【二元一次方程组的应用】 22．某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下： ①篮球、足球、排球各买一个的价格共为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)学校要购买篮球、足球共10个，设购买篮球m个，篮球、足球的总费用为w元，求w关于m的函数解析式 (3)在（2）的条件下，且购买足球的个数不超过篮球个数的2倍．请问购买多少个篮球时花费最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)每个篮球60元，每个足球50元 (2)w关于m的函数解析式为 (3)购买4个篮球时花费最少，最少费用540元 【分析】（1）设每个篮球元，每个足球元，根据题意，列出二元一次方程组进行求解即可； （2）根据题意列出函数解析式即可； （3）根据题意，列出不等式求出的范围，列出一次函数解析式，根据一次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设每个篮球元，每个足球元，由题意，得： 或或，（三个方程组任选一个即可） 解得：； 答：每个篮球60元，每个足球50元． （2）解：购买篮球个，则足球个，依题意，得 ∴w关于m的函数解析式为； （3）解：由题意，得 解得， ∵为正整数， ∴，且为正整数， ∵函数中，，随增大而增大， ∴当取最小值4时，总费用最少，为 答：购买4个篮球时花费最少，最少费用540元． 23．为迎接黎苗族“三月三”传统节日，某校计划购买一批反映黎苗文化的甲、乙两种书籍，用于建设民族文化阅读角．已知购买本甲种书和本乙种书共需元；购买本甲种书和本乙种书共需元．求甲，乙两种书的单价分别为多少元？ 【答案】甲种书的单价是35元，乙种书的单价是30元 【分析】设甲，乙两种书的单价分别为元，元，根据题意列二元一次方程组即可解答． 【详解】解：设甲，乙两种书的单价分别为元，元， 根据题意，得， 解得， 答：甲种书的单价是35元，乙种书的单价是30元． 24．我国古代数学著作增删算法统宗记载“绳索量竿”问题：一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短尺．设绳索长尺，竿长尺，则符合题意的方程组是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目给出的两个等量关系，列出二元一次方程组即可得到答案． 【详解】解：设绳索长尺，竿长尺， ∵绳索比竿长尺， ∴可得方程 ， ∵将绳索对半折后量竿，比竿短尺，对半折后绳索长度为， ∴可得方程 ， 因此符合题意的方程组是． 【的交点与二元一次方程组的解】 25．若函数与的图象交于点，则方程组的解为______________． 【答案】 【分析】先将交点代入解析式求出的值，再根据一次函数图象的交点是方程组的解． 【详解】解：∵函数的图象过点， ∴点代入函数得 ， 解得， ∴点坐标为， ∴方程组的解为． 26．已知关于的二元一次方程组的解是，则一次函数和的图象的交点坐标为_____． 【答案】 【分析】把代入，求得，由于求一次函数和的图象的交点坐标即求方程组的解，即可求得答案． 【详解】解：把代入，得， ， 求一次函数和的图象的交点坐标即求方程组的解，方程组可变形为， 方程组的解为， 一次函数和的图象的交点坐标为． 27．以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个二元一次方程的图象．如图，二元一次方程组（为常数）中的两个二元一次方程的图象交于点P，则的值为_________． 【答案】 【分析】将代入，可求出点P的坐标，即可解答． 【详解】解：将代入，得 ， 解得． ∴， ∴． 【图象法解二元一次方程组】 28．利用图象解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在同一个平面直角坐标系中，由描点法作出直线和直线，找出两条直线的交点坐标就得到二元一次方程组的解． （2）在同一个平面直角坐标系中，由描点法作出直线和直线，找出两条直线的交点坐标就得到二元一次方程组的解． 【详解】（1）解：对于，当时，，则；当时，，则； 对于，当时，，则；当时，，则； 在平面直角坐标系中描点、连线，如图所示： 两条直线交点，则原方程组的解为； （2）解：对于，当时，，则；当时，，则； 对于，当时，，则；当时，，则； 在平面直角坐标系中描点、连线，如图所示： 两条直线交点，则原方程组的解为． 29．利用一次函数的图象，求二元一次方程组的解． 【答案】 【分析】在直角坐标系中画出两个函数图象即可得到交点坐标，从而得到方程组的解． 【详解】解：该方程组可化为， 在平面直角坐标系中作出函数与的图象， 由图象可得，这两个函数的图象交点为， ∴方程组的解为． 30．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与x轴相交于点B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1． (1)求k和b的值； (2)请直接写出方程组的解； (3)若点D在上，且满足，求点D的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点D的坐标或． 【分析】（1）由正比例函数表达式求出交点C坐标，再利用待定系数法求一次函数的解析式即可求解； （2）识别出方程组就是一次函数与正比例函数的表达式组成的，故解为其交点坐标； （3）设，分别求出和，分两种情况讨论利用三角形面积公式分别列式求解即可． 【详解】（1）解：∵点C在上，且点C的横坐标为1， 将代入，得， ， 将，代入， 得， 解得 ； （2）解：变形为， 由图象和方程组知，的解为函数与的交点坐标，即， ∴方程组的解为； （3）解：∵点D在上，直线的解析式为， 设，过点作轴于点M，过点作轴于点N， 当时，，解得， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴． 当点在延长线上时， 同理得， 解得， ∴， ∴， 综上，点D的坐标或． 【求直线围成的图形问题】 31．已知一次函数的图象经过，两点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)画出这个一次函数的图象； (3)求一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标； (4)该直线与两坐标轴所围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2)一次函数的图象如下： (3)图象与轴交于点，与y轴交于点 (4) 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）利用“两点法”画出函数图象即可； （3）分别令，，即可求解； （4）利用三角形的面积公式解答即可． 【详解】（1）解：设这个一次函数的解析式为：， 将点，代入上式得∶ ， 解得 ， ∴这个一次函数的解析式为：； （2）略 （3）解：对于，当时， ， ∴图象与y轴交点坐标， 当时， ，则 ∴图象与轴交于点； （4）解：∵图象与轴交于点，与y轴交点坐标， 该直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为． 32．如图，直线与直线交于点A，且直线与x轴，y轴分别交于B，C两点，且两点的坐标分别为． (1)求直线的函数解析式； (2)求 的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法，求解即可； （2）根据交点的坐标，利用计算即可． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为 ， 根据题意，得， 解得， 故一次函数． （2）解：根据题意，得， 解得， 故， ， ； 33．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)在直线上，的面积为2，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）联立，即可求解； （2）求出点A，C的坐标，可得，从而得到，然后分两种情况：当点P在点D的右侧时，当点P在点D的左侧时．即可求解． 【详解】（1）解：联立得：， 解得：， ∴点； （2）解：对于，当时，， ∴点， 对于，当时，， ∴点， ∴， ∵点， ∴， 如图，当点P在点D的右侧时， ∵的面积为2， ∴， ∴， ∴， ∴，解得，， ∴点P的坐标为； 如图，当点P在点D的左侧时， ∵的面积为2， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 【三元一次方程组】 34．解方程组： 【答案】 【详解】解： 得，解得， 将代入，解得， 将和代入③，得到， 解得， 所以，原方程的解为． 35．已知 ，则 ________． 【答案】 【分析】将三个方程相加求出的值，再分别与三个已知方程作差，即可求出的值，进而求得的值解即可； 【详解】解：根据 ，得 ， 故 ， ， 解得 ， 故 ， ； 36．解方程组：． 【答案】 【详解】解： 得：，即，④ 得：，解得：， 把代入③得：，解得：， 把，代入①得：，解得：， ∴方程组的解为． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $