重难点专题04 一次函数的应用（专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 以“问题情境—方法提炼—综合应用”为主线，系统构建一次函数应用的解题框架，强化数学建模与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |实际应用|24题|分配方案：设变量→列函数→求范围→选最优；利润问题：单件利润×销量=总利润；行程问题：分段函数+图像分析；梯度计价：区间划分+分段计算|从实际问题抽象函数模型，通过自变量取值范围与函数增减性解决优化问题，体现数学建模思想| |几何综合|20题|直线相交：联立方程组求交点；三角形综合：坐标算面积+动点问题；新定义：转化规则→建函数→验证|函数与几何图形结合，运用数形结合思想，培养空间观念与创新意识| |方程综合|17题|交点与方程解互化；图像法解方程；方程与函数关系转化|通过函数图像直观理解方程解的几何意义，强化代数与几何的内在联系|

重难点专题04 一次函数的应用 模块一、一次函数的实际应用 重难点一、分配方案问题 先设分配数量为自变量，结合总量关系列出一次函数解析式，再根据物资数量、人数等现实约束，列出自变量取值不等式，求出整数可行方案。结合k的正负判断函数增减性，快速筛选最优分配方案，作答时完整列举全部符合条件的分配方案。 1．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段检测）为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校准备购买若干套健身器材供学生使用，经调查，某公司有，两种健身器材可供选择，每套型健身器材售价为万元，每套型健身器材售价为万元，经协商，该公司承诺：每套型健身器材在售价的基础上减免万元；每套型健身器材在售价的基础上打七折．学校想购进，两种健身器材共套，若型健身器材买套，共花费万元． (1)请求出与的函数关系式； (2)若型健身器材的数量不超过套，学校应如何购买才能使总费用最少？ 【答案】(1) (2)购买型健身器材套，型健身器材套才能使总费用最少 【难度】0.85 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意易得购买型健身器材套，然后可列函数解析式进行求解； （2）根据题意易得，然后由及一次函数的增减性可进行求解． 【详解】（1）解：若型健身器材买套，则型健身器材套， 由题意得：， 即与的函数关系式为（，且x为整数）； （2）解：由题意可知，，由可知，总费用为：， 随的增大而减小， 当时，有最小值， 即若型健身器材买套， 则型健身器材买套， 答：购买型健身器材套，型健身器材套才能使总费用最少． 2．（24-25八年级上·广东佛山·期中）在“综合与实践”活动课时，小明关注了佛山移动公司手机资费两种套餐： A套餐：月租0元，市话通话费每分钟元； B套餐：月租费48元，免费市话通话时间48分钟，超出部分每分钟元． 设A套餐每月市话话费为元，B套餐每月市话话费为元，月市话通话时间为x分钟． (1)分别写出，与x的函数关系式； (2)小明爸爸每月市话通话时间为200分钟，请说明选择哪种套餐更合算． 【答案】(1) (2)选择B种套餐更合算 【难度】0.85 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据已知，列出函数关系式即可； （2）结合（1），求出时，两种套餐的费用，再比较即可． 本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 【详解】（1）解：根据题意得：，； （2）解：当时， ， ， 选择B种套餐更合算． 3．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）A县和B县春季分别急需化肥100吨和60吨，C县和D县分别储存化肥110吨和50吨，全部调配给A县和B县．运费如下表所示： 出发地 运费（元/吨） 目的地          C县          D县 A县 40 45 B县 35 50 (1)设从C县运到A县的化肥为x吨，则从C县运往B县的化肥为 吨，从D县运往A县的化肥为 吨，从D县运往B县的化肥为 吨； (2)求总运费W（元）与x（吨）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)求最低总运费，并说明运费最低时的运送方案． 【答案】(1)，， (2) (3)最低运费6350元；从C县运到A县的化肥为50吨，从C县运往B县的化肥为60吨，D县的化肥全运往A县 【难度】0.85 【知识点】列代数式、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意和题目中的数据，可以写出总运费W（单位：元）关于x（单位：t）的函数解析式，并求出自变量x的取值范围； （3）根据（1）中的函数关系式和一次函数的性质，可以求得最低总运费和此时的运送方案． 【详解】（1）解：从C县运往B县的化肥：， 从D县运往A县的化肥：， 从D县运往B县的化肥：； （2）解：， A县的化肥全从C县运进，则， D县的化肥全运往A县，则， 所以自变量x的取值范围是； （3）解：由（2）知：， ∴w与x成一次函数，，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w最小， （元）， 从C县运到A县的化肥为50吨，从C县运往B县的化肥为吨，从D县运往A县的化肥为吨，D县的化肥全运往A县． 4．（25-26八年级下·山东滨州·期末）综合实践活动《绿动未来——追踪碳排放》 【素材呈现】 素材一：在对A城市交通工具的二氧化碳排放量所进行的一项调研中，我们发现：10辆燃油车与10辆电动汽车每公里共同排放的二氧化碳总量约为2600克，而5辆燃油车与6辆电动汽车每公里的总排放量则为1374克． 素材二：为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关换算标准，每棵成年的阔叶树种（例如杨树）每年大约吸收172千克二氧化碳，而每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收111千克的二氧化碳． 【问题解决】 (1)问题一：一辆燃油车和一辆电动汽车每公里分别产生的二氧化碳排放量是多少克？ (2)问题二：某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为千克． ①求与的函数关系式； ②杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树不超过20棵，请设计一个最优的采购方案，使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 【答案】(1)一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是186克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排放量是74克 (2)①（且a为整数）；②最优的采购方案是购买20棵杨树和80棵冷杉 【难度】0.56 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）设一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排放量是克，列二元一次方程组求解即可； （2）①设购买了棵杨树，则购买的冷杉树为棵，根据两种树吸收二氧化碳的数量列出与的函数关系式即可；②根据“采购杨树不超过20棵”列出不等式求出的范围，根据一次函数的性质可知随的增大而增大，从而确定采购方案． 【详解】（1）解：设一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排放量是克， 依题意得：，解得． 答：一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是186克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排放量是74克． （2）解：①设购买了棵杨树，则购买的冷杉树为棵， 根据题意得：， ∴与的函数关系式为：（且a为整数）． ②依题意得：， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，的值最大， （棵）． ∴最优采购方案是购买20棵杨树和80棵冷杉． 5．（25-26八年级下·广东广州·期末）A城有肥料，B城有肥料．现要把这些肥料全部运往C、D两乡．从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/和25元/；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/和24元/．现C乡需要肥料，D乡需要肥料．若从A城运往C乡的肥料为，总运费为元． (1)用含的代数式表示从A城运往D乡的肥料； (2)写出总运费与之间的函数关系式；并写出的取值范围． (3)怎样调运可使总运费最少？ 【答案】(1) (2) (3)从A城运往C乡，运往D乡，从B城运往C乡，运往D乡时，总运费最少，最少为10040元 【难度】0.62 【知识点】列代数式、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）用A城的肥料减去A城运往C乡的肥料即可得到答案； （2）分别表示出从B城运往C乡的肥料和从B城运往D乡的肥料，然后分别计算对应的运费，求和即可得到答案； （3）根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：从A城运往D乡的肥料为； （2）解：从B城运往C乡的肥料为， 从B城运往D乡的肥料为， ∴ （3）解：的一次项系数为， 随的增大而增大，    又 当取最小值0时，取得最小值，最小值为（元）， 此时， 答：从A城运往C乡，运往D乡，从B城运往C乡，运往D乡时，总运费最少，最少为10040元． 6．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段检测）甲地有木材300吨，乙地有木材400吨．现将两地木材全部运往A、B两木艺加工厂，其中厂需木材360吨，厂需木材340吨．设从甲地运吨木材到厂（），从甲地运往两木艺厂的总运费为元，从乙地运往两木艺厂的总运费为元． 运费表 (1)木材运输配送表如下，请你填空（用含的式子表示）： 甲地 乙地 厂 x ② 厂 ① ③ ①______；②______；③______； (2)请分别求出与之间的函数关系式； (3)若要求从乙地运往两木艺厂的总运费不得超过4800元，怎样调运可使全部运输费用（即两地运往两木艺厂的总费用之和）最少，并求出全部运输费用的最小值． 【答案】(1)①，②，③ (2)； (3)甲地运往厂：120吨，甲地运往厂：180吨；乙地运往厂：240）吨，乙地运往厂：160吨， 【难度】0.4 【知识点】列代数式、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，列代数式，难度较大，解题的关键是正确理解题意． （1）设从甲地运吨木材到厂，根据“甲地有木材300吨，乙地有木材400吨．现将两地木材全部运往A、B两木艺加工厂，其中厂需木材360吨，厂需木材340吨”列代数式即可； （2）根据运费等于单价乘以数量建立起函数关系式即可； （3）根据总运费得到关于的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：由题意得，①，②，③， 故答案为：①，②，③； （2）解：由题意得，； ； （3）解：因为，即， 可得， 得， 又， 得． ∵， 一次函数中，， 故随增大而减小， ∴内，取最大值120时，总最小． 故调运方案为：甲地运往厂：120吨，甲地运往厂：吨；乙地运往厂：吨，乙地运往厂：吨， 所以（元）． 重难点二、最大利润问题 梳理单件利润、销售数量，总利润 = 单件利润 × 销量，据此构建一次函数。根据进货量、售价限制确定自变量取值范围，通过k正负判断增减性：k>0取区间最大值，k<0取区间最小值，代入解析式算出最大利润，最后结合题意规范作答。 1．（25-26七年级上·山东济南·期末）为提升训练质量，某羽毛球俱乐部计划采购某品牌羽毛球训练器材．经市场调查了解到该品牌羽毛球拍每副120元，羽毛球每筒40元，某体育用品商场抓住机遇推出促销活动，提供了两种优惠方案： 方案一：买一副羽毛球拍送一筒羽毛球； 方案二：羽毛球拍和羽毛球全部按定价打八折． 若该羽毛球俱乐部需采购球拍100副，羽毛球x筒．方案一、二所需付款金额分别为元、元． (1)求， 与之间的函数表达式； (2)当时，通过计算比较这两种方案哪种更划算． 【答案】(1)， (2) 解：当时，， ， 方案一更划算． 【难度】0.85 【知识点】函数解析式、求自变量的值或函数值、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了函数关系式，求函数值，根据题意列出代数式是解题的关键． （1）根据两种不同的优惠方案列出函数关系式即可； （2）把分别代入（1）中函数关系式，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：， （2）略 2．（25-26八年级上·安徽滁州·期中）某公司每月销售两种型号的教学设备共20台，每台的销售成本和售价如下表． 型号 成本/（万元/台） 3 5 售价/（万元/台） 4 8 (1)设该公司每月销售型号设备台，则每月销售型号设备______台，每月共获得利润_____万元．（用含的代数式表示，结果需化简） (2)若每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元，则该公司如何安排购进两种型号教学设备的数量，使得每月销售完这些设备后获利最大？并求出最大利润． 【答案】(1)； (2)购进型号设备10台，型号设备10台时获利最大，最大利润为40万元 【难度】0.85 【知识点】列代数式、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】此题综合考查一次函数、不等式的应用，注意题目蕴含的数量关系，正确列式解决问题． （1）销售A种品牌设备x台，B种品牌设备台，算出每台的利润乘对应的台数，再合并在一起即可求出总利润； （2）由“每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元”，列出不等式，再由（1）中的函数的性质得出答案即可． 【详解】（1）解：∵每月销售两种型号的教学设备共20台，该公司每月销售型号设备台， ∴每月销售型号设备为台， ∴每月共获得利润为， 即万元， 故答案为：；． （2）解：∵每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元， ∴， 解得， ∵， ∴利润随x的增大而减小， ∴当时，获得利润最大，最大利润为（万元）， ∴， ∴此时，应购进型号设备10台，型号设备10台． 3．（2025·河北唐山·三模）国产动画《哪吒》系列电影的卓越品质给无数观众留下了深刻的印象．某文创店老板打算从批发商处购进“哪吒”“敖丙”和“太乙真人”三种手办，第一批只购进了“哪吒”和“敖丙”两种手办进行试销．其进货单如图所示，其中部分数据被墨水覆盖，已知每套“敖丙”手办的进价比每套“哪吒”手办贵5元． (1)求出每套“哪吒”手办和每套“敖丙”手办的进价； (2)受电影热度影响，第一批购进的两种手办全部售完，老板将第一批手办的销售额全部用于购进第二批手办，已知三种手办都需要购进，且购进“哪吒”和“敖丙”手办的数量相等．但每套“哪吒”手办的进价比原来提高20%，每套“敖丙”手办的进价比原来降低，每套“太乙真人”手办的进价不变，若购进套“太乙真人”手办，套“哪吒”手办． ①试推算与应满足的数量关系； ②若三种手办的售价不变，当“太乙真人”手办的数量不少于130套时，直接写出销售完第二批手办可获得利润的最大值． 【答案】(1)每套“哪吒”手办的进价为15元，每套“敖丙”手办的进价为20元 (2)①；②10860元 【难度】0.85 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用以及一次函数的应用，解决本题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出a和b应满足的数量关系，再根据各数量关系找出w关于a的函数关系式． （1）设每套“哪吒”手办的进价为x元，每套“敖丙”手办的进价为y元，利用进货总价进货单价进购数量，结合每套“敖丙”手办的 进价比每套“哪吒”手办的进价贵5元，可列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）①利用进货总价进货单价进购数量，可列出关于a，b的二元一次方程，整理后，可得出a与b应满足的关系； ②设销售完第二批手办可获得的利润为w元，利用总利润每套利润购进数量，可找出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设每套“哪吒”手办的进价为x元，每套“敖丙”手办的进价为y元， 根据题意得：， 解得， 答：每套“哪吒”手办的进价为15元，每套“敖丙”手办的进价为20元； （2）解：①第一批手办的销售额为元， 第二批每套“哪吒”手办的进价为元， 第二批每套“敖丙”手办的进价为元， 根据题意得：， 整理可得：； ②设销售完第二批手办可获得的利润为w元， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴w随a的增大而减小， ∵a与b均为正整数，，且， ∴a的最小值为132， ∴当时，w取得最大值，最大值为元， ∴销售完第二批手办可获得利润的最大值为10860元． 4．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）呼和浩特被誉为“中国乳都”，以乳业为发展引擎，凭借优质乳业书写城市传奇、铸就辉煌．其中牛奶贝因其味道醇美且容易携带而深受外地游客欢迎．某特产店销售、两款牛奶贝，结合材料解决问题 内容 材料一 某特产店购进，两款牛奶贝进行销售，、两款牛奶贝的售价分别为32元/袋和25元/袋，款牛奶贝的进价为22元/袋，款牛奶贝的进货总金额y（单位：元）与款牛奶贝的进货量x（单位：袋）之间的关系如图所示． 材料二 为了满足市场需求，七月份该特产店计划采购这两款牛奶贝共1000袋，其中款牛奶贝的进货量不低于300袋，且不高于600袋． 任务： (1)求y关于x的函数解析式． (2)若采购的所有牛奶贝能全部售出，设销售完、两款牛奶贝获总利润为（单位：元），请求出关于x的函数解析式，并为该特产店设计出获得最大总利润的进货方案． 【答案】(1) (2)，进款牛奶贝300袋，款牛奶贝700袋，该特产店能获得最大利润 【难度】0.57 【知识点】正比例函数的定义、正比例函数的图象、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）根据题意得款牛奶贝的进货量为袋，根据题意列出w与x之间的函数关系式，根据一次函数的性质求最大值即可． 【详解】（1）解：设函数解析式为， 由图可知直线穿过原点，当时，， 可得， 解得， 所以y关于x的函数解析式为； （2）解：由材料2可得， ， 化简得， ∵， ∴随增大而减小， ∴当时，有最大值为8500， 答：进款牛奶贝300袋，款牛奶贝700袋，该特产店能获得最大利润． 5．（25-26八年级下·山西大同·期末）某文具店计划购进甲、乙两种笔记本共100本，这两种笔记本的进价、售价如表： 类型 进价/（元/本） 售价/（元/本） 甲种 3 4.5 乙种 5 7 受市场需求限制，乙种笔记本的进货数量不超过甲种笔记本进货数量的2倍，设文具店购进甲种笔记本x本，销售完这批笔记本的总利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)应如何安排进货，才能使销售完这批笔记本的利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)购进甲种笔记本34本，乙种笔记本66本时利润最大，最大利润为183元 【难度】0.62 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据总利润等于两种笔记本的利润和，推导得到y与x的函数关系式； （2）根据乙的进货量限制求出x的取值范围，最后利用一次函数的性质求出最大利润． 【详解】（1）解：由题意可知，购进甲种笔记本本，则购进乙种笔记本本， 甲每本利润为元，乙每本利润为元， 总利润， 因此与的函数关系式为， （2）解：由函数可知，系数， ∴随的增大而减小， ∴当取最小值时，可取得最大值， 根据题意列不等式组：， 解得，且为正整数， ，为正整数， 的最小取值为，此时， 将代入函数得最大利润：（元） 答：购进甲种笔记本34本，乙种笔记本66本时，销售完这批笔记本的利润最大，最大利润为183元． 6．（20-21八年级下·湖北荆州·期末）某农机合作社共有70台农机，其中在城有30台，在城有40台，近期要将其全部运往两乡进行耕作，乡需要34台，乡需要36台，由两城运往两乡的运费如下表： C乡 乡 城 250元/台 200元/台 城 150元/台 240元/台 设城运往乡台，运送全部农机的总运费为元． (1)求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)如何安排运送方案，使总运费最小？ (3)据悉某部门将对由城运农机到乡的合作社给予补贴，标准为元/台，目前只知不超过的具体值在研究后公布，该合作社将如何根据的值设计运送方案，使总花费最少？（总花费总运费-补贴） 【答案】(1) (2)从A城运往C乡0台，运往D乡30台，从B城运往C乡34台，运往D乡6台 (3)①当时，从A城运往C乡台，运往D乡台，从B城运往C乡台，运往D乡台；②当时，各种方案费用一样多；③当时，从A城运往C乡台，运往D乡0台，从B城运往C乡4台，运往D乡台． 【难度】0.4 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用， 解题的关键是理解题意，掌握一次函数的性质． （1）根据总费用=城运往乡的费用+城运往乡的费用+城运往乡的费用+城运往乡的费用，即可求解； （2）根据一次函数的性质求解即可； （3）根据题意求出，分情况讨论：①当时，根据一次函数的性质求解即可；②当时，元，各种方案费用一样多，③当时，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设城运往乡台，则城运往乡台，城运往乡台，城运往乡台， ∴ =； （2）解：∵中， ∴随x的增大而增大， 又， ∴当时，取最小值， 此时从A城运往C乡0台，运往D乡30台，从B城运往C乡34台，运往D乡6台． （3）解： =， ①当时，， ∴随x的增大而增大， 又， 当时，取最小值，即总费用最小， 此时，从A城运往C乡台，运往D乡台，从B城运往C乡台，运往D乡台； ②当时，元， ∴各种方案费用一样多， ③当时，， ∴随x的增大而减小， 又， ∴ 当时，取最小值，即总费用最小， 此时从A城运往C乡台，运往D乡0台，从B城运往C乡4台，运往D乡台． 重难点三、行程问题 梳理路程、速度、时间三者关系，分段分析匀速、停留、折返等运动状态，分阶段列出一次函数。图像题型先读懂横纵坐标代表含义，拐点对应行程状态变化；利用解析式计算相遇时间、相距距离，计算时区分相向、同向行驶，避免路程关系混淆。 1．（25-26八年级下·重庆·期中）问界M6纯电版汽车于2026年4月22日正式发售，其中续航版本的CLTC综合续航里程约为．为了保护电池性能，厂家建议：当剩余续航里程低于（对应电量约）时就需要及时充电，保障电池寿命．假设该车在以平均时速匀速行驶时，剩余续航里程y（）与行驶时间x（h）满足一次函数关系，若出发时满电续航为． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)行驶多长时间后，剩余续航达到充电提醒标准（） 【答案】(1) (2)行驶小时后，剩余续航达到充电提醒标准． 【难度】0.85 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【详解】（1）解：设函数解析式为：， 当时，，代入得， ∵汽车以平均时速匀速行驶，x小时行驶的路程为， ∴函数解析式为：； （2）解：令，代入解析式：， 解得：， 所以行驶小时后，剩余续航达到充电提醒标准． 2．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期中）一个小球在一个斜坡上由静止开始向下滚动，其速度每秒增加． (1)写出滚动的时间和小球的速度之间的函数关系式； (2)当小球滚动了时，其速度是多少？ 【答案】(1) (2) 【难度】0.95 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】（）根据题意列出函数关系式即可； （）把代入（）所得函数关系式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵小球由静止开始滚动，其速度每秒增加， ∴， 即； （2）解：当时，代入，得， 答：当小球滚动了时，其速度是． 3．（2026·陕西咸阳·二模）某实验小组进行微型机器人行走性能测试实验，将甲、乙两个机器人分别放在点和点，然后让它们同时出发，沿方向匀速行走，通过分析发现，甲、乙两个机器人的距离与它们行走的时间之间满足一次函数关系，如下是实验小组记录的与的部分数据： 行走的时间 … 甲、乙两个机器人的距离 … (1)求两个机器人的距离与它们行走的时间之间的函数表达式； (2)已知两个机器人已行走，要使它们的距离再增加，则两个机器人还应继续向前走多久？ 【答案】(1) (2)两个机器人还应继续向前走． 【难度】0.89 【知识点】求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）设函数解析式为：，根据待定系数法，即可； （2）由表格可得，走了的距离为，要使它们的距离再增加，得到两个机器人的距离，求出总的时间，用总时间减去，即可． 【详解】（1）解：设两个机器人的距离与它们行走的时间之间的函数表达式为： 把，；，代入， ∴， 解得：， ∴函数表达式为：． （2）解：由表格可得，当时，两个机器人的距离为：，要使它们的距离再增加， ∴两个机器人的距离为：； ∴当时，， 解得：， ∴还应继续向前走：． 答：两个机器人还应继续向前走． 4．（25-26七年级下·河南郑州·期末）春光明媚的周末，班长刘伟骑车到北龙湖湿地公园参加“春日研学”活动．他早上从家出发，图中的折线表示刘伟骑车离家的距离与时间的关系，他离开家，回到家，请你根据这个折线图回答下列问题： (1)刘伟家距离北龙湖湿地公园有多少千米？ (2)刘伟在和的平均速度各是多少？ (3)回家路上，何时刘伟距家？ 【答案】(1)千米 (2)（千米/小时），（千米/小时） (3) 【难度】0.65 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）观察图象，折线的最高点的纵坐标即是刘伟家到北龙湖湿地公园的距离； （2）分别求出刘伟在和的路程和时间，利用平均速度公式即可求解； （3）观察图象，回家路上，刘伟离家的距离为千米，则内某个时间点，刘伟距家，计算出的平均速度及行驶所需时间，由向前推算出刘伟距家的时间． 【详解】（1）解：由图象可知，折线的最高点对应的纵坐标为，则刘伟家距离北龙湖湿地公园有千米， 答：刘伟家距离北龙湖湿地公园有千米； （2）解：时间段的平均速度（千米/小时）， 时间段的平均速度（千米/小时）， 答：刘伟在的平均速度为（千米/小时），的平均速度为（千米/小时）； （3）解：由图象可知，回家路上，刘伟离家的距离为千米，则内某个时间点，刘伟距家， 时间段的平均速度（千米/小时）， 行驶最后所需时间， ∴回家路上，刘伟距家． 5．（25-26七年级下·河南平顶山·期末）图象（折线）描述了一辆汽车在某一笔直公路上的一次往返行驶过程，如图是汽车离出发地的距离（千米）和行驶时间（小时）之间的关系图象，请根据图象解答下列问题： (1)从图象上看，这辆汽车是从、、、、中的哪个位置出发的？ (2)在这个问题中，自变量和因变量分别是什么？ (3)出发地与目的地之间的距离为 千米； (4)在去往目的地的过程中，因故停留了多长时间？ (5)求汽车返回时的速度． 【答案】(1)从图象看，这辆汽车是从出发的． (2)自变量是行驶的时间，因变量是离开出发地的距离． (3)出发地与目的地之间的距离是千米． (4)在去往目的地的过程中，因故停留了小时． (5)汽车返回时的平均速度是千米/小时． 【难度】0.62 【知识点】函数的概念、从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】利用函数图象（折线图）解决实际问题，理解图象中的点的坐标具体含义，横坐标代表时间，纵坐标代表离出发地的距离， （1）离出发地的距离（千米），行驶时间（小时），由此可知汽车是从出发； （2）在函数图象（折线图）中，随着的变化，发生了变化，是自变量，是因变量； （3）汽车到达时，汽车离出发地的距离达到最大值，此时离出发点的距离为千米，即为出发地与目的地之间的距离； （4）当时，折线段，汽车离出发地的距离保持不变，因故停留，计算出停留时间即可求解； （5）折线段，汽车离出发地的距离由最大值开始减小至，平均速度=总路程÷总时间，即可求解． 【详解】（1）解：由图象可知，离出发地的距离（千米），行驶时间（小时） ∴这辆汽车是从出发的． （2）解：由图象可知，自变量是行驶时间，因变量是汽车离出发地的距离． （3）解：由图象可知，当汽车到达时，汽车离出发地的距离达到最大值，此时离出发点的距离为千米，即出发地与目的地之间的距离是千米． （4）解：由图象可知，当时，折线段，汽车离出发地的距离保持不变，因故停留了（小时）． （5）解：当时，折线段，汽车离出发地的距离由最大值开始减小至，此段汽车由目的地返回出发地， 返回所用时间（小时）， 返回的路程（千米）， 返回的平均速度（千米/小时） 答：汽车返回时的平均速度是千米/小时． 6．（25-26七年级下·四川成都·期末）已知成都与若尔盖相距约千米．小张乘车从成都出发，先以行驶小时，之后以另一速度匀速行驶，全程共用小时到达（忽略中途换驾时间）．小张出发小时后，小李驾车沿同一路线从若尔盖驶往成都，途中发现忘带文件，原地休息小时后按原速原路返回．如图，是两人行驶过程中与成都的距离随行驶时间变化的图象，请回答下列问题： (1)改变速度后，小张所乘汽车的速度为________千米时；小李的速度为________千米时； (2)小张出发后多久，第一次与小李相遇？ (3)已知小张和小李的汽车均装载智能通讯设备，设备最大通讯距离为千米．试求小张从出发到停止行驶期间，两人能保持通讯的总时间． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【难度】0.42 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】先求出小时行驶路程为，再通过“速度路程时间”即可求解； 根据题意得当时，小张第一次与小李相遇，分别求出解析式，然后列方程、解方程即可； 分当，时，当时，当时，当时，当时，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵小张乘车从成都出发，先以行驶小时， ∴小时行驶路程为， ∴改变速度后，小张所乘汽车的速度为（千米时）； 小李的速度为（千米时）； （2）解：如图，当时，小张第一次与小李相遇， 设解析式为，把，代入得，， 解得， ∴解析式为， 设解析式为，把，代入得，， 解得， ∴解析式为， ∴小张第一次与小李相遇时， 解得， 答：小张出发小时后，第一次与小李相遇； （3）解：如图， 当时，设小李行驶过程中与成都的距离与行驶时间的关系式为， ∴， 解得， ∴当时，小李行驶过程中与成都的距离与行驶时间的关系式为， ∴， 当时，设小张行驶过程中与成都的距离与行驶时间的关系式为， ∴，解得， ∴小张行驶过程中与成都的距离与行驶时间的关系式为， ∴， ∵设备最大通讯距离为千米， ∴， ∴当，时， ， ∴或， 解得（舍去）或（舍去）； 当时， ， ∴或， 解得或， ∴通讯时间为（小时）； 当时， ， ， 或， 解得（舍去）或（舍去）； 当时， ， ∴或， 解得或， ∴通讯时间为（小时）； 当时， ， ∴或， 解得或， ∵， ∴舍去， ∴通讯时间为（小时）； ∴通讯总时间为（小时）； 答：小张从出发到停止行驶期间，两人能保持通讯的总时间为小时． 重难点四、梯度计价问题 按照收费标准划分自变量区间，每个区间单独建立一次函数。分清起步价、分段单价，不可直接套用单一解析式。解题先判断数值落在哪一段区间，选用对应式子计算，作答标注区间适用范围，防止跨段计算失误。 1．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）小明使用出行软件打车回家的行程详情如图（1）所示，爱动脑筋的小明查看了计价规则，如图（2）所示．他发现，在不考虑其他因素的情况下，在其打车的时间段（），3公里以内（含3公里）的起步价为元；超过3公里的部分，按元/公里的标准收取里程费． (1)当行程超过3公里时，判断实际打车费用y元是否是里程x公里的函数，并用含x的代数式表示y； (2)如图（1）所示，小明此次行程的实际路线为公里，那么打车费用是多少元？ 【答案】(1)y是x的函数， (2)元 【难度】0.85 【知识点】列一次函数解析式并求值、梯度计价问题 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确列出函数关系式是解题的关键． （1）根据题意，得，化简为即可求解； （2）根据题意，当时，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：由题可得，当里程x超过3公里时，其中3公里以内（含3公里）的起步价为元；超过3公里的部分里程为公里，费用为元， 则实际打车费用，即， 对于每一个超过3公里的x值，都有唯一的y值与之对应， y是x的函数，； （2）当时，， 则打车费用是元． 2．（25-26八年级上·江苏南京·期末）某地出租车计费标准如下：当里程不超过时，均按起步价元收费；当里程超过时，超过部分按元收费．某乘客乘坐出租车时，观察到一些时刻的车费与行驶里程之间的关系如下表： 行驶里程 3 5 7 车费（元） 11 17 23 设行驶里程为，出租车的车费为元，是的一次函数． (1)________，________； (2)求与之间的函数表达式； (3)若某乘客一次乘坐出租车的行驶里程为，求这位乘客需付的车费． 【答案】(1)11，3 (2) (3)乘客需付车费50元 【难度】0.85 【知识点】梯度计价问题 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式是解题的关键： （1）根据题意结合表格信息，得到，，即可得出结果； （2）根据收费方式得到，把（1）中的数值代入即可； （3）求出时的函数值即可． 【详解】（1）解：由题意，时，； 当时，，解得； 故答案为：11，3； （2）解：由（1）可知：； （3）解：∵， ∴当时，． 答：当行驶里程为时，该乘客需付车费50元． 3．（25-26八年级上·山东青岛·期中）为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市城镇居民用水实行阶梯收费．具体情况如表： 每月用水量 单价 不超过15立方米 每立方米2.4元 超过15立方米不超过30立方米部分 每立方米3.4元 超出30立方米部分 每立方米7.2元 (1)若设居民每月的用水量为立方米，每月所需的水费为元．请写出超过15立方米不超过30立方米部分、超出30立方米部分与的函数关系式； (2)若小丽家6月份水费70元，那么小丽家用水多少立方米？ 【答案】(1)超过15立方米不超过30立方米部分，；超出30立方米部分， (2)小丽家用水25立方米 【难度】0.85 【知识点】梯度计价问题 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据（1）可把代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： 超过15立方米不超过30立方米部分：； 超出30立方米部分：； （2）解：由（1）可知： 把代入得：， 解得：； 答：小丽家用水25立方米． 4．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）为了鼓励市民节约用水，某地区采用分档计费的方式计算水费．下表是根据户年用水量进行分档计费的标准： 户年用水量（） 水费单价（元/） 不超过的部分 超过的部分 已知A户去年的户年用水量为，去年整年的水费是元，设户年用水量为（），整年的水费为（元）． (1)的值为________； (2)求关于的函数解析式； (3)已知B户去年整年的水费是元，求B户去年的户年用水量． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.62 【知识点】梯度计价问题 【分析】（1）根据A户去年的户年用水量为小于进行计算即可； （2）分情况讨论进行求解即可； （3）先算出B户去年的户年用水量大于，据此计算即可． 【详解】（1）解：∵A户去年的户年用水量为， ∴，解得； （2）解：当时， 关于的函数解析式为， 当时，关于的函数解析式为， 关于的函数解析式为； （3）解：当时，， 户去年的户年用水量大于， 将代入，得， 解得． 答：B户去年的户年用水量为． 5．（25-26七年级下·陕西西安·期末）某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户月用电量及分档计费标准： 计费档 户月用电量x/（kW·h） 单价/[元/（kW·h）] 第一档 0.5 第二档 0.6 第三档 0.8 (1)当时，写出电费y（单位：元）与用电量x之间的表达式； (2)某户12月的电费是127元，求该户12月的用电量． 【答案】(1) (2)某户12月的电费是127元，该户12月的用电量为240kW·h． 【难度】0.62 【知识点】梯度计价问题 【分析】（1）用电量分为两部分计费：前170千瓦时按单价0.5元计算，超出170千瓦时的部分按单价0.6元计算，总电费为两部分电费相加； （2）先算出各档位电费区间，判断127元落在第几档，再代入对应解析式解方程． 【详解】（1）解：由题意得，当时，． （2）解：， ， 设用电量为xkW·h， 由题意得， ， 解得， 则该户12月的用电量为240kW·h． 6．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）游泳是不少同学喜欢的运动，游得快游泳馆推出了A，B，C三种年卡套餐的收费标准（如下表）． 套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元 A B C 不限次 设年游泳次数为（单位：次），，根据表格回答： (1)请写出B种年卡套餐的费用（单位：元）关于游泳次数（单位：次）的函数解析式； (2)若，请给出游泳费用最省方案； (3)当游泳次数为时，A种年卡套餐和B种年卡套餐的费用相同，若的值存在两个，请直接写出的取值范围_______． 【答案】(1)， (2)当时，选套餐最省钱；当时，选套餐和套餐费用相同，一样省钱；当时，选套餐最省钱；当时，选套餐和套餐费用相同，一样省钱；当时，选套餐最省钱 (3) 【难度】0.36 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、梯度计价问题 【分析】（1）根据B种年卡套餐的收费方式列函数关系式即可； （2）利用A、B、C种年卡套餐的收费方式得出解析式，再分类讨论即可． （3）当游泳次数为时，A种年卡套餐和B种年卡套餐的费用相同， 的值存在两个，可得两个函数图象有两个交点，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：B种年卡套餐的费用（单位：元）关于游泳次数（单位：次）的函数解析式为： 当时，， ． （2）解：当时， A种年卡套餐的费用（单位：元）关于游泳次数（单位：次）的函数解析式为： 当时，， ， ∵B种年卡套餐的费用为， C种年卡套餐的费用为， ∴当时，此时A种年卡套餐的费用最低， 当，解得：， ∴当时，此时A种年卡套餐的费用最低， 当时，选套餐和套餐费用相同，一样省钱； 当，解得：， ∴当时，选套餐最省钱； 当时，选套餐和套餐费用相同，一样省钱； 当时，选套餐最省钱． （3）解：∵A种年卡套餐的费用（单位：元）为： 当时，， ， B种年卡套餐的费用为， 当游泳次数为时，A种年卡套餐和B种年卡套餐的费用相同， 的值存在两个， ∴两个函数图象有两个交点， ∴当函数的图象与函数中的图象平行时只有一个交点， 此时， 当函数的图象过时，两函数图象只有一个交点， 此时， 解得：， ∴游泳次数为时，A种年卡套餐和B种年卡套餐的费用相同，的值存在两个，的取值范围为：． 重难点五、其他问题 包含水费、话费、工程施工等分段计费题型，分区间列出对应一次函数。先划分自变量分界区间，分别写出每段解析式，标注各段取值范围；读取图像关键点坐标，代入解析式求解收费标准，计算总费用时找准自变量所属区间，避免套用错函数式。 1．（2026·山西长治·三模）数学兴趣小组在探究“桶装水在常温下的最佳饮用时间”时，发现桶装水中菌落总数与实验时间（天）成一次函数关系，该小组的部分实验数据如下表，则与之间的函数关系式为（     ） 实验时间/天 ．．． 2 3 4 ．．． 菌落总数 ．．． 18 21 24 ．．． A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题已知与为一次函数关系，利用待定系数法，选取表格中两组对应坐标代入即可求出函数解析式． 【详解】解：设与的函数关系式为，把点和代入得到， 解得 与之间的函数关系式为． 2．（2026·山西阳泉·三模）已知在一定温度下的饱和溶液中，溶质质量与溶剂质量呈正比例关系．当温度为时，水中溶解的硝酸钾达到饱和，则在此温度下，硝酸钾饱和溶液中溶质质量（单位：g）与溶剂质量x（单位：g）的函数关系式为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】根据题意可知溶质质量与溶剂质量成正比例关系，因此设正比例函数解析式，代入已知对应值求解系数即可得到函数关系式． 【详解】解：溶质质量与溶剂质量成正比例关系， 设函数解析式为， 将，代入解析式得： ， 解得，， 函数关系式为． 3．（25-26八年级下·山西吕梁·期末）如图1，有两个完全相同的长方体水槽并排放在水平地面上．水槽A下面垫了一块厚度为的木板（木板放在地面上），水槽B直接放在地面上．初始时，水槽A内水深（从槽底算起），水槽B内无水．两个水槽底部用一根U型管连通，水会从水槽A流向水槽B，直到两个水槽的水面到地面的高度相等时停止．用表示时刻水槽A中从槽底算起的水深（单位：），表示水槽B中从槽底算起的水深（单位：）．与随时间（单位：s）的变化关系如图所示．已知在时，水流刚好停止，则木板的高度为___________． 【答案】3 【难度】0.4 【知识点】从函数的图象获取信息、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】根据题意，设，，根据题意可得，将点代入可得，，即，由题意可得，当时，，即，化简可得，设木板高度为，由题意可得，当时，，即，化简求解即可． 【详解】解：根据函数图像，可设，， 根据题意可得，将点代入可得，，即， 由题意可得，当时，，可得， 化简可得， 设木板高度为， 根据“在时，水流刚好停止”可得，当时，，得到， 从而得到，， 将代入式可得，， 即木板高度为． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，能够从图像中获取信息，表示出的关系式． 4．（25-26八年级下·河南漯河·期末）某商店以每件13元的价格购进某商品100件，售出部分商品后进行了降价销售，销售金额y（元）与销售量x（件）的函数关系如图所示，求当销售量为66件时，销售金额为多少？ 【答案】1125元 【难度】0.85 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【详解】解：由图象，当时，设函数解析式为， 把点和点代入可得：，解得， ， ∴当时，． 答：当销售量为66件时，销售金额为1125元. 5．（2026·陕西榆林·三模）人形机器人马拉松，以创新实践诠释人机共生理念，彰显大国科技创新开放共享的责任担当．在某次机器人训练中，某台机器人以一固定速度匀速奔跑，电量随时间均匀消耗，剩余电量（单位：）是奔跑时间（单位：分钟）的一次函数，其函数图象如图所示． (1)求与之间的函数关系式；（无需写出自变量的取值范围） (2)本次训练中，当该台机器人剩余电量为时，它此时奔跑了多少分钟？ 【答案】(1) (2)当该台机器人剩余电量为时，它此时奔跑了32分钟． 【难度】0.85 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，再利用待定系数法计算即可得出结果； （2）求出当时的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， ∵点，在该函数图象上， ∴， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：当时，， 解得． 答：当该台机器人剩余电量为时，它此时奔跑了32分钟． 6．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）【教材升华】一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示． (1)当时，求关于的函数解析式； (2)进水管每分钟进水、出水管每分钟出水各多少升？ (3)多少分钟时该容器内的水恰好为10升． 【答案】(1) (2)进水管每分钟的进水量为，出水管每分钟的出水量为； (3)2分钟或分钟时该容器内的水恰好为10升． 【难度】0.65 【知识点】从函数的图象获取信息、正比例函数的图象、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）设关于的函数解析式为，将代入计算即可； （2）根据函数图象即可求出进水管每分钟的进水量，设出水管每分钟的出水量为，由函数图象列方程求解即可； （3）结合（2）可知水管放完水的时间为分钟，分两种情况作答即可． 【详解】（1）解：设关于的函数解析式为， 将代入得， 解得：， ∴关于的函数解析式为； （2）解：由函数图象得：进水管每分钟的进水量为：， 设出水管每分钟的出水量为，由函数图象得，， 解得：； （3）解：∵出水管每分钟的出水量为， 关闭进水管后出水管放完水的时间为：（分钟）， 当该容器内的水恰好为时： 情况一：进水时： 解得：（分钟）； 情况二：关闭进水管后： （分钟）； 综上所述，2分钟或分钟时该容器内的水恰好为10升． 7．（25-26八年级下·福建龙岩·期末）某企业接到一批服装生产任务，要求天完成，为按时完成任务，若干天后，该企业增加了一定数量的生产工人，该企业天累计生产服装的数量为件，与之间的关系如图所示． (1)这批服装一共有________件； (2)求增加工人后与的函数表达式； (3)已知这批服装的出厂价为每件元，由于特殊原因，原材料紧缺，服装的成本前天为每件元，从第天起每件的成本比原先增加了元，问：前多少天的总利润恰好为元？（利润等于出厂价减去成本） 【答案】(1) (2) (3)前10天 【难度】0.52 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据图象可知，这批服装一共有800件； （2）设增加工人后与的函数表达式为，把、代入解析式得到二元一次方程组，解方程组即可； （3）设前天的总利润恰好为13500元，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据图象可知，这批服装一共有800件； （2）解：设增加工人后与的函数表达式为， 将、代入，得， 解得， ∴； （3）解：设前天的总利润恰好为13500元． 当时，，不符合题意； 当时，， 解得， 答：前10天的总利润恰好为13500元． 8．（25-26八年级下·广西贵港·期末）【综合与实践】 为落实劳动教育，某班在校园一角开辟直角梯形劳动实践基地，如图，，，，，，．老师计划在基地划出一块临时作业分区，由班长手持标杆从点A出发，沿着折线行走，到达点C后停止．标杆的位置记为点P，即为划定的临时作业分区，设班长行走的路程为x（单位：m），作业分区面积为y（单位：）． (1)当班长走到B点时，划定的作业分区面积y是多少? 【深入研究】 (2)求班长在行走过程中，作业分区面积y与行走路程x的函数关系式； 【问题解决】 (3)若老师要求作业分区面积恰好为，求班长的行走路程x． 【答案】(1)12 (2)或； (3)或 【难度】0.66 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据三角形面积公式即可； （2）分两种情况，根据割补法和三角形面积公式求解即可； （3）把代入函数表达式求解即可． 【详解】（1）解：当班长行走到点B时，． （2）解：①当班长在边上行走时，路程为x，则，，． ∴ 函数关系式： ②当班长在边上行走时， 路程，即， ∴， ∴ ∴函数关系式： （3）解：当时，，解得， 当时，，解得， 均符合题意， 综上：或． 9．（25-26八年级下·福建厦门·期末）净光合速率越大，植物积累的有机物越多，生长越旺盛，在温室大棚中，可以通过调节温度和二氧化碳浓度来促进农作物生长．技术人员对某农作物进行了研究，在标准大气二氧化碳浓度下，净光合速率受温度影响，且在时达到最大，实验数据如表： 温度（） 净光合速率 (1)当时，根据表格，求出一个关于的函数解析式； (2)为使该作物净光合速率达到中等水平（），试求温度的调节范围； (3)研究发现，适度施“气肥”提高二氧化碳浓度，能改变净光合速率对温度的响应．在温度时（，此时净光合速率为）开始施“气肥”，有如下规律： ①施气肥后，最大净光合速率提高至； ②在到达最大净光合速率前，净光合速率随温度的增大而增大，且变得更加“敏感”，可近似描述为，其中敏感因子； ③在到达最大净光合速率后，可以认为随的增大而均匀减小，且受作物自身特性限制，当时，净光合速率为． 某日温室大棚小时温度预报如图所示，请你依据上述规律估计：最晚几时施“气肥”，能使该作物净光合速率处于较高水平（）的时间不少于小时？ 【答案】(1) (2) (3)最晚8时施加“气肥” 【难度】0.42 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）观察表格数据，近似满足一次函数关系，待定系数法求出函数解析式即可； （2）分2段，求出时的函数解析式，进而求出时的的范围即可； （3）分2段，求出关于的函数关系式，求出时，，根据图象进行分析作答即可. 【详解】（1）解：观察表格数据，从到变化时，近似满足一次函数关系， 设，代入和得， 解得 ∴； （2）解：当，由可得，，解得， 当时，由表格数据得是一次函数， 同（1）法可得， 由，得，解得， 综上：温度的调节范围为； （3）解：由（1）可知，； ∴当时，； ∵，其中敏感因子， ∴； 当时：，当时：； ∵在到达最大净光合速率后，随的增大而均匀减小，且当时，净光合速率为， 故达最大净光合速率后，仍是关于的一次函数，且过点和， 同（1）法可得， 当时，， ∴当时，， 由图象可知，8时对应的，此时，即， 对应的时间为10时到16时，恰好满足题意； 若施肥时间晚于时，，满足条件的温度区间起点更高，总时长小于小时，不满足要求； 故最晚8时施加“气肥”. 模块二、一次函数与几何综合 重难点一、一次函数与直线综合 两条直线相交，联立两个一次函数解析式，组成二元一次方程组，方程组的解即为交点坐标。已知平行直线k值相等，垂直直线k乘积为 - 1，以此求参数。求直线解析式多用待定系数法，代入两点坐标构建方程组求解k、b。 1．（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）在平面直角坐标系中，点P是直线上一动点，O为坐标原点，则的最小值为___________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一次函数与几何综合、垂线段最短、已知两点坐标求两点距离 【分析】根据垂线段最短可知，原点到直线上点的距离中，垂线段最短，即垂直于直线时最小，先求直线与坐标轴的交点，再利用勾股定理和三角形面积公式计算最短距离. 【详解】解：当时，， 当时，， 解得， 直线与坐标轴交于，， ，，为直角三角形， ， 当时，长度最小，且， ， 解得， 即的最小值为． 2．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，已知点，，若直线与线段有公共点，则的范围为_______． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】求一次函数自变量或函数值、一次函数与几何综合 【分析】计算可得点在直线上方，只要使得点在直线上或者下方即可． 【详解】解：当时，， ∴要使得直线与线段有公共点，则． 3．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点，点是线段上的一个动点(不与点和点重合)，过作轴交线段于点，使，设点的横坐标为． (1)求点、点的坐标； (2)如图2，当时，求的值； (3)如图3，连接，，在点运动的过程中，当时，的值为___________． 【答案】(1)， (2) (3) 【难度】0.85 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合 【分析】本题考查一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键． （1）分别令、代入一次函数中计算求解即可； （2）根据题意得出，进而得到，根据列方程计算求解即可； （3）过点作于点，结合图象表示出，根据直角三角形面积公式，列出方程计算求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点， 令得，，解得，则点的坐标为， 令得，，则点的坐标为， 答：点、点的坐标为，； （2）解：根据题意得，点的横坐标为，则 当时， 则、 因此 由得： 解得， 答：的值为； （3）解：过点作于点，如图： 则 由于 则 即 解得： 故答案为：． 4．（23-24七年级下·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，点，，，且． (1)若，求点和点的坐标； (2)如图，在（1）的条件下，过点作轴，交于点，求点的坐标； (3)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【难度】0.85 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了一次函数与几何问题，掌握待定系数法是解题关键． （1）由题意得，推出，即可求解； （2）由，设直线的解析式为：，将代入求得直线的解析式为：；根据轴，得，推出，即可求解； （3）根据（2）可得直线的解析式为：；推出；根据，推出；结合，得，解得：或；根据，作出取舍即可 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； ∴； （2）解：由，设直线的解析式为：， 将代入可得： 解得：， ∴直线的解析式为：； ∵轴， ∴， ∴，解得：， ∴； （3）解：由，设直线的解析式为：， 将代入可得： 解得：， ∴直线的解析式为：； 依然作轴，则， ∴，解得：， ∴； ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 解得：或； ∵， ∴， ∴或； 5．（25-26八年级下·河北邢台·期末）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点C的坐标为． (1)点A的坐标为________，点B的坐标为________； (2)过点C作直线． ①用含k的代数式表示b； ②若直线l与有交点，求k的取值范围． 【答案】(1)，； (2)①；②． 【难度】0.55 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合 【分析】（1）分别将、代入计算即可； （2）①将点代入中求解即可； ②由①得，取极限值计算即可． 【详解】（1）解：当时，解得，则； 当时，解得，则； （2）解：①将点代入中，得， 即； ②由①得， 当直线l经过点时，， 解得； 当直线l经过点时，， 解得； ∵直线l与有交点， ∴k的取值范围为． 6．（25-26八年级下·湖南邵阳·期末）为了探究函数的图象与性质，甲同学根据学习一次函数的经验，借助函数的图象与性质进行了探究．下面是甲同学的探究过程： 第一步：的自变量的取值范围是全体实数； 第二步：与的几组对应值： … 0 1 2 3 4 5 … … 5 3 2 1 0 0 2 … 第三步：建立平面直角坐标系，画出函数图象； 第四步：借助函数图象研究该函数的性质． (1)补全表格，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象： (2)观察的函数图象，完成以下问题： ①当___________时，函数有最小值为___________；当___________时，随的增大而增大． ②写出自变量的取值范围和因变量的取值范围． ③若直线与的图象有且只有一个交点，求的取值范围． 【答案】(1)解：补全表格如下： … 0 1 2 3 4 5 … … 5 3 2 1 0 0 2 … 描点画图如下： (2)①；；；②自变量的取值范围为任意实数，因变量的取值范围为.③或． 【难度】0.57 【知识点】求自变量的取值范围、用描点法画函数图象、判断一次函数的增减性、一次函数与几何综合 【分析】（1）先补全表格，再描点画图即可； （2）①根据图象作答即可；②根据图象作答即可；③由过定点，再结合图象求解即可. 【详解】（1）解：当时，； 当时，， 当时，； 画图略 （2）解：①当时，函数有最小值为；当时，随的增大而增大． ②由图象可得自变量的取值范围为任意实数，因变量的取值范围为. ③如图，当过时， ∴， 解得：， 当时，，此时两函数图象平行， ∴时，直线与的图象有且只有一个交点； 如图，当过时， ∴， 解得：， ∵当时，，此时两函数图象平行， ∴时，直线与的图象有且只有一个交点； 综上：直线与的图象有且只有一个交点，的取值范围为或 重难点二、一次函数与三角形综合 先求出一次函数与坐标轴交点、直线间交点，得到三角形顶点坐标。利用坐标差值计算底、高长度，借助绝对值求线段距离，再用三角形面积公式计算面积。动点题型设动点坐标，用含参数的式子表示底和高，结合取值范围求解面积最值。 1．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，一次函数的图象经过点，，则的面积为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合 【分析】先根据函数解析式求出点，的坐标，再求出一次函数与轴交点的坐标，过点作轴，过点作轴，最后根据即可求出结果． 【详解】解：当时，， ∴， 当时，，解得：， ∴， 当时，，解得：， ∴一次函数与轴交点，如图所示： 过点作轴，过点作轴， ∴，，， ∴． 2．（25-26八年级下·上海崇明·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在正比例函数的图像上，点和点C都在轴上，当的面积是6时，点C的坐标是______________． 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、一次函数与几何综合 【分析】设出点C的坐标，得到的长度，根据三角形面积计算即可． 【详解】解：点C在轴上，设点， ∴， ∵的面积是6， ∴， ∴，可得， 则有或， 解得或， ∴点或 ． 3．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）已知一次函数的图像与轴、轴分别交于、两点，坐标原点为，则为__________． 【答案】8 【难度】0.85 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合 【分析】先根据一次函数解析式求出点和点的坐标，得到直角三角形两条直角边和的长度，再利用三角形面积公式计算面积． 【详解】解：对于一次函数， 当时，可得，解得，即， 当时，可得，即， ∴， ∵点在轴上，点在轴上，为坐标原点，所以， ∴． 4．（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）如图①，在四边形中，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度按的顺序在边上匀速运动，设点的运动时间为秒，的面积为，关于的函数图象如图②所示，（1）的长为_______．（2）当点运动到中点时，的面积为_______． 【答案】 8 20 【难度】0.65 【知识点】从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象、一次函数与几何综合 【分析】（1）由图象可知，，，即可求出的长；（2）先根据图象求出，，进而得出点运动到中点时的值，利用待定系数法求出，当时，，再将代入计算即可． 【详解】解：（1）由图象可知，，， ； （2）当时，点运动到点时，此时， ， ， ，， ， 由图象可知，当点运动到点时，； ， ，此时， ， 点运动到中点， ，此时， 当时，设， 将点和代入得， 解得：， ， 当时，， 即当点运动到中点时，的面积为20． 5．（21-22八年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，已知中，，，直线的函数解析式是． (1)求证：； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【难度】0.84 【知识点】一次函数与几何综合、用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】求出，，根据全等三角形的判定定理可证明≌； 由全等三角形的性质得出，根据三角形面积公式可得出答案． 【详解】（1）证明：令， ， ， 令，， ， ，， ，， 在和中， ， ； （2）解：， ， ，， ． 6．（24-25八年级下·福建厦门·期中）已知一次函数． (1)画出函数的图象； (2)若图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，O为坐标原点，求的面积． 【答案】(1) 函数图象如下所示： (2)4 【难度】0.85 【知识点】画一次函数图象、一次函数与几何综合 【分析】（1）先列表，再描点，连线画出对应的函数图象即可； （2）根据（1）可得点A和点B的坐标，进而得到的长，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：列表如下： … 0 … … 0 … （2）解：由（1）可知点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴． 7．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动． (1)求A、B两点的坐标； (2)求的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式； (3)在M运动过程中，当时，直接写出此时M点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)当时，此时M点的坐标为或． 【难度】0.85 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了求一次函数值，一次函数与几何图形，全等三角形的性质和判定， 对于（1），由直线l的函数解析式，令求A点坐标，求B点坐标； 对于（2），由面积公式求出S与t之间的函数关系式； 对于（3），当时，可得并得到M点坐标． 【详解】（1）解：对于直线， 当时，；当时，， 则A、B两点的坐标分别为； （2）解：∵， ∴， 当时，； 当时，， 综上，； （3）解：M点的坐标为或； 理由如下： ∵， ∴只需，则， 即， 此时，若M在x轴的正半轴时，M点的坐标为； M在x轴的负半轴，则M点的坐标为， 综上，当时，此时M点的坐标为或． 8．（25-26八年级下·陕西榆林·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B、D，直线与直线关于x轴对称，若直线经过点，且交y轴于点C，连接交x轴于点E． (1)求直线的函数表达式和a的值； (2)在坐标轴上是否存在点P，使得？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的函数表达式为， (2)在坐标轴上存在点，使得，点的坐标为或或或 【难度】0.52 【知识点】一次函数与几何综合、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）先求出，根据轴对称的性质求出，设直线的解析式为，求出直线的函数表达式为，将代入直线求解即可； （2）设所在直线的函数表达式为，求出所在直线的函数表达式为，进而求出，根据三角形面积公式得到，进而得到，分点在轴上时，点在轴上时两种情况作答即可． 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于点， 当时，，当时，解得， ∴， ∵直线与直线关于x轴对称，且交y轴于点C， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， 直线的函数表达式为． 点在直线上， ， 解得； （2）解：设所在直线的函数表达式为． 将点，代入，得， 解得， 所在直线的函数表达式为． 在中，令，得， ， ， ， ． 当点在轴上时，， 解得． ， 此时点的坐标为或； 当点在轴上时，， 解得． ， 此时点的坐标为或； 综上可知，在坐标轴上存在点，使得，点的坐标为或或或． 9．（25-26八年级下·四川达州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A，点B，且． (1)求k的值； (2)若点C为线段上一点，连接，将沿着折叠，使点B落在x轴的点处，求点C的坐标； (3)如图2，作，点E为直线上一动点，点F为y轴上一动点，是否存在以O，E，F为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点C的坐标为 (3)点E的坐标为或或或 【难度】0.27 【知识点】一次函数与几何综合、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】（1）先根据求出点B的坐标，结合求出点A的坐标，代入即可求出k的值； （2）先用勾股定理求出长度，设点C的坐标为，则，，由折叠的性质得，，最后由勾股定理解即可； （3）先用等面积法得出，再得出以O，E，F为顶点的三角形与全等时，斜边为对应边，，然后分两种情况利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：对于， 当时，， 点B的坐标为， ， ， ， 点A在x轴的正半轴上， 点A的坐标为， 将代入，得：， 解得； （2）解：，， ， 设点C的坐标为， 则， ， 由折叠得，， ， 在中，， ， 解得， 点C的坐标为； （3）解：， ， ， 当以O，E，F为顶点的三角形与全等时，斜边为对应边，， 分两种情况： 当时，， 如图： 点E的横坐标为或， 点E的纵坐标为或， 点E的坐标为或； 当时，， 如图： 点F的纵坐标为或， 点E的纵坐标为或， 即或， 解得或， 点E的坐标为或， 综上可得，点E的坐标为或或或． 10．（24-25八年级上·陕西·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点，交x轴于点B． (1)k＝______，B点坐标为______； (2)点C为x轴正半轴上一点，，请你猜想AC与BC的数量关系，并加以证明，再求出点C的坐标； (3)在（2）的条件下，点M为线段AC上一动点（M不与A、C重合），设M的横坐标为a，请用含a的代数式表示点M到x轴的距离______； (4)在（3）的条件下，过点M作MN∥AB交x轴于点N，连接BM、AN，当为等腰三角形时，求出此时的面积． 【答案】(1)3， (2)，证明见解析， (3) (4)或 【难度】0.4 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题 （1）根据题意列方程即可得到结论； （2）如图1中，过点C作的角平分线交于H，利用全等三角形的性质证明，由此构建方程求解即可． （3）根据，，求得直线的解析式为，把M的横坐标为代入即可得到结论； （4）在(3)的条件下，，因为，推出，，分两种情形∶当时，过点B作于G；②当时，分别求出直线的解析式构建方程组即可解决问题． 【详解】（1）解：由题意，直线交y轴于点， ∴， ∴， ∴直线， ∵直线交x轴于点B， 令，则， 解得， ∴)； 故答案为：3，； （2）， 证明∶如图中，过点C作的角平分线交于H ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 设，则，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）∵，， ∴直线的解析式为， ∵M的横坐标为)，点M纵坐标为d， ∴， ∴用含a的代数式表示点M到x轴的距离为， 故答案为：； （4）解：在(3)的条件下，∶ ∵， ∴，， ①当时，过点B作于G， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∵直线过点， ∴， ∴直线的表达式为， 解得， ， ， ②当时，， 直线的表达式为 ， 由， 解得：， ， ∴． 重难点三、一次函数的新定义 解题第一步读懂题干自定义运算法则、新型函数规则，把陌生定义转化为常规一次函数。根据定义列出对应解析式，再结合增减性、交点、取值范围等常规知识点求解。计算完成后代回自定义规则验证，防止混淆新定义运算顺序。 1．（25-26八年级上·安徽宣城·期中）定义：在平面直角坐标系中，若点到轴、轴的距离和为1，则称点为“励志点”．例如：点到轴、轴距离和为1，则点是“励志点”，点，也是“励志点”．一次函数的图象经过点，且图象上存在“励志点”，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求点到坐标轴的距离、一次函数与几何综合 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质， 根据“励志点”的定义，点满足，构成一个正方形，一次函数经过点 ，且与正方形有交点，通过求直线经过正方形顶点时的k值，确定k的取值范围． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， 即． ∴直线方程为． 当直线经过点时， 代入得， 解得； 当直线经过点时， 代入得 ， 解得， ∴当时，直线与正方形有交点，即存在“励志点”． 故选：A． 2．（17-18九年级上·山东济南·期中）定义：点为平面直角坐标系内的点，若满足，则把点叫做“平衡点”．例如：都是“平衡点”．当时，直线上有“平衡点”，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意得出关于的不等式是解答此题的关键． 根据可得出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：， ，即， ， ， ， 故选：B． 3．（2026·湖南益阳·二模）在平面直角坐标系中，若存在实数，使得，则称为点的“特定点值”．如图，矩形三个顶点的坐标分别为． （1）则点的“特定点值”等于__________． （2）若点是矩形边上的动点，则下列关于点的“特定点值”的结论正确的是__________．（填写序号） ①当点在边上时，随着的增大而增大； ②当点在边上时，则； ③在矩形边上有且只有一个点的“特定点值”为． 【答案】 ①② 【难度】0.66 【知识点】正比例函数的性质、判断一次函数的增减性、一次函数与几何综合 【分析】（1）根据新定义，代入，求得的值，即可求解； （2）将代入，根据正比例函数的性质即可判断①；②将，代入，即可判断②；根据题意得出，进而画出图形，得出存在两个点的“特定点值”为，即可判断③． 【详解】解：（1）∵， ∴ 解得： 即点的“特定点值”等于； （2）∵ ∴ ①当点在边上时，，即，则随着的增大而增大，故①正确 ②当点在边上时，，，则，故②正确； ③当，即 ∴ 如图， 当时， 解得，，此时在边上， 当， 此时在边上， 在矩形边上有2个点的“特定点值”为，故③不正确． 4．（25-26八年级下·河北邯郸·期末）新定义：对于两个实数，，我们用表示这两个数中最大的数，即，对于函数： （1）当时，_______； （2）若过定点的直线与函数的图象有两个交点，则的取值范围是_______． 【答案】 3 【难度】0.4 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】（1）先求出当时，和的值，比较即可得出结果； （2）先求出直线过定点，令，解得，求出当时，，当时，，画出函数图象，结合图象分析即可得出结果． 【详解】解：（1）当时，，， ∵， ∴当时，； （2）∵， ∴直线过定点， 令， 解得， 当时，，此时， 当时，，此时， ∵过定点的直线与函数的图象有两个交点， ∴结合图形可得， 当经过时，，解得，此时直线与函数的图象只有个交点， ∴的取值范围是． 5．（25-26八年级下·山东日照·期末）定义：直线与直线组成一对“值线组”．如图，已知矩形顶点坐标，，，．当时，“值线组”与矩形恰有4个交点，则的取值范围为________． 【答案】或 【难度】0.4 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】根据“值线组”的定义得出两条直线的解析式，结合矩形的顶点坐标，分析直线与矩形恰有4个交点时，每条直线需与矩形有两个交点，通过计算直线经过矩形顶点时的斜率临界值，确定的取值范围． 【详解】解：由题意得，当时，“值线组”对应的两条直线分别为和， 记和， 当时，，， ∴直线恒过定点，直线恒过定点， 若“值线组”与矩形恰有4个交点，则直线与矩形有2个交点，直线与矩形有2个交点， 当时，直线从左下向右上延伸，直线从左下向右上延伸， 直线经过点时，，解得， 当时，与矩形有两个交点， 直线经过点时，，解得， 当时，与矩形有两个交点， 所以当时，满足条件； 当时，直线从左上向右下延伸，直线从左上向右下延伸， 直线经过点时，，解得， 当时，与矩形有两个交点， 直线经过点时，，解得， 当时，与矩形有两个交点， 所以当时，满足条件； 综上所述，的取值范围为或． 6．（2026·江苏泰州·模拟预测）在数学探究课上，老师给出如下定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点称为P、Q两点间的“折线距离”，记作． (1)已知点，则 ； (2)已知点，若点D在直线上，且，求点D的坐标； (3)已知点，点，若点P是线段上的一个动点，求（O为坐标原点）的最小值及此时点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)最小为，此时 【难度】0.55 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、新定义下的实数运算、一次函数与几何综合 【分析】（1）充分理解题意，进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，先设，再得出，然后进行分类讨论计算，即可作答． （3）先运用待定系数法进行求解线段的解析式：，再设，故，然后化简绝对值计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：依题意，设， ∵，且， ∴， ①当时，， 解得， 则， ∴； ②当时，， 解得， 此种情况不符合题意，舍去； ③当时，， 解得， ∴， ∴； 综上，或． （3）解：依题意，设线段的解析式为 把点，点分别代入， 得， 解得， ∴线段的解析式：， 设， 则 ∵ ∴， 当时，最小为， 此时． 7．（25-26八年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，已知点和点，对于实数，定义：点和是线段的两个“k-加权点”，线段（含端点）是线段的“k-加权线段”． 已知点，． (1)线段的“-加权点”是________； (2)若线段是线段的“k-加权线段”，则当线段与x轴有交点时，k的取值范围是________； (3)记直线和直线组成的图形为X．对于点，，线段和分别是线段和的“k-加权线段”，满足以线段和为对角线的四边形与图形X恰有3个不同的交点，则k的值是________． 【答案】(1)和 (2) (3)或 【难度】0.15 【知识点】一次函数与几何综合、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】（1）根据题意得到，，，，，代入点M和点N的表达式即可求出结果； （2）先求出点P，Q的表达式，再根据线段与x轴有交点，判断出P，Q两点在x轴两侧（含落在x轴上），列出不等式组求解即可； （3）先求出点R，S的表达式，令，求出点P，Q，R，S的坐标，结合图象可得出，为对角线的四边形顶点是中心为的平行四边形，利用待定系数法分别求出直线，的解析式，要使以线段和为对角线的四边形与图形X恰有3个不同的交点，结合图像可得有两种情况，情况一： P点在上，将代入即可得解；情况二： 过O点，先求出直线的表达式，由且过O点，可得直线的表达式，再将代入即可得解． 【详解】（1）解：由题可知，点，，， ∴，，，， ∴， 即； ， 即， ∴线段的“-加权点”是和． （2）解：由题意知，点，的“k-加权点”为，， ∵线段与x轴有交点， ∴P，Q两点在x轴两侧（含落在x轴上）， ∴或， 解得：， ∴k的取值范围是． （3）解：由题意知，点，的“k-加权点”为，， 由（2）知，，， 令，则，，， ∴，，，， 由图可知，点C与点R重合，点D与点S重合，点P与点A重合，点Q与点B重合， ∴，为对角线的四边形顶点是中心为的平行四边形， 设直线的解析式为， 将点P代入得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将点R代入得：， ∴直线的解析式为， 要使以线段和为对角线的四边形与图形X恰有3个不同的交点， 情况一：如图，P点在上， 把代入得， 解得． 情况二：如图，过O点． 设直线的表达式为， 则， 解得， ∴直线的表达式为， ∵，且过O点， ∴直线的表达式为， 把代入得， 解得． 综上k的值是或． 模块三、一次函数与方程综合 重难点一、已知直线与坐标轴交点求方程的解 直线y=kx+b与 x 轴交点横坐标，就是方程kx+b=0的解；与 y 轴交点纵坐标，是x=0时方程y=b的解。已知交点坐标可直接写出对应一元一次方程的解，也可反向代入解求出直线解析式，二者相互转化，紧扣函数与方程的对应关系解题。 1．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）直线经过点和点，则方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.95 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】一元一次方程的解是一次函数的图象与轴交点的横坐标，即当时对应的自变量的值． 【详解】解：直线经过点， 当时，， 方程的解是． 2．（25-26八年级下·河南洛阳·期末）如图，直线过点和，则方程的解是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】一次函数的图像与轴交点的横坐标即为的解． 【详解】解：∵过点， ∴方程的解是． 3．（25-26八年级下·河北沧州·期末）如图，正比例函数的图象向上平移4个单位，恰好与一次函数的图象重合，则关于的方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】一次函数图象平移问题、已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】由一次函数图象平移的法则得出一次函数的解析式为，令，则，求解即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象向上平移4个单位，恰好与一次函数的图象重合， ∴一次函数的解析式为， 令，则， 解得， ∴关于的方程的解是． 4．（2026·湖南株洲·一模）如图，在平面直角坐标系中，一面朝右的平面镜贴在y轴上，一束光线从点处射出，射到平面镜上的点处，被平面镜反射后射到x轴上的点C处，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解、轴对称中的光线反射问题 【分析】在延长线上取点，使得点与点关于直线对称，求出点，利用待定系数法求出直线的解析式，即可求出点C的坐标． 【详解】解：根据题意得，直线与直线关于直线对称， 在延长线上取点，使得点与点关于直线对称， ∵， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴点C的坐标为． 5．（25-26八年级下·福建厦门·期末）若一次函数的图象经过点，则方程的解是________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【详解】解：一次函数的图象经过点 当时， 方程的解是． 6．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图是一次函数的图象，则关于的方程的解为__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】一次函数的图象与x轴交点横坐标的值即为方程的解． 【详解】解：∵一次函数的图象与x轴相交于点， ∴关于x的方程的解是． 7．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，直线分别与 轴、轴交于点、，是线段上一点，连接，将沿着翻折得，若点落在第四象限，且，则点的坐标为______． 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解、折叠问题 【分析】本题考查了一次函数与轴对称性质的综合应用，能够综合题中条件作出辅助线并巧妙的借助勾股定理建立方程是本题的关键． 先灵活运用直线方程求出与坐标轴的交点坐标，明确各点坐标．再利用翻折的性质得到，，从而建立起等量关系．最后巧妙借助勾股定理，求出长度表达式，利用，最终通过建立方程求解得出点的坐标． 【详解】解：过点作轴，垂足为点． 令，则， 解得：． ． 令，则． ． ，． 由勾股定理可得： ． 沿着翻折得． ． 设 ． 在中，，即． 在中，，即． ， 解得：． ． ． 设，则． 由勾股定理得：． 即． ， 解得：． ． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·全国·课前预习）已知一次函数的图象如图所示． (1)关于x的方程的解是________； (2)关于x的方程的解是________； (3)关于x的方程的解是________． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】此题主要考查了一次函数与方程，关键是正确利用数形结合的方法从图象中找到正确答案． （1）一次函数的图象与轴交点横坐标的值即为方程的解； （2）根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，进而得到方程的解； （3）根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，进而得到方程的解． 【详解】（1）解： 一次函数的图象与轴相交于点， 关于的方程的解是． 故答案为：； （2）解：根据图象可得，一次函数的图象经过点， 因此关于的方程的解， 故答案为：； （3）解：根据图象可得，一次函数的图象经过点， 因此关于的方程的解， 故答案为：． 重难点二、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 一元一次方程kx+b=0的解x=m，对应直线y=kx+b与 x 轴交点(m,0)。解题先求解一元一次方程，得到x数值，直接写出交点坐标；若给出交点，可快速写出对应方程的解，利用函数图像与方程的内在转化关系，简化选择、填空题型作答步骤。 1．（25-26八年级下·云南昆明·阶段检测）若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，一元一次方程的解，对应直线中时的值，据此可确定直线经过的点． 【详解】解：方程的解是， 当时，， 直线一定经过点． 2．（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）若是关于x的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为 (a，b为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值． 由方程的解可得与的关系，再令一次函数求解，即可得交点坐标． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即． 令，即， 代入，得， ∴， ∵， ∴，解得． ∴交点坐标为． 故选：D． 3．（25-26八年级上·河南郑州·期末）下列关于一次函数的判断，正确的是（   ） A．当时，该函数图象经过一、三、四象限 B．若关于x的方程的解是，则的图象恒过点 C．若该函数的图象向右平移2个单位后经过原点，则 D．点，点在该函数的图象上，若，则 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象平移问题、判断一次函数的增减性、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、函数图象的平移规律以及方程的解与函数图象的关系，关键是根据一次函数的性质和相关规律逐一分析每个选项． 【详解】解：对于一次函数，其中． 选项A：当时，函数图象经过第二、三、四象限，而非一、三、四象限，故A错误； 选项B：∵方程的解是， ∴，即． 将代入，得， ∴函数图象恒过点，故B正确； 选项C：函数图象向右平移2个单位后解析式为，∵图象过原点，代入得，解得，而非，故C错误； 选项D：随的增大而减小．若，则，但与的符号由决定，不一定满足，故D错误； 故选：B． 4．（21-22九年级上·辽宁朝阳·期末）已知一次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据一次函数的定义求参数、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】本题考查一次函数的定义以及一次函数与轴的交点问题，先根据一次函数的定义确定的取值，再验证函数与轴是否有交点即可得到结果. 【详解】解：函数是一次函数， 根据一次函数的定义，一次函数中自变量的最高次数为， 二次项系数， 将代入得函数解析式为， 令，解得，该函数图象与轴有交点，符合题意， 故的取值范围是． 5．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）直线上有一点的坐标是，则关于的方程的解是_______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，根据一次函数与一元一次方程的关系即可求解，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵直线上有一点的坐标是， ∴当时，， ∴方程的解是， 故答案为：． 6．（2026·湖北·模拟预测）研数综理融光象，探径合律觅真章、借轴实策寻捷径，知行践悟启智长．某数学兴趣小组结合物理学中的光的反射现象，开展了“探究最短路径与光的反射定律的关系”活动，探究并完成下面填空与证明． 【主题】探究最短路径与光的反射定律的关系 【活动一】“两定一动”型最短路径问题探究： 如图1，已知点，，在轴上找一点，使的值最小： (1)作法：作点关于轴的对称点（    ），连接与轴的交点即为（__________）；（填写坐标） (2)求法：由作法知：，的长度是__________； (3)说理：的依据是__________，轴上的点到，距离之和的最小值等于的依据是__________； 【活动二】“光的反射定律”的数理探究：光的反射遵循“反射角等于入射角”的规律． 如图，已知光源位于点，将轴视为平面镜，在轴上确定点，使光线经过点反射后恰好过点； (4)应用：运用活动一的作法，可得（__________）；（填写坐标） (5)悟理：如图2，过点作轴于点，证明：． 【答案】(1)， (2)10 (3)轴对称的性质；两点之间，线段最短 (4) (5) 证明：如图， ∵点、点关于轴对称， ∴， 又， ∴， ∵轴， ∴， ∴． 【难度】0.53 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点、两点之间线段最短、用勾股定理解三角形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）根据关于x轴对称点的坐标特征求出的坐标，待定系数法求出直线的解析式，然后令，求出x的值，即可求解； （2）连接，根据勾股定理求解即可； （3）根据轴对称的性质和线段公理解答即可； （4）待定系数法求出直线的解析式，然后令，求出x的值，即可求解； （5）根据轴对称的性质得出，然后根据余角的性质即可得证． 【详解】（1）解：∵，A、关于x轴对称， ∴， 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴， 当时，，解得， ∴； （2）解：连接， ∵，， ∴，轴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵A、关于x轴对称， ∴； 由（2）知：， ∴轴上的点到，距离之和的最小值等于的依据是两点之间，线段最短； （4）解：作点关于轴对称的点，则，连接交x轴于D， 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴， 当时，，解得， ∴； （5）略 7．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A、B、C的坐标分别为，,． (1)画出关于轴对称的； (2)已知点在轴上，且，则点的坐标是______； (3)有一点在轴上，若要的周长最小，则点的坐标为______． 【答案】(1) 即为所求： (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点、已知两点坐标求两点距离、画轴对称图形、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查了作图-轴对称变换，两点间线段最短，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）作出关于y轴对称的点，依次连接即可； （2）设点，由勾股定理及题意得，求解即可得出答案； （3）作关于轴的对称点，连接，交轴于点，得到的最小值为的长，则此时的周长最小，求出的函数关系式为，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设点，由勾股定理得： ，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：； （3）解：作关于轴的对称点，连接，交轴于点，如图： ∵关于轴对称， ∴ ∴的最小值为的长， ∴此时的周长最小， 设的函数关系式为，代入， ∴， 解得：， ∴的函数关系式为， 当时，， ∴点， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·安徽宣城·阶段检测）定义新运算：对于任意实数都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．比如：． (1)若，且，求的值； (2)对于变量，满足，求出关于的函数关系式，并求出该函数图象上与轴距离为2的点的坐标． 【答案】(1)， (2)，或 【难度】0.4 【知识点】加减消元法、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，函数的关系式，理解新定义是解题的关键． （1）根据新运算可得，然后解二元一次方程组即可； （2）根据新运算可得y关于x的函数关系式，再分别把和代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴，， 联立方程组， ①＋②得，，解得， 把代入②得，； （2）解：， 即； 把代入得，，解得或0， 该函数图象上与轴距离为2的点的坐标是或． 重难点三、利用图象法解一元一次方程 图像法解方程核心：方程kx+b=0的解，是直线y=kx+b与 x 轴交点的横坐标。解题步骤：画出一次函数完整图像，找到直线和 x 轴交点，读取交点横坐标数值，该数值就是一元一次方程的解。画图时精准标记交点，减少读数误差，结合代数计算验证答案。 1．（25-26八年级下·山东潍坊·期中）已知点在直线上，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，点在直线上则点的坐标满足直线解析式，据此可直接得到方程的解． 【详解】解：∵ 点在直线上． ∴ 将代入，得 ． 又∵ 待求解方程为． ∴ 方程的解为． 2．（2026·陕西西安·三模）如图，一次函数的图象经过点，，则关于的方程的解是（    ） A． B．3 C．2 D．1 【答案】A 【难度】0.95 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】由一次函数的图象经过点，可得当时，，从而得出答案． 【详解】由条件可知当时，， 方程的解是． 3．（25-26八年级下·天津北辰·期末）在平面直角坐标系中，一次函数，均为常数）与正比例函数（为常数）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】先对方程变形，整理得；方程的解，就是直线与直线交点的横坐标，结合图象交点坐标即可求解． 【详解】解：对方程移项变形： ， 方程的几何意义：正比例函数与一次函数的函数值相等． 由图象可知，直线和的交点坐标为，交点横坐标为． 因此方程的解为． 4．（2022八年级·广东深圳·竞赛）已知关于x的方程有且只有一个正根，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． E． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】本题考查了含绝对值的一元一次方程，熟练掌握绝对值的意义，将方程转化为函数图象解题是关键．关于的方程有且只有一个正根可以看作函数与有且只有一个交点，再结合函数图象解题即可． 【详解】解：解：关于的方程的解可以看作函数与的交点， 观察图象可知， 若，则直线与函数图象的左分支平行， 若，直线与图象有且只在右分支有一个交点，则方程有且只有一个正根； 若，则直线与图象有两个交点，则方程有两个解； 若，则直线与图象有两个交点，则方程有两个解； 若，则直线与图象在左分支必有交点，则方程有负根； 综上所述，当时，关于x的方程有且只有一个正根， 故选：A． 5．（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于的方程的解是_____． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】方程的几何意义：求一次函数与正比例函数函数值相等时对应的自变量，也就是两条直线交点的横坐标．交点的横坐标即为方程的解． 【详解】解：方程等价于求时的取值，对应两个函数图像的交点横坐标． 由图可知，直线与的交点坐标为，该点横坐标为． 因此当时，成立，方程的解是． 6．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，一次函数的图象分别与轴交于两点．若，，则关于的方程的解为_________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解、利用图象法解一元一次方程 【分析】利用函数过，则有时函数值为0，则关于的方程的解为． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于，， ∴关于的方程的解为． 7．（2026·湖南长沙·二模）如图，一次函数（k为常数且）和的图象相交于点A，根据图象可知关于x的方程的解是______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】直接利用图象法，两条直线交点的横坐标即为方程的解. 【详解】解：由图象可知，关于x的方程的解是. 8．（25-26八年级下·河南信阳·期末）学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象，进而研究函数的性质．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． … … … … (1)表中 ， ． (2)在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象． (3)根据（2）中的图象，探究该函数的性质： ①该函数的最大值为 ； ②若方程有两个解，则的取值范围是 ； ③请你再写出一条该函数的性质． 【答案】(1)； (2)如图所示． (3)①；②；③关于轴对称．（答案不唯一） 【难度】0.65 【知识点】求一次函数自变量或函数值、画一次函数图象、利用图象法解一元一次方程、一次函数图象与对称问题 【分析】（1）将和代入函数关系式，即可求出、的值； （2）描出表中各组对应值为坐标的点，即可画出函数图象； （3）结合函数图象直接作答即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，； （2）略 （3）解：①由函数图象可知，该函数的最大值为1； ②方程有两个解， 函数的图象与直线有两个交点， 的取值范围是； ③关于轴对称．（答案不唯一）． 9．（25-26八年级下·北京房山·期中）小亮借鉴研究一次函数时积累的经验和方法，对新函数展开探究，过程如下． (1)根据函数表达式列表如下，则表中___________； ．．． -5 -4 -3 -2 -1 0 1 ．．． ．．． 3 1 0 1 2 3 ．．． (2)在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； (3)方程的解为___________ 【答案】(1) (2) 如图所示： (3)或 【难度】0.5 【知识点】求自变量的值或函数值、用描点法画函数图象、利用图象法解一元一次方程 【分析】本题考查绝对值函数的列表、图像绘制，以及利用函数图像解方程，解题关键是掌握绝对值的计算方法、函数图像的画法，以及利用函数交点求解方程的思想． （1）利用函数表达式，将代入计算对应的值，得到； （2）根据列表中与的对应值，在平面直角坐标系中描点并连线，画出函数的图象； （3）解绝对值方程，需分和两种情况讨论，分别求解后检验解是否满足对应范围，从而确定方程的解． 【详解】（1）解：已知函数为，当时，将代入函数表达式： ，因此； 故答案为：； （2）略； （3）解绝对值方程需分情况讨论： 情况一：当即时， 此时，原方程化为：   ，解得：，   检验：，满足该情况的前提条件，因此是方程的一个解； 情况二：当即时， 此时，原方程化为：   ，解得：， 检验：，满足该情况的前提条件，因此是方程的一个解； 综上，方程的解为或． 故答案为：或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题04 一次函数的应用 模块一、一次函数的实际应用 重难点一、分配方案问题 先设分配数量为自变量，结合总量关系列出一次函数解析式，再根据物资数量、人数等现实约束，列出自变量取值不等式，求出整数可行方案。结合k的正负判断函数增减性，快速筛选最优分配方案，作答时完整列举全部符合条件的分配方案。 1．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段检测）为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校准备购买若干套健身器材供学生使用，经调查，某公司有，两种健身器材可供选择，每套型健身器材售价为万元，每套型健身器材售价为万元，经协商，该公司承诺：每套型健身器材在售价的基础上减免万元；每套型健身器材在售价的基础上打七折．学校想购进，两种健身器材共套，若型健身器材买套，共花费万元． (1)请求出与的函数关系式； (2)若型健身器材的数量不超过套，学校应如何购买才能使总费用最少？ 2．（24-25八年级上·广东佛山·期中）在“综合与实践”活动课时，小明关注了佛山移动公司手机资费两种套餐： A套餐：月租0元，市话通话费每分钟元； B套餐：月租费48元，免费市话通话时间48分钟，超出部分每分钟元． 设A套餐每月市话话费为元，B套餐每月市话话费为元，月市话通话时间为x分钟． (1)分别写出，与x的函数关系式； (2)小明爸爸每月市话通话时间为200分钟，请说明选择哪种套餐更合算． 3．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）A县和B县春季分别急需化肥100吨和60吨，C县和D县分别储存化肥110吨和50吨，全部调配给A县和B县．运费如下表所示： 出发地 运费（元/吨） 目的地          C县          D县 A县 40 45 B县 35 50 (1)设从C县运到A县的化肥为x吨，则从C县运往B县的化肥为 吨，从D县运往A县的化肥为 吨，从D县运往B县的化肥为 吨； (2)求总运费W（元）与x（吨）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)求最低总运费，并说明运费最低时的运送方案． 4．（25-26八年级下·山东滨州·期末）综合实践活动《绿动未来——追踪碳排放》 【素材呈现】 素材一：在对A城市交通工具的二氧化碳排放量所进行的一项调研中，我们发现：10辆燃油车与10辆电动汽车每公里共同排放的二氧化碳总量约为2600克，而5辆燃油车与6辆电动汽车每公里的总排放量则为1374克． 素材二：为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关换算标准，每棵成年的阔叶树种（例如杨树）每年大约吸收172千克二氧化碳，而每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收111千克的二氧化碳． 【问题解决】 (1)问题一：一辆燃油车和一辆电动汽车每公里分别产生的二氧化碳排放量是多少克？ (2)问题二：某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为千克． ①求与的函数关系式； ②杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树不超过20棵，请设计一个最优的采购方案，使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 5．（25-26八年级下·广东广州·期末）A城有肥料，B城有肥料．现要把这些肥料全部运往C、D两乡．从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/和25元/；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/和24元/．现C乡需要肥料，D乡需要肥料．若从A城运往C乡的肥料为，总运费为元． (1)用含的代数式表示从A城运往D乡的肥料； (2)写出总运费与之间的函数关系式；并写出的取值范围． (3)怎样调运可使总运费最少？ 6．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段检测）甲地有木材300吨，乙地有木材400吨．现将两地木材全部运往A、B两木艺加工厂，其中厂需木材360吨，厂需木材340吨．设从甲地运吨木材到厂（），从甲地运往两木艺厂的总运费为元，从乙地运往两木艺厂的总运费为元． 运费表 (1)木材运输配送表如下，请你填空（用含的式子表示）： 甲地 乙地 厂 x ② 厂 ① ③ ①______；②______；③______； (2)请分别求出与之间的函数关系式； (3)若要求从乙地运往两木艺厂的总运费不得超过4800元，怎样调运可使全部运输费用（即两地运往两木艺厂的总费用之和）最少，并求出全部运输费用的最小值． 重难点二、最大利润问题 梳理单件利润、销售数量，总利润 = 单件利润 × 销量，据此构建一次函数。根据进货量、售价限制确定自变量取值范围，通过k正负判断增减性：k>0取区间最大值，k<0取区间最小值，代入解析式算出最大利润，最后结合题意规范作答。 1．（25-26七年级上·山东济南·期末）为提升训练质量，某羽毛球俱乐部计划采购某品牌羽毛球训练器材．经市场调查了解到该品牌羽毛球拍每副120元，羽毛球每筒40元，某体育用品商场抓住机遇推出促销活动，提供了两种优惠方案： 方案一：买一副羽毛球拍送一筒羽毛球； 方案二：羽毛球拍和羽毛球全部按定价打八折． 若该羽毛球俱乐部需采购球拍100副，羽毛球x筒．方案一、二所需付款金额分别为元、元． (1)求， 与之间的函数表达式； (2)当时，通过计算比较这两种方案哪种更划算． 2．（25-26八年级上·安徽滁州·期中）某公司每月销售两种型号的教学设备共20台，每台的销售成本和售价如下表． 型号 成本/（万元/台） 3 5 售价/（万元/台） 4 8 (1)设该公司每月销售型号设备台，则每月销售型号设备______台，每月共获得利润_____万元．（用含的代数式表示，结果需化简） (2)若每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元，则该公司如何安排购进两种型号教学设备的数量，使得每月销售完这些设备后获利最大？并求出最大利润． 3．（2025·河北唐山·三模）国产动画《哪吒》系列电影的卓越品质给无数观众留下了深刻的印象．某文创店老板打算从批发商处购进“哪吒”“敖丙”和“太乙真人”三种手办，第一批只购进了“哪吒”和“敖丙”两种手办进行试销．其进货单如图所示，其中部分数据被墨水覆盖，已知每套“敖丙”手办的进价比每套“哪吒”手办贵5元． (1)求出每套“哪吒”手办和每套“敖丙”手办的进价； (2)受电影热度影响，第一批购进的两种手办全部售完，老板将第一批手办的销售额全部用于购进第二批手办，已知三种手办都需要购进，且购进“哪吒”和“敖丙”手办的数量相等．但每套“哪吒”手办的进价比原来提高20%，每套“敖丙”手办的进价比原来降低，每套“太乙真人”手办的进价不变，若购进套“太乙真人”手办，套“哪吒”手办． ①试推算与应满足的数量关系； ②若三种手办的售价不变，当“太乙真人”手办的数量不少于130套时，直接写出销售完第二批手办可获得利润的最大值． 4．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）呼和浩特被誉为“中国乳都”，以乳业为发展引擎，凭借优质乳业书写城市传奇、铸就辉煌．其中牛奶贝因其味道醇美且容易携带而深受外地游客欢迎．某特产店销售、两款牛奶贝，结合材料解决问题 内容 材料一 某特产店购进，两款牛奶贝进行销售，、两款牛奶贝的售价分别为32元/袋和25元/袋，款牛奶贝的进价为22元/袋，款牛奶贝的进货总金额y（单位：元）与款牛奶贝的进货量x（单位：袋）之间的关系如图所示． 材料二 为了满足市场需求，七月份该特产店计划采购这两款牛奶贝共1000袋，其中款牛奶贝的进货量不低于300袋，且不高于600袋． 任务： (1)求y关于x的函数解析式． (2)若采购的所有牛奶贝能全部售出，设销售完、两款牛奶贝获总利润为（单位：元），请求出关于x的函数解析式，并为该特产店设计出获得最大总利润的进货方案． 5．（25-26八年级下·山西大同·期末）某文具店计划购进甲、乙两种笔记本共100本，这两种笔记本的进价、售价如表： 类型 进价/（元/本） 售价/（元/本） 甲种 3 4.5 乙种 5 7 受市场需求限制，乙种笔记本的进货数量不超过甲种笔记本进货数量的2倍，设文具店购进甲种笔记本x本，销售完这批笔记本的总利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)应如何安排进货，才能使销售完这批笔记本的利润最大，最大利润为多少元？ 6．（20-21八年级下·湖北荆州·期末）某农机合作社共有70台农机，其中在城有30台，在城有40台，近期要将其全部运往两乡进行耕作，乡需要34台，乡需要36台，由两城运往两乡的运费如下表： C乡 乡 城 250元/台 200元/台 城 150元/台 240元/台 设城运往乡台，运送全部农机的总运费为元． (1)求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)如何安排运送方案，使总运费最小？ (3)据悉某部门将对由城运农机到乡的合作社给予补贴，标准为元/台，目前只知不超过的具体值在研究后公布，该合作社将如何根据的值设计运送方案，使总花费最少？（总花费总运费-补贴） 重难点三、行程问题 梳理路程、速度、时间三者关系，分段分析匀速、停留、折返等运动状态，分阶段列出一次函数。图像题型先读懂横纵坐标代表含义，拐点对应行程状态变化；利用解析式计算相遇时间、相距距离，计算时区分相向、同向行驶，避免路程关系混淆。 1．（25-26八年级下·重庆·期中）问界M6纯电版汽车于2026年4月22日正式发售，其中续航版本的CLTC综合续航里程约为．为了保护电池性能，厂家建议：当剩余续航里程低于（对应电量约）时就需要及时充电，保障电池寿命．假设该车在以平均时速匀速行驶时，剩余续航里程y（）与行驶时间x（h）满足一次函数关系，若出发时满电续航为． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)行驶多长时间后，剩余续航达到充电提醒标准（） 2．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期中）一个小球在一个斜坡上由静止开始向下滚动，其速度每秒增加． (1)写出滚动的时间和小球的速度之间的函数关系式； (2)当小球滚动了时，其速度是多少？ 3．（2026·陕西咸阳·二模）某实验小组进行微型机器人行走性能测试实验，将甲、乙两个机器人分别放在点和点，然后让它们同时出发，沿方向匀速行走，通过分析发现，甲、乙两个机器人的距离与它们行走的时间之间满足一次函数关系，如下是实验小组记录的与的部分数据： 行走的时间 … 甲、乙两个机器人的距离 … (1)求两个机器人的距离与它们行走的时间之间的函数表达式； (2)已知两个机器人已行走，要使它们的距离再增加，则两个机器人还应继续向前走多久？ 4．（25-26七年级下·河南郑州·期末）春光明媚的周末，班长刘伟骑车到北龙湖湿地公园参加“春日研学”活动．他早上从家出发，图中的折线表示刘伟骑车离家的距离与时间的关系，他离开家，回到家，请你根据这个折线图回答下列问题： (1)刘伟家距离北龙湖湿地公园有多少千米？ (2)刘伟在和的平均速度各是多少？ (3)回家路上，何时刘伟距家？ 5．（25-26七年级下·河南平顶山·期末）图象（折线）描述了一辆汽车在某一笔直公路上的一次往返行驶过程，如图是汽车离出发地的距离（千米）和行驶时间（小时）之间的关系图象，请根据图象解答下列问题： (1)从图象上看，这辆汽车是从、、、、中的哪个位置出发的？ (2)在这个问题中，自变量和因变量分别是什么？ (3)出发地与目的地之间的距离为 千米； (4)在去往目的地的过程中，因故停留了多长时间？ (5)求汽车返回时的速度． 6．（25-26七年级下·四川成都·期末）已知成都与若尔盖相距约千米．小张乘车从成都出发，先以行驶小时，之后以另一速度匀速行驶，全程共用小时到达（忽略中途换驾时间）．小张出发小时后，小李驾车沿同一路线从若尔盖驶往成都，途中发现忘带文件，原地休息小时后按原速原路返回．如图，是两人行驶过程中与成都的距离随行驶时间变化的图象，请回答下列问题： (1)改变速度后，小张所乘汽车的速度为________千米时；小李的速度为________千米时； (2)小张出发后多久，第一次与小李相遇？ (3)已知小张和小李的汽车均装载智能通讯设备，设备最大通讯距离为千米．试求小张从出发到停止行驶期间，两人能保持通讯的总时间． 重难点四、梯度计价问题 按照收费标准划分自变量区间，每个区间单独建立一次函数。分清起步价、分段单价，不可直接套用单一解析式。解题先判断数值落在哪一段区间，选用对应式子计算，作答标注区间适用范围，防止跨段计算失误。 1．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）小明使用出行软件打车回家的行程详情如图（1）所示，爱动脑筋的小明查看了计价规则，如图（2）所示．他发现，在不考虑其他因素的情况下，在其打车的时间段（），3公里以内（含3公里）的起步价为元；超过3公里的部分，按元/公里的标准收取里程费． (1)当行程超过3公里时，判断实际打车费用y元是否是里程x公里的函数，并用含x的代数式表示y； (2)如图（1）所示，小明此次行程的实际路线为公里，那么打车费用是多少元？ 2．（25-26八年级上·江苏南京·期末）某地出租车计费标准如下：当里程不超过时，均按起步价元收费；当里程超过时，超过部分按元收费．某乘客乘坐出租车时，观察到一些时刻的车费与行驶里程之间的关系如下表： 行驶里程 3 5 7 车费（元） 11 17 23 设行驶里程为，出租车的车费为元，是的一次函数． (1)________，________； (2)求与之间的函数表达式； (3)若某乘客一次乘坐出租车的行驶里程为，求这位乘客需付的车费． 3．（25-26八年级上·山东青岛·期中）为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市城镇居民用水实行阶梯收费．具体情况如表： 每月用水量 单价 不超过15立方米 每立方米2.4元 超过15立方米不超过30立方米部分 每立方米3.4元 超出30立方米部分 每立方米7.2元 (1)若设居民每月的用水量为立方米，每月所需的水费为元．请写出超过15立方米不超过30立方米部分、超出30立方米部分与的函数关系式； (2)若小丽家6月份水费70元，那么小丽家用水多少立方米？ 4．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）为了鼓励市民节约用水，某地区采用分档计费的方式计算水费．下表是根据户年用水量进行分档计费的标准： 户年用水量（） 水费单价（元/） 不超过的部分 超过的部分 已知A户去年的户年用水量为，去年整年的水费是元，设户年用水量为（），整年的水费为（元）． (1)的值为________； (2)求关于的函数解析式； (3)已知B户去年整年的水费是元，求B户去年的户年用水量． 5．（25-26七年级下·陕西西安·期末）某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户月用电量及分档计费标准： 计费档 户月用电量x/（kW·h） 单价/[元/（kW·h）] 第一档 0.5 第二档 0.6 第三档 0.8 (1)当时，写出电费y（单位：元）与用电量x之间的表达式； (2)某户12月的电费是127元，求该户12月的用电量． 6．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）游泳是不少同学喜欢的运动，游得快游泳馆推出了A，B，C三种年卡套餐的收费标准（如下表）． 套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元 A B C 不限次 设年游泳次数为（单位：次），，根据表格回答： (1)请写出B种年卡套餐的费用（单位：元）关于游泳次数（单位：次）的函数解析式； (2)若，请给出游泳费用最省方案； (3)当游泳次数为时，A种年卡套餐和B种年卡套餐的费用相同，若的值存在两个，请直接写出的取值范围_______． 重难点五、其他问题 包含水费、话费、工程施工等分段计费题型，分区间列出对应一次函数。先划分自变量分界区间，分别写出每段解析式，标注各段取值范围；读取图像关键点坐标，代入解析式求解收费标准，计算总费用时找准自变量所属区间，避免套用错函数式。 1．（2026·山西长治·三模）数学兴趣小组在探究“桶装水在常温下的最佳饮用时间”时，发现桶装水中菌落总数与实验时间（天）成一次函数关系，该小组的部分实验数据如下表，则与之间的函数关系式为（     ） 实验时间/天 ．．． 2 3 4 ．．． 菌落总数 ．．． 18 21 24 ．．． A． B． C． D． 2．（2026·山西阳泉·三模）已知在一定温度下的饱和溶液中，溶质质量与溶剂质量呈正比例关系．当温度为时，水中溶解的硝酸钾达到饱和，则在此温度下，硝酸钾饱和溶液中溶质质量（单位：g）与溶剂质量x（单位：g）的函数关系式为______． 3．（25-26八年级下·山西吕梁·期末）如图1，有两个完全相同的长方体水槽并排放在水平地面上．水槽A下面垫了一块厚度为的木板（木板放在地面上），水槽B直接放在地面上．初始时，水槽A内水深（从槽底算起），水槽B内无水．两个水槽底部用一根U型管连通，水会从水槽A流向水槽B，直到两个水槽的水面到地面的高度相等时停止．用表示时刻水槽A中从槽底算起的水深（单位：），表示水槽B中从槽底算起的水深（单位：）．与随时间（单位：s）的变化关系如图所示．已知在时，水流刚好停止，则木板的高度为___________． 4．（25-26八年级下·河南漯河·期末）某商店以每件13元的价格购进某商品100件，售出部分商品后进行了降价销售，销售金额y（元）与销售量x（件）的函数关系如图所示，求当销售量为66件时，销售金额为多少？ 5．（2026·陕西榆林·三模）人形机器人马拉松，以创新实践诠释人机共生理念，彰显大国科技创新开放共享的责任担当．在某次机器人训练中，某台机器人以一固定速度匀速奔跑，电量随时间均匀消耗，剩余电量（单位：）是奔跑时间（单位：分钟）的一次函数，其函数图象如图所示． (1)求与之间的函数关系式；（无需写出自变量的取值范围） (2)本次训练中，当该台机器人剩余电量为时，它此时奔跑了多少分钟？ 6．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）【教材升华】一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示． (1)当时，求关于的函数解析式； (2)进水管每分钟进水、出水管每分钟出水各多少升？ (3)多少分钟时该容器内的水恰好为10升． 7．（25-26八年级下·福建龙岩·期末）某企业接到一批服装生产任务，要求天完成，为按时完成任务，若干天后，该企业增加了一定数量的生产工人，该企业天累计生产服装的数量为件，与之间的关系如图所示． (1)这批服装一共有________件； (2)求增加工人后与的函数表达式； (3)已知这批服装的出厂价为每件元，由于特殊原因，原材料紧缺，服装的成本前天为每件元，从第天起每件的成本比原先增加了元，问：前多少天的总利润恰好为元？（利润等于出厂价减去成本） 8．（25-26八年级下·广西贵港·期末）【综合与实践】 为落实劳动教育，某班在校园一角开辟直角梯形劳动实践基地，如图，，，，，，．老师计划在基地划出一块临时作业分区，由班长手持标杆从点A出发，沿着折线行走，到达点C后停止．标杆的位置记为点P，即为划定的临时作业分区，设班长行走的路程为x（单位：m），作业分区面积为y（单位：）． (1)当班长走到B点时，划定的作业分区面积y是多少? 【深入研究】 (2)求班长在行走过程中，作业分区面积y与行走路程x的函数关系式； 【问题解决】 (3)若老师要求作业分区面积恰好为，求班长的行走路程x． 9．（25-26八年级下·福建厦门·期末）净光合速率越大，植物积累的有机物越多，生长越旺盛，在温室大棚中，可以通过调节温度和二氧化碳浓度来促进农作物生长．技术人员对某农作物进行了研究，在标准大气二氧化碳浓度下，净光合速率受温度影响，且在时达到最大，实验数据如表： 温度（） 净光合速率 (1)当时，根据表格，求出一个关于的函数解析式； (2)为使该作物净光合速率达到中等水平（），试求温度的调节范围； (3)研究发现，适度施“气肥”提高二氧化碳浓度，能改变净光合速率对温度的响应．在温度时（，此时净光合速率为）开始施“气肥”，有如下规律： ①施气肥后，最大净光合速率提高至； ②在到达最大净光合速率前，净光合速率随温度的增大而增大，且变得更加“敏感”，可近似描述为，其中敏感因子； ③在到达最大净光合速率后，可以认为随的增大而均匀减小，且受作物自身特性限制，当时，净光合速率为． 某日温室大棚小时温度预报如图所示，请你依据上述规律估计：最晚几时施“气肥”，能使该作物净光合速率处于较高水平（）的时间不少于小时？ 模块二、一次函数与几何综合 重难点一、一次函数与直线综合 两条直线相交，联立两个一次函数解析式，组成二元一次方程组，方程组的解即为交点坐标。已知平行直线k值相等，垂直直线k乘积为 - 1，以此求参数。求直线解析式多用待定系数法，代入两点坐标构建方程组求解k、b。 1．（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）在平面直角坐标系中，点P是直线上一动点，O为坐标原点，则的最小值为___________． 2．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，已知点，，若直线与线段有公共点，则的范围为_______． 3．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点，点是线段上的一个动点(不与点和点重合)，过作轴交线段于点，使，设点的横坐标为． (1)求点、点的坐标； (2)如图2，当时，求的值； (3)如图3，连接，，在点运动的过程中，当时，的值为___________． 4．（23-24七年级下·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，点，，，且． (1)若，求点和点的坐标； (2)如图，在（1）的条件下，过点作轴，交于点，求点的坐标； (3)若，且，求的值． 5．（25-26八年级下·河北邢台·期末）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点C的坐标为． (1)点A的坐标为________，点B的坐标为________； (2)过点C作直线． ①用含k的代数式表示b； ②若直线l与有交点，求k的取值范围． 6．（25-26八年级下·湖南邵阳·期末）为了探究函数的图象与性质，甲同学根据学习一次函数的经验，借助函数的图象与性质进行了探究．下面是甲同学的探究过程： 第一步：的自变量的取值范围是全体实数； 第二步：与的几组对应值： … 0 1 2 3 4 5 … … 5 3 2 1 0 0 2 … 第三步：建立平面直角坐标系，画出函数图象； 第四步：借助函数图象研究该函数的性质． (1)补全表格，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象： (2)观察的函数图象，完成以下问题： ①当___________时，函数有最小值为___________；当___________时，随的增大而增大． ②写出自变量的取值范围和因变量的取值范围． ③若直线与的图象有且只有一个交点，求的取值范围． 重难点二、一次函数与三角形综合 先求出一次函数与坐标轴交点、直线间交点，得到三角形顶点坐标。利用坐标差值计算底、高长度，借助绝对值求线段距离，再用三角形面积公式计算面积。动点题型设动点坐标，用含参数的式子表示底和高，结合取值范围求解面积最值。 1．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，一次函数的图象经过点，，则的面积为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26八年级下·上海崇明·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在正比例函数的图像上，点和点C都在轴上，当的面积是6时，点C的坐标是______________． 3．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）已知一次函数的图像与轴、轴分别交于、两点，坐标原点为，则为__________． 4．（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）如图①，在四边形中，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度按的顺序在边上匀速运动，设点的运动时间为秒，的面积为，关于的函数图象如图②所示，（1）的长为_______．（2）当点运动到中点时，的面积为_______． 5．（21-22八年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，已知中，，，直线的函数解析式是． (1)求证：； (2)求的面积． 6．（24-25八年级下·福建厦门·期中）已知一次函数． (1)画出函数的图象； (2)若图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，O为坐标原点，求的面积． 7．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动． (1)求A、B两点的坐标； (2)求的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式； (3)在M运动过程中，当时，直接写出此时M点的坐标． 8．（25-26八年级下·陕西榆林·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B、D，直线与直线关于x轴对称，若直线经过点，且交y轴于点C，连接交x轴于点E． (1)求直线的函数表达式和a的值； (2)在坐标轴上是否存在点P，使得？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（25-26八年级下·四川达州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A，点B，且． (1)求k的值； (2)若点C为线段上一点，连接，将沿着折叠，使点B落在x轴的点处，求点C的坐标； (3)如图2，作，点E为直线上一动点，点F为y轴上一动点，是否存在以O，E，F为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（24-25八年级上·陕西·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点，交x轴于点B． (1)k＝______，B点坐标为______； (2)点C为x轴正半轴上一点，，请你猜想AC与BC的数量关系，并加以证明，再求出点C的坐标； (3)在（2）的条件下，点M为线段AC上一动点（M不与A、C重合），设M的横坐标为a，请用含a的代数式表示点M到x轴的距离______； (4)在（3）的条件下，过点M作MN∥AB交x轴于点N，连接BM、AN，当为等腰三角形时，求出此时的面积． 重难点三、一次函数的新定义 解题第一步读懂题干自定义运算法则、新型函数规则，把陌生定义转化为常规一次函数。根据定义列出对应解析式，再结合增减性、交点、取值范围等常规知识点求解。计算完成后代回自定义规则验证，防止混淆新定义运算顺序。 1．（25-26八年级上·安徽宣城·期中）定义：在平面直角坐标系中，若点到轴、轴的距离和为1，则称点为“励志点”．例如：点到轴、轴距离和为1，则点是“励志点”，点，也是“励志点”．一次函数的图象经过点，且图象上存在“励志点”，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 2．（17-18九年级上·山东济南·期中）定义：点为平面直角坐标系内的点，若满足，则把点叫做“平衡点”．例如：都是“平衡点”．当时，直线上有“平衡点”，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南益阳·二模）在平面直角坐标系中，若存在实数，使得，则称为点的“特定点值”．如图，矩形三个顶点的坐标分别为． （1）则点的“特定点值”等于__________． （2）若点是矩形边上的动点，则下列关于点的“特定点值”的结论正确的是__________．（填写序号） ①当点在边上时，随着的增大而增大； ②当点在边上时，则； ③在矩形边上有且只有一个点的“特定点值”为． 4．（25-26八年级下·河北邯郸·期末）新定义：对于两个实数，，我们用表示这两个数中最大的数，即，对于函数： （1）当时，_______； （2）若过定点的直线与函数的图象有两个交点，则的取值范围是_______． 5．（25-26八年级下·山东日照·期末）定义：直线与直线组成一对“值线组”．如图，已知矩形顶点坐标，，，．当时，“值线组”与矩形恰有4个交点，则的取值范围为________． 6．（2026·江苏泰州·模拟预测）在数学探究课上，老师给出如下定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点称为P、Q两点间的“折线距离”，记作． (1)已知点，则 ； (2)已知点，若点D在直线上，且，求点D的坐标； (3)已知点，点，若点P是线段上的一个动点，求（O为坐标原点）的最小值及此时点P的坐标． 7．（25-26八年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，已知点和点，对于实数，定义：点和是线段的两个“k-加权点”，线段（含端点）是线段的“k-加权线段”． 已知点，． (1)线段的“-加权点”是________； (2)若线段是线段的“k-加权线段”，则当线段与x轴有交点时，k的取值范围是________； (3)记直线和直线组成的图形为X．对于点，，线段和分别是线段和的“k-加权线段”，满足以线段和为对角线的四边形与图形X恰有3个不同的交点，则k的值是________． 模块三、一次函数与方程综合 重难点一、已知直线与坐标轴交点求方程的解 直线y=kx+b与 x 轴交点横坐标，就是方程kx+b=0的解；与 y 轴交点纵坐标，是x=0时方程y=b的解。已知交点坐标可直接写出对应一元一次方程的解，也可反向代入解求出直线解析式，二者相互转化，紧扣函数与方程的对应关系解题。 1．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）直线经过点和点，则方程的解是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河南洛阳·期末）如图，直线过点和，则方程的解是（     ）． A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·河北沧州·期末）如图，正比例函数的图象向上平移4个单位，恰好与一次函数的图象重合，则关于的方程的解是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·湖南株洲·一模）如图，在平面直角坐标系中，一面朝右的平面镜贴在y轴上，一束光线从点处射出，射到平面镜上的点处，被平面镜反射后射到x轴上的点C处，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·福建厦门·期末）若一次函数的图象经过点，则方程的解是________． 6．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图是一次函数的图象，则关于的方程的解为__________． 7．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，直线分别与 轴、轴交于点、，是线段上一点，连接，将沿着翻折得，若点落在第四象限，且，则点的坐标为______． 8．（25-26八年级上·全国·课前预习）已知一次函数的图象如图所示． (1)关于x的方程的解是________； (2)关于x的方程的解是________； (3)关于x的方程的解是________． 重难点二、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 一元一次方程kx+b=0的解x=m，对应直线y=kx+b与 x 轴交点(m,0)。解题先求解一元一次方程，得到x数值，直接写出交点坐标；若给出交点，可快速写出对应方程的解，利用函数图像与方程的内在转化关系，简化选择、填空题型作答步骤。 1．（25-26八年级下·云南昆明·阶段检测）若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）若是关于x的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是(　　) A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河南郑州·期末）下列关于一次函数的判断，正确的是（   ） A．当时，该函数图象经过一、三、四象限 B．若关于x的方程的解是，则的图象恒过点 C．若该函数的图象向右平移2个单位后经过原点，则 D．点，点在该函数的图象上，若，则 4．（21-22九年级上·辽宁朝阳·期末）已知一次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是______． 5．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）直线上有一点的坐标是，则关于的方程的解是_______． 6．（2026·湖北·模拟预测）研数综理融光象，探径合律觅真章、借轴实策寻捷径，知行践悟启智长．某数学兴趣小组结合物理学中的光的反射现象，开展了“探究最短路径与光的反射定律的关系”活动，探究并完成下面填空与证明． 【主题】探究最短路径与光的反射定律的关系 【活动一】“两定一动”型最短路径问题探究： 如图1，已知点，，在轴上找一点，使的值最小： (1)作法：作点关于轴的对称点（    ），连接与轴的交点即为（__________）；（填写坐标） (2)求法：由作法知：，的长度是__________； (3)说理：的依据是__________，轴上的点到，距离之和的最小值等于的依据是__________； 【活动二】“光的反射定律”的数理探究：光的反射遵循“反射角等于入射角”的规律． 如图，已知光源位于点，将轴视为平面镜，在轴上确定点，使光线经过点反射后恰好过点； (4)应用：运用活动一的作法，可得（__________）；（填写坐标） (5)悟理：如图2，过点作轴于点，证明：． 7．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A、B、C的坐标分别为，,． (1)画出关于轴对称的； (2)已知点在轴上，且，则点的坐标是______； (3)有一点在轴上，若要的周长最小，则点的坐标为______． 8．（25-26八年级上·安徽宣城·阶段检测）定义新运算：对于任意实数都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．比如：． (1)若，且，求的值； (2)对于变量，满足，求出关于的函数关系式，并求出该函数图象上与轴距离为2的点的坐标． 重难点三、利用图象法解一元一次方程 图像法解方程核心：方程kx+b=0的解，是直线y=kx+b与 x 轴交点的横坐标。解题步骤：画出一次函数完整图像，找到直线和 x 轴交点，读取交点横坐标数值，该数值就是一元一次方程的解。画图时精准标记交点，减少读数误差，结合代数计算验证答案。 1．（25-26八年级下·山东潍坊·期中）已知点在直线上，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西西安·三模）如图，一次函数的图象经过点，，则关于的方程的解是（    ） A． B．3 C．2 D．1 3．（25-26八年级下·天津北辰·期末）在平面直角坐标系中，一次函数，均为常数）与正比例函数（为常数）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ）． A． B． C． D． 4．（2022八年级·广东深圳·竞赛）已知关于x的方程有且只有一个正根，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． E． 5．（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于的方程的解是_____． 6．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，一次函数的图象分别与轴交于两点．若，，则关于的方程的解为_________． 7．（2026·湖南长沙·二模）如图，一次函数（k为常数且）和的图象相交于点A，根据图象可知关于x的方程的解是______． 8．（25-26八年级下·河南信阳·期末）学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象，进而研究函数的性质．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． … … … … (1)表中 ， ． (2)在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象． (3)根据（2）中的图象，探究该函数的性质： ①该函数的最大值为 ； ②若方程有两个解，则的取值范围是 ； ③请你再写出一条该函数的性质． 9．（25-26八年级下·北京房山·期中）小亮借鉴研究一次函数时积累的经验和方法，对新函数展开探究，过程如下． (1)根据函数表达式列表如下，则表中___________； ．．． -5 -4 -3 -2 -1 0 1 ．．． ．．． 3 1 0 1 2 3 ．．． (2)在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； (3)方程的解为___________ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $