第五章 二元一次方程组 单元测试 2026－2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册第五章二元一次方程组单元测试卷，分A、B卷（100+50分），覆盖方程组定义、解法、应用等核心知识，结合《九章算术》、世界杯等情境，梯度设计合理，适配单元复习与核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题32分|二元一次方程组定义、解的意义、古代问题建模（如《九章算术》雀燕题）|结合函数图象交点考方程组解，体现数形结合| |填空题|10题40分|概念辨析（二元一次方程条件）、整体思想（如4x-y值）、幻方应用|融入传统文化（幻方）与数学抽象| |解答题|8题78分|解法（代入/加减消元）、实际应用（购物/运费问题）、新定义（“系数倒反方程组”）|分层设计：基础解法→复杂应用→创新探究，培养模型意识与推理能力|

第五章 二元一次方程组 单元测试题 2026—2027学年北师大版八年级数学上册 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 2．如果方程组的解为，那么被“★”“■”遮住的两个数分别是（　　） A．10，4 B．4，10 C．3，10 D．10，3 3．已知实数x，y满足方程组，则4x﹣y的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3 4．老师设计了一个接力游戏，用合作的方式解方程组，规则是每人只能看到前一人的计算结果，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，过程如图所示，且其中有一位同学的解题步骤出现错误，则解题中出现错误的同学是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？译文：五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设每只雀、燕的重量各为x两，y两，以下列出的方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 6．已知函数y＝k1x+b1与函数y＝k2x+b2的图象如图所示，则方程组的解为（　　） A． B． C． D． 7．已知关于x，y的方程组给出下列结论：①是方程组的解； ②无论a取何值，x，y的值都不可能互为相反数；③当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4﹣a的解； ④x，y都为自然数的解有4对．其中正确的是（　　） A．①②④ B．①④ C．②③ D．②③④ 8．若方程组的解是，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．已知方程2x|m|﹣1+（m+2）y＝2是二元一次方程，则m＝　　 ． 10．已知关于x、y的方程组，则x+y的值为 　　 ． 11．若直线y＝ax+7经过一次函数y＝4﹣3x和y＝2x﹣1的交点，则a的值是 　　 ． 12．有一个两位数和一个一位数，如果在这个一位数后面多写一个0，则它与这个两位数的和是146，如果用这个两位数除以这个一位数，则商6余2，则这个两位数是　　 ． 13．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则a﹣b的值为　　 ． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14．解方程组： （1）（用代入消元法解）； （2）（用加减消元法解）； （3）； （4）． 15．小明准备完成题目：解方程组发现系数“▫”印刷不清楚． （1）他把“□”猜成3，请你解此时的方程组． （2）张老师说：“你在（1）中猜错了”，我看到该题的正确答案里有结论：x，y互为相反数．依此说法，问原题中的“□”是多少？ 16．定义：可化为其中一个未知数的系数都为1，另一个未知数的系数互为倒数，并且常数项（常数不能与未知数在等式同一侧）互为相反数的二元一次方程组，称为“系数倒反方程组”，如：． （1）若关于x，y的方程组是“系数倒反方程组”，求k与b的值； （2）若关于x，y的方程组可化为“系数倒反方程组”，求该方程组的解． 17．2026年美加墨世界杯是第二十三届世界杯足球赛，激烈的世界杯比赛，激发了学生对足球的兴趣，八（1）班学生去商场购买了A品牌足球1个，B品牌足球2个，共花费320元，八（2）班学生购买了A品牌足球2个，B品牌足球3个，共花费520元． （1）求购买一个A品牌，一个B品牌的足球各需多少元？ （2）为了进一步发展“校园足球”，丰富学校体育器材，学校提供专项经费680元准备再次购进A，B两种品牌的足球，经费恰好用完．问：学校有几种购买方案？ 18．端午节期间，某超市的A，B两个营业部计划从甲、乙两食品加工厂订购粽子，已知甲、乙两厂的产量共700件，甲厂产量比乙厂产量的2倍少200件，A营业部计划购进粽子共200件，B营业部计划购进粽子共500件，甲、乙两厂发往A，B两营业部的运费（元/件）如下表所示： 甲 乙 A 2.5 1.5 B 2 2.4 （1）甲、乙两厂的产品分别是多少件？ （2）设甲厂运往A营业部m件，两厂发往两营业部的总费用为W元，请写出W关于m的函数关系式，并指出m的取值范围； （3）由于快速环道的开通，甲厂发往A营业部的运费减少a元（0＜a≤2），其他运费不变，如何调运，使得总费用最少？ B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．已知是方程组的解，则（a+b）（a﹣b）的值是　　 ． 20．若关于x，y的方程组的解也是二元一次方程2x﹣3y＝11的解，则m的值为____. 21．小虎同学在解方程组的过程中，错把b看成了6，其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为．又已知直线y＝kx+b过点（1，﹣8），则b的值为 　　 ． 22．如果正整数x，y，满足x2﹣y2＝64，这样的正整数对（x，y）共有　　 个． 23．对实数a，b，定义运算“◆”：a◆b，例如4◆3，因为4＞3，所以4◆35，若x，y满足方程组，则x◆y＝　　 ． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24．下面是学习二元一次方程组时，老师提出的问题和两名同学所列的方程（组）． 问题：某个工人一天工作8个小时，可以生产零件一整箱和不足一箱的30个；由于特殊情况，今天他只工作5个小时，生产零件一整箱和不足一箱的6个，问这一整箱零件和该工人每小时能生产的零件数分别是多少？ 小丽所列方程：，小亮所列方程：． 根据以上信息，解答下列问题． （1）以上两个方程（组）中x的意义是否相同？　　 （填“是”或“否”）； （2）小亮列的方程所用的等量关系是 　　 （填序号，“①每个小时生产的零件数”或“②5个小时生产的零件数相等”）； （3）请从以上两个方程（组）中任选一个求解，完整解答老师提出的问题． 25．情境:珍珍在学习解二元一次方程组时遇到了这样一个问题，解方程组：． 尝试：（1）若用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组的（4x+3y）看成一个整体，把（6x﹣y）看成一个整体，通过换元法，可以解决问题，具体如下． 请将下面解题过程补充完整． 解：设4x+3y＝m，6x﹣y＝n，则原方程组可化为____________，解关于m，n的方程组，得，所以，解这个方程组，得_________； 应用：（2）利用上述方法解方程组． 26．对于关于的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“郡一”方程组． (1)下列方程组是“郡一”方程组的是___________（只填写序号）； ①②③． (2)若关于的方程组是“郡一”方程组，求的值； (3)若对于任意的无理数，关于的方程组都是“郡一”方程组，求的值． 参考答案 第五章 二元一次方程组 单元测试题 2026—2027学年北师大版八年级数学上册 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、x2属于二次的，故选项A错误； B、第一个方程中的xy属于二次的，故选项B错误； C、属于分式，故选项C错误； D、符合二元一次方程组的定义，故选项D正确． 故选：D． 2．如果方程组的解为，那么被“★”“■”遮住的两个数分别是（　　） A．10，4 B．4，10 C．3，10 D．10，3 【解答】解：把代入2x+y＝16得12+■＝16，解得■＝4， 再把代入x+y＝★得★＝6+4＝10， 故选：A． 3．已知实数x，y满足方程组，则4x﹣y的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3 【解答】解：， ①+②，得4x﹣y＝3． 故选：D． 4．老师设计了一个接力游戏，用合作的方式解方程组，规则是每人只能看到前一人的计算结果，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，过程如图所示，且其中有一位同学的解题步骤出现错误，则解题中出现错误的同学是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【解答】解：， 由①得：x③， 把③代入②得：35y＝5， 去分母得：24﹣9y﹣10y＝10， 移项，合并同类项得：﹣19y＝﹣14， 系数化1得：y， 把y代入③得：x， 所以方程组的解为：； ∴丙同学出错，去分母漏乘常数项， 故选：C． 5．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？译文：五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设每只雀、燕的重量各为x两，y两，以下列出的方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：依题意，得：． 故选：A． 6．已知函数y＝k1x+b1与函数y＝k2x+b2的图象如图所示，则方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵函数y＝k1x+b1与函数y＝k2x+b2的图象交于点（1，4）， ∴二元一次方程组的解为， 故选：C． 7．已知关于x，y的方程组给出下列结论： ①是方程组的解； ②无论a取何值，x，y的值都不可能互为相反数； ③当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4﹣a的解； ④x，y都为自然数的解有4对． 其中正确的是（　　） A．①②④ B．①④ C．②③ D．②③④ 【解答】解：， ①﹣②得：8y＝4﹣4a， 即y， 把y代入①得：x， 当x＝5，即5时，a＝5，此时y＝﹣2，选项①错误； 假设x与y互为相反数，0，无解，选项②正确； 当a＝1时，x＝3，y＝0，此时也是方程x+y＝3的解，选项③正确； 由x与y都为自然数，得到1﹣a＝0，2，4，6，8， 解得：a＝﹣1，﹣3，﹣5，1，﹣7， 当a＝﹣7时，x＝﹣1不符合题意， ∴a＝﹣1，﹣3，﹣5，1， 自然数解有4对，选项④正确， ∴正确的有②③④， 故选：D． 8．若方程组的解是，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设x﹣1＝a，y+2＝b， ∵方程组的解是， ∴x﹣1＝8.3，y+2＝1.2， 解得：x＝9.3，y＝﹣0.8， ∴方程组的解是， 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．已知方程2x|m|﹣1+（m+2）y＝2是二元一次方程，则m＝　2　 ． 【解答】解；∵方程2x|m|﹣1+（m+2）y＝2是二元一次方程， ∴|m|﹣1＝1且m+2≠0， 解得m＝2或m＝﹣2且m≠﹣2， ∴m＝2． 故答案为：2． 10．已知关于x、y的方程组，则x+y的值为 　1　 ． 【解答】解：， 由①+②可得出：5x+5y＝a+2+3﹣a， 整理得：5（x+y）＝5， ∴x+y＝1， 故答案为：1 11．若直线y＝ax+7经过一次函数y＝4﹣3x和y＝2x﹣1的交点，则a的值是 　﹣6　 ． 【解答】解：根据题意，得 4﹣3x＝2x﹣1， 解得x＝1， ∴y＝1． 把（1，1）代入y＝ax+7， 得a+7＝1， 解得a＝﹣6． 故答案为：﹣6． 12．有一个两位数和一个一位数，如果在这个一位数后面多写一个0，则它与这个两位数的和是146，如果用这个两位数除以这个一位数，则商6余2，则这个两位数是　56　 ． 【解答】解：设这个两位数为x，一位数为y，由题意得： ， 解得：． 故答案为：56． 13．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则a﹣b的值为　7　 ． 【解答】解：∵每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等， ∴a﹣3＝b+4， ∴a﹣b＝4+3＝7； 故答案为：7． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14．解方程组： （1）（用代入消元法解）； （2）（用加减消元法解）； （3）； （4）． 【解答】解：（1） 把①代入②得：3x+2（2x﹣3）＝8 解得：x＝2 把x＝2代入①，得：y＝2×2﹣3＝1 ∴原方程组的解为 （2） ①+②得：x+3x＝9+（﹣1） 解得：x＝2 把x＝2代入①，得：2+2y＝9 解得：y ∴原方程组的解为 （3）整理方程组得： ①×2得：8x﹣2y＝10③ ②+③得：3x+8x＝12+10 解得：x＝2 把x＝2代入①得：4×2﹣y＝5 解得：y＝3 ∴原方程组的解为 （4）， ①+②得：3x﹣3y＝15， 即x﹣y④， 把④代入③得：5﹣z＝7， 解得：z＝﹣2， ②+③得：3x﹣2z＝25⑤， 把z＝﹣2代入⑤得：3x+4＝25， 解得：x＝7， 把z＝﹣2，x＝7，代入③得： 7﹣y+2＝7， 解得：y＝2， ∴原方程组的解为：． 15．小明准备完成题目：解方程组发现系数“▫”印刷不清楚． （1）他把“□”猜成3，请你解此时的方程组． （2）张老师说：“你在（1）中猜错了”，我看到该题的正确答案里有结论：x，y互为相反数．依此说法，问原题中的“□”是多少？ 【解答】解：， ①+②得：4x＝﹣4， 解得：x＝﹣1， 把x＝﹣1代入①得：﹣1﹣y＝4， 解得：y＝﹣5， ∴原方程组的解为； （2）∵x，y互为相反数， ∴y＝﹣x， ∴2x＝4， ∴x＝2， 设“□”为a，则ax+y＝﹣8， ∴2a﹣2＝﹣8， ∴a＝﹣3， ∴“□”是﹣3． 16．定义：可化为其中一个未知数的系数都为1，另一个未知数的系数互为倒数，并且常数项（常数不能与未知数在等式同一侧）互为相反数的二元一次方程组，称为“系数倒反方程组”，如：． （1）若关于x，y的方程组是“系数倒反方程组”，求k与b的值； （2）若关于x，y的方程组可化为“系数倒反方程组”，求该方程组的解． 【解答】解：（1）①当y的系数都为1时， 原方程组可化为， ∴2k＝1，3﹣b＝0， ∴k，b＝3； ②当x的系数都为1时， 原方程组可化为：， ∴1，0， ∴k，b； 综上所述，k，b＝3或； （2）原方程组可化为， ①当x的系数都为1时，方程组可化为， 根据“系数倒反方程组”的定义，方程组即为， 解得：， ②当y的系数为1时，方程组可化为， 根据“系数倒反方程组”的定义，方程组即为， 解得：， 综上所述，方程组的解为：或． 17．2026年美加墨世界杯是第二十三届世界杯足球赛，激烈的世界杯比赛，激发了学生对足球的兴趣，八（1）班学生去商场购买了A品牌足球1个，B品牌足球2个，共花费320元，八（2）班学生购买了A品牌足球2个，B品牌足球3个，共花费520元． （1）求购买一个A品牌，一个B品牌的足球各需多少元？ （2）为了进一步发展“校园足球”，丰富学校体育器材，学校提供专项经费680元准备再次购进A，B两种品牌的足球，经费恰好用完．问：学校有几种购买方案？ 【解答】解：（1）设购买一个A品牌足球需x元，一个B品牌足球需y元， 根据题意得：， 解得：， 答：购买一个A品牌足球需80元，一个B品牌足球需120元； （2）设购买A品牌足球m个，购买B品牌足球n个， 根据题意得：80m+120n＝680， 整理得：2m+3n＝17， ∵m、n均为正整数， ∴或或， ∴学校有3种购买方案， 答：学校有3种购买方案． 18．端午节期间，某超市的A，B两个营业部计划从甲、乙两食品加工厂订购粽子，已知甲、乙两厂的产量共700件，甲厂产量比乙厂产量的2倍少200件，A营业部计划购进粽子共200件，B营业部计划购进粽子共500件，甲、乙两厂发往A，B两营业部的运费（元/件）如下表所示： 甲 乙 A 2.5 1.5 B 2 2.4 （1）甲、乙两厂的产品分别是多少件？ （2）设甲厂运往A营业部m件，两厂发往两营业部的总费用为W元，请写出W关于m的函数关系式，并指出m的取值范围； （3）由于快速环道的开通，甲厂发往A营业部的运费减少a元（0＜a≤2），其他运费不变，如何调运，使得总费用最少？ 【解答】（1）设乙厂的产量是x件，则甲厂的产量是y件，根据题意， 得：， 解得：， 答：甲、乙两厂的产品分别是400件、300件； （2）设甲厂运往A营业部m件，两厂发往两营业部的总费用为W元，则甲厂运往B营业部（400﹣m）件，乙厂运往A营业部（200﹣m）件，乙厂运往B营业部（m+100）件， 由题意得：W＝2.5m+2（400﹣m）+1.5（200﹣m）十2.4 （m+100）＝1.4m+1340， 则， 解得：0≤m≤200， ∴W关于m的函数关系式为W＝1.4m+1340，m的取值范围是0≤m≤200且m为整数； （3）由题意得：现在的总运费为W′＝（2.5﹣a）m+2（400﹣m）+1.5（200﹣m）+2.4（m+100）＝（1.4﹣a）m+1340， 若0＜a＜1.4时，1.4﹣a＞0，W′随m的增大而增大， 则当m＝0时，W′有最小值1340， 此时，400﹣m＝400，200﹣m＝200，m+100＝100， ∴0＜a＜1.4时，甲厂400件全部运往B营业部，乙厂运往A营业部200件，乙厂运往B营业部100件，可使得总费用最少； 若a＝1.4，则W'为常数1340， ∴此时，符合条件的所有调运方案总运费都一样； 若1.4＜a≤2时，1.4﹣a＜0，W'随m的增大而减小； 则当m＝200时，W'有最小值，200（1.4﹣a）+1340， ∴1220≤200（1.4﹣a）+1340＜1340， 此时，400﹣m＝200，200﹣m＝0，m+100＝300， ∴1.4＜a≤2时，甲厂运往A营业部200件，甲厂运往B营业部200件，乙厂300件运全部运往B营业部，可使得总费用最少． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．已知是方程组的解，则（a+b）（a﹣b）的值是　﹣2　 ． 【解答】解：将x＝﹣3，y＝1代入方程组得： ， ①+②得：﹣2a﹣2b＝8， ∴a+b＝﹣4， ①﹣②得：﹣4a+4b＝﹣2， ∴a﹣b， ∴（a+b）（a﹣b）＝﹣42． 故答案为：﹣2． 20．若关于x，y的方程组的解也是二元一次方程2x﹣3y＝11的解，则m的值为　3　 【解答】解：联立得：， ①×3+②×4得：17x＝68， 解得：x＝4， 把x＝4代入①得：y＝﹣1， 把x＝4，y＝﹣1代入得：4m﹣2m+1＝7， 解得：m＝3， 故答案为：3 21．小虎同学在解方程组的过程中，错把b看成了6，其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为．又已知直线y＝kx+b过点（1，﹣8），则b的值为 　﹣14　 ． 【解答】解：根据题意，将（﹣2，﹣6）代入y＝kx+6， 得﹣2k+6＝﹣6， 解得k＝6， ∵y＝kx+b过点（1，﹣8）， ∴6+b＝﹣8， 解得b＝﹣14， 故答案为：﹣14． 22．如果正整数x，y，满足x2﹣y2＝64，这样的正整数对（x，y）共有　2　 个． 【解答】解：∵x2﹣y2＝64， ∴（x+y）（x﹣y）＝64， ∵64＝1×2×2×2×2×2×2， ∴如果正整数x，y满足x2﹣y2＝64，那么x+y＝64，x﹣y＝1或x+y＝32，x﹣y＝2或x+y＝16，x﹣y＝4或x+y＝8，x﹣y＝8， 解方程组：，得x＝32.5，不是正整数，舍去； 解方程组：，得：，x，y是正整数，符合题意； 解方程组：，得，x，y是正整数，符合题意； 解方程组：，得，y不是正整数，舍去． ∴符合题意的只有或， 即这样的正整数对（x，y）只有2对． 故答案为：2． 23．对实数a，b，定义运算“◆”：a◆b，例如4◆3，因为4＞3，所以4◆35，若x，y满足方程组，则x◆y＝　32　 ． 【解答】解：， ①×2+②得：9x＝36， 解得：x＝4， 把x＝4代入②得：y＝8， 则x◆y＝4◆8＝4×8＝32， 故答案为：32． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24．下面是学习二元一次方程组时，老师提出的问题和两名同学所列的方程（组）． 问题：某个工人一天工作8个小时，可以生产零件一整箱和不足一箱的30个；由于特殊情况，今天他只工作5个小时，生产零件一整箱和不足一箱的6个，问这一整箱零件和该工人每小时能生产的零件数分别是多少？ 小丽所列方程：，小亮所列方程：． 根据以上信息，解答下列问题． （1）以上两个方程（组）中x的意义是否相同？　是　 （填“是”或“否”）； （2）小亮列的方程所用的等量关系是 　②　 （填序号，“①每个小时生产的零件数”或“②5个小时生产的零件数相等”）； （3）请从以上两个方程（组）中任选一个求解，完整解答老师提出的问题． 【解答】解：（1）由小丽所列的方程组可知，小丽所列的方程组中x表示的是一箱零件的个数， 由小亮所列的方程可知，小亮所列的方程中x表示的是一箱零件的个数， ∴以上两个方程（组）中x的意义相同， 故答案为：是； （2）由小亮所列的方程可知，小亮的方程所用等量关系是5个小时生产的零件数相等， 故答案为：②； （3）选择小丽所列方程组， ①﹣②得：3y＝24， 解得：y＝8， 把y＝8代入②得：40＝x+6， 解得：x＝34， 答：这一箱零件数为34个，该工人每小时能生产的零件数是8个． 选择小亮所列方程， 去分母得：5（x+30）＝8（x+6）， 去括号得：5x+150＝8x+48， 移项得：5x﹣8x＝48﹣150， 合并得：﹣3x＝﹣102， 系数化为1得：x＝34， ∴8， 答：这一箱零件数为34个，该工人每小时能生产的零件数是8个． 25．情境:珍珍在学习解二元一次方程组时遇到了这样一个问题，解方程组：． 尝试 （1）若用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组的（4x+3y）看成一个整体，把（6x﹣y）看成一个整体，通过换元法，可以解决问题，具体如下． 请将下面解题过程补充完整． 解：设4x+3y＝m，6x﹣y＝n，则原方程组可化为　　 ，解关于m，n的方程组，得，所以，解这个方程组，得　　 ； 应用 （2）利用上述方法解方程组． 【解答】解：（1）设4x+3y＝m，6x﹣y＝n，把方程组的（4x+3y）看成一个整体，把（6x﹣y）看成一个整体，通过换元法可得： 变形可得：， 得， ∴， 解方程组，得， 故答案为：，； （2）设2x+y＝m，x﹣2y＝n， 则， 得， ∴， 解方程组，得． 26．对于关于的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“郡一”方程组． (1)下列方程组是“郡一”方程组的是___________（只填写序号）； ①②③． (2)若关于的方程组是“郡一”方程组，求的值； (3)若对于任意的无理数，关于的方程组都是“郡一”方程组，求的值． 【解】（1）解：①， 解得， 此时， 不是“郡一”方程组； ②， 解得， 此时， 是“郡一”方程组； ③， 解得， 此时， 是“郡一”方程组； 故答案为：②③； （2）， ①，得③， ②-③，得， 解得， 把代入①，得， 所以方程组的解是， 关于的方程组是“郡一”方程组， ， 即， 解得或； （3）若对于任意的无理数，关于，的方程组都是“郡一”方程组， 则， 联立得：， 解得或， 把代入中， 得， ， 为任意无理数， ， 解得：， ； 把代入中， 得， ， 为任意无理数， ， 解得：，； 综上所述，的值为或 学科网（北京）股份有限公司 $