5.4 二元一次方程与一次函数 暑假预科讲义 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 5.4二元一次方程与一次函数 知识归纳与题型总结 考点01 一次函数与一元一次方程 任何一个一元一次方程都可化简为的形式． （1）一元一次方程是一次函数的函数值为0时的特殊情形． （2）直线与x轴交点的横坐标就是一元一次方程的解，即． 考向01 求一次函数解析式 【例1】已知：一次函数 (1)若函数图象过，求此函数的解析式． (2)若函数图象与直线平行，求该函数的解析式． (3)求满足（2）条件的直线与的交点． 【对点1】已知正比例函数，当自变量x的值为时，函数值，则比例系数______． 考点02 一次函数与二元一次方程（组）的关系 1. 一次函数与二元一次方程的关系 一般地，一次函数的图象上任意一点的坐标都是二元一次方程的解；以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图象上． 2. 一次函数与二元一次方程组的关系 一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数（两条直线）． 二元一次方程组的解为两直线；和的交点坐标；反过来,两直线，和的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解． （1）两直线平行（无交点），方程组无解； （2）两直线交于一点，方程组有唯一解； （3）两直线重合，方程组有无数组解． 考向01 两直线的交点与二元一次方程组的解 【例1】一般地，在平面直角坐标系中，以二元一次方程的所有解为坐标的点组成的图形，叫做该二元一次方程的图象，且任意二元一次方程的图象都是一条直线．如图所示是关于，的方程组中两个二元一次方程的图象直线和直线，两直线交于点，则该方程组的解为（     ） A． B． C． D． 【对点1】如图，直线交x轴于点A，交直线于点P． (1)求点P的坐标． (2)求的面积． 考点03 二元一次方程组的图象解法 1. 二元一次方程组的图象解法的含义 用一次函数的图象求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图象解法． 2. 用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤 （1）把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式：,和． （2）建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图象． （3）求出这两条直线交点的横、纵坐标，这两个数值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标是x的值，纵坐标是y的值． 考向01 图象法解二元一次方程组 【例1】在平面直角坐标系中，函数和的图象如图所示，那么关于x，y的二元一次方程组的解是________． 考向02 求直线围成的图形面积 【例2】如图，直线分别交轴，轴于两点，直线分别交轴，轴于，两点，直线，交于点． (1)观察图象，写出方程组的解：_____； (2)求直线与轴围成的的面积． 【对点1】利用一次函数的图象，求二元一次方程组的解． 【对点2】如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点B、C，与直线交于点A．已知点A的坐标为，． (1)求出直线的解析式； (2)求的面积． 一、选择题 1．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则方程组的解为（     ） A． B． C． D． 2．某同学参加短跑训练，2～6月的训练成绩为15.6，15.5，15.2，15.1，15（单位：），如果月份用x表示，训练成绩用y表示，并在如图所示的平面直角坐标系中描出点，根据变化趋势预测该同学7月份短跑的成绩最接近（     ） A． B． C． D． 3．若一次函数（、为常数，且）与一次函数的图象交点的横坐标为2，则关于、的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，将正比例函数（为常数，且）的图象先向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度得到的函数图象经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．已知直线，将它向左平移2个单位或者向上平移3个单位，都能经过点，则该直线的解析式是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，的长为常数，点P从起点C出发，沿向终点B运动，设点P所走过路程的长为x，的面积为y，则下列图象能大致反映y与x之间的函数关系的是（     ） A． B． C． D． 7．无论a取什么实数，点都在直线上，若是直线上的点，则的值是（     ） A．1 B．0 C． D．2 8．已知一次函数的图象与平行，且过点，那么它必过点（     ） A． B． C． D． 9．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城． 在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①A、B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距40千米时，或． 其中结论正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．将直线：和直线：及x轴围成的三角形面积记为，直线：和直线：及x轴围成的三角形面积记为，…，以此类推，直线：和直线：及x轴围成的三角形面积记为，记，当n越来越大时，你猜想W最接近的常数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．直线与交点的横坐标为1，则关于的二元一次方程组的解为______． 12．已知直线与的交点的坐标为，则关于的二元一次方程组的解为______． 13．如图，已知一次函数（）与的图象相交于点，则二元一次方程组的解是___________． 14．已知一次函数，当时，y的最大值为5，则k的值为_________． 15．如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形由块边长为的小正方形拼成，图中阴影矩形记为区域（包含边界）对于正方形边上的一点，若点在正方形内部且线段与区域有公共点，则称点是点的“盲点”．点的所有“盲点”组成的区域称为点的“盲区”，其面积记为．若点在线段上，且，则点的“盲区”的面积________（用含的代数式表示）． 三、解答题 16．秤是我国传统的计重工具，方便了人们的生活．如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为（厘米）时，秤钩所挂物重为（斤），则是的一次函数．下表为若干次称重时所记录的一些数据． /厘米 1 2 4 7 11 12 /斤 0.75 1.00 2.00 2.25 3.25 3.50 (1)在上表，的数据中，发现有一对数据记录错误．请在图2中通过描点的方法，并用坐标的形式写出这组错误的数据． (2)求与之间的函数关系式． (3)当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重有多少斤？ 17．我市医药研究所研发了一种新药，在实验药效时发现，如果按指定剂量服用，每毫升血液中含药量（微克）随时间（时）的变化情况如图所示． (1)求与之间的函数表达式（）； (2)若每毫升血液中含药量为4微克及以上时治疗疾病才有效，求这个有效时长． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于、两点，过点的另一条直线交轴正半轴于点，且点为线段的中点． (1)求出直线的函数解析式； (2)若点是直线上的动点，连接，且，求点的坐标． 19．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，经过点的另一条直线交轴于点． (1)求直线的函数解析式； (2)点是线段上任意一点，连接，轴交直线于点，若的面积为9，求点的坐标． 20．如图，直线的解析式为，且直线分别与轴，轴交于，两点，直线经过原点，并与直线相交于点，平分交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)求的值； (3)一次函数的图象为直线，且，，不能围成三角形，请直接写出的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 5.4二元一次方程与一次函数 知识归纳与题型总结 考点01 一次函数与一元一次方程 任何一个一元一次方程都可化简为的形式． （1）一元一次方程是一次函数的函数值为0时的特殊情形． （2）直线与x轴交点的横坐标就是一元一次方程的解，即． 考向01 求一次函数解析式 【例1】已知：一次函数 (1)若函数图象过，求此函数的解析式． (2)若函数图象与直线平行，求该函数的解析式． (3)求满足（2）条件的直线与的交点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征，把代入求出m的值即可得到一次函数解析式； （2）根据两直线平行的条件得到，解出m=1，从而可确定一次函数解析式． （3）两直线的解析式联立方程组，解方程组即可求得． 【详解】（1）解：把代入， 得：， 解得， 所以一次函数解析式为； （2）解：因为函数的图象与直线平行， 所以， 解得， 所以一次函数解析式为． （3）解：联立方程组得， 解得， ∴两直线的交点为． 【对点1】已知正比例函数，当自变量x的值为时，函数值，则比例系数______． 【答案】 【分析】将已知的和代入正比例函数，解关于的一元一次方程即可得到结果． 【详解】解：∵正比例函数解析式为，当时，， ∴将，代入解析式，得， 解得． 考点02 一次函数与二元一次方程（组）的关系 1. 一次函数与二元一次方程的关系 一般地，一次函数的图象上任意一点的坐标都是二元一次方程的解；以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图象上． 2. 一次函数与二元一次方程组的关系 一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数（两条直线）． 二元一次方程组的解为两直线；和的交点坐标；反过来,两直线，和的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解． （1）两直线平行（无交点），方程组无解； （2）两直线交于一点，方程组有唯一解； （3）两直线重合，方程组有无数组解． 考向01 两直线的交点与二元一次方程组的解 【例1】一般地，在平面直角坐标系中，以二元一次方程的所有解为坐标的点组成的图形，叫做该二元一次方程的图象，且任意二元一次方程的图象都是一条直线．如图所示是关于，的方程组中两个二元一次方程的图象直线和直线，两直线交于点，则该方程组的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两个一次函数的交点和二元一次方程组的解的关系解题． 【详解】解：由题意知，直线和直线的交点坐标为， 即关于，的方程组的解为． 【对点1】如图，直线交x轴于点A，交直线于点P． (1)求点P的坐标． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，联立两个函数求解即可； （2）由函数解析式确定，结合图形求解即可． 【详解】（1）解：由，解得 即点P的坐标为． （2）解：∵直线交x轴于点A， ∴当时，，即． ∵， ∴． 考点03 二元一次方程组的图象解法 1. 二元一次方程组的图象解法的含义 用一次函数的图象求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图象解法． 2. 用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤 （1）把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式：,和． （2）建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图象． （3）求出这两条直线交点的横、纵坐标，这两个数值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标是x的值，纵坐标是y的值． 考向01 图象法解二元一次方程组 【例1】在平面直角坐标系中，函数和的图象如图所示，那么关于x，y的二元一次方程组的解是________． 【答案】 【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解即为两函数图象交点的坐标，观察图象找出交点坐标即可． 【详解】解：∵函数与的图象的交点坐标为， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为． 考向02 求直线围成的图形面积 【例2】如图，直线分别交轴，轴于两点，直线分别交轴，轴于，两点，直线，交于点． (1)观察图象，写出方程组的解：_____； (2)求直线与轴围成的的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线的交点求方程组的解即可； （2）根据直线与坐标轴的交点的计算得到，，则，由代入计算即可． 【详解】（1）解：∵直线，和变于点， ∴方程组的解为； （2）解：直线分别交轴，轴于两点， 当时，，则， 直线分别交轴，轴于，两点， 当时，，则， ∴， ∴． 【对点1】利用一次函数的图象，求二元一次方程组的解． 【答案】 【分析】在同一个平面直角坐标系中，由描点法作出直线和直线，找出两条直线的交点坐标就得到二元一次方程组的解． 【详解】解：对于，当时，，则；当时，，则； 对于，当时，，则；当时，，则； 在平面直角坐标系中描点、连线，如图所示： 两条直线交点，则原方程组的解为． 【对点2】如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点B、C，与直线交于点A．已知点A的坐标为，． (1)求出直线的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)30 【分析】（1）先确定C点坐标，再利用待定系数法求解； （2）令，求出对应的x的值，即可得B点的坐标，再根据的面积求解． 【详解】（1）解：由图可知，点C在y轴的正半轴上， ∵， ∴， 设直线的解析式为，将、代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：令，则， ∴， ∴， ∴的面积． 一、选择题 1．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则方程组的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方程组的解即为两个一次函数图象的交点坐标． 【详解】解：由图象可知，一次函数与的图象交点为， 则方程组的解为，即方程组的解为． 2．某同学参加短跑训练，2～6月的训练成绩为15.6，15.5，15.2，15.1，15（单位：），如果月份用x表示，训练成绩用y表示，并在如图所示的平面直角坐标系中描出点，根据变化趋势预测该同学7月份短跑的成绩最接近（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察图中呈现的线性变化趋势，可知成绩和月份是一次函数关系，从图中选取两个已知点求得，再将代入求解即可． 【详解】解：设成绩和月份的一次函数关系式为． 从图中选取两个已知点：时，，时，，代入关系式得： ， 解得， 因此函数关系式为． 当时， ， 这个结果最接近． 3．若一次函数（、为常数，且）与一次函数的图象交点的横坐标为2，则关于、的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：当时，， ∵一次函数（、为常数，且）与一次函数的图象交点的横坐标为2， ∴一次函数（、为常数，且）与一次函数的图象交点坐标为， ∴关于、的方程组的解是． 4．在平面直角坐标系中，将正比例函数（为常数，且）的图象先向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度得到的函数图象经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出平移后的函数解析式，再将代入计算即可． 【详解】解：将正比例函数（为常数，且）的图象先向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度得到的函数解析式为， ∵函数图象经过点， ∴， 解得：． 5．已知直线，将它向左平移2个单位或者向上平移3个单位，都能经过点，则该直线的解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移的性质得到直线向左平移2个单位或者向上平移3个单位后的解析式，再将点分别代入平移后的解析式得到关于和的方程组，解方程组，从而求出该直线的解析式． 【详解】解：将直线向左平移2个单位后的解析式为， 将点代入得：， 将直线向上平移3个单位后的解析式为， 将点代入得：， 联立， 解得：， 直线解析式为． 6．如图，在中，，，的长为常数，点P从起点C出发，沿向终点B运动，设点P所走过路程的长为x，的面积为y，则下列图象能大致反映y与x之间的函数关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设的长为常数，进而得出，则是关于x的一次函数，且随的增大而减小，从而判断图象即可． 【详解】解：设的长为常数， 点P所走过路程的长为x， ， ， ， 是关于x的一次函数，且随的增大而减小， 只有C 选项图象符合题意． 7．无论a取什么实数，点都在直线上，若是直线上的点，则的值是（     ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】C 【分析】由点A恒在直线上的条件推导直线的解析式，结合点M在直线上的条件代入代数式计算； 【详解】解：设点的横坐标为，纵坐标为， ∵ 点在直线上， ∴ ，； ∴ ，即直线的解析式为； ∵ 在直线上， ∴ ； ∴ ； 8．已知一次函数的图象与平行，且过点，那么它必过点（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质，利用两直线平行时一次项系数相等求出，再结合已知点求出函数解析式，最后验证选项得到结果． 【详解】解：∵一次函数的图象与平行，两直线平行时一次函数的一次项系数相等，的一次项系数为， ∴，即函数解析式为， ∵函数过点，将点代入解析式得：， 解得， ∴该一次函数解析式为， 依次验证选项：当时，，故A、B错误； 当时，，故在函数图象上，C正确； 当时，，故D错误． 9．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城． 在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①A、B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距40千米时，或． 其中结论正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先根据图像信息求出甲、乙两车的速度及各自的函数解析式，再逐一验证四个结论：①由图像终点纵坐标判断、两城距离；②由图像起点和终点横坐标判断两车的出发与到达时间；③通过联立两车的函数解析式求出相遇时间，从而验证乙车追上甲车的时间；④分情况讨论两车相距千米时的时间，最后统计正确结论的个数． 【详解】解：∵甲、乙两车从城到城的最大距离为千米， ∴①、两城相距千米，正确． ∵甲车速度千米/小时， ∴甲车函数解析式为． ∵乙车速度千米/小时， ∴乙车函数解析式为． 联立， 解得， ∴乙车出发后小时追上甲车，故③错误． 乙车到达B城所用时间为（小时）， 乙车在时出发，时到达， ∵甲车在时出发，时到达， ∴②乙车比甲车晚出发小时，早到小时，正确． 当时， 分两种情况： ， 解得； ， 解得． 故④正确． 综上，①②④正确，共个． 10．将直线：和直线：及x轴围成的三角形面积记为，直线：和直线：及x轴围成的三角形面积记为，…，以此类推，直线：和直线：及x轴围成的三角形面积记为，记，当n越来越大时，你猜想W最接近的常数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立相邻直线方程可得其交点恒为，三角形高固定为，推导底边长得到的表达式后求和分析趋势. 【详解】解：对于直线，令，解得，即与轴交点为， 直线，令，解得，即与轴交点为， 联立， 得，解得， 代入得， 即两直线交点为， ∴三角形的底长为，高为交点到轴的距离， ∴， ∵， ∴ ， 当越来越大时，越来越接近， 最接近. 二、填空题 11．直线与交点的横坐标为1，则关于的二元一次方程组的解为______． 【答案】 【分析】二元一次方程组的解对应两个一次函数图象交点的坐标，先整理方程组得到对应两个一次函数，再根据已知交点横坐标求纵坐标，即可得到方程组的解． 【详解】解：整理方程组，可得， ∵直线与交点的横坐标为， 把代入，得， ∴两条直线的交点坐标为， ∴原二元一次方程组的解为． 12．已知直线与的交点的坐标为，则关于的二元一次方程组的解为______． 【答案】 【分析】根据直线过点求出b的值，得到交点坐标为，即可得到函数解析式组成的方程组的解． 【详解】解：∵直线过点， ∴， ∴直线与的交点的坐标为， ∴关于的二元一次方程组的解为， 即的解为． 13．如图，已知一次函数（）与的图象相交于点，则二元一次方程组的解是___________． 【答案】 【分析】先求出点P的坐标，然后根据图象法解方程组即可． 【详解】解：把代入得：， ∴点， ∴二元一次方程组的解是． 14．已知一次函数，当时，y的最大值为5，则k的值为_________． 【答案】 【分析】已知，则随的增大而增大，可确定取最大值时对应的值，代入列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴在一次函数中，随的增大而增大， ∵当时，的最大值为， ∴当时，取得最大值， ∴， 解得． 15．如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形由块边长为的小正方形拼成，图中阴影矩形记为区域（包含边界）对于正方形边上的一点，若点在正方形内部且线段与区域有公共点，则称点是点的“盲点”．点的所有“盲点”组成的区域称为点的“盲区”，其面积记为．若点在线段上，且，则点的“盲区”的面积________（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】连接点与点并延长，交轴于点，即可得到点的“盲区”．利用待定系数法求出直线的解析式，进而得到点的坐标，最后使用割补法求出点的“盲区”的面积． 【详解】解：如图，阴影部分即为点的“盲区”， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴． 三、解答题 16．秤是我国传统的计重工具，方便了人们的生活．如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为（厘米）时，秤钩所挂物重为（斤），则是的一次函数．下表为若干次称重时所记录的一些数据． /厘米 1 2 4 7 11 12 /斤 0.75 1.00 2.00 2.25 3.25 3.50 (1)在上表，的数据中，发现有一对数据记录错误．请在图2中通过描点的方法，并用坐标的形式写出这组错误的数据． (2)求与之间的函数关系式． (3)当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重有多少斤？ 【答案】(1)；错误的数据坐标为 (2) (3)水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重为4.5斤 【分析】（1）利用描点法画出图形即可判断； （2）设函数关系式为，利用待定系数法解决问题即可； （3）根据（2）中求得的函数解析式，求出当时的函数值即可； 【详解】（1）略 （2）解：设与之间的函数关系式为（）， 将代入，可得， 解得， 与之间的函数关系式为． （3）解：将代入函数关系式，得． 答：水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重为4.5斤． 17．我市医药研究所研发了一种新药，在实验药效时发现，如果按指定剂量服用，每毫升血液中含药量（微克）随时间（时）的变化情况如图所示． (1)求与之间的函数表达式（）； (2)若每毫升血液中含药量为4微克及以上时治疗疾病才有效，求这个有效时长． 【答案】(1) (2)有效时长为5小时 【分析】（1）根据待定系数法求一次函数即可； （2）根据分段函数解析式以及点的纵坐标求出横坐标，进而求出有效时间即可． 【详解】（1）解：当时，设一次函数表达式， 将，分别代入（）， 可得， 解得， ； （2）解：当时，设一次函数， 将代入，可得，解得：， ， 当时，； 当时，， ， 有效时长为5小时． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于、两点，过点的另一条直线交轴正半轴于点，且点为线段的中点． (1)求出直线的函数解析式； (2)若点是直线上的动点，连接，且，求点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)D点坐标为或 【分析】（1）先利用解析式求出A点和B点坐标，再利用点C为线段的中点确定C点坐标，然后利用待定系数法求直线的解析式； （2）设，则根据三角形面积公式得到，然后解绝对值方程求出t，从而得到D点坐标． 【详解】（1）解：当时，， 解得， ∴， 当时，， ， ∵点C为线段的中点， ∴， 设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：设， ∵  ， ∴， 解得或， ∴D点坐标为或． 19．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，经过点的另一条直线交轴于点． (1)求直线的函数解析式； (2)点是线段上任意一点，连接，轴交直线于点，若的面积为9，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出点的坐标为，再利用待定系数法计算即可得出结果； （2）设点的坐标为，则点的坐标为，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：令，得， 解得， 点的坐标为． 设直线的函数解析式为， 将、代入得， 解得， 直线的函数解析式为． （2）解：设点的坐标为，则点的坐标为． 在中，当时，， 点的坐标为． ，，， ，，，则， ． ， ， ， 解得，则， 点的坐标为． 20．如图，直线的解析式为，且直线分别与轴，轴交于，两点，直线经过原点，并与直线相交于点，平分交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)求的值； (3)一次函数的图象为直线，且，，不能围成三角形，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为：或或 【分析】（1）根据在直线上求出，根据直线经过原点，可得是正比例函数，设的解析式为，把代入解出即可得直线的解析式． （2）过点作，根据角平分线性质得，根据直线分别与轴，轴交于，两点，求出，，进一步求出，，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出，，代入，计算即可得答案． （3）根据直线与 ，不能围成三角形，必须满足经过点或或，把代入解析式可解出，再根据两平行线的解析式比例系数相等，即可求出其它两种情况，综上所述即可得直线与 ，不能围成三角形时的值． 【详解】（1）解：∵点在直线：上， ∴，解得：， ∴， ∵直线经过原点， ∴可设直线的解析式为：， ∵直线与直线相交于点， ∴，解得：， ∴直线的解析式为． （2）解：如图， 过点作， ∵平分交轴于点，， ∴， ∵直线：分别与轴，轴交于，两点， ∴当时，；当时，，解得：， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∴． （3）解：∵直线：与 ，不能围成三角形， ∴：经过点或或， 当：经过点时，，解得：， ∴时，直线与 ，不能围成三角形． 当时， ∵直线：的比例系数， ∴的比例系数， ∴时，直线与 ，不能围成三角形． 当时， 由（1）得：直线的解析式为， ∴直线的比例系数， ∴的比例系数， ∴时，直线与 ，不能围成三角形． 综上所述，的值为或或时，直线与 ，不能围成三角形． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $