5.2 二元一次方程组的解法 暑假预科讲义 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 5.2二元一次方程组的解法 知识归纳与题型总结 考点01 代入消元法 1. 定义：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法． 2. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤 名称 具体做法 目的 注意事项 （1）变形 用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，得到变形的方程 变形为的形式 选系数简单的方程变形 （2）代入 把代入另一个没有变形的方程中 消去一个未知数，转化为一元一次方程 代入时要“只代不算” （3）求解 解代入后的一元一次方程 求出一个未知数的值 去括号时不漏乘，移项时要变号 （4）回代 把求得的未知数的值代入步骤（1）中变形后的方程中 求出另一个未知数的值 一般代入变形后的方程 （5）写出解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为的形式 要用大括号将x，y的值联立起来 考向01 代入消元法 【例1】用代入消元法解方程组较为简便的方法是（     ） A．先把变形 B．先把变形 C．可先把变形，也可先把变形 D．把同时变形 【答案】C 【分析】观察方程组未知数的系数，优先选择系数为的未知数所在方程变形． 【详解】解：方程中的系数为，可变形为，代入计算简便； 方程中的系数为，可变形为，代入计算简便， ∴先把变形或先把变形均较为简便． 【对点1】解方程组． 【答案】 【详解】解：方程组 整理得：， 由①得：， 代入②得：， 解得：， 将代入得：， ∴原方程组的解为 考点02 加减消元法 1. 定义：通过两式相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法． 2. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 名称 具体做法 目的 （1）变形 根据绝对值较小的未知数（同一个未知数）的系数的最小公倍数，用适当的数去乘方程的两边 使两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数 （2）加减 加减法消去系数相等或系数互为相反数的同一未知数 转化为一元一次方程 （3）求解 解消元后得到的一元一次方程 求出一个未知数的值 （4）回代 把求得的未知数的值代入方程组中某个较简单的方程中 求出另一个未知数的值 （5）写出解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为的形式 考向01 加减消元法 【例1】解下列方程组 【答案】 【详解】解： 由得， 把代入①得，，解得 ∴原方程组的解为． 【对点1】解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 整理得 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 整理得 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为． 考点03 换元法解二元一次方程组 把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，从而使问题简化，这叫做换元法． 例如解方程组时， 令， 原方程组可化为解得则解得 考向01 二元一次方程组的特殊解法 【例1】已知关于的二元一次方程组的解为，那么关于的二元一次方程组的解为__________ ． 【答案】 【分析】设，，对比两个方程组的结构，利用换元法得到关于的方程组，求解即可． 【详解】解：设，， 则方程组可化为方程组， ∵关于的二元一次方程组的解为， ∴关于的二元一次方程组的解为， ∴关于的二元一次方程组的解满足， 得，解得， 把代入①得，解得， ∴方程组的解为， ∴关于的二元一次方程组的解为． 考向02 二元一次方程组的错解复原问题 【例2】甲、乙两名同学在解方程组时，甲解题时看错了m，解得，乙解题时看错了n，解得，请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解． 【答案】 【分析】先根据甲的解求出的值，根据乙的解求出的值，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：由题意得：是方程的解，是方程的解， ∴，， 解得，， ∴原方程组为， ①②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， ∴原方程组的解为． 考向03 构造二元一次方程组求解 【例3】定义运算“*”，规定，其中a，b为常数，且，，则______． 【答案】 【分析】根据已知定义得出方程，，整理后得出关于a、b的方程组求出a、b的值，再根据定义得出算式，最后求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，解得， ∴， ∴． 考向04 已知二元一次方程组的解的情况求参数 【例4】已知关于、的二元一次方程组的解、是一对相反数，试求m的值． 【答案】的值为． 【分析】由与互为相反数得，代入原方程组即可求解． 【详解】解：、互为相反数， ． 将代入原方程组，得 整理得 把代入，得 ∴． 考向05 方程组相同解问题 【例5】已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】熟练掌握二元一次方程组的解的概念，解二元一次方程组，正确计算是解题的关键． （1）根据题意组成新的方程组，求解即可； （2）把（1）中、的值代入另两个方程得到关于、的方程组，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意联立得， 解得， 即两个方程组相同的解是； （2）把代入方程和中， 得， 解得， ∴． 【对点1】如果关于m，n的二元一次方程组的解是，那么关于x，y的二元一次方程组的解是什么？ 【答案】关于，的二元一次方程组的解为. 【分析】观察两组方程组形式完全一致，将整体替换m，整体替换n，代入已知解得到关于x、y的二元一次方程组，再联立加减消元算出x、y的值． 【详解】解：由方程组结构可得， 两式相加，，． 将代入，，． ∴关于x、y的二元一次方程组的解为． 【对点2】甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母看错了，得到了方程组的解为，乙把字母看错了，得到方程组的解为．求的值． 【答案】 【分析】甲看错但解满足含的方程，代入甲的解求，乙看错但解满足含的方程，代入乙的解求，最后代入计算的值即可． 【详解】解：由题意，得 把代入中，得， 解得， 把代入中，得， 解得， ． 【对点3】若，则___________． 【答案】9 【分析】先根据绝对值的非负性列出方程，求出和的值，再代入计算结果即可． 【详解】解：，，， ， 解得， 将，代入得：． 【对点4】若关于，的二元一次方程组的解满足，则常数的值是__________． 【答案】 【分析】将方程组两个方程相加，整理得到关于的表达式，代入已知条件，求解关于的一元一次方程即可． 【详解】解：， 得：， 整理得：， ∵， ∴， 等式两边同乘，得， 移项得， 解得：． 【对点5】已知关于x，y的方程组的解也是关于x，y的方程组的解，求m，n的值． 【答案】， 【分析】根据同解的性质，先求出两个方程组公共的的解，再代入得到关于的方程组，用消元法求解即可． 【详解】解： 得 ， 将代入原方程组含参数的方程，得 ， 解得 ． 一、选择题 1．已知，则的值为（     ） A． B．8 C． D．4 【答案】B 【分析】观察目标式与方程组的系数特征，将两方程直接相加即可求得结果． 【详解】解： ，得， 整理得：． 2．已知关于，的二元一次方程组的解中，均为整数，且为正整数，则的值为（     ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】先解关于，的二元一次方程组，把，用含的代数式表示为和，得是和的公约数，再结合为正整数求解． 【详解】解： 得：， ， 把代入得：， ，均为整数， 是和的公约数， 或， 为正整数， 符合条件的只有， 解得， ． 3．已知a、b满足方程组 ，则的值为（     ） A．－3 B．3 C．－4 D．4 【答案】B 【分析】将方程组两式相加得到，利用其与所求式的相反数关系求解. 【详解】解：， 两式相加得， ∴. 4．当时，，当时，，则（     ） A．9 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】将和分别代入原式，化简后将两式相加可消去含的项，直接求解即可． 【详解】解：∵当时，， ∴，整理得 ①， ∵当时，， ∴，整理得②， ∴，得， ∴． 5．若方程组的解是，则方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把第二个方程组的两个方程的两边都乘以5得到方程组，根据方程组的解得到方程组的解满足的条件，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，即 ∵方程组的解是， ∴方程组的解满足， ∴． 6．如果是的解，那么p，q的关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将代入原方程组，得， 由得，， 由得，， 由得，． 7．关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解方程组，用含的代数式表示出，，根据方程组的解满足，得出关于的方程，解方程求出的值即可． 【详解】解： ①+②得，，即， ①②得，，即， ∵关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解， ∴， 解得：． 8．我们知道方程组的解是，现给出另一个方程组，则它的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将与看作整体，对应原方程组的未知数，利用已知解列方程组求解． 【详解】解：∵新方程组与原方程组结构相同， ∴ ， 解得． 9．有两类正方形、，其边长分别为、，现将放在的内部得图1，将、并列放置后构造新的正方形得图2，图1和图2中阴影部分的面积分别为4和70．若将两个正方形和两个正方形如图3摆放，则阴影部分的面积为（     ） A．61 B．76 C．80 D．144 【答案】C 【分析】根据图1和图2中阴影部分的面积得到，则可推出，，进而推出，据此构成方程组求出a、b的值，再计算图3中阴影部分的面积即可． 【详解】解：由题意得，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 联立①②可解得， ∴图3中的阴影部分的面积 ． 10．已知关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用整体换元的思想，将待解方程组变形为与已知方程组结构相同的形式，再利用已知方程组的解得到新的方程，即可求解. 【详解】解：首先整理待解方程组：，将方程组变形得：， ∵已知原方程组的解是 ∴可得，解第一个方程得，即，解第二个方程得， ∴待解方程组的解为，对应选项C． 二、填空题 11．已知关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是_____． 【答案】 【分析】利用换元法将待解方程组转化为与已知结构相同的方程组，结合已知解求解新方程组． 【详解】解：设，， 则方程组可化为， ∵已知方程组的解是， ∴代入换元关系式得， 解得． 12．若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则________． 【答案】 【分析】先求解关于，的二元一次方程组，得到用表示的和，再代入即可求出的值． 【详解】解：， 两式相加得， 解得：， 将代入，得， 即方程组的解为，将其代入， 得，化简得， 解得：． 13．如果关于x，y的方程组的解满足，则k的值为______． 【答案】 9 【分析】将方程组两个方程相加，可直接得到关于的表达式，结合已知条件即可求出的值． 【详解】解：， 得，， ∵方程组的解满足， ∴， 解得． 14．已知方程组的解x、y之和为2，则__． 【答案】 【分析】已知方程组的解满足，结合第一个方程可先求出和的值，再代入第二个方程计算求出． 【详解】解：由题意得：方程， 将代入方程得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， 再把、代入方程得：， 解得：． 15．对于任意一个实数x，我们用表示小于x的最大整数．例如：．若a，b都是整数，且；则的平方根是______． 【答案】 【分析】根据的定义，为整数时可得到，，据此列出方程组求解，再代入计算的平方根即可. 【详解】解：是整数，表示小于的最大整数， ， 又， 同理， 整理①得， 代入②得， 解得， 将代入，得， ， ∴的平方根是. 三、解答题 16．解方程组： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 由②，得 把③代入①，得 解得 把代入③，得 故原方程组的解为 （2）解： ，得 ，得 ，得 把代入①，得 解得 故原方程组的解为 17．下面是颖颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务： 解方程组： 解：，得③第一步； ，得．第二步 将代入①，得．第三步 所以，原方程组的解为．第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_______；以上求解步骤中，第一步的依据是_______； (2)第_______步开始出现错误，具体错误是_________； (3)求出该方程组的正确解． 【答案】(1)加减消元法；等式的基本性质2 (2)解：二，合并同类项计算错误 (3) 【分析】（1）根据等式的性质及加减消元法的概念即可得出答案； （2）根据解方程的方法即可得出答案； （3）根据，求出的值再代入①即可得出答案． 【详解】（1）解：这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，以上求解步骤中，第一步的依据是等式的基本性质2； （2）略 （3）解：，得 ③ ，得 整理可得 将代入①，得 解得 ∴原方程组的解为 18．解方程组： 【答案】 【详解】解： 得，， 解得， 把代入①得， 解得， ∴ 19．已知方程组的解和方程组的解相同，求的值． 【答案】 【分析】联立两方程组中不含a与b的方程组成新的方程组，求出新方程组的解得到x与y的值，代入剩下的方程构成方程组求出的值，即可求出原式的值． 【详解】解：联立得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴， 把代入，得， 把代入，得， 联立， 得：， ∴． 20．若m满足关系式，试确定m的值． 【答案】 【分析】先根据被开方数非负求出的值，再根据非负数和为零的性质列方程组求解． 【详解】解：根据题意得 整理得 因此 将代入原等式右边，得 原等式化为 ∴ 解得： 又 ∴ 解得． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 5.2二元一次方程组的解法 知识归纳与题型总结 考点01 代入消元法 1. 定义：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法． 2. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤 名称 具体做法 目的 注意事项 （1）变形 用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，得到变形的方程 变形为的形式 选系数简单的方程变形 （2）代入 把代入另一个没有变形的方程中 消去一个未知数，转化为一元一次方程 代入时要“只代不算” （3）求解 解代入后的一元一次方程 求出一个未知数的值 去括号时不漏乘，移项时要变号 （4）回代 把求得的未知数的值代入步骤（1）中变形后的方程中 求出另一个未知数的值 一般代入变形后的方程 （5）写出解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为的形式 要用大括号将x，y的值联立起来 考向01 代入消元法 【例1】用代入消元法解方程组较为简便的方法是（     ） A．先把变形 B．先把变形 C．可先把变形，也可先把变形 D．把同时变形 【对点1】解方程组． 考点02 加减消元法 1. 定义：通过两式相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法． 2. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 名称 具体做法 目的 （1）变形 根据绝对值较小的未知数（同一个未知数）的系数的最小公倍数，用适当的数去乘方程的两边 使两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数 （2）加减 加减法消去系数相等或系数互为相反数的同一未知数 转化为一元一次方程 （3）求解 解消元后得到的一元一次方程 求出一个未知数的值 （4）回代 把求得的未知数的值代入方程组中某个较简单的方程中 求出另一个未知数的值 （5）写出解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为的形式 考向01 加减消元法 【例1】解下列方程组 【对点1】解方程组 (1) (2) 考点03 换元法解二元一次方程组 把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，从而使问题简化，这叫做换元法． 例如解方程组时， 令， 原方程组可化为解得则解得 考向01 二元一次方程组的特殊解法 【例1】已知关于的二元一次方程组的解为，那么关于的二元一次方程组的解为__________ ． 考向02 二元一次方程组的错解复原问题 【例2】甲、乙两名同学在解方程组时，甲解题时看错了m，解得，乙解题时看错了n，解得，请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解． 考向03 构造二元一次方程组求解 【例3】定义运算“*”，规定，其中a，b为常数，且，，则______． 考向04 已知二元一次方程组的解的情况求参数 【例4】已知关于、的二元一次方程组的解、是一对相反数，试求m的值． 考向05 方程组相同解问题 【例5】已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解． (2)求的值． 【对点1】如果关于m，n的二元一次方程组的解是，那么关于x，y的二元一次方程组的解是什么？ 【对点2】甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母看错了，得到了方程组的解为，乙把字母看错了，得到方程组的解为．求的值． 【对点3】若，则___________． 【对点4】若关于，的二元一次方程组的解满足，则常数的值是__________． 【对点5】已知关于x，y的方程组的解也是关于x，y的方程组的解，求m，n的值． 一、选择题 1．已知，则的值为（     ） A． B．8 C． D．4 2．已知关于，的二元一次方程组的解中，均为整数，且为正整数，则的值为（     ） A．或 B． C．或 D． 3．已知a、b满足方程组 ，则的值为（     ） A．－3 B．3 C．－4 D．4 4．当时，，当时，，则（     ） A．9 B．1 C． D． 5．若方程组的解是，则方程组的解是（     ） A． B． C． D． 6．如果是的解，那么p，q的关系是（     ） A． B． C． D． 7．关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值是（     ） A． B． C． D． 8．我们知道方程组的解是，现给出另一个方程组，则它的解是（     ） A． B． C． D． 9．有两类正方形、，其边长分别为、，现将放在的内部得图1，将、并列放置后构造新的正方形得图2，图1和图2中阴影部分的面积分别为4和70．若将两个正方形和两个正方形如图3摆放，则阴影部分的面积为（     ） A．61 B．76 C．80 D．144 10．已知关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是_____． 12．若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则________． 13．如果关于x，y的方程组的解满足，则k的值为______． 14．已知方程组的解x、y之和为2，则__． 15．对于任意一个实数x，我们用表示小于x的最大整数．例如：．若a，b都是整数，且；则的平方根是______． 三、解答题 16．解方程组： (1)． (2) 17．下面是颖颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务： 解方程组： 解：，得③第一步； ，得．第二步 将代入①，得．第三步 所以，原方程组的解为．第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_______；以上求解步骤中，第一步的依据是_______； (2)第_______步开始出现错误，具体错误是_________； (3)求出该方程组的正确解． 18．解方程组： 19．已知方程组的解和方程组的解相同，求的值． 20．若m满足关系式，试确定m的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $