4.4 一次函数的应用 暑假预科讲义 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 4.4一次函数的应用 知识归纳与题型总结 考点01 一次函数的应用 1．判断等量关系为一次函数的情况： （1）函数图象是直线（或直线的一部分）； （2）用表格呈现数据时：当自变量的变化值均匀时，函数的变化值也是均匀的，而且当自变量的变化值为1时，函数的变化值就是自变量的系数； （3）用语言呈现数据时：当自变量每变化1个单位时，因变量就相应变化个单位． 2．常见类型： （1）最优方案或方案选择问题：常通过比价函数值的大小关系确定方案； （2）利润最大或费用最少问题：通过函数增减性确定最值． 注意：根据实际情况确定变量的取值范围． 考向01 分配方案问题 【例1】某外卖平台招聘外卖骑手，并提供了如下两种月工资方案： 方案一：每月底薪1500元，每完成一单外卖业务再提成3元． 方案二：每月无底薪，每完成一单外卖业务提成6元． 设骑手每月完成的外卖业务量为单（为正整数），方案一，方案二中骑手的月工资分别为元，元． (1)分别写出，关于的函数解析式； (2)若李明是此外卖平台的一名骑手，从月工资收入的角度考虑，他应该选择哪种月工资方案？说明理由． 考向02 最大利润问题 【例2】呼和浩特被誉为“中国乳都”，以乳业为发展引擎，凭借优质乳业书写城市传奇、铸就辉煌．其中牛奶贝因其味道醇美且容易携带而深受外地游客欢迎．某特产店销售、两款牛奶贝，结合材料解决问题 内容 材料一 某特产店购进，两款牛奶贝进行销售，、两款牛奶贝的售价分别为32元/袋和25元/袋，款牛奶贝的进价为22元/袋，款牛奶贝的进货总金额y（单位：元）与款牛奶贝的进货量x（单位：袋）之间的关系如图所示． 材料二 为了满足市场需求，七月份该特产店计划采购这两款牛奶贝共1000袋，其中款牛奶贝的进货量不低于300袋，且不高于600袋． 任务： (1)求y关于x的函数解析式． (2)若采购的所有牛奶贝能全部售出，设销售完、两款牛奶贝获总利润为（单位：元），请求出关于x的函数解析式，并为该特产店设计出获得最大总利润的进货方案． 考向03 行程问题 【例3】甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图像． (1)，； (2)求甲车休息后行驶路程y（km）与时间x（h）的函数解析式； (3)在乙车行驶过程中，当两车之间的距离为50km时，直接写出x的值． 考向04 梯度计价问题 【例4】为了鼓励市民节约用水，某地区采用分档计费的方式计算水费．下表是根据户年用水量进行分档计费的标准： 户年用水量（） 水费单价（元/） 不超过的部分 超过的部分 已知A户去年的户年用水量为，去年整年的水费是元，设户年用水量为（），整年的水费为（元）． (1)的值为________； (2)求关于的函数解析式； (3)已知B户去年整年的水费是元，求B户去年的户年用水量． 考向05 一次函数与几何综合 【例5】在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象过点，与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，求点A的坐标． 考向06 已知直线与坐标轴交点求方程的解 【例6】如图是一次函数的图象，则关于的方程的解为__________． 考向07 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【例7】若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 考向08 利用图象法解一元一次方程 【例8】在平面直角坐标系中，一次函数，均为常数）与正比例函数（为常数）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ）． A． B． C． D． 【对点1】A城有肥料，B城有肥料．现要把这些肥料全部运往C、D两乡．从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/和25元/；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/和24元/．现C乡需要肥料，D乡需要肥料．若从A城运往C乡的肥料为，总运费为元． (1)用含的代数式表示从A城运往D乡的肥料； (2)写出总运费与之间的函数关系式；并写出的取值范围． (3)怎样调运可使总运费最少？ 【对点2】随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，同学们的运动热情被充分激发．某商场体育用品需求量微增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共100个，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表．设该商场采购个篮球，其中． 品名 厂家批发价（元/个） 商场零售价（元/个） 篮球 120 145 足球 100 120 (1)求该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式； (2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； (3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时足球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元，求的值． 【对点3】周末，小明去图书馆看书，爸爸回家后发现未带钥匙，于是打电话让小明回家，同时，爸爸骑车沿同一路线去接小明，小明见到爸爸后继续以原速度步行回家，爸爸拿到钥匙后立即以原速度返回．已知两人和家的距离（米）与各自所用的时间（分钟）之间的关系如图所示． (1)家和图书馆的距离为 　　米，　　； (2)求出点的坐标，并写出点所表达的实际意义； (3)求出爸爸离家的路程关于时间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (4)爸爸到家时，小明离家还有多远？ 【对点4】出租车起步价为16元，超过3千米后，每千米3元，已知乘坐的里程数为千米（），对应支付的价格为元，求与的函数解析式___________； 【对点5】如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以、为边在第一象限内作长方形． (1)求点A、C的坐标； (2)如图②，将对折，使得点A与点C重合，折痕交于点D，求直线的解析式． 【对点6】在平面直角坐标系中，一次函数是常数，的图象如图所示，则下列说法中错误的是（     ） A． B．若点在该一次函数图象上，则关于的方程的解为 C．将该一次函数图象向下平移个单位长度后，所得函数为正比例函数 D．若点和点是该一次函数图象上的点，则 【对点7】关于函数，下列结论正确的是（    ） A．图象必经过 B．图象经过第一、三、四象限 C．当时， D．y随x的增大而增大 【对点8】学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象，进而研究函数的性质．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． … … … … (1)表中 ， ． (2)在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象． (3)根据（2）中的图象，探究该函数的性质： ①该函数的最大值为 ； ②若方程有两个解，则的取值范围是 ； ③请你再写出一条该函数的性质． 一、选择题 1．为增强居民的节水意识，某市自来水公司实行以户为单位的阶梯水价收费制度．如图是该公司绘制的用户当月水费y（单位：元）与当月用水量x（单位：）之间的函数图象；则下列说法正确的是（     ） A．若小王家某月用水，则当月水费为20元 B．若小王家某月水费为45元，则当月用水量为 C．若当月用水，则当月水费45元 D．若当月用水超过，则每多用水，当月水费就多4元 2．如图，这是某公司年至年研发经费投入额（单位：亿元）的折线图．为了预测该公司年的研发经费投入额，建立了与时间变量的两个一次函数模型．根据年、年的数据（时间变量的值依次为，，…，）建立模型①：．根据年、年的数据（时间变量的值依次为，，…，）建立模型②：．根据这两个模型，计算该公司年的研发经费投入额的预测值，下列方法更可靠的是（     ） A．将代入模型①计算 B．将代入模型②计算 C．将代入模型①计算 D．将代入模型②计算 3．永州市内货摩（运货的摩托）的运输价格为：2千米内运费5元；路程超过2千米的，每超过1千米增加运费1元，那么运费y元与运输路程x千米的函数图象是（     ） A． B． C． D． 4．如图，一次函数的图象经过点，，则的面积为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图①，为内蒙古首条穿沙公路（锡乌公路），其在库布齐沙漠段几十公里几乎无弯道．一辆客车和一辆货车恰好分别从该公路的A，B两地同时出发相向而行．客车、货车离A地的距离，（单位：）与出发时间x（单位：h）之间的函数关系如图②所示，则点P的横坐标为（     ） A． B． C． D． 6．文具店出售定制笔记本，收费方式为固定制版费与每本印刷费的和．已知定制10本笔记本时，总费用为55元；定制20本时，总费用为105元．设定制笔记本数量为x本（x为正整数），总费用为y元，下列关于y与x的函数解析式正确的是（    ） A． B． C． D． 7．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，且甲车的速度比乙车快．两车相遇时原地休息了，又各自按原速前往目的地．甲、乙两车之间的距离与乙所用时间之间的函数关系如图所示，下列结论不正确的是（     ） A．A、B之间的距离为 B．的值为 C．甲行驶的速度是乙的倍 D．的值为 8．漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小亮同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位（）与时间（）满足函数关系．水位（）与时间（）的实验数据如下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 … （） 0 2 4 6 … （） 2 2.8 3.6 4.4 … 下列说法错误的是（     ） A．在实验开始时，水位是 B．与成一次函数关系 C．第7次数据记录时，水位应为 D．当水位为时，对应实验的时间是 9．如图，在中，，，点在边上，且，为的中点，为上的动点，当四边形周长最小时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 10．姐弟两人一起去离家的图书馆，在图书馆阅读后原路返回．姐姐以的速度直接回家，弟弟在返回途中在离家的文具超市停留．设弟弟从家出发到返回家中所用时间为（），离家的距离为（），与的函数图象如图所示．当姐弟两人在返回途中相距时，时间的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．在弹性限度内，某弹簧最多可挂质量为的物体，弹簧长度（单位：）与所挂物体质量（单位：）之间的函数表达式为．若挂物体时弹簧的长度为，则挂物体时弹簧的长度为______． 12．如图，直线的函数表达式为，在直线上顺次取点，构成形如“”的图形的阴影部分面积分别表示为，则_______． 13．小明步行从家去学校，走到分钟时，发现数学作业忘在了家里，于是以原速的倍回家取，然后从家乘出租车赶往学校（拿作业及等出租车的时间忽略不计），结果比预计步行时间提前了分钟．小明离家路程（米）与时间（分钟）之间的函数图象如图，那么从小明家到学校的路程是______米． 14．声音的传播速度与温度的关系如下表： 0 1 2 … 331 331.6 332.2 … 则与的函数关系式为________________． 15．如图是某电信公司提供的，两种方案的通讯费用（元）与通话时间之间关系的图象．有下列结论：①若通话时间少于，则方案比方案便宜元；②若通话时间超过，则方案比方案便宜元；③若两种方案通讯费用相差元，则通话时间是或．其中正确的是______．（填序号） 三、解答题 16．函数的图象记为，当与轴存在两个交点时，设交点为和（点在点的左侧）， (1)当时，直接写出与的函数的关系式； (2)当时，求出点和点的坐标； (3)当在小于等于0的部分的最高点到轴的距离为3时，求的值； (4)点的坐标为，点的坐标为，当与线段有且仅有一个公共点时，直接写出的取值范围． 17．疫情防控不能放松，佩戴口罩是个人防护的重要措施．小明妈妈准备去药店购买一些口罩，现了解到甲、乙两个药店均有销售，标价均为1元/个．甲店的优惠方案：购买10个以上，从第11个开始按标价的七折销售．乙店的优惠方案：一律按标价的八五折销售． (1)若小明妈妈准备购买20个口罩，到哪个药店购买更省钱？ (2)求在甲、乙两个药店中，分别应付的金额（元）、（元）与购买口罩数个之间的函数关系式． (3)若小明妈妈现有24元，最多可购买多少个口罩？ 18．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，B、C两点分别在x轴、直线上运动．若以为直角边的为等腰直角三角形，求点C的坐标． 19．在一条笔直的公路上依次有A、C、B三地，已知A、B两地相距，一辆货车从A地出发经C地匀速驶往B地，途中在C地装载货物停留一段时间．一辆轿车沿同一条公路从B地出发经C地前往A地，到达A地后（在A地停留时间不计）立即原路原速返回．如图是两车距B地的距离与货车行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)求图中m的值及轿车的速度； (2)求货车从A地前往B地的过程中，货车距B地的距离与行驶时间之间的函数关系式； (3)求出轿车行驶过程中，能否与货车同时到达B地？ 20．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A，点B，且． (1)求k的值； (2)若点C为线段上一点，连接，将沿着折叠，使点B落在x轴的点处，求点C的坐标； (3)如图2，作，点E为直线上一动点，点F为y轴上一动点，是否存在以O，E，F为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 4.4一次函数的应用 知识归纳与题型总结 考点01 一次函数的应用 1．判断等量关系为一次函数的情况： （1）函数图象是直线（或直线的一部分）； （2）用表格呈现数据时：当自变量的变化值均匀时，函数的变化值也是均匀的，而且当自变量的变化值为1时，函数的变化值就是自变量的系数； （3）用语言呈现数据时：当自变量每变化1个单位时，因变量就相应变化个单位． 2．常见类型： （1）最优方案或方案选择问题：常通过比价函数值的大小关系确定方案； （2）利润最大或费用最少问题：通过函数增减性确定最值． 注意：根据实际情况确定变量的取值范围． 考向01 分配方案问题 【例1】某外卖平台招聘外卖骑手，并提供了如下两种月工资方案： 方案一：每月底薪1500元，每完成一单外卖业务再提成3元． 方案二：每月无底薪，每完成一单外卖业务提成6元． 设骑手每月完成的外卖业务量为单（为正整数），方案一，方案二中骑手的月工资分别为元，元． (1)分别写出，关于的函数解析式； (2)若李明是此外卖平台的一名骑手，从月工资收入的角度考虑，他应该选择哪种月工资方案？说明理由． 【答案】(1)（x为正整数），（x为正整数） (2)每月完成订单不足单选方案一；每月恰好完成单，两种方案均可；每月完成订单超过单选方案二．理由如下: ①当时，，解得， ∴当月完成订单数量小于单时，方案一月工资更高． ②当时，，解得， ∴当月完成单时，两种方案月工资相等． ③当时，，解得， ∴当月完成订单数量大于单时，方案二月工资更高． 【分析】（1）根据两种工资方案的底薪、提成规则，直接列出，关于的函数解析式； （2）分别列出、、三种关系式求解即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，得关于的函数解析式为（为正整数）， 关于的函数解析式为（为正整数）； （2）略 考向02 最大利润问题 【例2】呼和浩特被誉为“中国乳都”，以乳业为发展引擎，凭借优质乳业书写城市传奇、铸就辉煌．其中牛奶贝因其味道醇美且容易携带而深受外地游客欢迎．某特产店销售、两款牛奶贝，结合材料解决问题 内容 材料一 某特产店购进，两款牛奶贝进行销售，、两款牛奶贝的售价分别为32元/袋和25元/袋，款牛奶贝的进价为22元/袋，款牛奶贝的进货总金额y（单位：元）与款牛奶贝的进货量x（单位：袋）之间的关系如图所示． 材料二 为了满足市场需求，七月份该特产店计划采购这两款牛奶贝共1000袋，其中款牛奶贝的进货量不低于300袋，且不高于600袋． 任务： (1)求y关于x的函数解析式． (2)若采购的所有牛奶贝能全部售出，设销售完、两款牛奶贝获总利润为（单位：元），请求出关于x的函数解析式，并为该特产店设计出获得最大总利润的进货方案． 【答案】(1) (2)，进款牛奶贝300袋，款牛奶贝700袋，该特产店能获得最大利润 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）根据题意得款牛奶贝的进货量为袋，根据题意列出w与x之间的函数关系式，根据一次函数的性质求最大值即可． 【详解】（1）解：设函数解析式为， 由图可知直线穿过原点，当时，， 可得， 解得， 所以y关于x的函数解析式为； （2）解：由材料2可得， ， 化简得， ∵， ∴随增大而减小， ∴当时，有最大值为8500， 答：进款牛奶贝300袋，款牛奶贝700袋，该特产店能获得最大利润． 考向03 行程问题 【例3】甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图像． (1)，； (2)求甲车休息后行驶路程y（km）与时间x（h）的函数解析式； (3)在乙车行驶过程中，当两车之间的距离为50km时，直接写出x的值． 【答案】(1)1，40 (2) (3)， 【分析】（1）结合题意，观察图象，根据路程、速度、时间的数量关系确定结果； （2）用待定系数法求函数解析式； （3）先求出乙车的函数解析式，再根据甲乙之间距离为50km，列方程求出x的值． 【详解】（1）解：∵甲车途中休息了0.5h， ∴， 观察图象可知，甲车的行驶速度为：， 当时间时，行驶的路程为：； （2）解：观察图象可知，甲车休息后行驶路程y（km）与时间x（h）满足一次函数关系， 设， 将、代入得， 解得， ∴； （3）解：设， 将、代入得， 解得， ∴； ， 化简得， 解得，． 考向04 梯度计价问题 【例4】为了鼓励市民节约用水，某地区采用分档计费的方式计算水费．下表是根据户年用水量进行分档计费的标准： 户年用水量（） 水费单价（元/） 不超过的部分 超过的部分 已知A户去年的户年用水量为，去年整年的水费是元，设户年用水量为（），整年的水费为（元）． (1)的值为________； (2)求关于的函数解析式； (3)已知B户去年整年的水费是元，求B户去年的户年用水量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据A户去年的户年用水量为小于进行计算即可； （2）分情况讨论进行求解即可； （3）先算出B户去年的户年用水量大于，据此计算即可． 【详解】（1）解：∵A户去年的户年用水量为， ∴，解得； （2）解：当时， 关于的函数解析式为， 当时，关于的函数解析式为， 关于的函数解析式为； （3）解：当时，， 户去年的户年用水量大于， 将代入，得， 解得． 答：B户去年的户年用水量为． 考向05 一次函数与几何综合 【例5】在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象过点，与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，求点A的坐标． 【答案】点的坐标为或 【分析】将代入得出，从而可得一次函数的解析式为，求出，，再结合，分情况讨论即可得出结果 【详解】解：∵一次函数的图象过点， ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为， 当时，，即， 当时，，解得，即， ∴，， ∵， ∴， 当时，，解得，此时不符合题意，舍去， 当时，，解得，此时，即， 当时，，解得，此时，即， 综上所述，点的坐标为或． 考向06 已知直线与坐标轴交点求方程的解 【例6】如图是一次函数的图象，则关于的方程的解为__________． 【答案】 【分析】一次函数的图象与x轴交点横坐标的值即为方程的解． 【详解】解：∵一次函数的图象与x轴相交于点， ∴关于x的方程的解是． 考向07 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【例7】若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，一元一次方程的解，对应直线中时的值，据此可确定直线经过的点． 【详解】解：方程的解是， 当时，， 直线一定经过点． 考向08 利用图象法解一元一次方程 【例8】在平面直角坐标系中，一次函数，均为常数）与正比例函数（为常数）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对方程变形，整理得；方程的解，就是直线与直线交点的横坐标，结合图象交点坐标即可求解． 【详解】解：对方程移项变形： ， 方程的几何意义：正比例函数与一次函数的函数值相等． 由图象可知，直线和的交点坐标为，交点横坐标为． 因此方程的解为． 【对点1】A城有肥料，B城有肥料．现要把这些肥料全部运往C、D两乡．从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/和25元/；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/和24元/．现C乡需要肥料，D乡需要肥料．若从A城运往C乡的肥料为，总运费为元． (1)用含的代数式表示从A城运往D乡的肥料； (2)写出总运费与之间的函数关系式；并写出的取值范围． (3)怎样调运可使总运费最少？ 【答案】(1) (2) (3)从A城运往C乡，运往D乡，从B城运往C乡，运往D乡时，总运费最少，最少为10040元 【分析】（1）用A城的肥料减去A城运往C乡的肥料即可得到答案； （2）分别表示出从B城运往C乡的肥料和从B城运往D乡的肥料，然后分别计算对应的运费，求和即可得到答案； （3）根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：从A城运往D乡的肥料为； （2）解：从B城运往C乡的肥料为， 从B城运往D乡的肥料为， ∴ （3）解：的一次项系数为， 随的增大而增大，    又 当取最小值0时，取得最小值，最小值为（元）， 此时， 答：从A城运往C乡，运往D乡，从B城运往C乡，运往D乡时，总运费最少，最少为10040元． 【对点2】随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，同学们的运动热情被充分激发．某商场体育用品需求量微增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共100个，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表．设该商场采购个篮球，其中． 品名 厂家批发价（元/个） 商场零售价（元/个） 篮球 120 145 足球 100 120 (1)求该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式； (2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； (3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时足球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元，求的值． 【答案】(1) (2)2300元 (3) 【分析】（1）根据题意列函数解析式即可； （2）设商场能获得的利润为w元，根据题意，列出函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可； （3）设利润为W元，根据题意，列出函数关系式，分三种情况，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 即该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式为； （2）解：设商场能获得的利润为w元，根据题意得： ， ∵， ∴w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为， 即商场能获得的最大利润为2300元； （3）解：设利润为W元，根据题意得： ， 当，即时，W随x的增大而增大， ∵， ∴当时，W取得最小值， ∵将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元， ∴， 解得：，不符合题意，舍去； 当，即时，，不符合题意，舍去； 当，即时，W随x的增大而减小， ∵， ∴当时，W取得最小值， ∵将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元， ∴， 解得：； 综上所述，m的值为． 【对点3】周末，小明去图书馆看书，爸爸回家后发现未带钥匙，于是打电话让小明回家，同时，爸爸骑车沿同一路线去接小明，小明见到爸爸后继续以原速度步行回家，爸爸拿到钥匙后立即以原速度返回．已知两人和家的距离（米）与各自所用的时间（分钟）之间的关系如图所示． (1)家和图书馆的距离为 　　米，　　； (2)求出点的坐标，并写出点所表达的实际意义； (3)求出爸爸离家的路程关于时间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (4)爸爸到家时，小明离家还有多远？ 【答案】(1)3000，24 (2)，点所表达的实际意义是出发12分钟时，小明和爸爸在离家1800米处相遇 (3) (4)爸爸到家时，小明离家还有600米 【分析】（1）根据图象直接求解即可； （2）先求出小明的速度，然后结合图象得出，即可确定点的坐标，再写出表示的实际意义即可； （3）根据题意得出爸爸的速度是（米分钟），然后分两段时间写出函数关系式即可； （4）根据题意直接计算即可． 【详解】（1）解：由图象可知：家和图书馆的距离为3000米，， （2）小明的速度为：（米分钟）， ， 点的坐标为， 点所表达的实际意义是出发12分钟时，小明和爸爸在离家1800米处相遇； （3）， 爸爸的速度是（米分钟）， 当时，， 当时，， ； （4）爸爸到家时，小明离家还有（米， 答：爸爸到家时，小明离家还有600米． 【对点4】出租车起步价为16元，超过3千米后，每千米3元，已知乘坐的里程数为千米（），对应支付的价格为元，求与的函数解析式___________； 【答案】 【分析】当时，总车费等于起步价加上超过3千米部分的费用，根据该数量关系列式化简，即可得到函数解析式． 【详解】解： 由题意可知，起步价为16元，超过3千米后每千米收费3元， 超过3千米的里程为千米， 超过部分的费用为元， 总费用等于起步价加上超过部分的费用， ∴ ， 化简得： ， 因此函数解析式为． 【对点5】如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以、为边在第一象限内作长方形． (1)求点A、C的坐标； (2)如图②，将对折，使得点A与点C重合，折痕交于点D，求直线的解析式． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）直线与轴交点的纵坐标为，与轴交点的横坐标为，代入计算即可； （2）由题意可知的横坐标为，设，由折叠的性质可知，根据勾股定理得到，即，设直线解析式为，根据待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：令，得，解得，即； 令，得，即； （2）解：∵是长方形，在边上， ∴的横坐标为， 设， 由折叠的性质可知， ∵，， ∴， 即， 解得， 即， 设直线解析式为， 代入、得， 解得， 即直线解析式为． 【对点6】在平面直角坐标系中，一次函数是常数，的图象如图所示，则下列说法中错误的是（     ） A． B．若点在该一次函数图象上，则关于的方程的解为 C．将该一次函数图象向下平移个单位长度后，所得函数为正比例函数 D．若点和点是该一次函数图象上的点，则 【答案】D 【分析】根据一次函数图象在坐标系中的位置判断 、 的符号，利用一次函数的性质及图象平移规律逐一判断即可. 【详解】 解：由图象可知，直线过一，二，四象限， ，故A选项说法正确； 若点 在图象上，则当时，，即的解为，故B选项说法正确； 将向下平移个单位长度得，是正比例函数，故C选项说法正确； ， 随 的增大而减小， ， ，故D选项说法错误. 【对点7】关于函数，下列结论正确的是（    ） A．图象必经过 B．图象经过第一、三、四象限 C．当时， D．y随x的增大而增大 【答案】C 【详解】解： A．当时， ，图象不经过，错误． D．函数中，，y随x的增大而减小，错误． B．，，图象经过第一、二、四象限，错误． C．令，得，∵y随x的增大而减小，∴当时，，正确． 【对点8】学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象，进而研究函数的性质．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． … … … … (1)表中 ， ． (2)在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象． (3)根据（2）中的图象，探究该函数的性质： ①该函数的最大值为 ； ②若方程有两个解，则的取值范围是 ； ③请你再写出一条该函数的性质． 【答案】(1)； (2)如图所示． (3)①；②；③关于轴对称．（答案不唯一） 【分析】（1）将和代入函数关系式，即可求出、的值； （2）描出表中各组对应值为坐标的点，即可画出函数图象； （3）结合函数图象直接作答即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，； （2）略 （3）解：①由函数图象可知，该函数的最大值为1； ②方程有两个解， 函数的图象与直线有两个交点， 的取值范围是； ③关于轴对称．（答案不唯一）． 一、选择题 1．为增强居民的节水意识，某市自来水公司实行以户为单位的阶梯水价收费制度．如图是该公司绘制的用户当月水费y（单位：元）与当月用水量x（单位：）之间的函数图象；则下列说法正确的是（     ） A．若小王家某月用水，则当月水费为20元 B．若小王家某月水费为45元，则当月用水量为 C．若当月用水，则当月水费45元 D．若当月用水超过，则每多用水，当月水费就多4元 【答案】B 【分析】利用待定系数法求出函数解析式，再逐项判断，即可． 【详解】解：当时，设当月水费（单位：元）与当月用水量（单位：）之间的函数关系式为， 把点代入得，解得：， ∴当时，当月水费（单位：元）与当月用水量（单位：）之间的函数关系式为， 当时，同理当月水费（单位：元）与当月用水量（单位：）之间的函数关系式为， 当时，，即小王家某月用水，则当月水费为24元，故A选项错误； 当时，，解得：， 即小王家某月水费为45元，则当月用水量为，故B选项正确；C选项错误； ∵， ∴当月用水超过，则每多用水，当月水费就多5元，故D选项错误． 2．如图，这是某公司年至年研发经费投入额（单位：亿元）的折线图．为了预测该公司年的研发经费投入额，建立了与时间变量的两个一次函数模型．根据年、年的数据（时间变量的值依次为，，…，）建立模型①：．根据年、年的数据（时间变量的值依次为，，…，）建立模型②：．根据这两个模型，计算该公司年的研发经费投入额的预测值，下列方法更可靠的是（     ） A．将代入模型①计算 B．将代入模型②计算 C．将代入模型①计算 D．将代入模型②计算 【答案】D 【分析】先确定模型中年对应的值，模型①以年为，得；模型②以年为，得，再结合折线图趋势，年后增长模式改变，模型②基于后期数据更贴合实际，因此应将代入模型②计算． 【详解】解：模型①中，年对应， 年份对应的， 年对应， 但模型①是用年和年的两端数据建立，没有贴合后期的增长趋势，预测不可靠． 对于模型②，年对应， 年份对应的， 年对应， 结合折线图趋势，年之后研发经费投入的增长模式发生了变化，使用模型②更符合后期的增长趋势， 用模型②预测年更可靠，需要将代入模型②计算． 3．永州市内货摩（运货的摩托）的运输价格为：2千米内运费5元；路程超过2千米的，每超过1千米增加运费1元，那么运费y元与运输路程x千米的函数图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据货物运输的运费规则，分情况讨论不同路程段的函数表达式，进而判断函数图象． 【详解】解：当时，运费元保持不变，函数图象是一条平行于x轴的线段，、C、D选项在该区间函数值是变化的，所以C、D选项不符合题意； 当时，超过2千米的部分为千米，每超过1千米增加运费1元，则运费，y随x的增大而增大， 因此，只有选项B符合上述分析的图象特征，所以B符合题意． 4．如图，一次函数的图象经过点，，则的面积为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先根据函数解析式求出点，的坐标，再求出一次函数与轴交点的坐标，过点作轴，过点作轴，最后根据即可求出结果． 【详解】解：当时，， ∴， 当时，，解得：， ∴， 当时，，解得：， ∴一次函数与轴交点，如图所示： 过点作轴，过点作轴， ∴，，， ∴． 5．如图①，为内蒙古首条穿沙公路（锡乌公路），其在库布齐沙漠段几十公里几乎无弯道．一辆客车和一辆货车恰好分别从该公路的A，B两地同时出发相向而行．客车、货车离A地的距离，（单位：）与出发时间x（单位：h）之间的函数关系如图②所示，则点P的横坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求得，关于x的函数解析式，即可求得点的坐标． 【详解】解：设， 根据图象，将代入， 可得， 解得， ∴， 设， 根据图象，将，代入， 可得， 解得， ∴， 则可得， 解得， 则点P的横坐标为． 6．文具店出售定制笔记本，收费方式为固定制版费与每本印刷费的和．已知定制10本笔记本时，总费用为55元；定制20本时，总费用为105元．设定制笔记本数量为x本（x为正整数），总费用为y元，下列关于y与x的函数解析式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用待定系数法求解即可． 【详解】解：设与的函数解析式为（）． 将，和，分别代入， 得， 解得， ∴函数解析式为． 7．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，且甲车的速度比乙车快．两车相遇时原地休息了，又各自按原速前往目的地．甲、乙两车之间的距离与乙所用时间之间的函数关系如图所示，下列结论不正确的是（     ） A．A、B之间的距离为 B．的值为 C．甲行驶的速度是乙的倍 D．的值为 【答案】B 【分析】根据时，可判断A选项；再由甲车行驶的时间和路程可求解甲车的速度，由相遇时可得甲乙的速度和，进而可求解乙车的速度，由此可判断C选项；再根据甲乙行驶的路程和速度求解和的值，由此可判断BD选项． 【详解】解：A选项，当时，， 可知A、B之间的距离为，故A选项正确； C选项，由图象可知，在时，甲车到达目的地，此时只有乙车还在行驶， ∴甲行驶的速度为， ∴乙行驶的速度为， ∵， ∴甲行驶的速度是乙的倍，故C选项正确； D选项，当时，且乙行驶的速度为， 此时乙行驶了，故，故D选项正确； B选项，后，乙行驶的路程为，且乙行驶的速度为， ∴乙又行驶了， ∴，即的值为，故B选项错误 ． 8．漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小亮同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位（）与时间（）满足函数关系．水位（）与时间（）的实验数据如下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 … （） 0 2 4 6 … （） 2 2.8 3.6 4.4 … 下列说法错误的是（     ） A．在实验开始时，水位是 B．与成一次函数关系 C．第7次数据记录时，水位应为 D．当水位为时，对应实验的时间是 【答案】D 【分析】 结合表格的数据分析，并求出与的函数关系式即可判断各选项． 【详解】解：选项A：当时，，符合表格数据，故A正确，不符合题意； 选项B：由表格中数据知，时间每增加2分钟，h增加，故与成一次函数关系，故B正确，不符合题意； 选项C：设与的函数关系式为，当时，；当时， ∴ 解得 ∴ 第7次数据记录时，，对应，故C正确，不符合题意； 选项D：当时，，解得，故D错误，符合题意． 9．如图，在中，，，点在边上，且，为的中点，为上的动点，当四边形周长最小时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作交轴于，得出点 和点 关于直线 对称，连接交 于点 ，此时四边形 周长最小，通过求直线与 的交点坐标求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ，，， 设直线 解析式为 ，将代入得， 解得， ∴直线 解析式为 ， ， ， ， 为 中点， ， ∵四边形 周长 ，其中 为定值， ∴要使周长最小，需 最小 ， 过作交轴于， ∵， ∴， ∴，， ∴， 点 关于直线 的对称点为 ，连接 交 于点 ，此时 最小， 直线 为 ， 设直线解析式为 ， 将 ，代入得 ， 解得 ， 直线解析式为， 联立 ， 解得 ， 点的坐标为． 10．姐弟两人一起去离家的图书馆，在图书馆阅读后原路返回．姐姐以的速度直接回家，弟弟在返回途中在离家的文具超市停留．设弟弟从家出发到返回家中所用时间为（），离家的距离为（），与的函数图象如图所示．当姐弟两人在返回途中相距时，时间的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出姐姐和弟弟在返回途中的路程与时间的函数关系式，计算两人之间的距离，结合图象分析相距的时间段即可. 【详解】解：由题意及图象可知： 姐姐返程的速度为，从开始返程， 姐姐返程的函数解析式为 ； 弟弟在段从处回家， 弟弟该段的速度为 ， 弟弟在 时的函数解析式为； 当时，， ， 此时两人相距， 当 时，姐弟两人的速度均为， 两人之间的距离保持不变，始终为， 当 时，姐姐到家，，此时，距离仍为 ， 当 时，姐姐停止运动，弟弟继续向家走，距离小于， 当姐弟两人在返回途中相距时，的取值范围是. 二、填空题 11．在弹性限度内，某弹簧最多可挂质量为的物体，弹簧长度（单位：）与所挂物体质量（单位：）之间的函数表达式为．若挂物体时弹簧的长度为，则挂物体时弹簧的长度为______． 【答案】12 【分析】根据已知时，代入给定函数式求出系数，再代入计算对应的值即可． 【详解】解：∵挂物体时弹簧的长度为， ∴将，代入函数式，得， 解得， ∴函数表达式为． 将代入函数式，得， 即挂物体时弹簧长度为． 12．如图，直线的函数表达式为，在直线上顺次取点，构成形如“”的图形的阴影部分面积分别表示为，则_______． 【答案】 【分析】先依次计算前几组阴影面积，观察图形尺寸规律推导出第个图形中大、小矩形的边长，用大矩形面积减小矩形面积化简得到面积通项公式，最后把代入公式算出对应面积数值． 【详解】解：由题意得： 第个阴影：大矩形的长为，高为；小矩形的长为，高为， ∴ 当时， ． 13．小明步行从家去学校，走到分钟时，发现数学作业忘在了家里，于是以原速的倍回家取，然后从家乘出租车赶往学校（拿作业及等出租车的时间忽略不计），结果比预计步行时间提前了分钟．小明离家路程（米）与时间（分钟）之间的函数图象如图，那么从小明家到学校的路程是______米． 【答案】1200 【分析】本题考查了一次函数的应用以及行程问题中路程、速度、时间之间的关系，根据图像前两段求出小明步行的速度，进而求出返回家的时间和时刻，利用待定系数法求出乘出租车阶段路程与时间的函数关系式，设预计步行时间为，列出方程求解即可得到路程． 【详解】解：步行的速度为：米/分钟， ∵以1.5倍的速度回家取作业， ∴小明返程回家的时间为分钟， 则返回时函数图象的点坐标是， 设后来乘出租车中与的函数解析式为， 把和代入得， ， ​解得： ， 设步行到达的时间为， 则实际到达的时间为， 由题意得，， 解得， 则家到学校的距离为米． 14．声音的传播速度与温度的关系如下表： 0 1 2 … 331 331.6 332.2 … 则与的函数关系式为________________． 【答案】 【分析】由表格数据可知与满足一次函数关系，利用待定系数法求解函数解析式即可． 【详解】由表格数据可知与满足一次函数关系， 设与的函数关系式为， 将，及，代入得 ， 解得， 验证：当时，，与表格数据一致， 与的函数关系式为． 15．如图是某电信公司提供的，两种方案的通讯费用（元）与通话时间之间关系的图象．有下列结论：①若通话时间少于，则方案比方案便宜元；②若通话时间超过，则方案比方案便宜元；③若两种方案通讯费用相差元，则通话时间是或．其中正确的是______．（填序号） 【答案】 ①② 【分析】根据图象求出、两种方案在不同通话时间范围内的费用表达式，再分别代入计算验证各结论． 【详解】解：由图象可知： 当 时，； 当时，设，图象过点，， ，解得， ； 当 时，； 当时，设，图象过点，， ，解得， ； 对于①，当时，，即方案比方案便宜元；故①正确； 对于②，当时，，即方案比方案便宜元；故②正确； 对于③，若两种方案通讯费用相差元，即； 当时，，则，解得； 当时，，则，解得； 当时，，无解； 综上所述，若两种方案通讯费用相差元，通话时间是或；故③错误； 故正确的结论是①②． 三、解答题 16．函数的图象记为，当与轴存在两个交点时，设交点为和（点在点的左侧）， (1)当时，直接写出与的函数的关系式； (2)当时，求出点和点的坐标； (3)当在小于等于0的部分的最高点到轴的距离为3时，求的值； (4)点的坐标为，点的坐标为，当与线段有且仅有一个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)的值为或 (4)或 【分析】（1）将代入分段函数，直接写出解析式； （2）令，分别在自变量的取值范围内求解，根据点在点左侧确定坐标； （3）分顶点在和两种情况，结合最高点到轴的距离列方程求解； （4）先求直线与的交点横坐标，再根据交点在线段上的个数列不等式，确定的取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：当时， 代入分段函数得 ． （2）当时， 函数解析式为． 令， 当时，，解得，符合条件； 当时，，解得，符合条件． ∵点在点左侧， ∴，． （3）对于分段函数， 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； 当时，取得最大值，即顶点坐标为． 分两种情况讨论： ①当时，顶点在的范围内， 此时部分的最高点为顶点，到轴的距离为 ． ∵， ∴ ，解得． ②当时，的部分均满足， 随的增大而增大，故最高点在处， 此时，到轴的距离为 ． ∵， ∴ ，解得． 综上所述，的值为或． （4）由题意得，线段的解析式为（）． 令， 当时，，解得，记为； 当时， ，解得 ，记为． 当时， ，，两个解均有效； 当时，无有效解或仅有一个解（不在范围内）． 与线段有且仅有一个公共点，即，中恰好一个满足． 分两种情况： ①在内，， 则， 解得 ． ②在内，， 则， 解得 ． 综上所述，的取值范围是 或 ． 17．疫情防控不能放松，佩戴口罩是个人防护的重要措施．小明妈妈准备去药店购买一些口罩，现了解到甲、乙两个药店均有销售，标价均为1元/个．甲店的优惠方案：购买10个以上，从第11个开始按标价的七折销售．乙店的优惠方案：一律按标价的八五折销售． (1)若小明妈妈准备购买20个口罩，到哪个药店购买更省钱？ (2)求在甲、乙两个药店中，分别应付的金额（元）、（元）与购买口罩数个之间的函数关系式． (3)若小明妈妈现有24元，最多可购买多少个口罩？ 【答案】(1)在甲、乙药店购买均可 (2)， (3)最多可购买30个口罩 【分析】（1）根据题意分别求出在甲、乙药店购买20个口罩的费用，进而可得答案； （2）根据题意即可得到函数关系式； （3）分别求出24元在甲、乙药店最多能购买多少个口罩，进而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴在甲店购买需花费：（元）， 在乙店购买需花费：（元）． 在甲、乙药店购买均可． （2）解：由题意，，， 即，； （3）解：当时，由解得， 即24元在甲店最多可购买30个口罩， 由解得， 即24元在乙店最多可购买28个口罩， 最多可购买30个口罩． 18．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，B、C两点分别在x轴、直线上运动．若以为直角边的为等腰直角三角形，求点C的坐标． 【答案】或或． 【分析】分两种情况讨论：和，根据坐标两点的距离以及等腰直角三角形的定义分别求解即可． 【详解】解：当时，， 点A的坐标为， 点的横坐标为， 将代入，得， ； 当时，， 设，则， ，， ， 解得：或， 或， 综上可知，点C的坐标为或或． 19．在一条笔直的公路上依次有A、C、B三地，已知A、B两地相距，一辆货车从A地出发经C地匀速驶往B地，途中在C地装载货物停留一段时间．一辆轿车沿同一条公路从B地出发经C地前往A地，到达A地后（在A地停留时间不计）立即原路原速返回．如图是两车距B地的距离与货车行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)求图中m的值及轿车的速度； (2)求货车从A地前往B地的过程中，货车距B地的距离与行驶时间之间的函数关系式； (3)求出轿车行驶过程中，能否与货车同时到达B地？ 【答案】(1)； (2) (3)能 【分析】（1）根据速度路程时间，计算即可得出结果； （2）采用待定系数法，分段计算即可得出结果； （3）在中，当时，，求出的值即可得出结果． 【详解】（1）解：由图象可得，轿车的速度为， ∴； （2）解：①设， ∵图象经过点和点， ∴， 解得， ∴， 由图象可得； 设， ∵图象经过点和点， ∴， 解得， ∴， ∴综上所述，； （3）解：在中，当时，， 解得， ∴轿车在行驶过程中能与货车同时到达B地． 20．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A，点B，且． (1)求k的值； (2)若点C为线段上一点，连接，将沿着折叠，使点B落在x轴的点处，求点C的坐标； (3)如图2，作，点E为直线上一动点，点F为y轴上一动点，是否存在以O，E，F为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点C的坐标为 (3)点E的坐标为或或或 【分析】（1）先根据求出点B的坐标，结合求出点A的坐标，代入即可求出k的值； （2）先用勾股定理求出长度，设点C的坐标为，则，，由折叠的性质得，，最后由勾股定理解即可； （3）先用等面积法得出，再得出以O，E，F为顶点的三角形与全等时，斜边为对应边，，然后分两种情况利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：对于， 当时，， 点B的坐标为， ， ， ， 点A在x轴的正半轴上， 点A的坐标为， 将代入，得：， 解得； （2）解：，， ， 设点C的坐标为， 则， ， 由折叠得，， ， 在中，， ， 解得， 点C的坐标为； （3）解：， ， ， 当以O，E，F为顶点的三角形与全等时，斜边为对应边，， 分两种情况： 当时，， 如图： 点E的横坐标为或， 点E的纵坐标为或， 点E的坐标为或； 当时，， 如图： 点F的纵坐标为或， 点E的纵坐标为或， 即或， 解得或， 点E的坐标为或， 综上可得，点E的坐标为或或或． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $