第19讲 二元一次方程与一次函数（6类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新八年级数学新教材北师大版

第19讲 二元一次方程与一次函数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 两直线的交点与二元一次方程组的解 题型2 图象法解二元一次方程组 题型3 已知两直线求围成的图形面积 题型4 利用两点式求一次函数的解析式 题型5 图形中求一次函数的解析式 题型6 二元一次方程组与一次函数综合解决实际问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 二元一次方程、一次函数、图象、交点、方程组的解、数形结合、图象法。 1. 理解每个二元一次方程都对应一个一次函数，其图象是一条直线，方程的解对应直线上点的坐标。 2. 理解二元一次方程组的解对应两个一次函数图象的交点坐标，能利用图象法解方程组。 3. 能从函数观点认识方程（组），感受数形结合思想，体会“数”与“形”的相互转化。 4. 能根据一次函数图象信息，估计方程组的近似解，并验证解的准确性。 学习重点：理解二元一次方程与一次函数的关系，以及方程组解与两直线交点坐标的对应关系。 学习难点：灵活运用“数”与“形”的相互转化，理解图象法求方程组的解可能存在误差，以及无解（直线平行）和无数解（直线重合）的情况。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 二元一次方程组与一次函数的关系 1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0 2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解。 y=0时，x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解 3）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 4）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立. 5）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解. 6）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在坐标系中重合，反之也成立. 【易错提醒】 二元一次方程组与一次函数关系易错警示：方程组 的解即两个一次函数图象的交点坐标。注意：无解对应两直线平行，无数解对应重合。求解时勿将交点坐标与解的书写形式混淆。 即时即练1．已知直线与相交于点，则关于，的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点坐标就是两函数解析式组成的二元一次方程组的解． 首先把代入，求出的值，进而得到点坐标，再根据两函数图象的交点坐标就是两函数的解析式组成的二元一次方程组的解可得答案． 【详解】解：直线经过点， ， 解得， ， 关于，的二元一次方程组的解为， 故选：A． 2．如图，已知直线 与x轴、y轴的交点分别为A、B，请在图中作出直线 ． (1)直接写出二元一次方程组 的解______； (2)直线 上是否存在点 C，使 与 的面积相等，若存在，求出C 点坐标；否则，说明理由． 【答案】(1)画图见解析， (2)或． 【分析】本题考查的是画一次函数的图象，一次函数与二元一次方程组的关系，坐标与图形，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键； （1）先画的图象，再结合方程组与一次函数的关系可得答案； （2）先求解的面积，再设，利用面积关系建立方程求解即可． 【详解】（1）解：列表如下： 描点连线如下： ∵方程组即方程组， ∴由图象可得方程组的解为：； （2）∵， 当，， 当，则， ∴， ∴，， ∴， ∵在上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或． 知识点02 二元一次方程组确定一次函数的表达式（待定系数法） 1) 两点法:设函数的解析式为：y=kx+b，当已知两点坐标，将这两点分别代入（待定系数法），可得关于k、b的二元一次方程组，解方程得出k、b的值。 2) 图形:观察图形，根据图形的特点，找出2点的坐标，利用待定系数法求解解析式。 【易错提醒】 待定系数法求一次函数易错警示：设y=kx+b，代入两组对应值列方程组。注意：k≠0需检验；解方程组时避免符号错误。若已知正比例函数则设y=kx，代入一点即可。求得解析式后要回代验证。 即时即练1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是． (1)求直线所对应的函数表达式； (2)点C在直线上，且到y轴的距离是3，求点C的坐标； 【答案】(1) (2)点C的坐标为， 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式及一次函数图象上的点的坐标特征，难度不大，注意掌握待定系数法的运用， （1）用待定系数法求解即可； （2）分两种情况：当时或时，分别求出坐标即可． 【详解】（1）解：设直线所在直线的函数表达式为：    解得：， ∴直线所对应的函数表达式：； （2）①当时， ， ②当时，， ∴点C的坐标为，． 2．“母亲节”期间，某鲜花店计划购进康乃馨和玫瑰花两种鲜花，其中玫瑰花每束40元，购买康乃馨所需费用（单位：元）与购买数量x（单位：束）的函数关系图象如图所示．    (1)求与的函数解析式（也称关系式）； (2)该鲜花店计划购进康乃馨和玫瑰花共200束，若购买康乃馨的数量不超过150束，且不少于玫瑰花的数量，购买两种鲜花的总费用为，如何购买能使费用最少，并求出最少费用． 【答案】(1) (2)购买康乃馨和玫瑰花各100束时，费用最少，最少费用为8600元 【分析】此题考查了一次函数的应用，根据图象求出函数关系式是解题的关键． （1）根据题意进行分类讨论：当时，当时，即可解答； （2）设购买康乃馨的数量为束，则购买玫瑰花的数量为束，根据题意求出a的取值范围，再得出W关于a的函数解析式，根据一次函数的性质，即可解答． 【详解】（1）解：由图可得：当时，， 当时，设与的函数解析式为， ∴， 解得：， 与的函数解析式为：． （2）解：设购买康乃馨的数量为束，则购买玫瑰花的数量为束，由题意得： ，且， 解得：． ， ， 随的增大而增大， 当时，最小，且最小值为：（元）． 答：购买康乃馨和玫瑰花各100束时，费用最少，最少费用为8600元． 题型1 两直线的交点与二元一次方程组的解 【例1】若方程组的解为，则函数和图象的交点为 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，根据两条直线的交点的横纵坐标即为对应的二元一次方程组的解，即可得出结果． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴函数和图象的交点为； 故答案为：． 【例2】若一次函数与图象的交点是，则方程组的解是 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数和二元一次方程组．直接根据一次函数和二元一次方程组的关系求解． 【详解】解：∵一次函数与图象的交点的坐标是， ∴方程组的解为． 故答案为：． 【技巧归纳】 两条直线的交点坐标即为对应二元一次方程组的解。将两直线方程化为y=kx+b，求交点即联立解方程组。若方程组无解，则两直线平行；无穷多解则重合。已知交点求直线方程，可将交点代入。数形结合，交点横纵坐标对应x、y。常用加减消元法求交点。 【变式1-1】已知直线与的交点的坐标为，则方程组的解是 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了根据两直线的交点求二元一次方程组的解，一次函数图象上的点的坐标特征，先求出两直线的交点坐标，从而即可得出答案． 【详解】∵直线与的交点的坐标为， ∴把代入中，可得， ∴方程组的解是， 故答案为：． 【变式1-2】已知二元一次方程组 的解为 ，则函数和的图象的交点坐标为 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，熟练掌握交点坐标为方程组的解是解题的关键．由二元一次方程组 的解为 ，得出二元一次方程组的解为 ，从而可得出交点坐标． 【详解】解：二元一次方程组 的解为 ， 即的解为 ， 函数和的图象的交点坐标为， 故答案为：． 题型2 图象法解二元一次方程组 【例3】如图，已知函数和的图象交于点P，则二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组，关键是掌握二元一次方程（组）与一次函数的关系．由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，因此所求方程组的解就是两个一次函数图象的交点的横纵坐标． 【详解】解：由图知：函数和的图象交于点， 则，同时满足两个函数的解析式， 是二元一次方程组的解． 故答案为：． 【例4】如图，已知一次函数和的图象交于点P，则二元一次方程组 的解是 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数图像交点坐标与方程组解的关系：对于函数，，其图象的交点坐标中x，y的值是方程组的解． 【详解】解：由图象可知，二元一次方程组 的解是． 故答案为：． 【技巧归纳】 画出两方程对应的直线，交点坐标即为方程组的解。若两直线平行则无解，重合则无穷多解。画图时用两点法，标清刻度。近似解可在交点处估读。缺点：精度不够，适合判断解的情况或求整数解。实际计算还需代数法验证。数形结合直观。 【变式2-1】如图，一次函数与一次函数的图象相交于点，则关于的方程组的解为 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，根据两条直线的交点坐标即为两个函数解析式组成的二元一次方程组的解，即可得出结果． 【详解】解：由图象可知，关于的方程组的解为； 故答案为：． 【变式2-2】如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是 ． 【答案】 【知识点】图象法解二元一次方程组 【分析】本题考查一次函数图象交点与方程的解的关系，熟练运用数形结合的思想，利用图象法解一元一次方程是解题的关键．一次函数图象交点即为方程组的解，即可求解． 【详解】解：一次函数和的图象相交于点， 的解为， 故答案为：． 题型3 已知两直线求围成的图形面积 【例5】直线，与轴所围成的图形的面积是 ． 【答案】18 【知识点】求直线围成的图形面积、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．先求出两直线的交点坐标，再分别求出两直线与轴的交点坐标，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：，解得， 两直线的交点为， 直线与轴的交点为，直线与轴的交点为， 直线，与轴所围成的图形的面积． 故答案为：18． 【例6】如图，已知直线与直线相交于点C，与y轴分别相交于点A，B，则的面积是 ． 【答案】2 【知识点】求直线围成的图形面积 【分析】本题考查了两直线相交问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解，也考查了三角形面积公式． 先求出，，从而得出，联立方程组即可求出点C的坐标，再根据三角形面积公式即可得出答案． 【详解】直线中，令，则 直线中，令，则 ， 将与联立 解得： 点C的坐标为 故答案为：． 【技巧归纳】 两直线与坐标轴围成的面积：先求交点及与轴交点坐标，判断图形（三角形或四边形）。用割补法：底乘高/2或梯形面积。若两直线及x轴围成三角形，顶点为两直线交点及与x轴交点。注意交点坐标可能为负，面积取绝对值。画图辅助，分段求。 【变式3-1】已知一次函数与的图象都经过点，且与轴分别交于点，，若点在一次函数的图象上，则的面积为 ． 【答案】3 【知识点】求直线围成的图形面积 【分析】将两一次函数的解析式联立，求出点坐标，再根据一次函数图象上点的坐标特征求出、、的坐标，然后根据的面积的面积的面积求解． 【详解】解：由，解得，则． 一次函数与的图象与轴分别交于点，， ，． 点在一次函数的图象上， ，解得， ． 的面积的面积的面积 ． 故答案为：3．    【变式3-2】已知一次函数与的图像如图所示，且方程组的解为，点坐标为，轴上的一个动点，若，则点的坐标为 ． 【答案】或 【知识点】求直线围成的图形面积、两直线的交点与二元一次方程组的解、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查一次函数图像的交点问题，三角形的面积，\如图，设点的坐标为，可得，根据函数图像交点的意义可得，再根据，继而得到，求解即可．解题的关键是正确理解一次函数图像的交点的意义：一次函数图像的交点坐标即是由函数解析式所构成的方程组的解． 【详解】解：如图，设点的坐标为， ∵点坐标为， ∴， ∵方程组的解为， ∴， ∴点到轴的距离为， ∵， ∴， ∴或， ∴点的坐标为或， 故答案为：或． 题型4 利用两点式求一次函数的解析式 【例7】如图，已知点、点．    (1)求直线所对应的函数表达式； (2)在直线上有点P，满足点P到x轴的距离等于6，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【知识点】求点到坐标轴的距离、求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数自变量的值，点到坐标轴的距离： （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值得到点P的纵坐标为6或，再求出一次函数值分别为6和时自变量的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设直线解析式为， 把、代入中得：， ∴， ∴直线解析式为； （2）解：∵点P到x轴的距离等于6， ∴点P的纵坐标的绝对值为6， ∴点P的纵坐标为6或， 在中，当时，，当时，， ∴点P的坐标为或． 【例8】如图，已知直线：与坐标轴交于，两点，直线：与坐标轴交于B、D两点，两直线的交点为P点． (1)求的表达式． (2)求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查一次函数的解析式，两直线交点问题． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据函数图像，联立方程即可求解出点的坐标． 【详解】（1）解：将代入，得 ， 解得，， ∴的表达式为； （2）解：由两条直线相交，联立方程组得， 解得， ∴． 【技巧归纳】 已知两点(x₁,y₁)、(x₂,y₂)，斜率k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)（x₁≠x₂），再代入一点求b：y=kx+b。或直接用两点式：(y-y₁)/(y₂-y₁)=(x-x₁)/(x₂-x₁)。注意若x₁=x₂则直线垂直（非函数）。化简为y=kx+b。两点式适合含参数问题。 【变式4-1】如图，已知一次函数的图象经过点，，为直线上的动点，正比例函数的图象经过点． (1)求一次函数的表达式； (2)若点，求方程组的解． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题主要查了求一次函数的解析式，一次函数图象的交点问题： （1）直接利用待定系数法解答，即可求解； （2）求出点C的坐标，将方程组整理为，可得方程组的解为一次函数与正比例函数的交点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：将点，代入得： ，解得， 一次函数的表达式为：． （2）解：将代入得∶ ， ， 将方程组整理为， ∴方程组的解为一次函数与正比例函数的交点坐标， 方程组的解为． 【变式4-2】如图，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的表达式； (2)点在直线上，是否存在点使得的面积为？如果存在，求所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或 【知识点】坐标与图形、求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了待定系数法的应用，三角形面积计算，坐标与图形性质等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设点的纵坐标为，根据三角形面积公式列式求出，然后分情况写出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 将点代入得， 将代入，得， 解得， 所以直线的表达式为：； （2）解：设点的纵坐标为，因为， 所以， 所以， 所以或． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上可知满足条件的点的坐标为或． 题型5 图形中求一次函数的解析式 【例9】如图，已知过点的直线与直线：相交于点． (1)求直线的解析式； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】本题考查了一次函数求解析式，求一次函数与坐标轴围成的图形面积，解本题的关键是求得各交点坐标求得线段长度，将不规则图形转化为规则图形求面积． （1）根据P点是两直线交点，可求得点P的纵坐标，再利用待定系数法将点B、点P的坐标代入直线解析式，得到二元一次方程组，求解即可． （2）根据解析式可求得点，点，由可求得四边形的面积． 【详解】（1）∵点P是两直线的交点， 将点代入 得，即 则的坐标为， 设直线的解析式为：， 那么， 解得： ． 的解析式为：； （2）∵直线与y轴相交于点C，由得直线解析式∶． 当时，， ∴点C的坐标为． 又∵直线与x轴相交于点A，当时，， ∴点A的坐标为，则． ∵， ． 【例10】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交点为．求： (1)求正比例函数与一次函数的关系式； (2)在x轴上是否存在一点M使周长最小，若存在，求出点M的坐标； (3)在x轴上求一点Q使为等腰三角形，请求出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【知识点】求一次函数解析式、几何问题(一次函数的实际应用)、用勾股定理解三角形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查一次函数的综合应用，坐标与轴对称，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，求出的解析式，进而求出点的坐标即可； （3）分三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得，直线过点，， ∴，解得：， ； ∵过， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴当时，， ∴， ∵，且为定值， ∴当最小时，的周长最小， 作作点关于轴的对称点，连接，则，， ∴当三点共线时，的值最小为的长， 同（1）可得：直线的解析式为：， ∴当时，， ∴． （3）∵， ∴， 设，则：，， 当为等腰三角形时， ①，则：， ∴， ∴； ②当时，，解得：， ∴； ③当时，， ， ∴， ∴（舍去）或， ∴； 综上：或或． 【技巧归纳】 从图形读取两个点的坐标（或与坐标轴交点），利用两点式求k、b。若已知截距（与y轴交点b，与x轴交点a），可用截距式x/a+y/b=1。注意从图中准确读数，特别是刻度。若直线过原点，为正比例。也可利用面积、平行等条件列方程求解析式。 【变式5-1】如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程的函数图象． (1)根据图象，当蓄电池剩余电量为35千瓦时，汽车 已 行 驶 的 路 程 为 ； (2)当时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程； (3)当时，求y关于x 的函数解析式，并计算当汽车已行驶时，蓄电池的剩余电量． 【答案】(1)150 (2) (3)，蓄电池的剩余电量为千瓦时． 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了函数的图象，一次函数的应用，待定系数法求解析式，解题的关键找出剩余油量相同时行驶的距离． （1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米； （2）根据函数图象即可求出1干瓦时的电量汽车能行驶的路程； （3）运用待定系数法求出y关于x的函数表达式，再把代入即可求出当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量． 【详解】（1）解：由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时，汽车 已 行 驶 的 路 程 为， 故答案为：． （2）解：当时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程为：． （3）解：设所求的函数解析式为，将代入，得： ， 解得： ， ∴函数解析式为， 当时，， ∴当汽车已行驶时，蓄电池的剩余电量为千瓦时． 【变式5-2】小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合，已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的倍．小颖与小亮同时出发，当小颖到达终点时发现行李落在了出发地，立即乘缆车回去取，又乘缆车回到终点．中间耽搁时间为．缆车的平均速度为．设小亮出发后行走的路程为．下图中的折线表示小亮在整个行走过程中，与的函数关系． (1)小亮行走的总路程是 ，他途中休息了 ； (2)①当时，求与的函数关系式； ②当小颖最后到达缆车终点时，小亮离缆车终点的距离是多少? 【答案】(1)，； (2)①；②． 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、从函数的图象获取信息 【分析】（）根据函数图象即可求解； （）①利用待定系数法解答即可求解；②根据题意求出缆车到山顶的线路长，进而求出缆车单程所需要的时间，即可得小颖最终到达终点时共用的时间，将其代入①所得函数解析式，求出的值，最后用总路程相减即可求解； 本题考查了一次函函数的应用，求一次函数的解析式，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】（1）解：由函数图象可得，小亮行走的总路程是，他途中休息了， 故答案为：，； （2）解：①当时，设，把、代入得， ， 解得， ∴； ②由题意可得，缆车到山顶的线路长为， ∴缆车单程所需要的时间为， ∴小颖最终到达终点时共用时， 把代入得，， ∴当小颖最后到达缆车终点时，小亮离缆车终点的距离是． 题型6 二元一次方程组与一次函数综合解决实际问题 【例11】某公司需运输一批教学设备，准备租用汽车运输公司的大、小两种型号的货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表（两次两种货车都满载）： 大货车的车辆数（辆） 小货车的车辆数（辆） 累计运货台数（台） 第一次 2 3 21 第二次 5 6 48 (1)求每辆大货车、小货车分别能装载教学设备多少台？ (2)该公司现计划再租用大小货车共12辆运送一批教学设备，汽车运输公司给予该公司大货车1500元/辆，小货车750元/辆的优惠价，公司要求此次运输设备台数不少于54台，且总运输费用少于15000元，请你列出所有货车租用方案． (3)在（2）的条件下，请你选择出运输费用最少的方案，并求出该方案所需运输费用． 【答案】(1)每辆大货车能装6台教学设备，每辆小货车能装3台教学设备 (2)共有两种方案：方案一：租大货车6辆，小货车6辆；方案二：租大货车7辆，小货车5辆 (3)租用6辆大货车，6辆小货车所花的费用最少，为13500元 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、一元一次不等式组应用、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的实际应用，读懂题意，正确列出二元一次方程组、一元一次不等式组，以及熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）设每辆大货车能装台教学设备，每辆小货车能装台教学设备，根据表格列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）设租用大货车辆，则租用小货车辆，根据题意列出不等式组，解不等式组即可得到答案； （3）设运输费用为元，则，根据一次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：设每辆大货车能装台教学设备，每辆小货车能装台教学设备， 根据题意可得：， 解得：， 每辆大货车能装6台教学设备，每辆小货车能装3台教学设备； （2）解：设租用大货车辆，则租用小货车辆， 根据题意可得：， 解得：， 为整数， 或7， 共有两种方案： 方案一：租大货车6辆，小货车6辆， 方案二：租大货车7辆，小货车5辆； （3）解：设运输费用为元， 由（2）可得运输费用为：， ， 运输费用随着的增大而增大， ， 当时，最小，为， 租用6辆大货车，6辆小货车所花的费用最少，为13500元． 【例12】某物流公司计划租用这两种车辆运输物资．已知用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨，某物流公司计划租用这两种车辆运输物资，根据以上信息，解答下列问题： (1)辆型车和辆车型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若型车每辆需租金元/次，型车每辆需租金元/次．物流公司计划共租用辆车，请写出总租车费用（元）与租用型车数量（辆）的函数关系式． (3)如果汽车租赁公司的型车只剩了辆，型车还有很多．在（）的条件下，请选出最省钱的租车车方案，并求出最少租车费用． 【答案】(1)辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨； (2)； (3)最省钱的租车方案为租辆型车，辆型车，租车费用最少，最少费用为元． 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（）设辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨，根据题意列出方程组，解之即可求解； （）用型车和型车的总费用相加即可求解； （）求出的范围，根据一次函数的性质求解即可； 本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是正确列出方程组和一次函数表达式． 【详解】（1）解：设辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨， 由题意得， 解得， 答：辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨； （2）解：由题意得，； （3）解：在一次函数中， ， 随的增大而小； 由题意知，，则当时，总租车费用最少， ∴最少费用为：元， ∴辆， 答：最省钱的租车方案为租辆型车，辆型车，租车费用最少，最少费用为元． 【技巧归纳】 实际问题中，若有两个变量呈线性关系，可分别列一次函数解析式，再联立方程组求平衡点。或设两个未知数，根据等量关系列二元一次方程组。解后根据函数图象分析变化趋势，选择最优方案。注意定义域（如数量非负、时间范围）。结果结合实际问题解释。 【变式6-1】列方程组解应用题：为美化校园，某学校计划购进两种树苗共17棵，已知种树苗每棵80元，种树苗每棵60元． (1)若购进两种树苗刚好用去1220元，求购进两种树苗各多少元？ (2)若购进种树苗棵，所需总费用为元． ①求与的函数关系式（不要求写出的取值范围）； ②若购进种树苗的数量不低于9棵，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需的费用． 【答案】(1)购进种树苗10棵，购进种树苗7棵 (2)①；②当购进种树苗9棵，种树苗8棵时，费用最省，此时费用为1200元 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设购进种树苗棵，购进种树苗棵，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）①根据所需总费用中树苗的费用中树苗的费用列式可得；②根据一次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：设购进种树苗棵，购进种树苗棵， 由题意得：， 解得：， 购进种树苗10棵，购进种树苗7棵； （2）解：①由题意得：； ②， 随的增大而增大， 购进种树苗的数量不低于9棵， 当时，最小，且最小值为（元）， 此时， ∴当购进种树苗9棵，种树苗8棵时，费用最省，此时费用为1200元． 【变式6-2】为落实立德树人的根本任务，培养有理想、有本领、有担当的新时代好少年，某校组织八年级师生开展以“寻根河南  生生不息”为主题，为期一天的“只有河南之旅”研学实践活动，学校计划租用甲、乙两种不同型号的客车，已知2辆甲型客车和3辆乙型客车可乘坐270人，3辆甲型客车和2辆乙型客车可乘坐255人． (1)甲、乙两种不同型号的客车每辆分别可乘坐多少人？ (2)已知甲型客车每天的租车费用为1200元，乙型客车每天的租车费用为1500元，学校计划共租用12辆客车，请写出总租车费用（元）与租用甲型客车数量（辆）的函数关系式； (3)如果客车租赁公司的甲型客车只剩下8辆，乙型客车还有很多．在（2）的条件下，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费用． 【答案】(1)每辆甲型客车可载45人，每辆乙型客车可载60人． (2) (3)租8辆甲型客车，租4辆乙型客车，最少费用为元 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组； （2）根据各数量之间的关系，正确列出一次函数解析式； （3）利用一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设每辆甲型客车可载人，每辆乙型客车可载人， 依题意得：， 解得：． 答：每辆甲型客车可载45人，每辆乙型客车可载60人． （2）解：设租甲型客车辆，则租乙型客车辆， 依题意得：． （3）解：由（2）知：， ， 随着的增大而减小， ， 当时，有最小值为， 即最省钱的租车方案为：租8辆甲型客车，租4辆乙型客车，最少费用为元； 一、单选题 1．已知直线（为常数，且）经过点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将点代入直线求出的值，再代入方程求解即可． 【详解】解：将点代入直线得： ， 解得， 将代入方程得： ， 解得， 因此，方程的解为：． 2．如图，一次函数的图象经过点和，则关于x的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法求解解析式为，再进一步求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点和， ∴，解得：， ∴一次函数为， ∵即， 解得：， ∴方程的解是． 3．如图，直线与直线交于点，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，运用数形结合的思想即可解答． 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴方程组的解是：． 4．如图，直线和直线相交于点，观察其图象可知方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一次函数图像交点坐标与方程组解的关系：对于函数，，其图象的交点坐标中x，y的值是方程组的解．据此求解即可． 【详解】解：∵直线和直线相交于点， ∴的解是． ∵， ∴， ∴， ∴的解是． 5．如下图在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错的是（     ） A． B．随x的增大而减小 C．当时， D．关于x，y的方程组 的解为 【答案】C 【分析】由一次函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】对于A，过点，过点，由函数图象可得，故A正确，不符合题意； 对于B，由函数图象可得，随x的增大而减小，故B正确，不符合题意； 对于C，当时，由函数图象可得，在上方，故，故C错误，符合题意； 对于D，方程组 即 ，由函数图象可得，交点坐标为 ，故解为 ，故D正确，不符合题意． 二、填空题 6．已知一次函数的图像经过点和，则这个一次函数的解析式为_________． 【答案】 【分析】将已知两点坐标代入一次函数解析式，得到关于待定系数，的方程组，解方程组求出系数即可得到一次函数解析式． 【详解】解：将点和代入， 得， 解得：， 所以这个一次函数的解析式为． 7．直线与直线相交于点，则关于的二元一次方程组的解为__________． 【答案】 【分析】先将点的横坐标代入已知直线解析式，求出交点的坐标，再根据两直线的交点坐标就是对应二元一次方程组的解求解即可． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， ∴交点的坐标为， ∵直线与直线的交点坐标就是对应二元一次方程组的解， ∴关于，的二元一次方程组的解为． 8．如图函数和的图象交于点，关于，的方程组的解是________ ． 【答案】 【详解】解：∵函数和的图象交于点． 关于，的方程组的解是． 9．将直线向下平移3个单位，平移后的直线分别交x轴、y轴于、两点，点为坐标原点，则______． 【答案】 【分析】先根据直线平移规律得到平移后的解析式，再分别求出直线与轴、轴交点、坐标，最后利用直角三角形面积公式计算面积． 【详解】解：直线上下平移规律：向下平移个单位，解析式变为 ， 原直线：，向下平移3个单位 ， 时，， ； 时，， ， ， ， ． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为．点在线段上，连接，使，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】先由直线求出与坐标轴的交点、，从而得，为等腰直角三角形，．由可推出．过点作交的延长线于点，过点作轴于点，则为等腰直角三角形，．通过同角的余角相等证明，进而证明，得到，，从而确定点的坐标为．再利用待定系数法求出直线$EB$的解析式，求其与轴的交点即可得点的坐标． 【详解】解：对于直线， 令，得， ， ； 令，得， ， ． ， ． ，， 为等腰直角三角形， ． ， ． 过点作交的延长线于点，过点作轴于点， 则． 在中，， ， 为等腰直角三角形， ． ， 又， ． 在和中： ， ， ，． ，， ， ， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 把，代入得： ， 解得， 直线的解析式为． 令，得， ， 点的坐标为． 三、解答题 11．已知一次函数图象经过点和． (1)求该一次函数解析式； (2)判断点是否在这个函数图象上． 【答案】(1) (2)点在函数图象上 【分析】（1）设该一次函数解析式为，再利用待定系数法求解即可； （2）把代入一次函数解析式求解并判断，即可解题． 【详解】（1）解：设该一次函数解析式为， 一次函数图象经过点和， ， 解得， 该一次函数解析式为； （2）解：把代入一次函数解析式，有， 因此点在函数图象上． 12．已知一次函数的图象经过 ， 两点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)将（1）中所得函数的图象向下平移个单位长度，使它经过点，请求出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出一次函数的关系式为，把x与y的值代入求出k、b的值，即可确定出解析式； （2）利用平移规律设出平移后的解析式，把代入即可求解． 【详解】（1）解：设一次函数的关系式为， 把 ，代入得：， 解得：， ∴y与x的函数关系式为； （2）解：将（1）中所得函数的图象向下平移个单位长度， ∴平移后的解析式为， 把点代入得：， 解得：． 13．如图，已知函数和的图象相交于点P，点P的横坐标为1． (1)关于x，y的方程组的解是 ． (2)a的值为 ． (3)求出函数和的图象与x轴围成的几何图形的面积． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】（1）先求出两条直线的交点坐标，进而得出答案； （2）将点代入可解答； （3）先求出两条直线与x轴的交点坐标，再根据三角形面积公式解答． 【详解】（1）解：当时，， ∴点． ∵函数和的图象相交于点， ∴方程组的解是； （2）解：将点代入，得， 解得； （3）解：由（2）知， 当时，解得，可知直线与x轴交点坐标为； 当时，解得，可知直线与x轴交点坐标为， ∴两条直线与x轴围成的三角形的面积是． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与相交于点． (1)求直线的解析式； (2)求四边形的面积； (3)点为直线上一点，若，请直接写出所有符合题意的点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为： (2)16 (3)和 【分析】（1）将点代入直线，求出，再根据待定系数法求出直线的解析式； （2）先求出，，再求出，，根据求解即可； （3）由题意得，与同高（顶点为，底边在上），即可得，则或，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在直线上， 将代入得：， 解得：，即， 设直线的解析式为， 代入和得：， 解得：， ∴直线的解析式为：； （2）解：对，令得，即，； 令得，即，， ∴， ∴，， ∴； （3）解：由题意得，与同高（顶点为，底边在上）， ∴， ∴或， ∴或， 解得：或， ∴符合条件的E坐标为：和． 15．年月日，坦克最新训练画面罕见公开，其作为陆军新一代装甲装备，具有智能化程度高、协同能力强等优势．某模型专卖店计划购进两种坦克模型共个进行销售，已知坦克模型的进价如下表： 类型 进价（元/个） 坦克模型 坦克模型 设购入坦克模型的数量为个，购入坦克模型的总费用为元．请根据上述信息，解答下列问题： (1)求与之间的函数关系式； (2)若该模型专卖店购入坦克模型的数量不少于个，求购入坦克模型的总费用至少为多少元？ 【答案】(1) （且为整数） (2)元 【分析】（）根据题意列出函数关系式即可； （）求出的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴与之间的函数关系式为 （且为整数）； （2）解：∵专卖店购入坦克模型的数量不少于个， ∴， ∵ 中，， ∴随着的增大而增大， ∴当时，的值最小，， 答：购入坦克模型的总费用至少为元． 16．在一条笔直的公路上有，，三地，地位于，两地之间，甲车从地沿这条公路匀速驶向地，乙车从地沿这条公路匀速驶向地，在甲车出发至甲车到达地的过程中，甲、乙两车与地的距离 （单位：），（单位：）与甲车行驶时间（单位：）之间的函数关系如图．请根据所给图象解答下列问题： (1)甲车的行驶速度为 ，乙车的行驶速度为 ； (2)当时，求乙车与地的距离与甲车行驶时间之间的函数关系式； (3)当乙车出发 小时，两车相遇． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）利用路程除以时间求出两车的速度； （2）分为，和三段分析，利用待定系数法并结合实际意义求出函数关系式； （3）根据两车相遇时，甲车行驶的路程乙车行驶的路程列方程求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，甲车小时行驶，乙车小时行驶， 甲车的速度为，乙车的速度为； （2）解：由图可知，当时，乙车停留在地， ； 当时，设， 图象经过，， ，解得， ； 当时，设， 乙车速度不变， 当时，， 即图象经过， 将点，代入得， ，解得， ； 综上所述，； （3）解：设乙车出发小时，两车相遇， 由题意得， 解得， 乙车出发小时，两车相遇． 17．如图，在平面直角坐标系中，点A、C均在x轴上，点B在第一象限，直线上所有点的坐标都是二元一次方程的解，直线上所有点的坐标都是二元一次方程的解． (1)点A的坐标为（________，0），点C的坐标为（________，________）； (2)求点B的坐标时，小明是这样想的：先设点B的坐标为，因为点B在直线上，所以是方程的解；又因为点B在直线上，所以也是方程的解，从而m，n满足．请据此求出点B的坐标； (3)若点D在线段上，且满足，求点D的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)点的坐标是 【分析】（1）首先得到直线的表达式为，直线的表达式为，然后分别令，解方程即可求出的坐标； （2）解方程组即可求出点的坐标； （3）设点的纵坐标为，先求出，，再由可得，代入求解即可． 【详解】（1）解：直线上所有点的坐标都是二元一次方程的解，直线上所有点的坐标都是二元一次方程的解 ∴直线的表达式为，直线的表达式为， ∵点A、C均在x轴上， ∴将代入得，， 解得， ； 将代入得，， 解得， ； （2）解：解得，， ； （3）解：设点的纵坐标为， ，， ，， ， ， ∴ ， 把代入得： ， 点的坐标是． 18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴、y轴分别交于A、B，一次函数经过点B． (1)求一次函数的解析式； (2)如图2，把直线沿y轴向上平移5个单位，与直线相交于点M，连接，求的面积； (3)在直线上是否存在一点Q，使得的和最小，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)15 (3)存在， 【分析】（1）先求出点B的坐标为，再利用待定系数法计算即可得出结果； （2）设平移后的直线与y轴交于点D，由一次函数平移的性质可得直线的解析式为，把，联立，求出点M的坐标为．连接，过点M作，垂足为H，则，由此计算即可得出结果； （3）作点A关于直线的对称点，连接，与直线交于点Q，由对称性知，周长，即此时周长最小．待定系数法求出直线的解析式为，即可得出结果． 【详解】（1）解：把代入，得，即点B的坐标为． 把代入，得， 解得，即点A的坐标为． 把代入，得，即． （2）解：设平移后的直线与y轴交于点D， 则由题意可知直线的解析式为． 把，联立，得， 解得， ∴点M的坐标为． 如图1，连接，过点M作，垂足为H， 把代入，得，解得，即点C的坐标为， ∴， 则 ； （3）解：如图2，作点A关于直线的对称点，连接，与直线交于点Q， 由对称性知，周长，即此时周长最小． 故点Q满足使周长最小． 由题意可知点的坐标为． 设直线的解析式为， 把点，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为． 把代入，得． ∴点Q的坐标为． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第19讲二元一次方程与一次函数 了内容导航 01预习航标一析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破一析考点破方法：典型题型深度拆解 题型1两直线的交点与二元一次方程组的解 题型2图象法解二元一次方程组 题型3已知两直线求围成的图形面积 题型4利用两点式求一次函数的解析式 题型5图形中求一次函数的解析式 题型6二元一次方程组与一次函数综合解决实际问题 04过关检测一练考点·强落实：过关检测全面巩固 01 预习航标 关键词 学习目标导航 1.理解每个二元一次方程都对应一个一次函数，其图象是一条直线，方程的 二元一次方程、一次解对应直线上点的坐标。 函数、图象、交点、2.理解二元一次方程组的解对应两个一次函数图象的交点坐标，能利用图像 方程组的解、数形结法解方程组。 合、图象法。 3.能从函数观点认识方程（组），感受数妍形结合思想，体会“数”与“形” 的相互转化。 4.能根据一次函数图象信息，估计方程组的近似解，并验证解的准确性。 学习重点：理解二元一次方程与一次函数的关系，以及方程组解与两直线交点坐标的对应关系。 学习难点：灵活运用“数”与“形”的相互转化，理解图象法求方程组的解可能存在误差，以及无解 (直线平行)和无数解（直线重合）的情况。 02 教材全解 ◇知1识框引架 1/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二元一次方程可化为一次函数形式 二元一次方程与一次函数的关系 一次函数图象上的点都是对应二元一次 方程的解 方程与函数形式转换错误 二元一次方程的解对应一次函数图象上 圆象交点读取错误 高频易错点 的点 交点坐标是方程组的解 平行与重合情况混消 二元一次方程组的解与 方程组解对应两直线交点坐标 解必须满足两个方程 二元一次方程与一次函数互化 一次函数图象的关系 高频考点 二元一次方程与 维一解对应两直线相交 利用图象求方程组解 解与交点个数对应 无解对应两直线平行 交点坐标与方程解关系 一次函数 无数解对应两直钱重合 利用图象分桥方程解 将两个方程化为一次函数形式 利用围象解决实际问题 一次函数与二元一次方程的应用 画出两条函数图象 步骤 利用交点坐标求函数解折式 找出交点坐标 用圈象法解二元一次方程组 交点坐标即为方程组解 解为整数过或简单分数 透用条件 精确度要求不高时适用 知1识I精1讲 知识点01二元一次方程组与一次函数的关系 1)一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0 2)一次函数为：y=x+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解。 y=0时，x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解 3)每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于 考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确 定两条直线交点的坐标 4)两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象 的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立. 5)当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直 线平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解 6)当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在坐标系中重合，反之也成立. 【易错提醒】 a x+biy=c1 二元一次方程组与一次函数关系易错警示：方程组a,X+b,y=c 的解即两个一次函数图象的交点坐标。 注意：无解对应两直线平行，无数解对应重合。求解时勿将交点坐标与解的书写形式混淆。 即时即练1 己知直线y=x-2与y=mx-n相交于点M(3,b),则关于x,y的二元一次方程组 2/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y+2=x mx-y=n的解为() x=3 x=-3 x=1 x=5 A.y=1 B y=-5 C. y=-1 D. y=3 2.如图，已知直线：y=2x+3与x轴、y轴的交点分别为A、B,请在图中作出直线，y=-x. =2x+3 B 2x-y=-3 (1)直接写出二元一次方程组 x+y=0的解—一： (2)直线2上是否存在点C,使△AOC与△AOB的面积相等，若存在，求出C点坐标；否则，说明理由. 知识点02二元一次方程组确定一次函数的表达式（待定系数法） 1)两点法：设函数的解析式为：y=x+b,当已知两点坐标，将这两点分别代入（待定系数法），可得关于 k、b的二元一次方程组，解方程得出k、b的值。 2)图形：观察图形，根据图形的特点，找出2点的坐标，利用待定系数法求解解析式。 【易错提醒】 待定系数法求一次函数易错警示：设y=+b,代入两组对应值列方程组。注意：0需检验；解方程组时 避免符号错误。若已知正比例函数则设y一：，代入一点即可。求得解析式后要回代验证。 即时即练1.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(2,0)，点B的坐标是(0,3) 3/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A (1)求直线AB所对应的函数表达式： (2)点C在直线AB上，且到y轴的距离是3，求点C的坐标： 2.“母亲节”期间，某鲜花店计划购进康乃馨和玫瑰花两种鲜花，其中玫瑰花每束40元，购买康乃馨所 需费用y(单位：元)与购买数量x(单位：束)的函数关系图象如图所示 1900 1000 2040元 (1)求y与x的函数解析式（也称关系式）： (2)该鲜花店计划购进康乃馨和玫瑰花共200束，若购买康乃馨的数量不超过150束，且不少于玫瑰花的数 量，购买两种鲜花的总费用为W,如何购买能使费用最少，并求出最少费用 03 题型突破 题型1两直线的交点与二元一次方程组的解 y+x=3 x=4 【例1】若方程组y+2x=7的解为y=-1,则函数y=-x+3和y=-2x+7图象的交点为 y=x+1 【例2】若一次函数y=x+1与y=2x-1图象的交点是(2,3)，则方程组y=2x-1的解是 【技巧归纳】 4/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 两条直线的交点坐标即为对应二元一次方程组的解。将两直线方程化为y=+,求交点即联立解方程组。 若方程组无解，则两直线平行；无穷多解则重合。已知交点求直线方程，可将交点代入。数形结合，交点 横纵坐标对应x、y。常用加减消元法求交点。 2x-y=0 【变式11】已知直线y=2x与y=-x+b的交点的坐标为(1，a 则方程组 x+y=b的解是 ax-y+b=0 x=3 【变式1-2】已知二元一次方程组 -y=0的解为y=-2,则函数y=r+b和y=的图象的交点 坐标为。 题型2图象法解二元一次方程组 y=ax+b 【例3】如图，己知函数y=a+b和y=:的图象交于点P,则二元一次方程组 y=kx 的解是 y=k -4 y=ax+b 2x-y=-b 【例4)如图，已知一次函数y=2x+b和y=-3k≠0)的图象交于点P,则二元一次方程组：-y=3 的解是 y个 v=2x+b 6 y=x-3 【技巧归纳】 画出两方程对应的直线，交点坐标即为方程组的解。若两直线平行则无解，重合则无穷多解。画图时用两 点法，标清刻度。近似解可在交点处估读。缺点：精度不够，适合判断解的情况或求整数解。实际计算还 5/17 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 需代数法验证。数形结合直观。 【变式2-1】如图，一次函数y=:-b与一次函数y=-mx+n的图象相交于点A(2,3),则关于x,y的方程 kx-y=b (mr+y=n的解为 y--mx+n y=kx-b 【变式22】如图，一次函数y=-2x和y=c+b的图象相交于点A(-2,4),则关于x、y的方程组： kx-y+b=0 2x+y=0的解是 题型3已知两直线求围成的图形面积 【例5】直线y=2x+8,y=-2x-4与y轴所围成的图形的面积是 【例6】如图，己知直线y=2x+3与直线y=-2x-1相交于点C,与y轴分别相交于点A,B,则△ABC的 面积是 【技巧归纳】 6/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 两直线与坐标轴围成的面积：先求交点及与轴交点坐标，判断图形（三角形或四边形）。用割补法：底乘 高/2或梯形面积。若两直线及x轴围成三角形，顶点为两直线交点及与x轴交点。注意交点坐标可能为 负，面积取绝对值。画图辅助，分段求。 【变式3-1】已知一次函数y=2x+4与y=-X-2的图象都经过点A,且与y轴分别交于点B,C,若点 D(m,2)在一次函数y=2x+4的图象上，则△ACD的面积为一· y=ax+2 x=2 【变式3-2】已知一次函数y=ax+2与y=:+b的图像如图所示，且方程组=：+b的解为y=1,点 B坐标为(0，-)，y轴上的一个动点P,若S△即=6，则点P的坐标为 v=kx+b y=ax+2 A 题型4利用两点式求一次函数的解析式 【例7】如图，已知点A(-6,0)、点B(0,4) A (1)求直线AB所对应的函数表达式： (2)在直线AB上有点P,满足点P到x轴的距离等于6，求点P的坐标. 【刷知图，已知直线：片=+6与坐标轴交于4A@,c分0两点，直线L:为=-2与丝标 轴交于B、D两点，两直线的交点为P点. 7/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 12 (1)求的表达式. (2)求点P的坐标. 【技巧归纳】 已知两点cy)、(c2J),斜率k=02y)/化2-x)(xx),再代入一点求：y=k+b。或直接用两点 式：(yy)/02y)=(cx)/x2-x)。注意若x1=x2则直线垂直（非函数）。化简为Jy=c+b。两点式适合含参 数问题。 【变式41】如图，已知一次函数y=x+b的图象经过点A(0,2),B4,0,C为直线AB上的动点，正比 例函数y=mx的图象经过点C. y A (1)求一次函数的表达式： mx-y=0 (2)若点C(1,a),求方程组k-y=-b的解. 【变式42】如图，直线AB与'轴交于点A,与x轴交于点B. 2 B (1)求直线AB的表达式： (2)点P在直线AB上，是否存在点P使得△BOP的面积为8？如果存在，求所有满足条件的点P的坐标. 8/17 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型5图形中求一次函数的解析式 【例9】如图，已知过点B(1,0)的直线4与直线：y=2x+4相交于点P-山，). (1)求直线的解析式： (2)求四边形PAOC的面积. 【例10】如图，在平面直角坐标系x0y中，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A(-3,0),与y轴交于 点B,且与正比例函数y=kx的图象交点为C(3,4).求： A -3 (I)求正比例函数与一次函数的关系式； (2)在x轴上是否存在一点M使△BCM周长最小，若存在，求出点M的坐标； (3)在x轴上求一点Q使△QOC为等腰三角形，请求出所有符合条件的点)的坐标， 【技巧归纳】 从图形读取两个点的坐标（或与坐标轴交点），利用两点式求k、。若已知截距（与y轴交点，与x轴 交点，可用截距式x/叶yD=1。注意从图中准确读数，特别是刻度。若直线过原点，为正比例。也可利 用面积、平行等条件列方程求解析式。 【变式5-1】如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y(千瓦时)关于已行驶路程 x(km)的函数图象。 9/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 个y/千瓦时 6 35 10 150200x/km (1)根据图象，当蓄电池剩余电量为35千瓦时，汽车已行驶的路程为km: (2)当0≤x≤150时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程： (3)当l50<x≤200时，求y关于x的函数解析式，并计算当汽车已行驶l80m时，蓄电池的剩余电量。 【变式5-2】小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合，已知小 亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的3倍.小颖与小亮同时出发，当小颖到达终点时发现行 李落在了出发地，立即乘缆车回去取，又乘缆车回到终点.中间耽搁时间为20mn.缆车的平均速度为 120m/mi.设小亮出发mim后行走的路程为m,下图中的折线表示小亮在整个行走过程中，y与x的函数 关系 y/m 3600 1400 3040 80 x/min (I)小亮行走的总路程是m,他途中休息了_min: (2)①当40≤x≤80时，求y与x的函数关系式： ②当小颖最后到达缆车终点时，小亮离缆车终点的距离是多少？ 题型6二元一次方程组与一次函数综合解决实际问题 【例11】某公司需运输一批教学设备，准备租用汽车运输公司的大、小两种型号的货车，已知过去两次租 用这两种货车的情况如下表（两次两种货车都满载）： 大货车的车辆数（辆） 小货车的车辆数（辆） 累计运货台数（台） 第一次 2 21 第二次 6 48 (1)求每辆大货车、小货车分别能装载教学设备多少台？ 10117 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)该公司现计划再租用大小货车共12辆运送一批教学设备，汽车运输公司给予该公司大货车1500元/辆， 小货车750元/辆的优惠价，公司要求此次运输设备台数不少于54台，且总运输费用少于15000元，请你 列出所有货车租用方案。 (3)在（②）的条件下，请你选择出运输费用最少的方案，并求出该方案所需运输费用. 【例12】某物流公司计划租用这两种车辆运输物资.已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货 10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨，某物流公司计划租用这两种车辆运输物资， 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若A型车每辆需租金90元/次，B型车每辆需租金110元/次.物流公司计划共租用8辆车，请写出总租 车费用w(元)与租用A型车数量a(辆)的函数关系式. (3)如果汽车租赁公司的A型车只剩了6辆，B型车还有很多.在(2)的条件下，请选出最省钱的租车车 方案，并求出最少租车费用， 【技巧归纳】 实际问题中，若有两个变量呈线性关系，可分别列一次函数解析式，再联立方程组求平衡点。或设两个未 知数，根据等量关系列二元一次方程组。解后根据函数图象分析变化趋势，选择最优方案。注意定义域 (如数量非负、时间范围)。结果结合实际问题解释。 【变式61】列方程组解应用题：为美化校园，某学校计划购进A,B两种树苗共17棵，已知A种树苗每 棵80元，B种树苗每棵60元. (1)若购进A,B两种树苗刚好用去1220元，求购进A,B两种树苗各多少元？ (2)若购进A种树苗a棵，所需总费用为w元。 ①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）： ②若购进A种树苗的数量不低于9棵，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需的费用， 【变式62】为落实立德树人的根本任务，培养有理想、有本领、有担当的新时代好少年，某校组织八年 级师生开展以“寻根河南生生不息”为主题，为期一天的“只有河南之旅”研学实践活动，学校计划租 用甲、乙两种不同型号的客车，已知2辆甲型客车和3辆乙型客车可乘坐270人，3辆甲型客车和2辆乙型 客车可乘坐255人. (1)甲、乙两种不同型号的客车每辆分别可乘坐多少人？ (2)已知甲型客车每天的租车费用为1200元，乙型客车每天的租车费用为1500元，学校计划共租用12辆客 车，请写出总租车费用w(元)与租用甲型客车数量（辆）的函数关系式： 11/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如果客车租赁公司的甲型客车只剩下8辆，乙型客车还有很多.在(2)的条件下，请选出最省钱的租 车方案，并求出最少租车费用 04 过关检测 一、单选题 1.已知直线y=kx+3(k为常数，且k≠0)经过点(L,9),则关于x的方程+3=0的解是() A.X=9 C.x=3 n.=月 2.如图，一次函数y=a+b(k>0)的图象经过点-2,0和(0,4)，则关于x的方程+b=2的解是() 32-1@123x -1 2 A.x=-1 B.x=-2 C.x=0 D.x=3 y=kx+b 3.如图，直线1：y=x+6与直线，：y=kx+b,交于点P(,3)则关于不，y的方程组y=,x+的解是 () A.x=3 B x=1 x= y=3 C.x=1 D 2 y=1 y=6 y=3 4.如图，直线y=x+5和直线y=ar+b相交于点P,观察其图象可知方程(a-l)x+b-5=0的解为() 12117 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=x+5 y=ax+b 25 1P(20,25) ! 0 20 A.x=10 B.x=15 C.x=20 D.x=25 5.如下图在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=ax+ba≠0与y2=mx+nm≠0的图象如图所示，则 下列结论错的是() y2=mx+n y=ax+b A.b<n B.2随x的增大而减小 C.当x<2时，y1>y2 D.关于x,y的方程组乙的解为乙 二、填空题 6.己知一次函数y=x+b的图像经过点(0,2)和(1,0)，则这个一次函数的解析式为 x+y-2=0 7.直线y=-X+2与直线y=mx+nm相交于点P3,a)则关于x,y的二元一次方程组m-y+n=0的解为 y=ax+b 8.如图函数y=x+b和y=:的图象交于点p'关于x'y的方程组y=: 的解是 13117 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.将直线y= 一2x+5向下平移3个单位，平移后的直线分别交x轴、y轴于A、B两点，点O为坐标原点， 则SAAB0=一· 10.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x-3与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C的坐标为(-1,0)」 点D在线段OA上，连接BD,使∠ABD=∠CBO,则点D的坐标为」 B 三、解答题 11.已知一次函数图象经过点(0,2)和(2,6) (1)求该一次函数解析式： (2)判断点-1,0是否在这个函数图象上. 12.己知一次函数的图象经过A(0,3),B(2,1)两点. (1)求这个一次函数的解析式： (2)将(1)中所得函数的图象向下平移a(a>0)个单位长度，使它经过点(-1,2)，请求出a的值. 13.如图，已知函数y=x+1和y=ax+3(a≠0)的图象相交于点P,点P的横坐标为1. =x+1 y=ax+3 x-y=-1 0)关于x,y的方程组aX-y=-3的解是_， 14117 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)a的值为-. 3)求出函数y=x+1和y=ax+3(a≠0)的图象与x轴围成的几何图形的面积. 14.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线：y=x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,直线2与x轴交 于点C(2,0),与4相交于点D(m,8). B (1)求直线2的解析式： (②)求四边形OBDC的面积； 1 ②)点E为直线1，上一点，若5，m-254D,请直接写出所有符合题意的点E的坐标. 15.2026年5月4日，100坦克最新训练画面罕见公开，其作为陆军新一代装甲装备，具有智能化程度高、 协同能力强等优势.某模型专卖店计划购进A、B两种坦克模型共I00个进行销售，已知坦克模型A、B的 进价如下表： 类型 进价（元/个） 坦克模型A 60 坦克模型B 50 坦克 设购入坦克模型A的数量为x个，购入坦克模型AB的总费用为少元.请根据上述信息，解答下列问题： (1)求y与x之间的函数关系式： (2)若该模型专卖店购入坦克模型A的数量不少于40个，求购入坦克模型A、B的总费用至少为多少元？ 16.在一条笔直的公路上有A,B,C三地，C地位于A,B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向 C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地，在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车与C地的 15117 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 距离少（单位：km),y2(单位：km)与甲车行驶时间t(单位：h)之间的函数关系如图.请根据所 给图象解答下列问题： Ay/km 240甲 200 0 74 2 (I)甲车的行驶速度为km/h,乙车的行驶速度为km/h: (2)当0≤t≤4时，求乙车与C地的距离2与甲车行驶时间t之间的函数关系式； (3)当乙车出发小时，两车相遇， 17.如图，在平面直角坐标系中，点A、C均在x轴上，点B在第一象限，直线AB上所有点的坐标(x,) 都是二元一次方程x-y=-2的解，直线BC上所有点的坐标(x,)都是二元一次方程2x+y=8的解。 (1)点A的坐标为（」 0),点C的坐标为( ); (2)求点B的坐标时，小明是这样想的：先设点B的坐标为m,n,因为点B在直线AB上，所以m,n是方 程x-y=-2的解：又因为点B在直线BC上，所以m,n也是方程2x+y=8的解，从而m,n满足 [m-n=-2 2m+n=8·请据此求出点B的坐标 1 6)若点D在线段MB上，且满足Som=2Sc,求点D的坐标. 18,如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x+3与x轴、y轴分别交于A、B,一次函数片=2x+b 经过点B 16117 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B 3 ⊙ A 0 A 图1 图2 1 (1)求一次函数2= +b的解析式： (2)如图2，把直线BC沿y轴向上平移5个单位，与直线AB相交于点M,连接MC,求△MBC的面积； 3)在直线x=-2上是否存在一点Q,使得40+B0的和最小，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在， 请说明理由. 17117