3.1 确定位置（暑假预科讲义）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲 3.1确定位置知识归纳与题型总结 思 维 图 感受确定位置的多种现实方法 核心目标 掌握有序数对确定平面内点的位置 区分不同定位方式 行列定位（座位、教室座位、电影院座位） 确定位置 生活中常见确定位置的方式 方位角+距离定位（航海、雷达、方位图） 经纬度定位（地球上地点） 定义 有顺序的两个数a与b组成的数对，记作(a,b) 有序数对 “有序”含义 一(a,b)和(b,a)一般不表示同一个位置 培 考点01确定位置 考点梳理 一.核心目标： 1.感受确定位置的多种现实方法： 2.掌握有序数对确定平面内点的位置： 3.区分不同定位方式：行列定位、方位角+距离定位、经纬度定位。 二.生活中常见确定位置的方式 1.行列定位（座位、教室座位、电影院座位） ·例子：第3排第4座；两组数据才能确定平面内一个位置 1/13 暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲 ·关键点：顺序不能随便调换 例：(3,4)≠(4,3)，含义不同。 结论：平面上确定一个位置，一般需要两个独立数据。 2.方位角+距离定位（航海、雷达、方位图) 格式：北偏东（西）×。，距离×米/南偏东（西）×。，距离×千米 △注意：①必须以观测点为中心：②只有角度没有距离，只能确定一条射线，不能确定 唯一位置；③只有距离没有角度，是以观测点为圆心的圆，无数个点。 白方位角+距离两组数据，才能唯一确定位置。 3.经纬度定位（地球上地点） 经度、纬度两个数据确定地球上一点，本质也是两组数据。 三.有序数对 1.定义：有顺序的两个数a与b组成的数对，记作(a,b)。 2.“有序” 含义：(a,b)和(b,a)一般不表示同一个位置。 典例引领 考向01 用有序数对表示位置 【例1】根据下列表述，能确定具体位置的是() A.横店电影城1号厅6排 B.曲靖市罗平县 C.北纬24°，东经104 D.南偏西40° 考向02用有序数对表示路线 【例2】如图，李强从家（一街二巷）到校（四街四巷）的路线图中，规定每次只能向上 或向右走，从家到校一共有()不同的走法 五巷 四巷 校 三巷 二巷 一 街街街著 2/13 暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲 A.6种 B.8种 C.10种 D.15种 考向03用方位角和距离确定物体的位置 【例3】如图，小明家相对于学校的位置，下列描述最准确的是() 北 A 北 1152 学校 1000m 小明家 A.北偏东65°，1000m处 B.南偏西65°，1000m处 C.北偏东25°，1000m处 D.距离学校1000m处 考向04根据方位描述确定物体的位置 【例4】下列选项中不能确定物体位置的是() A.电影院5排8号 B.南偏西60° C.无终东街1586号 D.东经105°，北纬40° 对点提升 【对点1】在“探索与发现展厅”有一个雷达探测器，如图，雷达探测器测得六个目标点 6,120) A,B,C,D,E,F,按照规定的目标表示方法，目标点A,B的位置分别表示为 (2,30) 按照此方法在表示目标C,D,E,F的位置时，点C的位置表示为 120 90° 60° 4 150° 309 180° -00 56 210° 330° 240° 270° 3009 3/13 暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲 【对点2】如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动.它从A处 出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负.如果从A 到B记为：A→B(+1,+4),从B到A记为：B→A(-1,4),其中第一个数表示左 右方向，第二个数表示上下方向，那么图中： B A● (1)A→C( ),B→D(- (2)若这只甲虫从A处出发去甲虫N处的行走路线依次为 (+2,+2）F(+l,-1)M(-2,+2) N(-1,+2) 请在图中标出依次行走停留点E、F、M、N的位置. 【对点3】如图，描述点A的位置：点A在点O的北偏东°方向上4km处. 桃 A 4 km 450 东 【对点4】2026年2月，北京大学董豪教授团队研发的“空间大脑”技术，让机器人能像 人类一样理解空间关系、距离和方位.搭载“空间大脑”技术的机器人从起始位置点O出 发，按以下指令移动：指令1：向北移动4米到点A:指令2：右转90°，向东移动3米到 点B:指令3：右转90°，向南移动2米到点C;指令4：右转90°，向西移动5米到点D 判断下列结论中不正确的是() 4/13 暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲 NH 精确转动路位 A.直线OA与直线CD垂直 B.直线AB与直线CD平行 C.点D位于点0的北偏东45°方向 D.点O与点C之间的距离大于3米 好 题 冲 关 能力提升 一、选择题 1.中国象棋是中华民族的文化瑰宝.象棋的玩法口诀：马走日，象走田，卒子一去不回还： 车是一杆枪，炮是隔山箭，老将老士不出院.“象”在棋盘上只能走“田”字，“象”不 可能走到() 炮 3 2 馬 卒 1 帥 0 象 5 678 A、 (0,2) 8(02) c.(2,4) 0.(4,2) 2.如图是雷达探测到的6个目标，若目标8用30,60)表示，目标P用(50,210)表示。则 用(40,30 表示的目标是() 5/13 暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲 90° 120° 60° 150° 30° 180° 0° 210° 330° 240° 300° 270° A.目标A B.目标C C.目标E D.目标F 3.下列语句中，不能确定物体位置的是() A.某影院第1放映厅第5排10号座位 B.东经118°，北纬37 C.王婷家在新华小区，住8楼 D.象山港的北偏东48°，距离12海里处 4.小明乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探测得到的结果如图所示，每相邻两个 圆之间的距离是km,小圆的半径是km,己知小艇C在游船的正南方向2km处，则下列 关于位置的描述，正确的是() 北 y个 》东 K60° O A.小艇A在游船的北偏东60°，且距游船3km处 B.小艇B在游船的北偏西30°，且距游船2km处 C.游船在小艇C的正南方向，且距游船2km处 D.小艇B在游船的北偏西60°，且距游船2km处 5,小敏打电话给小丽：“你在哪？”，在下面小丽的回话中，最能确定小丽具体位置的是 () A.我和你相距800米，在你的东面. 6/13 暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲 B.我在你北偏东30°的方向，离你800米远 C.我在你北偏东30°的方向. D.你向北走500米，然后转90°再走300米就可以找到我， 6.如图显示了10名学生平均每周用于体育锻炼的课余时间和用于读课外书的课余时间 (单位：小时)·下列说法错误的是() 用于体育锻炼 的课余时间 用于读课外书 的课余时间 A.10名学生中，平均每周用于读课外书的课余时间为2小时的学生有两名 B.在图中方格纸对角线上的点，表示学生平均每周用于体育锻炼的课余时间和用于读 课外书的课余时间相等 C.10名学生平均每周用于体育锻炼的课余时间均不同 D.10名学生中，平均每周用于体育锻炼的课余时间比用于读课外书的课余时间多的学 生有4名 7.如果A点用数对表示为(，5)，B点用数对表示为，)，C点用数对表示为(4，)，则三角 形ABC一定是()三角形. A.锐角 B.钝角 C.直角 D.等腰 8.如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点A,B,C处有目标出现.按某种 规则.点4、B的位置可以分别表示为，90).(2,240) 则表示为2,300)的点为 () 7/13 暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲 120° 90° 60° 150° D C309 A 180° -0° 210° B 330 240° 270° 300° A.C B.D C.E D.F 9.坐标方法是数学的一个重要方法，除了平面直角坐标系外，还可以用表示方位的角和距 离来表示平面内物体的位置.例如，经测学校到遵义市政府的直线距离约3.9公里，其相 对位置如图所示，则遵义市政府（点B)相对学校（点A)的位置可用方位坐标描述为( ) 三 遵义市政府 B 52 D 学校 A.(北偏西38°，3.9km) B.(西偏北52°，3.9km) C.(北偏西52°，3.9m) D.(东偏南38°，3.9km) n,m) 10.将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对 表示第”排，从左到右第 m个数，如 4,2) 表示9，则表示2024的有序数对是() 1 …第一排 3 2 …第二排 45 6 …第三排 10 9 7…第四排 A.(63,8) B.(64,8) C.(64,57) D.(64,56) 二、填空题 8/13 暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲 1cm' 11.如图中，每个小正方体的体积都是 .当正方体甲、乙如图摆放时，它们的位置可 以分别表示 2,21和3,43到 那么正方体丙的位置可以表示为 6 5 4 3 2 0123456 12.据古籍《鹖(h)冠子》记载：“斗柄东指，天下皆春；斗柄南指，天下皆夏；斗柄 西指，天下皆秋：斗柄北指，天下皆冬.”古人通过观察北斗七星斗柄的不同指向就可以 确定季节.如图是北斗七星的部分平面模型图. 北 天枢 玉衡 天权 709天璇 天玑 1cm 天玑在天璇的 偏 方向_cm处。 13.如图，雷达探测器在一次探测中，发现两个目标A,B,若目标A的位置可以用 (60°，3) 来表达，那么目标B的位置可以表示为， 9/13 暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲 NH 909 120° 60° 150° 30° 180 0 3309 210° 240° 300° 270° 14.如图，雷达探测器探测到三艘船A,B，,C,按照目标表示方法的规定，A与B的位 A(5,30°)B(6,300 置分别表示为 ,船C的位置应表示为 909 120° 60° 150° 30° 180 123456 -0° C 210° 3309 B 240° 300° 270° 15.将-组数5,2，V6.22.0…251 按图中的方法进行排列： √22√62√21025 W144322W5√2226 √262√7V304W2V346 若3W2在第2行第3列的位置记为 2,3)27 在第3行第2列的位置记为 3,2) 则这组数 中最大的有理数n的位置记为 三、解答题 10/13 暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲 16.人们在野外时，会用“点钟方向”来描述方位.如图中，点0所在地为营地，巨石堆 点A的位置在营地的北偏东60°方向，也可以描述为在营地的“2点钟方向”. 北 B 0100m (1)点B的位置有一个鸟巢，在营地的()点钟方向. (2)在营地的北偏西30°方向150米处有一条小溪，用点C表示出小溪的位置.我们也可以 说在营地的（)点钟方向有一条小溪 17.新定义：除了平面直角坐标系外，我们还可以用角度和距离来确定点的位置.规定： 在平面内任意选择一点为原点，过原点的一条射线为始方向，平面内其他的点可以用始方 向射线顺时针旋转角度a0≤α<360)和与原点的距离d来表示，即 （a,d) 例如：如图 1,在平面内规定点0为原点，射线0A为始方向，∠AOC=33°，OC=3,那么可以用 (33,3 来表示点C的位置. 货轮 北 50 灯塔 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠A0B=120°，0B=3,则点B可以表示为()： (2)如图2，货轮与灯塔相距30海里，规定正北方向为始方向，请分别求出以货轮为原点时 灯塔的位置和以灯塔为原点时货轮的位置， (3)定义应用：如图3，当选择点A为原点，正北方向为始方向时，点B、点C的位置可以 分别表示为 45,4利)，（105,4)，若选择点B为原点，正东方向为始方向，请分别求出点1、 11/13 暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲 点C的位置.（提示：如果一个三角形中两边相等，且有一个角是60°，那么这个三角形 是等边三角形，它的三条边都相等，三个角都是60°) 18.如图，在5×5的正方形网格（每小格边长为1）内有一只甲壳虫，它爬行的规律总是 沿网格线先左右，再上下，规定：向右与向上为正，向左与向下为负.甲壳虫从A到B的 A→B(+,4),从B到A的爬行路线记为： B→A(-1,4) 爬行路线记为： 其中第一个 数表示左右爬行，第二个数表示上下爬行 )图中B→D(一，一)，C→B(一， (2)若甲壳虫的爬行路线为A→B→C→D,计算甲壳虫爬行的路程. 3)若甲壳虫从点4出发，爬行路线依次为+2，+3)，(2+川，(+3，-)（4，+2) 最终到 达点P处，请在图中标出点P的位置 19.如图，一艘轮船先从A地出发行驶到B地，又从B地行驶到C地，B地在A地南偏西 的方向，距离A地80海里，C地在B地北偏西的方向，距离B地100海里. 个A 50°北 40° B (1)表示出B地相对于C地的位置； (2)求A,C两地之间的距离， 20.定义：在方格状的街道地图中，所有路口的位置都可以用整数坐标 x)表示.从路口 P 到路口，只能沿街道水平或竖直行走，经过的路口个数减1（即走过的街道段数）称 为P与Q之间的街距，记作P,Q) 12/13 暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲 例如：从 到4 需要走过3段街道，街距为3：从，D到，)，街距为4：从，D 到(4,5)，街距为3+4=7. 现在地图上有三个重要的地点：学校S(2,6),图书馆L(5,3),体育馆G(7,5).社区计划选 择一个路口设立“共享服务站”，使得服务站到三个地点的街距之和最小. 4 23456 (1)街距dS,L)与d(L,G的和是() A.8: B.9:C.10 D.11 (2)设服务站的位置为 P(x,y) 当服务站建在某路口时，到三个地点（学校、图书馆、体有 馆)的街距之和最小，则街距之和最小为一 (3)由于施工原因，街道上出现了一段“限行区”：如果服务站所在路口的纵坐标大于或等 于它的横坐标，那么从这个路口去往任何一个地点，都需要先绕行一段固定路线，导致到 每个地点的街距都要额外增加2个单位（即原来的街距加2）· 例如：若服务站选在路口B,5),因为5>3，属于“限行区”，那么它到学校的街距就是 d(P,S)+ 2,若服务站选在路口42），因为2<4，则不属于“限行区”，街距无箭增如。 请问：在有“限行区”的情况下，服务站建在哪个路口能使其到三个地点（学校、图书馆、 体育馆)的街距之和最小？街距之和最小是多少？请写出你的思考过程， 13/13暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 3.1确定位置 知识归纳与题型总结 考点01 确定位置 1． 核心目标： 1.感受确定位置的多种现实方法； 2.掌握有序数对确定平面内点的位置； 3.区分不同定位方式：行列定位、方位角 + 距离定位、经纬度定位。 2． 生活中常见确定位置的方式 1. 行列定位（座位、教室座位、电影院座位） · 例子：第 3 排第 4 座；两组数据才能确定平面内一个位置 · 关键点：顺序不能随便调换 · 例：(3,4)≠(4,3)，含义不同。 结论：平面上确定一个位置，一般需要两个独立数据。 2. 方位角 + 距离定位（航海、雷达、方位图） 格式：北偏东（西）×°，距离 × 米 / 南偏东（西）×°，距离 × 千米 ⚠️注意：① 必须以观测点为中心；② 只有角度没有距离，只能确定一条射线，不能确定唯一位置；③ 只有距离没有角度，是以观测点为圆心的圆，无数个点。 👉方位角 + 距离两组数据，才能唯一确定位置。 3. 经纬度定位（地球上地点） 经度、纬度两个数据确定地球上一点，本质也是两组数据。 3． 有序数对 1.定义：有顺序的两个数 a 与 b 组成的数对，记作 (a,b)。 2.“有序” 含义：(a,b) 和 (b,a) 一般不表示同一个位置。 考向01 用有序数对表示位置 【例1】根据下列表述，能确定具体位置的是（     ） A．横店电影城1号厅6排 B．曲靖市罗平县 C．北纬，东经 D．南偏西 【答案】C 【分析】根据平面内确定一个具体位置需要两个独立的有序数据逐项进行判断． 【详解】解：平面内确定具体位置需要两个有序的唯一数据， A 选项，横店电影城1号厅6排，缺少具体座位号，无法确定具体位置； B 选项，曲靖市罗平县是一个大范围区域，无法确定具体位置； C 选项，北纬，东经，两个数据可以唯一确定具体位置； D 选项，南偏西，缺少距离信息，无法确定具体位置． 考向02 用有序数对表示路线 【例2】如图，李强从家（一街二巷）到校（四街四巷）的路线图中，规定每次只能向上或向右走，从家到校一共有（   ）不同的走法 A．6种 B．8种 C．10种 D．15种 【答案】C 【分析】用有序实数对表示位置，依次找到不同的走法． 【详解】解：用数对表示位置，街数记为，巷数记为，街巷记为， 则家的位置为，校的位置为， 从家到校的走法有： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩； 因此共有10种不同走法． 考向03 用方位角和距离确定物体的位置 【例3】如图，小明家相对于学校的位置，下列描述最准确的是（     ） A．北偏东，处 B．南偏西，处 C．北偏东，处 D．距离学校处 【答案】B 【分析】确定观测点为学校，明确上北下南左西右东的方位规则，根据学校处正西与正北方向夹角为，进而计算出正北方向与小明家所在方向的夹角，结合已给出的两点距离，匹配对应的方位描述选项即可． 【详解】解：由图可知，小明家在学校的南偏西方向，小明家所在方向与正南方向向西的夹角为， 因此，小明家在学校南偏西，处． 考向04 根据方位描述确定物体的位置 【例4】 下列选项中不能确定物体位置的是（     ） A．电影院5排8号 B．南偏西 C．无终东街1586号 D．东经，北纬 【答案】B 【分析】平面内确定一个物体的位置需要两个独立的有序信息，据此判断各选项即可． 【详解】解：选项A、电影院5排8号，有排数和号数两个信息，可以确定位置； 选项B、只有方向“南偏西”，没有距离信息，缺少确定位置的必要条件，不能确定物体位置； 选项C、无终东街1586号，有街道名称和门牌号两个信息，可以确定位置； 选项D、东经，北纬，有经度和纬度两个信息，可以确定位置． 【对点1】在“探索与发现展厅”有一个雷达探测器，如图，雷达探测器测得六个目标点A，B，C，D，E，F，按照规定的目标表示方法，目标点A，B的位置分别表示为，，按照此方法在表示目标C，D，E，F的位置时，点C的位置表示为____________． 【答案】 【详解】解：根据题意可得点C的位置表示为． 【对点2】如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A→B（，），从B到A记为：B→A（，），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中： (1)A→C（______，______），B→D（______，______）； (2)若这只甲虫从A处出发去甲虫N处的行走路线依次为，，，，请在图中标出依次行走停留点E、F、M、N的位置． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】本题主要考查了用有序实数对表示路线．读懂题目信息，正确理解行走路线的记录方法是解题的关键． （1）根据向上向右走为正，向下向左走为负，可得答案； （2）根据向上向右走为正，向下向左走为负，可得答案； 【详解】（1）解：A→C，B→D， 故答案为：，； （2）解：如图： ； 【对点3】如图，描述点的位置：点在点的北偏东_______方向上处． 【答案】40 【详解】解：， ∴点在点的北偏东方向上处． 【对点4】2026年2月，北京大学董豪教授团队研发的“空间大脑”技术，让机器人能像人类一样理解空间关系、距离和方位．搭载“空间大脑”技术的机器人从起始位置点出发，按以下指令移动：指令1：向北移动4米到点；指令2：右转，向东移动3米到点；指令3：右转，向南移动2米到点；指令4：右转，向西移动5米到点．判断下列结论中不正确的是（     ） A．直线与直线垂直 B．直线与直线平行 C．点位于点的北偏东方向 D．点与点之间的距离大于3米 【答案】C 【分析】根据题意作出示意图，再逐项判断即可． 【详解】解：如图，设与相交于点 则直线与直线垂直，故A正确，不符合题意； 直线与直线平行，故B正确，不符合题意； 点位于点的正西方向，故C错误，符合题意； 点与点之间的距离，故D正确，不符合题意． 一、选择题 1．中国象棋是中华民族的文化瑰宝．象棋的玩法口诀：马走日，象走田，卒子一去不回还；车是一杆枪，炮是隔山箭，老将老士不出院．“象”在棋盘上只能走“田”字，“象”不可能走到（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定象的初始坐标，作为推导的起点，依据象走“田”字的规则，推导象移动后横、纵坐标的变化规律，得出象能到达的点的坐标满足的特征，再逐一判断即可． 【详解】由图可知“象”当前位置是，根据象棋规则“象走田字”，走一步后坐标的横、纵坐标变化量一定是2和2，因此新坐标横、纵坐标的和的奇偶性和起点一致：起点横纵坐标和为，是偶数； A选项：，是偶数，符合象走后的坐标特征，可以走到； B选项：，是奇数，不符合特征，象不可能走到； C选项：，是偶数，可以走到； D选项：，是偶数，可以走到． 2．如图是雷达探测到的6个目标，若目标用表示，目标用表示，则用表示的目标是（     ） A．目标 B．目标 C．目标 D．目标 【答案】A 【分析】根据题意弄清坐标的含义即可求解 【详解】解：根据题意可知，括号内左边的数代表点距中心点的距离，一个环代表10，括号内右边的度数则代表它们的方位， 因此代表的是目标A 3．下列语句中，不能确定物体位置的是（     ） A．某影院第放映厅第排号座位 B．东经，北纬 C．王婷家在新华小区，住楼 D．象山港的北偏东，距离海里处 【答案】C 【分析】本题考查平面内确定物体位置的条件，平面内确定一个物体的位置需要两个数据，据此判断各选项即可． 【详解】解：A、在第1放映厅内，有排号、座位号两个数据，可以确定物体位置； B、东经，北纬，两个数据可以确定位置； C、只说明在新华小区8楼，缺少具体单元、室号等信息，无法唯一确定位置； D、给出方向和距离12海里两个数据，可以确定位置． 4．小明乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探测得到的结果如图所示，每相邻两个圆之间的距离是，小圆的半径是，已知小艇在游船的正南方向处，则下列关于位置的描述，正确的是（     ） A．小艇在游船的北偏东，且距游船处 B．小艇在游船的北偏西，且距游船处 C．游船在小艇的正南方向，且距游船处 D．小艇在游船的北偏西，且距游船处 【答案】D 【详解】解：由题意，游船在小艇的正北方向，且距小艇处，即在原点位置， 故小艇在游船的北偏东，且距游船处； 小艇在游船的北偏西，且距游船处； 故只有选项D符合题意. 5．小敏打电话给小丽：“你在哪？”．在下面小丽的回话中，最能确定小丽具体位置的是（     ） A．我和你相距800米，在你的东面． B．我在你北偏东的方向，离你800米远． C．我在你北偏东的方向． D．你向北走500米，然后转再走300米就可以找到我． 【答案】B 【分析】平面内确定一个点的具体位置需要两个独立的确定条件，同时具备确定方向和确定距离才能得到唯一位置． 【详解】解：在平面内确定一个点的具体位置，需要同时有确定的方向和距离两个条件，逐一分析选项： 选项A的方向表述“东面”不够精确，无法唯一确定位置； 选项B同时给出确定方向（北偏东）和确定距离（800米），可以唯一确定小丽的具体位置； 选项C只有方向，没有距离，无法确定位置； 选项D中转未说明转动方向，存在两个可能的位置，无法确定具体位置； 6．如图显示了10名学生平均每周用于体育锻炼的课余时间和用于读课外书的课余时间（单位：小时）．下列说法错误的是（     ） A．10名学生中，平均每周用于读课外书的课余时间为2小时的学生有两名 B．在图中方格纸对角线上的点，表示学生平均每周用于体育锻炼的课余时间和用于读课外书的课余时间相等 C．10名学生平均每周用于体育锻炼的课余时间均不同 D．10名学生中，平均每周用于体育锻炼的课余时间比用于读课外书的课余时间多的学生有4名 【答案】C 【分析】根据横轴和纵轴表示的意义对每个点进行分析即可． 【详解】解：A、10名学生中，平均每周用于读课外书的课余时间为2小时的学生有两名，故选项A正确； B、在图中方格纸对角线上的点，表示学生平均每周用于体育锻炼的课余时间和用于读课外书的课余时间相等，故选项B正确， C、10名学生平均每周用于体育锻炼的课余时间有的相同，有的不同，故选项C说法错误； D、10名学生中，平均每周用于体育锻炼的课余时间比用于读课外书的课余时间多的学生有4名，故选项D说法正确． 7．如果A点用数对表示为，B点用数对表示为，C点用数对表示为，则三角形一定是（     ）三角形． A．锐角 B．钝角 C．直角 D．等腰 【答案】C 【分析】数对表示位置的方法是：第一个数字表示列，第二个数字表示行，据此利用方格图将点A、B、C的位置标出来，顺次连接得出这个三角形，即可得出结论． 【详解】解：根据题意，将点A、B、C的位置标在如下方格图中， 由图可知，，即， 为直角三角形． 8．如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点，，处有目标出现．按某种规则．点A、B的位置可以分别表示为，，则表示为的点为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知点、的坐标归纳出有序数对的规则，即第一个数表示圈数，第二个数表示角度． 【详解】解：∵点的位置表示为，点的位置表示为 ， ∴有序数对的第一个数表示点所在的圈数，第二个数表示点所在的度数 ， ∴表示的点在第2圈，的方向上 观察图形可知，点在第2圈，的方向上， ∴表示为的点为 ． 9．坐标方法是数学的一个重要方法，除了平面直角坐标系外，还可以用表示方位的角和距离来表示平面内物体的位置．例如，经测学校到遵义市政府的直线距离约3.9公里，其相对位置如图所示，则遵义市政府（点B）相对学校（点A）的位置可用方位坐标描述为（   ） A．（北偏西，） B．（西偏北，） C．（北偏西，） D．（东偏南，） 【答案】C 【分析】根据方位角的定义，以正北方向为基准，结合图形中给出的角度和已知距离，确定点B相对于点A的方向和距离即可． 【详解】解：由图可知，射线指向正北方向， ∵，且点B在点A的左侧（西方）， 点B在点A的北偏西方向． 又∵学校到遵义市政府的直线距离约3.9公里， ∴遵义市政府（点B）相对学校（点A）的位置可用方位坐标描述为（北偏西，） 10．将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对表示第排，从左到右第个数，如表示9，则表示2024的有序数对是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出表示2024的有序数对． 根据图中的数字，可以发现每排的数字个数和每排中数字的排列顺序，从而可以得到2024在第多少排，然后即可写出表示2024的有序数对，本题得以解决． 【详解】解：由图可知， 第一排1个数， 第二排2个数，数字从大到小排列， 第三排3个数，数字从小到大排列， 第四排4个数，数字从大到小排列， …， 则前n排的数字共有：个数， ∵当时，， 当时，， ∴2024在第64排， ∵， ∴表示2024的有序数对是． 故选：C． 二、填空题 11．如图中，每个小正方体的体积都是．当正方体甲、乙如图摆放时，它们的位置可以分别表示为和．那么正方体丙的位置可以表示为( )． 【答案】 【分析】根据已知点甲、乙的坐标确定有序数对中三个数分别代表的几何意义，即列数、行数和层数，进而确定丙的坐标． 【详解】解：由正方体甲的位置可知，有序数对的第一个数表示列数，第二个数表示行数，第三个数表示层数， 由正方体乙的位置可知，乙位于第列，第行，第层，符合图形特征， 观察图形可知，正方体丙位于第列，第行，第层， 所以正方体丙的位置可以表示为． 12．据古籍《鹖（hé）冠子》记载：“斗柄东指，天下皆春；斗柄南指，天下皆夏；斗柄西指，天下皆秋；斗柄北指，天下皆冬．”古人通过观察北斗七星斗柄的不同指向就可以确定季节．如图是北斗七星的部分平面模型图． 天玑在天璇的______偏__________方向______处． 【答案】 南 西 3 【分析】根据方向角的定义，以天璇为观测点建立方向坐标系，结合图形中的角度标注确定天玑相对于天璇的方向，根据比例尺和线段上的刻度确定两点间的距离． 【详解】解：由图可知，方向标指示向上为北，则向下为南，向左为西，向右为东， 以天璇为观测点，天玑位于天璇的左下方，即南偏西方向， 图中标注的角表示天璇与天玑连线与正南方向的夹角， ∴方向为南偏西， 观察天璇与天玑之间的线段，该线段被短竖线分为段，根据右下角比例尺可知每段长度为， ∴天璇与天玑之间的距离为， 综上所述，天玑在天璇的南偏西方向处． 故答案为：南，西，3． 13．如图，雷达探测器在一次探测中，发现两个目标，，若目标的位置可以用来表达，那么目标B的位置可以表示为______．    【答案】 【分析】根据题意可知表示一个点，距离是自内向外的环数，角度是所在列的度数，据此进行判断即可得解． 【详解】解：由图可得目标在自内向外第4环上，角度为， 因此目标的位置可以表示为． 14．如图，雷达探测器探测到三艘船，，，按照目标表示方法的规定，与的位置分别表示为，，船的位置应表示为______________． 【答案】 【分析】根据给出的点的坐标得到横坐标为圈数，纵坐标为度数，即可得出结果. 【详解】解：由题意，船的位置应表示为. 15．将一组数，，，，，，按图中的方法进行排列：                                  …… 若在第2行第3列的位置记为，在第3行第2列的位置记为，则这组数中最大的有理数的位置记为__________． 【答案】 【分析】先得出这组数的通项规律，再找出范围内最大的完全平方数得到最大有理数，计算其序号，结合每行6个数的排列规律确定位置． 【详解】解：将这组数统一改写为根号形式，可得规律：第个数为， ∵， ∴这组数中所有数的被开方数最大为， ∵要得到有理数，被开方数需为完全平方数，且，， ∴这组数中最大的有理数， 令， 解得， ∴是第个数， ∵排列中每行有个数， ∴， 即第个数在第行第列，位置记为． 三、解答题 16．人们在野外时，会用“点钟方向”来描述方位．如图中，点O所在地为营地，巨石堆点A的位置在营地的北偏东方向，也可以描述为在营地的“2点钟方向”． (1)点B的位置有一个鸟巢，在营地的（     ）点钟方向． (2)在营地的北偏西方向150米处有一条小溪，用点C表示出小溪的位置．我们也可以说在营地的（     ）点钟方向有一条小溪． 【答案】(1)7 (2)，11 【分析】（1）根据图形及题意进行求解即可； （2）根据图形及题意进行求解即可． 【详解】（1）解：如图， ∴点B的位置有一个鸟巢，在营地的7点钟方向； （2）解：小溪的位置略， 先从正北向西偏画射线，再按比例尺（1段）量出3段的长度，标出点C即可． 营地的11点钟方向有一条小溪． 17．新定义：除了平面直角坐标系外，我们还可以用角度和距离来确定点的位置．规定：在平面内任意选择一点为原点，过原点的一条射线为始方向，平面内其他的点可以用始方向射线顺时针旋转角度和与原点的距离来表示，即．例如：如图1，在平面内规定点为原点，射线为始方向，，，那么可以用来表示点的位置． (1)如图1，若，，则点可以表示为（     ）； (2)如图2，货轮与灯塔相距海里，规定正北方向为始方向，请分别求出以货轮为原点时灯塔的位置和以灯塔为原点时货轮的位置． (3)定义应用：如图3，当选择点为原点，正北方向为始方向时，点、点的位置可以分别表示为，，若选择点为原点，正东方向为始方向，请分别求出点、点的位置．（提示：如果一个三角形中两边相等，且有一个角是，那么这个三角形是等边三角形，它的三条边都相等，三个角都是） 【答案】(1) (2)以货轮为原点时灯塔的位置为，以灯塔为原点时货轮的位置为 (3) 【分析】（1）根据新定义解答即可； （2）分别求出和，根据新定义解答即可； （3）过点作于，延长到，则为正东方向，过点作，根据新定义得出，，，可得是等边三角形，，，根据平行线的性质得出，，利用角的和差关系求出，，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，，即，， ∴点可以表示为． （2）解：如图所示， 当以货轮为原点时，∵， ∴， ∵货轮与灯塔相距海里， ∴以货轮为原点时灯塔的位置为， 当以灯塔为原点时，由题意可知，， ∴， ∴， ∴以灯塔为原点时货轮的位置为． （3）解：如图，过点作于，延长到，则为正东方向，过点作， ∵以点为原点，正北方向为始方向时，点、点的位置可以分别表示为，， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形，，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴以点为原点，正东方向为始方向，点、点的位置为． 18．如图，在的正方形网格（每小格边长为1）内有一只甲壳虫，它爬行的规律总是沿网格线先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．甲壳虫从A到B的爬行路线记为：，从B到A的爬行路线记为：，其中第一个数表示左右爬行，第二个数表示上下爬行． (1)图中（_______，_______），（_______，_______）． (2)若甲壳虫的爬行路线为，计算甲壳虫爬行的路程． (3)若甲壳虫从点A出发，爬行路线依次为，，，，最终到达点P处，请在图中标出点P的位置． 【答案】(1)，，， (2)10 (3)点的位置如图所示： 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意可直接列式进行求解； （3）根据“爬行路线依次为，，，”进行作图即可． 【详解】（1）解：由题意得：图中，． （2）解：，，， 甲壳虫爬行的路程为； （3）略 19．如图，一艘轮船先从地出发行驶到地，又从地行驶到地，地在地南偏西的方向，距离地80海里，地在地北偏西的方向，距离地100海里． (1)表示出地相对于地的位置； (2)求，两地之间的距离． 【答案】(1)地在地南偏东的方向，距离地100海里 (2)海里 【分析】（1）结合图形观察即可求解； （2）判断，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图， ∵C地在B地北偏西的方向，距离B地100海里 ∴B地在C地南偏东的方向，距离C地100海里； （2）解：根据题意，得， ∴（海里）， 即A，C两地之间的距离海里． 20．定义：在方格状的街道地图中，所有路口的位置都可以用整数坐标表示．从路口到路口，只能沿街道水平或竖直行走，经过的路口个数减1（即走过的街道段数）称为与之间的街距，记作． 例如：从到，需要走过3段街道，街距为3；从到，街距为4；从到，街距为． 现在地图上有三个重要的地点：学校，图书馆，体育馆．社区计划选择一个路口设立“共享服务站”，使得服务站到三个地点的街距之和最小． (1)街距与的和是（   ） .；     .；     .；     . (2)设服务站的位置为．当服务站建在某路口时，到三个地点（学校、图书馆、体育馆）的街距之和最小，则街距之和最小为______． (3)由于施工原因，街道上出现了一段“限行区”：如果服务站所在路口的纵坐标大于或等于它的横坐标，那么从这个路口去往任何一个地点，都需要先绕行一段固定路线，导致到每个地点的街距都要额外增加2个单位（即原来的街距加2）． 例如：若服务站选在路口，因为，属于“限行区”，那么它到学校的街距就是；若服务站选在路口，因为，则不属于“限行区”，街距无需增加．请问：在有“限行区”的情况下，服务站建在哪个路口能使其到三个地点（学校、图书馆、体育馆）的街距之和最小？街距之和最小是多少？请写出你的思考过程． 【答案】(1) (2) (3)服务站建在或，能使其到三个地点（学校、图书馆、体育馆）的街距之和最小，街距之和最小是，思考过程见解析． 【分析】（1）根据街距的定义，可得，，相加即可； （2）根据街距的定义，写出服务站到学校、图书馆、体育馆的街距之和，根据绝对值的几何意义，可得当服务站到三个地点的街距之和最小时，对应点的坐标，即可得街距之和的最小值； （3）根据题意可知，当时，需绕行，要使街距和最小，考虑在直线下方，点附近选址，可得备选位置为，，，分别计算对应的街距之和，比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴街距与的和是． （2）解： ， ∴当服务站的位置为时，到学校、图书馆、体育馆的街距之和最小，街距之和最小为． （3）解：根据题意可知，当时，需绕行， 要使街距和最小，服务站选址不考虑直线及其上方， ∴考虑在直线下方，点附近选址， 有个备选位置：，，， ， ， ， ∴服务站建在或，能使其到三个地点（学校、图书馆、体育馆）的街距之和最小，街距之和最小是． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $