第五章 二元一次方程组 单元复习讲义 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 第五章 二元一次方程组 知识归纳与题型总结 题型01 认识二元一次方程组 一、二元一次方程的定义 1. 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程． 2. 二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）所含未知数的项的次数为1；（3）方程是整式方程． 注意：“含有未知数的项的次数是1”不可理解为两个未知数的次数都是1．例如5xy＋3＝0中含有两个未知数，且未知数的次数都是1，但含未知数的项“5xy”的次数是2，所以它不是二元一次方程． 二、二元一次方程的解 1. 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解． 2. 在二元一次方程中，只要给定其中一个未知数的值，就可以相应地求出另一个未知数的值，因此二元一次方程有无数个解．但是如果对未知数加以条件限制，一般有有限个解． 3、 二元一次方程组的定义 1. 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组． 2. 判断一个方程组是否为二元一次方程组的关键 （1）判断方程组中的方程是否都是整式方程； （2）判断方程组中是否只含有两个未知数； （3）判断方程组中含有未知数的项的次数是否为1． 同时满足以上三点的方程组为二元一次方程组，否则不是二元一次方程组． 4、 二元一次方程组的解 1. 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解． 2. 代入法判断一组数是否为二元一次方程（组）的解 一组未知数的值二元一次方程（组）二元一次方程（组）的一个解． 5、 根据实际问题列二元一次方程组 列二元一次方程组的步骤 （1）审题：认真审题，理解题意，弄清题目中的数量关系，找出其中的等量关系； （2）设未知数（设两个未知数）：用字母表示题目中的两个未知量； （3）列方程组：利用这些代数式列出反映两个等量关系的方程． 【典例1-1】若关于，的二元一次方程组的解为，则多项式可能是（     ） A． B． C． D． 【典例1-2】地理老师介绍：长江比黄河长836千米，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284千米．小东根据地理老师的介绍，设长江长为x千米，黄河长为y千米，然后通过列、解二元一次方程组，正确地求出了长江和黄河的长度，那么小东列的方程组可能是（     ） A． B． C． D． 【典例1-3】若将关于x、y的二元一次方程变形为的形式（a、b是常数，），则这对常数a、b称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如：将二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为____________； (2)已知是关于x、y的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求这个二元一次方程； (3)已知关于x、y的二元一次方程，该方程的“相伴系数对”之和为2，求的值． 题型02 二元一次方程组的解法 一、代入消元法 1. 定义：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法． 2. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤 名称 具体做法 目的 注意事项 （1）变形 用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，得到变形的方程 变形为的形式 选系数简单的方程变形 （2）代入 把代入另一个没有变形的方程中 消去一个未知数，转化为一元一次方程 代入时要“只代不算” （3）求解 解代入后的一元一次方程 求出一个未知数的值 去括号时不漏乘，移项时要变号 （4）回代 把求得的未知数的值代入步骤（1）中变形后的方程中 求出另一个未知数的值 一般代入变形后的方程 （5）写出解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为的形式 要用大括号将x，y的值联立起来 二、加减消元法 1. 定义：通过两式相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法． 2. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 名称 具体做法 目的 （1）变形 根据绝对值较小的未知数（同一个未知数）的系数的最小公倍数，用适当的数去乘方程的两边 使两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数 （2）加减 加减法消去系数相等或系数互为相反数的同一未知数 转化为一元一次方程 （3）求解 解消元后得到的一元一次方程 求出一个未知数的值 （4）回代 把求得的未知数的值代入方程组中某个较简单的方程中 求出另一个未知数的值 （5）写出解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为的形式 三、换元法解二元一次方程组 把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，从而使问题简化，这叫做换元法． 例如解方程组时， 令， 原方程组可化为解得则解得 【典例2-1】解下列方程组 (1)； (2)． 【典例2-2】解方程组： (1)； (2)． 【典例2-3】已知，则的值为___________． 题型03 二元一次方程组的应用 一、列二元一次方程组解应用题的基本步骤 （1）弄清题意和题目中的数量关系，找到两个等量关系，明确已知量、未知量； （2）设未知数； （3）根据找出的两个等量关系列出方程组； （4）解方程组； （5）检验所得的解是否符合题意； （6）写出答案（包括单位)． 二、二元一次方程组的应用 1. 利润问题 单件商品的利润＝单件商品的售价－单件商品的进价；． 例如：某产品原价为a元/件，打八折后售价为0.8a元/件． 2. 增长率问题 ． 3. 数的表示问题 1. 用字母表示一个两位数 用字母表示一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，那么这个数可表示为10b＋a；如果交换个位和十位上的数字，那么得到一个新的两位数可表示为10a＋b． 2. 变换数位后多位数的表示 （1）两位数x放在两位数y的左边，组成一个四位数，因此用x，y表示这个四位数为100x＋y．同理，如果将x放在y的右边，那么得到一个新的四位数为100y＋x． （2）一个两位数，个位上的数字是m，十位上的数字是n，如果在它们之间添上一个零，那么用代数式表示这个三位数为100n＋m． 4. 行程问题 1. 关系式 速度×时间＝路程． 2. 常见问题类型 （1）相遇问题：二者路程之和等于两点间距离． （2）追及问题 ①异地同时出发，相遇时，二者路程之差的绝对值等于两点间距离； ②同地不同时出发，后者追上前者时，二者路程相等． （3）环形追及问题：二者同地同时同向而行，首次追及，二者路程之差的绝对值等于环形周长． （4）列车问题：需考虑车自身长度． （5）顺（逆）水问题：顺水速度＝静水速度＋水流速度；逆水速度＝静水速度－水流速度． 5. 工程问题 1. 工作总量＝工作时间×工作效率． 2. 当题目与工作总量的大小、多少无关时，通常用“1”表示工作总量． 【典例3-1】某学校实践课准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子． (1)若学校现有库存A型板材50张，B型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子，恰好将库存板材用完时，能制作出竖式和横式的箱子各多少只． (2)若学校新购得n张规格为的C型正方形板材，将其中一张板材切割成了3张A型板材和2张B型板材，余下板材分成两部分，一部分全部切割成A型板材，另一部分全部切割成B型板材（不计损耗），用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子制作20只，且材料恰好用完，则n的最小值是多少？此时能制作横式箱子多少只？ 【典例3-2】中国古代有这样一道有趣的问题：“一百马，一百瓦，大马一拉四，小马四拉一．”意思是：“现有匹马恰好拉片瓦，已知匹大马能拉片瓦，匹小马能拉片瓦．”则共有大马______匹． 【典例3-3】某学校为丰富学生课余生活，计划购买一批羽毛球拍和乒乓球拍．已知购买2副羽毛球拍和3副乒乓球拍共需260元，购买3副羽毛球拍和2副乒乓球拍共需290元．求每副羽毛球拍和每副乒乓球拍的价格． 题型04 二元一次方程与一次函数 一、一次函数与一元一次方程 任何一个一元一次方程都可化简为的形式． （1）一元一次方程是一次函数的函数值为0时的特殊情形． （2）直线与x轴交点的横坐标就是一元一次方程的解，即． 二、一次函数与二元一次方程（组）的关系 1. 一次函数与二元一次方程的关系 一般地，一次函数的图象上任意一点的坐标都是二元一次方程的解；以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图象上． 2. 一次函数与二元一次方程组的关系 一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数（两条直线）． 二元一次方程组的解为两直线；和的交点坐标；反过来,两直线，和的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解． （1）两直线平行（无交点），方程组无解； （2）两直线交于一点，方程组有唯一解； （3）两直线重合，方程组有无数组解． 三、二元一次方程组的图象解法 1. 二元一次方程组的图象解法的含义 用一次函数的图象求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图象解法． 2. 用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤 （1）把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式：,和． （2）建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图象． （3）求出这两条直线交点的横、纵坐标，这两个数值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标是x的值，纵坐标是y的值． 【典例4-1】某商场叠放的购物车如图所示，若一辆购物车的篮筐车身长（不包括推车手柄），每增加一辆，车身增加（即为一个推车手柄的宽度），嘉琪尝试探究整齐叠放的购物车车身总长与购物车数量的关系，下表是嘉琪得到的一些数据． 购物车数量/辆 1 2 3 4 5 … 车身总长 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 … (1)根据以上信息，____________，____________； (2)设购物车数量为，车身总长为，写出与之间的关系式； (3)已知该商场的手扶电梯长为6m，且一次性可以运输两列等长的购物车，求该手扶电梯一次性最多可以运输多少辆购物车？ 【典例4-2】如图，直线与轴交于点，与轴交于点．有下列说法：①A点坐标为；②B点坐标为；③线段；④原点到直线的距离是；⑤在轴上存在一点，使得的面积为5，则点的坐标为或．其中正确的个数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【典例4-3】一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜140吨，准备加工后进行销售，销售后获利的情况如下表所示： 销售方式 粗加工后销售 精加工后销售 每吨获利（元） 1000 2000 已知该公司的加工能力是：每天能精加工5吨或粗加工15吨，但两种加工不能同时进行．受季节等条件的限制，公司必须在一定时间内将这批蔬菜全部加工后销售完． (1)如果要求12天刚好加工完140吨蔬菜，则公司应安排几天精加工，几天粗加工？ (2)如果精加工的蔬菜吨数为x，销售利润为y元，试求出y与x之间的函数关系式． 题型05 三元一次方程组 一、三元一次方程组的相关概念 1. 三元一次方程 含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程． 2. 三元一次方程组 （1）共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组． （2）三元一次方程组需具备的3个条件 ①含有三个未知数； ②每个方程中含未知数的项的次数都是1； ③是整式方程组． 三者缺一不可． 3. 三元一次方程组的解 （1）三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解． （2）判断一组数是否为三元一次方程组的解时，将各数分别代人三个方程，若三个方程均成立，则这组数是该方程组的解． 二、三元一次方程组的解法 1. 解三元一次方程组的基本思路 用代入法或加减法消去一个未知数，化成二元一次方程组，再解这个二元一次方程组． 2. 解三元一次方程组的一般步骤 （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另外两个方程分别组成方程组，消去方程组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代人原方程组中一个系数比较简单的方程中，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用大括号合写在一起． 【典例5-1】如图是一个正方体的展开图，若正方体相对面上的数相等，则（     ） A．3 B．5 C．7 D．9 【典例5-2】我国南宋数学家杨辉在其所著《续古摘奇算法》中的攒九图一节中提出了“幻圆”的概念．如图是一个二阶幻圆模型，其内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，的值等于（     ） A． B．1 C．2 D．3 【典例5-3】解方程组得_______． 一、选择题 1．在平面直角坐标系中，将直线（k为常数，且）先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到直线（b为常数），则下列说法错误的是（     ） A． B．若点，在直线上，且，则 C．直线一定经过第一象限 D．若直线不经过第四象限，则 2．如图，长方形是由6个正方形组成，其中，则图中长方形的周长是（     ） A．44 B．46 C．48 D．50 3．已知整点（横、纵坐标都是整数）在平面直角坐标系内做“跳马运动”（即中国象棋“日”字形跳跃）．如图，点沿轴正方向向右上方做跳马运动，若跳到的位置，称为做一次“正横跳马”；若跳到的位置，称为做一次“正竖跳马”．当点连续做了次“正横跳马”和次“正竖跳马”后，到达点，则的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．某科幻社团设计了一个名为“星际引擎”的模型．该引擎的输出功率与输入电压满足某种函数关系．为了测试性能，社团成员记录了以下几组实验数据： 输入电压 … 输出功率 … 若该引擎的说明书上定义了一个“效能指数”，其计算公式为：．当输入电压调整为时，该引擎的“效能指数”是（     ） A． B． C． D． 5．辰辰用5张大小完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆出如图的图案，已知点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 6．我们知道，在平面直角坐标系中，关于x、y的二元一次方程的一个解可以用一个点的坐标表示（表示点的横坐标，表示点的纵坐标）．以方程的解为坐标的点的全体叫做方程的图象，它是一条直线，一个二元一次方程组的图象就是两条直线，它们交点的坐标就是这个方程组的解．依据此材料，若关于，二元一次方程组的解如图所示，请结合图象计算的值为（     ） A． B． C． D． 7．已知关于x，y的方程组的解满足，则n的值为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．某中学计划租用辆汽车运送七年级名学生到当地中小学生社会实践基地进行社会实践活动，若全租用45座客车，则有35名学生没有座位；若全租用60座客车，则其中有一辆车只坐了35人，并且还空出一辆车．根据题意可列方程组为（     ） A． B． C． D． 9．已知关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 10．“综合与实践”小组的学生利用课余时间对学校食堂窗口买饭排队等待时间问题进行了调查，在食堂窗口开放前，已经有n人在排队；窗口开始打饭时，前来打饭的人数按固定的速度增加，且每个窗口每分钟减少的排队人数也是固定的．当同时开放2个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象；当同时开放3个窗口时，20分钟后恰好不会出现排队现象．为减少同学排队打饭时间，食堂承诺5分钟后不出现排队现象，则至少需要同时开放（     ） A．6个窗口 B．7个窗口 C．8个窗口 D．9个窗口 二、填空题 11．已知与的两边分别平行，且比的4倍少，则的度数为______． 12．已知一个两位数的个位和十位上的数字之和为，个位上的数字与十位上的数字交换位置后，所得的新两位数比原两位数小，则原来的两位数是________． 13．已知方程组中，a和b互为相反数，则m的值是______． 14．若是二元一次方程组的解，则的值是________． 15．已知是关于，的二元一次方程组的解，则关于，的二元一次方程组的解是________． 三、解答题 16．解方程组： (1) (2) 17．已知是的立方根，而是的相反数，且，求与的平方和的立方根． 18．如图是北京第24届国际数学家大会会徽，由个全等的直角三角形拼合而成，若大小正方形的面积分别为和，求直角三角形的两直角边长？ 19．如图，每张标准卡纸可以剪裁成张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形．如图，可以用小长方形和小正方形制作竖式叠盖和横式叠盖纸盒，如图是横式叠盖和竖式叠盖纸盒的平面展开图． 现有张标准卡纸通过剪裁一共得到张小长方形和张小正方形，做成个竖式叠盖纸盒和个横式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完． (1)若，求，，的值； (2)求的最大值． 20．有甲、乙两种货车，1辆甲种货车和2辆乙种货车共载重13t；3辆甲种货车和1辆乙种货车共载重19t． (1)每辆甲种货车和乙种货车的载重量分别是多少？ (2)现安排这两种货车，把75t救灾物资一次性运往灾区，每辆货车恰好全部装满，有哪几种安排方案？ (3)在第（2）问的情况下，租用一辆甲种货车的费用为400元/天，租用一辆乙种货车的费用为300元/天，运送救灾物资往返需要3天，如何安排最为省钱？此时总运费是多少？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 第五章 二元一次方程组 知识归纳与题型总结 题型01 认识二元一次方程组 一、二元一次方程的定义 1. 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程． 2. 二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）所含未知数的项的次数为1；（3）方程是整式方程． 注意：“含有未知数的项的次数是1”不可理解为两个未知数的次数都是1．例如5xy＋3＝0中含有两个未知数，且未知数的次数都是1，但含未知数的项“5xy”的次数是2，所以它不是二元一次方程． 二、二元一次方程的解 1. 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解． 2. 在二元一次方程中，只要给定其中一个未知数的值，就可以相应地求出另一个未知数的值，因此二元一次方程有无数个解．但是如果对未知数加以条件限制，一般有有限个解． 3、 二元一次方程组的定义 1. 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组． 2. 判断一个方程组是否为二元一次方程组的关键 （1）判断方程组中的方程是否都是整式方程； （2）判断方程组中是否只含有两个未知数； （3）判断方程组中含有未知数的项的次数是否为1． 同时满足以上三点的方程组为二元一次方程组，否则不是二元一次方程组． 4、 二元一次方程组的解 1. 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解． 2. 代入法判断一组数是否为二元一次方程（组）的解 一组未知数的值二元一次方程（组）二元一次方程（组）的一个解． 5、 根据实际问题列二元一次方程组 列二元一次方程组的步骤 （1）审题：认真审题，理解题意，弄清题目中的数量关系，找出其中的等量关系； （2）设未知数（设两个未知数）：用字母表示题目中的两个未知量； （3）列方程组：利用这些代数式列出反映两个等量关系的方程． 【典例1-1】若关于，的二元一次方程组的解为，则多项式可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组解的定义，方程组的解满足所有方程，因此将已知的解代入多项式，计算结果为的即为正确选项． 【详解】解：∵二元一次方程组的解为， ∴将，代入各选项验证： 选项A，，不符合题意； 选项B，，不符合题意； 选项C，，符合题意； 选项D，，不符合题意． 【典例1-2】地理老师介绍：长江比黄河长836千米，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284千米．小东根据地理老师的介绍，设长江长为x千米，黄河长为y千米，然后通过列、解二元一次方程组，正确地求出了长江和黄河的长度，那么小东列的方程组可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从题干中提取两个等量关系，据此列出二元一次方程组，即可选出正确选项． 【详解】解：设长江长为千米，黄河长为千米， ∵长江比黄河长836千米， ∴， ∵黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284千米， ∴， ∴列出方程组为． 【典例1-3】若将关于x、y的二元一次方程变形为的形式（a、b是常数，），则这对常数a、b称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如：将二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为____________； (2)已知是关于x、y的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求这个二元一次方程； (3)已知关于x、y的二元一次方程，该方程的“相伴系数对”之和为2，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出，再根据定义可得答案； （2）根据“相伴系数对”的定义可得，再把代入到中求出k的值即可得到答案； （3）求出，得到此二元一次方程的“相伴系数对”为，进而得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴二元一次方程的“相伴系数对”为； （2）解：∵关于x、y的二元一次方程的“相伴系数对”为， ∴， ∵是关于x、y的二元一次方程的一个解， ∴， ∴， ∴， ∴，即这个二元一次方程为； （3）解：∵， ∴， ∴关于x、y的二元一次方程的“相伴系数对”为， ∵该方程的“相伴系数对”之和为2， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型02 二元一次方程组的解法 一、代入消元法 1. 定义：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法． 2. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤 名称 具体做法 目的 注意事项 （1）变形 用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，得到变形的方程 变形为的形式 选系数简单的方程变形 （2）代入 把代入另一个没有变形的方程中 消去一个未知数，转化为一元一次方程 代入时要“只代不算” （3）求解 解代入后的一元一次方程 求出一个未知数的值 去括号时不漏乘，移项时要变号 （4）回代 把求得的未知数的值代入步骤（1）中变形后的方程中 求出另一个未知数的值 一般代入变形后的方程 （5）写出解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为的形式 要用大括号将x，y的值联立起来 二、加减消元法 1. 定义：通过两式相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法． 2. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 名称 具体做法 目的 （1）变形 根据绝对值较小的未知数（同一个未知数）的系数的最小公倍数，用适当的数去乘方程的两边 使两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数 （2）加减 加减法消去系数相等或系数互为相反数的同一未知数 转化为一元一次方程 （3）求解 解消元后得到的一元一次方程 求出一个未知数的值 （4）回代 把求得的未知数的值代入方程组中某个较简单的方程中 求出另一个未知数的值 （5）写出解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为的形式 三、换元法解二元一次方程组 把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，从而使问题简化，这叫做换元法． 例如解方程组时， 令， 原方程组可化为解得则解得 【典例2-1】解下列方程组 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 由得， 将代入①得， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：整理得， 由得， 解得， 将代入②得， 解得， ∴方程组的解为． 【典例2-2】解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 由得：， 把代入，可得：，解得：， 把代入，可得：， ∴方程组的解为． （2）解：， 整理得， 整理得， 把，可得：，解得：， 把代入，可得：，解得：， ∴方程组的解为． 【典例2-3】已知，则的值为___________． 【答案】8 【分析】绝对值与平方数均具有非负性，两个非负数相加等于0，则各自为0，据此列出二元一次方程组，解方程组求出、的值，再计算． 【详解】解：，，且， ， 解得， ． 题型03 二元一次方程组的应用 一、列二元一次方程组解应用题的基本步骤 （1）弄清题意和题目中的数量关系，找到两个等量关系，明确已知量、未知量； （2）设未知数； （3）根据找出的两个等量关系列出方程组； （4）解方程组； （5）检验所得的解是否符合题意； （6）写出答案（包括单位)． 二、二元一次方程组的应用 1. 利润问题 单件商品的利润＝单件商品的售价－单件商品的进价；． 例如：某产品原价为a元/件，打八折后售价为0.8a元/件． 2. 增长率问题 ． 3. 数的表示问题 1. 用字母表示一个两位数 用字母表示一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，那么这个数可表示为10b＋a；如果交换个位和十位上的数字，那么得到一个新的两位数可表示为10a＋b． 2. 变换数位后多位数的表示 （1）两位数x放在两位数y的左边，组成一个四位数，因此用x，y表示这个四位数为100x＋y．同理，如果将x放在y的右边，那么得到一个新的四位数为100y＋x． （2）一个两位数，个位上的数字是m，十位上的数字是n，如果在它们之间添上一个零，那么用代数式表示这个三位数为100n＋m． 4. 行程问题 1. 关系式 速度×时间＝路程． 2. 常见问题类型 （1）相遇问题：二者路程之和等于两点间距离． （2）追及问题 ①异地同时出发，相遇时，二者路程之差的绝对值等于两点间距离； ②同地不同时出发，后者追上前者时，二者路程相等． （3）环形追及问题：二者同地同时同向而行，首次追及，二者路程之差的绝对值等于环形周长． （4）列车问题：需考虑车自身长度． （5）顺（逆）水问题：顺水速度＝静水速度＋水流速度；逆水速度＝静水速度－水流速度． 5. 工程问题 1. 工作总量＝工作时间×工作效率． 2. 当题目与工作总量的大小、多少无关时，通常用“1”表示工作总量． 【典例3-1】某学校实践课准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子． (1)若学校现有库存A型板材50张，B型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子，恰好将库存板材用完时，能制作出竖式和横式的箱子各多少只． (2)若学校新购得n张规格为的C型正方形板材，将其中一张板材切割成了3张A型板材和2张B型板材，余下板材分成两部分，一部分全部切割成A型板材，另一部分全部切割成B型板材（不计损耗），用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子制作20只，且材料恰好用完，则n的最小值是多少？此时能制作横式箱子多少只？ 【答案】(1)制作出竖式和横式的箱子分别为10只和20只 (2)n的最小值是35，此时能制作横式箱子5只 【分析】（1）设竖式做个，横式做个，根据现有库存A型板材50张，B型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子，恰好将库存板材用完，再建立方程组求解即可； （2）设制作横式箱子只，设余下的张C型中有张切割为A型，剩余张切割为B型（为非负整数），根据竖式箱子做20只，横式箱子做只，根据总板材需求列出方程，化简得出，再对k，n进行讨论，即可求得． 【详解】（1）解：由题意由题意由题意由题意可得：竖式纸盒做1个需要1张A，4张B，横式纸盒做1个需要2张A，3张B， 设竖式做个，横式做个， 则，解得：， 答：制作出竖式和横式的箱子分别为10只和20只； （2）解：∵1张的C型板材，全切割为A型可得9张A型，全切割为B型可得3张B型；其中1张已经切割为3张A型、2张B型， 设制作横式箱子只，设余下的张C型中有张切割为A型，剩余张切割为B型（为非负整数）， 已知竖式箱子做20只，总板材需求满足： A型总数：，整理得：，即； B型总数：，整理得：， 将代入，得：， 因为且为整数，所以为正偶数，得为最小奇数（时为负，舍去）； 代入得：，，是最小的正整数， 即的最小值为，此时能制作横式箱子只． 【典例3-2】中国古代有这样一道有趣的问题：“一百马，一百瓦，大马一拉四，小马四拉一．”意思是：“现有匹马恰好拉片瓦，已知匹大马能拉片瓦，匹小马能拉片瓦．”则共有大马______匹． 【答案】 【分析】设共有大马匹，小马匹，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设共有大马匹，小马匹， 依题意得：， 解得：， 即共有大马匹． 【典例3-3】某学校为丰富学生课余生活，计划购买一批羽毛球拍和乒乓球拍．已知购买2副羽毛球拍和3副乒乓球拍共需260元，购买3副羽毛球拍和2副乒乓球拍共需290元．求每副羽毛球拍和每副乒乓球拍的价格． 【答案】羽毛球拍每副70元，乒乓球拍每副40元 【分析】设羽毛球拍每副x元，乒乓球拍每副y元，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案． 【详解】解：设羽毛球拍每副x元，乒乓球拍每副y元， 根据题意，可得，解得， 答：羽毛球拍每副70元，乒乓球拍每副40元． 题型04 二元一次方程与一次函数 一、一次函数与一元一次方程 任何一个一元一次方程都可化简为的形式． （1）一元一次方程是一次函数的函数值为0时的特殊情形． （2）直线与x轴交点的横坐标就是一元一次方程的解，即． 二、一次函数与二元一次方程（组）的关系 1. 一次函数与二元一次方程的关系 一般地，一次函数的图象上任意一点的坐标都是二元一次方程的解；以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图象上． 2. 一次函数与二元一次方程组的关系 一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数（两条直线）． 二元一次方程组的解为两直线；和的交点坐标；反过来,两直线，和的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解． （1）两直线平行（无交点），方程组无解； （2）两直线交于一点，方程组有唯一解； （3）两直线重合，方程组有无数组解． 三、二元一次方程组的图象解法 1. 二元一次方程组的图象解法的含义 用一次函数的图象求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图象解法． 2. 用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤 （1）把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式：,和． （2）建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图象． （3）求出这两条直线交点的横、纵坐标，这两个数值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标是x的值，纵坐标是y的值． 【典例4-1】某商场叠放的购物车如图所示，若一辆购物车的篮筐车身长（不包括推车手柄），每增加一辆，车身增加（即为一个推车手柄的宽度），嘉琪尝试探究整齐叠放的购物车车身总长与购物车数量的关系，下表是嘉琪得到的一些数据． 购物车数量/辆 1 2 3 4 5 … 车身总长 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 … (1)根据以上信息，____________，____________； (2)设购物车数量为，车身总长为，写出与之间的关系式； (3)已知该商场的手扶电梯长为6m，且一次性可以运输两列等长的购物车，求该手扶电梯一次性最多可以运输多少辆购物车？ 【答案】(1) (2) (3)52辆 【详解】（1）解：由表格可知，，每增加一辆购物车，车身增加，， 由一辆购物车的总长为，得． （2）解：设， 代入和得， 解得，故． （3）解：令，解得， 又一次性可以运输两列等长的购物车， 该手扶电梯一次性最多可以运输辆购物车． 【典例4-2】如图，直线与轴交于点，与轴交于点．有下列说法：①A点坐标为；②B点坐标为；③线段；④原点到直线的距离是；⑤在轴上存在一点，使得的面积为5，则点的坐标为或．其中正确的个数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】求点A坐标：因为x轴上点的纵坐标为0，所以将代入直线方程，解出x即可得到A点坐标； 求点B坐标：因为y轴上点的横坐标为0，所以将代入直线方程，解出y即可得到B点坐标； 计算线段长度：因为A、B是直角三角形的两个顶点，为直角，所以用勾股定理计算； 求原点到直线的距离：可以用等面积法，即的面积等于，也等于原点到的距离，列等式求解； 求满足条件的P点坐标：因为P在x轴上，所以的高为B点纵坐标的绝对值，底为的长度，根据三角形面积公式列方程，解出的长度，再结合A点坐标得到P的坐标，注意P可在A点左侧或右侧． 【详解】①：A是直线与x轴交点， 令，代入， 得， 解得， 因此，故①正确； ②：B是直线与y轴交点， 令，代入， 解得， 因此，故②正确； ③：在中，由勾股定理： ，③正确； ④：设原点到的距离为，利用面积相等： ， 代入得， 解得，故④正确； ⑤：设，则， ，代入 得， 解得，即或， ∴或，故⑤正确． 【典例4-3】一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜140吨，准备加工后进行销售，销售后获利的情况如下表所示： 销售方式 粗加工后销售 精加工后销售 每吨获利（元） 1000 2000 已知该公司的加工能力是：每天能精加工5吨或粗加工15吨，但两种加工不能同时进行．受季节等条件的限制，公司必须在一定时间内将这批蔬菜全部加工后销售完． (1)如果要求12天刚好加工完140吨蔬菜，则公司应安排几天精加工，几天粗加工？ (2)如果精加工的蔬菜吨数为x，销售利润为y元，试求出y与x之间的函数关系式． 【答案】(1) 应安排4天进行精加工，8天进行粗加工 (2) 【分析】（1）设应安排天进行精加工，天进行粗加工，根据题意列二元一次方程组，求解即可； （2）由题意得精加工的蔬菜吨数为，则粗加工的蔬菜吨数为，列出销售利润y与精加工的蔬菜吨数x的函数关系． 【详解】（1）解：设应安排天进行精加工，天进行粗加工， 根据题意得，， 解得， 答：应安排4天进行精加工，8天进行粗加工； （2）解：由题意得精加工的蔬菜吨数为，则粗加工的蔬菜吨数为， ， y与x之间的函数关系式为：． 题型05 三元一次方程组 一、三元一次方程组的相关概念 1. 三元一次方程 含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程． 2. 三元一次方程组 （1）共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组． （2）三元一次方程组需具备的3个条件 ①含有三个未知数； ②每个方程中含未知数的项的次数都是1； ③是整式方程组． 三者缺一不可． 3. 三元一次方程组的解 （1）三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解． （2）判断一组数是否为三元一次方程组的解时，将各数分别代人三个方程，若三个方程均成立，则这组数是该方程组的解． 二、三元一次方程组的解法 1. 解三元一次方程组的基本思路 用代入法或加减法消去一个未知数，化成二元一次方程组，再解这个二元一次方程组． 2. 解三元一次方程组的一般步骤 （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另外两个方程分别组成方程组，消去方程组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代人原方程组中一个系数比较简单的方程中，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用大括号合写在一起． 【典例5-1】如图是一个正方体的展开图，若正方体相对面上的数相等，则（     ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【分析】根据Z字形，确定相对面，得到，进而求出的值，再进行计算即可. 【详解】解：由图和题意可得：， 解得， ∴. 【典例5-2】我国南宋数学家杨辉在其所著《续古摘奇算法》中的攒九图一节中提出了“幻圆”的概念．如图是一个二阶幻圆模型，其内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，的值等于（     ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据题意易得，，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意可知： ①，②， 由①可知：，由②可知：， 把代入得：， ∴． 【典例5-3】解方程组得_______． 【答案】 【分析】利用加减消元法消去未知数，将三元一次方程组转化为一元一次方程逐步求解即可． 【详解】解：， ，得 ， ，得 ，解得， 把代入，得，解得， 把代入，得 ，解得， 原方程组的解为． 一、选择题 1．在平面直角坐标系中，将直线（k为常数，且）先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到直线（b为常数），则下列说法错误的是（     ） A． B．若点，在直线上，且，则 C．直线一定经过第一象限 D．若直线不经过第四象限，则 【答案】D 【分析】由一次函数平移规律得出平移后解析式，得到与的关系式，再结合一次函数性质判断各选项. 【详解】解：将直线向右平移1个单位长度，得，再向上平移3个单位长度，得， ∴，A正确； ∵点，在直线上， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即，B正确； 将代入，得， ∴直线恒过定点，该点在第一象限， ∴直线一定经过第一象限，C正确； 若直线不经过第四象限，则需满足且，即且， 解得，故D错误． 2．如图，长方形是由6个正方形组成，其中，则图中长方形的周长是（     ） A．44 B．46 C．48 D．50 【答案】C 【分析】设，，根据，结合图形可列出二元一次方程组，即可求解． 【详解】解：如图，标注字母， 由题意设，，则，，， 由题意可得， 解得， ∴， ∴长方形的周长是． 3．已知整点（横、纵坐标都是整数）在平面直角坐标系内做“跳马运动”（即中国象棋“日”字形跳跃）．如图，点沿轴正方向向右上方做跳马运动，若跳到的位置，称为做一次“正横跳马”；若跳到的位置，称为做一次“正竖跳马”．当点连续做了次“正横跳马”和次“正竖跳马”后，到达点，则的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】点到达点，需要向右移动9个单位，向上移动6个单位，一次“正横跳马”会向右移动2个单位，向上移动1个单位；一次“正竖跳马”会向右移动1个单位，向上移动2个单位，据此列出方程组求解即可． 【详解】解：∵一次“正横跳马”会向右移动2个单位，向上移动1个单位；一次“正竖跳马”会向右移动1个单位，向上移动2个单位， 又∵点到达点，需要向右移动9个单位，向上移动6个单位， ∴，解得：， ∴． 4．某科幻社团设计了一个名为“星际引擎”的模型．该引擎的输出功率与输入电压满足某种函数关系．为了测试性能，社团成员记录了以下几组实验数据： 输入电压 … 输出功率 … 若该引擎的说明书上定义了一个“效能指数”，其计算公式为：．当输入电压调整为时，该引擎的“效能指数”是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表格中、的均匀变化特征，确定为的一次函数，利用待定系数法求出，再代入公式求解． 【详解】解：由表格数据可知，每增加，增加， ∴是的一次函数， 设（）， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴当时，． 5．辰辰用5张大小完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆出如图的图案，已知点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设长方形的长为，宽为，根据点的坐标列出关于，的二元一次方程组，解方程组得出，再结合图形计算即可得出结果． 【详解】解：设长方形的长为，宽为， ∵点的坐标为， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为． 6．我们知道，在平面直角坐标系中，关于x、y的二元一次方程的一个解可以用一个点的坐标表示（表示点的横坐标，表示点的纵坐标）．以方程的解为坐标的点的全体叫做方程的图象，它是一条直线，一个二元一次方程组的图象就是两条直线，它们交点的坐标就是这个方程组的解．依据此材料，若关于，二元一次方程组的解如图所示，请结合图象计算的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象可得方程组的解为，把代入原方程组得到关于a、b的方程组，据此求解即可． 【详解】解：由函数图象可知，关于，二元一次方程组的解为， ∴， 得． 7．已知关于x，y的方程组的解满足，则n的值为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】先联立不含的两个方程求出的值，再代入含的方程求解． 【详解】解：联立 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为， ∴， ∴ ． 8．某中学计划租用辆汽车运送七年级名学生到当地中小学生社会实践基地进行社会实践活动，若全租用45座客车，则有35名学生没有座位；若全租用60座客车，则其中有一辆车只坐了35人，并且还空出一辆车．根据题意可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：全租45座客车时，总座位数为，35名学生无座位，得， 全租60座客车时，空出1辆，1辆坐35人，其余辆满座，得， 联立得方程组. 9．已知关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用整体换元思想，将待解方程组变形为与已知解的原方程组结构一致的形式，通过对应关系建立关于，的方程即可求解． 【详解】解：由得，， 令，， ∴， ∴该方程组与结构相同， ∴，即， 解得． 10．“综合与实践”小组的学生利用课余时间对学校食堂窗口买饭排队等待时间问题进行了调查，在食堂窗口开放前，已经有n人在排队；窗口开始打饭时，前来打饭的人数按固定的速度增加，且每个窗口每分钟减少的排队人数也是固定的．当同时开放2个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象；当同时开放3个窗口时，20分钟后恰好不会出现排队现象．为减少同学排队打饭时间，食堂承诺5分钟后不出现排队现象，则至少需要同时开放（     ） A．6个窗口 B．7个窗口 C．8个窗口 D．9个窗口 【答案】D 【分析】本题是类似牛吃草的实际问题，通过设未知数表示每分钟新增人数和每个窗口每分钟处理人数，根据已知条件列等式推导各量关系，再计算5分钟不排队需要的最少窗口数． 【详解】解：设每分钟新增排队人数为人，每个窗口每分钟减少排队人数为人，设需要同时开放个窗口， 根据题意列方程组： 用第一个方程减去第二个方程，得，， 把代入第一个方程，得，， 若5分钟后不出现排队，则总人数不超过个窗口5分钟减少的排队人数，可得： 把，代入，得， ，两边同时除以，得， 至少需要同时开放9个窗口， 故选D． 二、填空题 11．已知与的两边分别平行，且比的4倍少，则的度数为______． 【答案】 或 【分析】由与的两边分别平行，根据平行线的性质可得或，结合比的倍少，列方程即可求出的度数． 【详解】解：与的两边分别平行， 或， 由题意得， 当时， 将③代入①得： ， 解得，则， 当时， 将③代入②得： ， 解得，则， 综上所述的度数为或． 12．已知一个两位数的个位和十位上的数字之和为，个位上的数字与十位上的数字交换位置后，所得的新两位数比原两位数小，则原来的两位数是________． 【答案】62 【分析】设原两位数的个位数字为，十位数字为，根据数位数字之和、新数与原数的数量关系列方程组求解. 【详解】解：设原两位数的个位数字为，十位数字为， 根据题意列方程组： ， 整理第二个方程得 ， 解得 ， 因此原来的两位数为 . 13．已知方程组中，a和b互为相反数，则m的值是______． 【答案】 【分析】先对方程组消元，用含的式子表示和，再根据相反数的性质得到，列方程求解即可得到的值． 【详解】解：， ，可得， 解得， 把代入①，得， 解得， ，互为相反数， ， ， 解得． 14．若是二元一次方程组的解，则的值是________． 【答案】 【分析】将方程组的解代入原方程组，得到关于、的二元一次方程组，解出、的值，再计算． 【详解】解：把代入方程组， 可得：， ①+②得：，解得． 将代入①式： ， ， ， ． 15．已知是关于，的二元一次方程组的解，则关于，的二元一次方程组的解是________． 【答案】 【分析】根据两个方程组中各项系数的对应关系可知，即可求出方程组的解． 【详解】解：是关于x，y的二元一次方程组的解， 关于、的二元一次方程组的解为， 解得：. 三、解答题 16．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 将①代入②得， 解得， 将代入①得， 方程组的解为． （2）解： 得， 解得， 将代入①得，，则， 原方程组的解为． 17．已知是的立方根，而是的相反数，且，求与的平方和的立方根． 【答案】 【分析】根据立方根定义和相反数性质列方程组，求解得到，，再计算的立方根即可． 【详解】解：∵是的立方根， ∴，， ∵是的相反数， ∴， ∴，两边同时立方可得：， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， ∴， ∴，， ∴． 18．如图是北京第24届国际数学家大会会徽，由个全等的直角三角形拼合而成，若大小正方形的面积分别为和，求直角三角形的两直角边长？ 【答案】和 【分析】设直角三角形的两直角边长分别为，，根据大正方形的面积等于直角三角形斜边的平方、小正方形的面积等于直角三角形两直角边之差（大边减去小边）的平方，列出等式，再利用完全平方公式变形求出，的值，建立方程组，解方程组即可． 【详解】解：设直角三角形的两直角边长分别为，， 由题意得：，， ∴；或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， 联立， 解得， 即直角三角形的两直角边长分别为和． 19．如图，每张标准卡纸可以剪裁成张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形．如图，可以用小长方形和小正方形制作竖式叠盖和横式叠盖纸盒，如图是横式叠盖和竖式叠盖纸盒的平面展开图． 现有张标准卡纸通过剪裁一共得到张小长方形和张小正方形，做成个竖式叠盖纸盒和个横式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完． (1)若，求，，的值； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据标准卡纸总数求出小正方形数量，再结合竖式、横式纸盒用料列出二元一次方程组，解方程组得到、的值； （2）根据剪裁总量建立小长方形、小正方形数量与纸盒个数的等式，整理得到关于的二元一次方程，求出所有非负整数解，通过计算各组解中的数值，确定最大值． 【详解】（1）解：由题意得，， ， 解得：； （2）解：由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要个小长方形， ， 整数解为：或或或， ， 的最大值为． 20．有甲、乙两种货车，1辆甲种货车和2辆乙种货车共载重13t；3辆甲种货车和1辆乙种货车共载重19t． (1)每辆甲种货车和乙种货车的载重量分别是多少？ (2)现安排这两种货车，把75t救灾物资一次性运往灾区，每辆货车恰好全部装满，有哪几种安排方案？ (3)在第（2）问的情况下，租用一辆甲种货车的费用为400元/天，租用一辆乙种货车的费用为300元/天，运送救灾物资往返需要3天，如何安排最为省钱？此时总运费是多少？ 【答案】(1) 每辆甲种货车载重量为，每辆乙种货车载重量为 (2) 共有4种安排方案：① 3辆甲种货车，15辆乙种货车；② 7辆甲种货车，10辆乙种货车；③ 11辆甲种货车，5辆乙种货车；④ 15辆甲种货车，0辆乙种货车，若要求两种货车都必须安排，则共有3种方案，即前三种 (3) 安排3辆甲种货车和15辆乙种货车最省钱，此时总运费为17100元 【分析】（1）根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）根据（1）中的结果列二元一次方程，用其中一个未知数表示另外一个未知数，找到整数解，并列出安排方案即可； （3）分别代入（2）中的安排方案，求出不同方案所需的费用，比较得出最省钱的方案即可． 【详解】（1）解：设每辆甲种货车的载重量为，每辆乙种货车的载重量为， 则由题意，得， 解得， ∴每辆甲种货车的载重量为，每辆乙种货车的载重量为； （2）解：设安排m辆甲种货车，n辆乙种货车， 由题意，得，即， ∵m，n为非负整数， ∴可能的情况有，，，， ∴共有4种安排方案：① 3辆甲种货车，15辆乙种货车；② 7辆甲种货车，10辆乙种货车；③ 11辆甲种货车，5辆乙种货车；④ 15辆甲种货车，0辆乙种货车，若要求两种货车都必须安排，则共有3种方案，即前三种； （3）解：由题意，得方案①每天的费用为（元）； 方案②每天的费用为（元）； 方案③每天的费用为（元）； 方案④每天的费用为（元）， ∵， ∴安排3辆甲种货车和15辆乙种货车最省钱，此时总运费为（元）． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $