第4章 计数原理 章末检测试卷(四)（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了计数原理的核心内容，涵盖排列组合、二项式定理、应用问题等，通过题型分类（选择、填空、解答）和方法归纳（直接法、间接法、插空法等）构建知识网络，体现知识点间的逻辑联系。 其亮点在于采用“基础巩固-方法迁移-综合拓展”的复习策略，如通过人员选派问题对比直接法与间接法，培养学生的数学思维和逻辑推理能力。分层设计满足不同学生需求，教师可借助错题解析精准教学，有效提升复习效率。

章末检测试卷(四) 第4章　计数原理 <<< 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D A C B A C B 题号 9 10 11 12 13 14 答案 AB ABD ABD 4 24 -1　-448 15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 由题意得A={3，4，5，6，7}，B={4，5，6，7，8}. (1)A中元素作为横坐标，B中元素作为纵坐标，有5×5=25(个)；B中元素作为横坐标，A中元素作为纵坐标，有5×5=25(个).又两集合中有4个相同元素，故有4×4=16(个)点重复了，所以共有25+25-16=34(个)不同的点. (2)A∪B={3，4，5，6，7，8}，则这样的三位数共有=20(个). 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 (1)只需从其他18人中选3人即可，共有=816(种)不同的选法. (2)只需从其他18人中选5人即可，共有=8 568(种)不同的选法. (3)分两类：甲、乙中有1人参加；甲、乙都参加.则共有+= 6 936(种)不同的选法. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 (4)方法一　(直接法)至少有1名内科医生和1名外科医生的选法可分4类： 1内4外；2内3外；3内2外；4内1外. 所以共有+++=14 656(种)不同的选法. 方法二　(间接法)从无限制条件的选法总数中减去5名都是内科医生和5名都是外科医生的选法种数所得的结果即为所求，即共有-(+)=14 656(种)不同的选法. 17. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 二项式的展开式的通项为Tr+1=xn-r=(r=0，1，2，…，n). (1)根据展开式中的第2项和第3项的系数相等，得·=·n= ·，解得n=5. (2)展开式中所有二项式系数的和为 +++…+=25=32. 17. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 (3)二项展开式的通项为 Tr+1=(r=0，1，2，…，5). 当r=0，2，4时，对应项是有理项， 所以展开式中所有的有理项为 T1=x5=x5， T3=x2=x2， T5=x-1=. 18. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 (1)将组成的三位数中所有偶数分为两类， ①若个位数为0，则共有=12(个)符合题意的三位数； ②若个位数为2或4，则共有2×3×3=18(个)符合题意的三位数. 故共有12+18=30(个)符合题意的三位数. 18. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 (2)将符合题意的五位数分为三类： ①若两个奇数数字在万位和百位上，则共有=12(个)符合题意的五位数； ②若两个奇数数字在千位和十位上，则共有=8(个)符合题意的五位数； ③若两个奇数数字在百位和个位上，则共有=8(个)符合题意的五位数. 故共有12+8+8=28(个)符合题意的五位数. 19. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 (1)解　当n=3时， f(x)=(1+x)4+2(1+x)5+3(1+x)6， ∴f(x)的展开式中含x3项的系数为+2+3=84. 19. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 (2)证明　∵f(x)=(1+x)n+1+2(1+x)n+2+…+k(1+x)n+k+…+n(1+x)2n(n∈N+)， ∴f(x)的展开式中含xn项的系数为 +2+3+…+n=+2+3+…+n. ∵k=k·= =(n+1)=(n+1)， 19. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 ∴含xn项的系数为 (n+1) =(n+1) =(n+1) =(n+1). 19. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 (3)解　(i+1)=2+3+…+n+(n+1)， ① (i+1)=(n+1)+n+…+3+2， ② 在①②中分别加， 得1+(i+1)=+2+3+…+n+(n+1)， ③ 1+(i+1)=(n+1)+n+…+3+2+， ④ 19. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 ③+④得2[1+(i+1)] =(n+2) =(n+2)2n， ∴(i+1)=(n+2)2n-1-1. 一、单项选择题 1.在(a+b)n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n等于 A.5 B.6 C.7 D.8 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 √ 因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故+1=4，即n=6. 解析 2.若=18，则m等于 A.9 B.8 C.7 D.6 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 √ 由=m(m-1)(m-2)(m-3)=18·，且m≥4，m∈N+，得m-3=3，m=6. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 3.将4个a和2个b随机排成一行，则2个b不相邻的排法种数为 A.10 B.15 C.20 D.24 √ 先排4个a有1种排法，再从5个空格中选2个位置放b， ∴共有=10(种)排法. 解析 4.某班会上，班主任拟安排甲、乙、丙、丁、戊五名同学分享学习经验，要求甲不能排前三位，且乙必须排在丙、丁的前面，则安排的方法种数为 A.8 B.12 C.16 D.24 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 甲不能排前三位，故甲有2种选择，乙必须排在丙、丁前面，下面分两种情况：第一种情况，乙排在第一位，则丙、丁、戊可以任意排在剩下的3个位置，有种排法；第二种情况，若乙排在第二位，则丙、丁只能排在乙后面的2个位置，戊只能排在第一位，有种排法，所以对五个人的安排方法总共有2×(+)=16(种). 解析 5.(2-)8的展开式中不含x4的项的系数之和为 A.-1 B.0 C.1 D.2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 ∵(2-)8的展开式的通项为 Tr+1=28-r(-)r=(-1)r28-r， ∴含x4的项的系数为(-1)820=1， 又(2-)8的展开式的系数之和为(2-)8=1. ∴不含x4的项的系数之和为1-1=0. 解析 √ 6.某校高三年级有8名同学计划高考后前往武当山、黄山、庐山三个景点旅游.已知8名同学中有4名男生，4名女生.每个景点至少有2名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男生甲与女生A不去同一处景点游玩，女生B与女生C去同一处景点游玩，则这8名同学游玩行程的方法数为 A.564 B.484 C.386 D.640 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 8人分三组可分为2人，2人，4人和2人，3人，3人，共两种情况. 第一种情况分成2人，2人，4人，因为女生B，C去同一处景点，当B，C在2人组时， 其他6人分成2人，4人两组且男生甲与女生A不同组，有=8(种)方法； 当B，C在4人组时，有+=36(种)方法. 第二种情况分成2人，3人，3人，当B，C在2人组时，有=6(种)方法； 当B，C在3人组时，有+=44(种)方法. 故这8名同学游玩行程的方法数为(8+36+6+44)×=564. 解析 7.在二项式的展开式中，当且仅当第5项的二项式系数最大时，系数最小的项是 A.第6项 B.第5项 C.第4项 D.第3项 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 由题意得n=8. 二项式展开式的通项为Tr+1=)8-r·)-r=)8-2r，要使其系数最小，则r为奇数. 当r=1时，×=-4； 当r=3时，×=-7； 当r=5时，×=-； 当r=7时，×=-， 故当r=3时系数最小，则系数最小的项是第4项. 解析 8.用四种颜色给图中的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，若四种颜色全用上，则不同的涂色方法的种数为 A.72 B.96 C.108 D.144 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 设四种颜料为1，2，3，4， ①先涂区域B，有4种涂色方法，不妨设涂颜色1； ②再涂区域C，有3种涂色方法，不妨设涂颜色2； ③再涂区域E，有2种涂色方法，不妨设涂颜色3； ④若区域A填涂颜色2，则区域D，F填涂颜色1，4或4，3，有2种不同的涂色方法； 若区域A填涂颜色4，则区域D，F填涂颜色1，3或4，3，有2种不同的涂色方法，由分类加法计数原理知，共有4种不同的涂色方法， 综合①②③④，由分步乘法计数原理可得，共有4×3×2×4=96(种)不同的涂色方法. 解析 二、多项选择题 9.某城市街道如图，某人要走最短路程从A地前往B地，则不同走法有 A.种 B.种 C.种 D.种 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 √ √ 因为从A地到B地路程最短，我们可以在地面画出模型，实地实验探究一下走法可得出：①要走的路程最短必须走5步，且不能重复；②向东的走法定出后，向南的走法随之确定，所以我们只要确定出向东的三步或向南的两步走法有多少种即可，故不同走法的种数有=. 解析 10.若(a-x)(1+x)6的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64，则下列结论中正确的是 A.a=3 B.展开式中的常数项为3 C.展开式中x4的系数为30 D.展开式中x的偶数次幂项的系数之和为64 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 设(a-x)(1+x)6 =a0+a1x+a2x2+…+a7x7， 令x=1，得a0+a1+a2+…+a7=64(a-1)， ① 令x=-1，得a0-a1+a2-…-a7=0， ② 由①-②得，2(a1+a3+a5+a7)=64(a-1)， 所以2×64=64(a-1)，解得a=3，故A正确； 故二项式为(3-x)(1+x)6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7， 令x=0，可得a0=3，即展开式中的常数项为3，故B正确； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 由①+②得，2(a0+a2+a4+a6)=64×2，所以a0+a2+a4+a6=64，即展开式中x的偶数次幂项的系数之和为64，故D正确； 由(3-x)(1+x)6=3(1+x)6-x(1+x)6，得其展开式中x4的系数为3×-1×= 25，故C错误. 解析 11.定义“圆排列”：从n个不同元素中选m个元素围成一个圆形，称为圆排列，所有圆排列的方法数计为.圆排列是排列的一种，区别于通常的“直线排列”，既无“头”也无“尾”，所以=.现有2个女生，4个男生共6名同学围坐成一圈，做击鼓传花的游戏，则 A.共有种排法 B.若两名女生相邻，则有2种排法 C.若两名女生不相邻，共有4种排法 D.若男生甲位置固定，则有5种排法 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 现有2个女生，4个男生共6名同学围坐成一圈，共有=(种)排法，A选项正确； 若两名女生相邻，则有=2(种)排法，B选项正确； 若两名女生不相邻，共有=12(种)排法，C选项错误； 若男生甲位置固定，考虑以甲为基准的顺、逆时针排列，则有=5(种)排法，D选项正确. 解析 三、填空题 12.若=(n∈N+)，则n=　　.   答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 4 由题意可知2n+6=n+2或2n+6=20-(n+2)，解得n=-4(舍去)或n=4. 解析 13.在1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数中，满足2与4相邻并且1与5不相邻的五位数共有　　个.(用数字作答)  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 24 因为满足2与4相邻并且1与5不相邻，则将2，4捆绑，内部排列得种排法，再对2，4和3全排列得种排法，利用插空法将1和5插空得 =2×2×6=24(个). 解析 14.若的展开式的系数和为1，二项式系数和为128，则a=　　，展开式中x2的系数为　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 -1 -448 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 由题意得 所以的展开式的通项为 Tr+1=(2)7-r=27-r(-1)r， 令=2，得r=1. 所以x2的系数为26(-1)1=-448. 解析 四、解答题 15.已知A={x|1<log2x<3，x∈N+}，B={x||x-6|<3，x∈N+}.试问： (1)从集合A和B中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 由题意得A={3，4，5，6，7}，B={4，5，6，7，8}. A中元素作为横坐标，B中元素作为纵坐标，有5×5=25(个)；B中元素作为横坐标，A中元素作为纵坐标，有5×5=25(个).又两集合中有4个相同元素，故有4×4=16(个)点重复了，所以共有25+25-16=34(个)不同的点. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 (2)从A∪B中取出三个不同的元素组成三位数，从左到右的数字要逐渐增大，这样的三位数有多少个？ A∪B={3，4，5，6，7，8}，则这样的三位数共有=20(个). 解 16.某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加研讨会. (1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同的选法？ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 只需从其他18人中选3人即可，共有=816(种)不同的选法. 解 (2)甲、乙均不能参加，有多少种不同的选法？ 只需从其他18人中选5人即可，共有=8 568(种)不同的选法. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 (3)甲、乙2人至少有1人参加，有多少种不同的选法？ 分两类：甲、乙中有1人参加；甲、乙都参加.则共有+=6 936(种) 不同的选法. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 (4)医疗队中至少有1名内科医生和1名外科医生，有多少种不同的选法？ 方法一　(直接法)至少有1名内科医生和1名外科医生的选法可分4类： 1内4外；2内3外；3内2外；4内1外. 所以共有+++=14 656(种)不同的选法. 方法二　(间接法)从无限制条件的选法总数中减去5名都是内科医生和5名都是外科医生的选法种数所得的结果即为所求，即共有-(+)= 14 656(种)不同的选法. 解 17.已知的展开式中的第2项和第3项的系数相等. (1)求n的值； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 二项式的展开式的通项为Tr+1=xn-r=(r=0，1，2，…，n). 根据展开式中的第2项和第3项的系数相等，得·=·n= ·，解得n=5. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 (2)求展开式中所有二项式系数的和； 展开式中所有二项式系数的和为 +++…+=25=32. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 (3)求展开式中所有的有理项. 二项展开式的通项为 Tr+1=(r=0，1，2，…，5). 当r=0，2，4时，对应项是有理项， 所以展开式中所有的有理项为 T1=x5=x5， T3=x2=x2， T5=x-1=. 解 18.用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数. (1)在组成的三位数中，求所有偶数的个数； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 将组成的三位数中所有偶数分为两类， ①若个位数为0，则共有=12(个)符合题意的三位数； ②若个位数为2或4，则共有2×3×3=18(个)符合题意的三位数. 故共有12+18=30(个)符合题意的三位数. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 (2)在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数. 将符合题意的五位数分为三类： ①若两个奇数数字在万位和百位上，则共有=12(个)符合题意的五位数； ②若两个奇数数字在千位和十位上，则共有=8(个)符合题意的五位数； ③若两个奇数数字在百位和个位上，则共有=8(个)符合题意的五位数. 故共有12+8+8=28(个)符合题意的五位数. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 19.已知f(x)=(1+x)n+1+2(1+x)n+2+…+k(1+x)n+k+…+n(1+x)2n(n∈N+). (1)当n=3时，求f(x)的展开式中含x3项的系数； 当n=3时， f(x)=(1+x)4+2(1+x)5+3(1+x)6， ∴f(x)的展开式中含x3项的系数为+2+3=84. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 (2)证明：f(x)的展开式中含xn项的系数为(n+1)； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 ∵f(x)=(1+x)n+1+2(1+x)n+2+…+k(1+x)n+k+…+n(1+x)2n(n∈N+)， ∴f(x)的展开式中含xn项的系数为 +2+3+…+n=+2+3+…+n. ∵k=k·= =(n+1)=(n+1)， ∴含xn项的系数为 (n+1) 证明 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 =(n+1) =(n+1) =(n+1). 证明 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 (3)定义：ai=a1+a2+…+an， 化简：(i+1). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 (i+1)=2+3+…+n+(n+1)， ① (i+1)=(n+1)+n+…+3+2， ② 在①②中分别加， 得1+(i+1)=+2+3+…+n+(n+1)， ③ 1+(i+1)=(n+1)+n+…+3+2+， ④ 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 ③+④得2[1+(i+1)] =(n+2) =(n+2)2n， ∴(i+1)=(n+2)2n-1-1. 解 第4章　计数原理 <<< $