第3章 圆锥曲线与方程 章末检测试卷(三)（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学圆锥曲线单元复习课件系统梳理了椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质及直线与圆锥曲线的位置关系，通过知识框架图将三种曲线的核心内容串联，帮助学生构建完整的圆锥曲线知识网络。 其亮点在于采用“基础诊断-综合应用-拓展探究”分层复习模式，如双曲线渐近线方程推导培养数学推理能力，抛物线焦点弦问题强化数学模型观念，助力学生用数学眼光发现问题，教师可通过错题解析精准把握学情，提升复习效率。

章末检测试卷(三) 第3章　圆锥曲线与方程 <<< 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D A B C C B C 题号 9 10 11 12 13 14 答案 AB AD ABD 4 +1 15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 (1)∵双曲线的一条渐近线方程为y=x， ∴设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0). 把(4，-)代入双曲线方程得42-(-)2=λ， ∴λ=6，∴所求双曲线方程为-=1. 15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 (2)由(1)知双曲线方程为-=1， ∴双曲线的焦点为F1(-2，0)，F2(2，0). ∵点M在双曲线上， ∴32-m2=6，∴m2=3. ∴·=(-2-3，-m)·(2-3，-m) =(-3)2-(2)2+m2=-3+3=0. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 (1)由题意有+=1，e==，a2-b2=c2， 解得a=，b=，c=， 所以椭圆方程为+=1. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 (2)由直线MN过点B且与椭圆有两交点，且直线MN的斜率必存在. 可设直线MN的方程为y=k(x-3)， 代入椭圆方程整理得(2k2+1)x2-12k2x+18k2-6=0，Δ=24-24k2>0，得k2<1. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1+x2=，x1x2=， |MN|= = 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 ==， 解得k=±，满足k2<1， 所以所求直线方程为y=±(x-3). 17. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 (1)由题意得F(1，0)， 故设l的方程为y=k(x-1)(k>0). 设A(x1，y1)，B(x2，y2). 由 消y得k2x2-(2k2+4)x+k2=0. Δ=16k2+16>0， 故x1+x2=. 17. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=+2=. 由题设知=8， 解得k=-1(舍去)或k=1. 因此l的方程为y=x-1. 17. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 (2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)， 所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3)，即y=-x+5. 设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)， 则 解得 17. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 当圆心为(3，2)时，r2=(3+1)2=16； 当圆心为(11，-6)时，r2=(11+1)2=144. 因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144. 18. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 (1)由题意可得 解得a=2，b=，c=1， 所以椭圆C的方程为+=1. 18. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 (2)存在定点Q(4，0)，满足直线QA，QB恰好关于x轴对称， 设直线l的方程为x=my+1， 由 联立得(4+3m2)y2+6my-9=0，Δ=(6m)2-4×(4+3m2)×(-9)>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，定点Q(t，0)， 由题意得t≠x1，t≠x2， 18. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 所以y1+y2=-，y1y2=-， 因为直线QA，QB恰好关于x轴对称， 所以直线QA，QB的斜率互为相反数， 所以+=0， 即y1(x2-t)+y2(x1-t)=0， 所以y1(my2+1-t)+y2(my1+1-t)=0， 即2my1y2+(1-t)(y1+y2)=0， 18. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 所以2m·+(1-t)=0， 即-6m(4-t)=0， 所以当t=4时，直线QA，QB恰好关于x轴对称， 即Q(4，0). 综上，在x轴上存在定点Q(4，0)，使直线QA，QB恰好关于x轴对称. 19. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 (1)解　设P(x，y)，F1(-c，0)，F2(c，0)， =(-c-x，-y)，=(c-x，-y)， 所以·=(-c-x)(c-x)+y2=x2+y2-c2， 因为P(x，y)在双曲线上，所以-=1， 所以x2=a2， 所以·=a2+y2-c2=y2+a2-c2=y2-b2， 19. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 因为y∈R，所以当y=0时，·的最小值是-b2， 所以b=1，又e==，b2=c2-a2， 所以a=2，c=，所以双曲线C的方程为-y2=1. 19. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 (2)①解　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线l：x=my+， 由消元得(m2-4)y2+5my+=0， 则m≠±2，Δ=16m2+36>0，且y1y2=<0， 则m2-4<0，解得-2<m<2. 19. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 ②证明　A1(-2，0)，A2(2，0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由①得y1+y2=-，y1y2=， 则=== == 19. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 ===-， 所以是定值-. 一、单项选择题 1.焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是 A.+=1 B.+y2=1 C.+=1 D.x2+=1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 依题意，得a=2，a+c=3， 故c=1，b==， 故所求椭圆的标准方程是+=1. 解析 2.已知双曲线-y2=1(a>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是 A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 ∵y2=8x的焦点是(2，0)， ∴双曲线 -y2=1的半焦距c=2， 又虚半轴长b=1且a>0，∴a==， ∴双曲线的渐近线方程是y=±x. 解析 3.(2023·新高考全国Ⅰ)设椭圆C1：+y2=1(a>1)，C2：+y2=1的离心率分别为e1，e2.若e2=e1，则a等于 A. B. C. D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 √ 由e2=e1，得=3， 因此=3×，而a>1，所以a=. 解析 4.如图所示，F1，F2分别为椭圆+=1的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2的值为 A. B.2 C.3 D.4 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 ∵△POF2是面积为的正三角形， ∴c2=，解得c=2. ∴P(1，+=1，与a2=b2+4联立解得b2=2. 解析 5.从抛物线y2=4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=4，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为 A. B. C. D.2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 设P(x0，y0)， 依题意可知抛物线准线为x=-1， 所以x0=4-1=3，所以y0=2， 所以P(3，2)，F(1，0)， 所以直线PF的斜率k==. 解析 6.若直线y=kx+1与椭圆+=1总有公共点，则m的取值范围是 A.(1，+∞) B.(0，1)∪(1，+∞) C.[1，5)∪(5，+∞) D.(0，1)∪(1，5) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 √ 直线y=kx+1过定点(0，1)，由题意得，该点落在椭圆内或椭圆上， ∴+≤1，解得m≥1， 又m≠5，∴m的取值范围是[1，5)∪(5，+∞). 解析 7.2024年3月20日，我国成功发射鹊桥二号中继卫星，其通过一个大型可展开的星载天线，实现了月球背面与地球之间的信号传输.星载天线展开后形成一把直径(口径)为4.2 m的“金色大伞”，它的曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入接收天线，经 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 反射聚集到焦点F处.若“金色大伞”的深度为0.49 m，则“金色大伞”的边缘A点到焦点F的距离为 A.2.25 m B.2.74 m C.4.5 m D.4.99 m √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 依题意，建立如图所示的平面直角坐标系，点A(0.49，2.1)， 解析 设抛物线的方程为y2=2px(p>0)，则2.12=2p×0.49，解得2p=9， 抛物线y2=9x的焦点F(2.25，0)，准线方程为x=-2.25，|AF|=0.49+2.25=2.74， 所以“金色大伞”的边缘A点到焦点F的距离为2.74 m. 8.如图所示，F1，F2是双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点.若|AB|∶|BF2|∶|AF2|= 3∶4∶5，则双曲线的离心率为 A.2 B. C. D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 ∵|AB|∶|BF2|∶|AF2|=3∶4∶5， 不妨令|AB|=3，|BF2|=4，|AF2|=5， ∵|AB|2+|BF2|2=|AF2|2，∴∠ABF2=90°， 又由双曲线的定义得|BF1|-|BF2|=2a，|AF2|-|AF1|=2a， ∴|AF1|+3-4=5-|AF1|， ∴|AF1|=3，∴2a=|AF2|-|AF1|=2， ∴a=1，|BF1|=6. 在Rt△BF1F2中，|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2=36+16=52， 又|F1F2|2=4c2，∴4c2=52，∴c=，∴e=. 解析 二、多项选择题 9.已知F1，F2分别是双曲线C：x2-y2=1的左、右焦点，点P是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且·=0，则下列结论正确的是 A.双曲线C的渐近线方程为y=±x B.△PF1F2的面积为1 C.F1到双曲线的一条渐近线的距离为2 D.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 对于A，由x2-y2=0，得y=±x，所以双曲线C的渐近线方程为y=±x，所以A正确； 对于B，由双曲线C：x2-y2=1，可得a=1，b=1，c=，则F1(-，0)，F2(，0)，设P(x，y)，y≠0，则=(--x，-y)，=(-x，-y)， 所以·=(--x)(-x)+(-y)2=0，得x2+y2=2，因为点P在双曲线上，所以x2-y2=1，解得|y|=，所以△PF1F2的面积为|F1F2||y|=×2×= 1，所以B正确； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 对于C，F1(-，0)到一条渐近线x-y=0的距离d==1，所以C错误； 对于D，因为 F1(-，0)，F2(，0)，所以以F1F2为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为，所以圆的方程为x2+y2=2，所以D错误. 解析 10.已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于△PF1F2的说法正确的有 A.△PF1F2的周长为4+2 B.当∠PF1F2=90°时，|PF1|=2 C.当∠F1PF2=60°时，△PF1F2的面积为 D.椭圆上有且仅有6个点P，使得△PF1F2为直角三角形 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 由椭圆的方程可得，a=2，b=，c=， 对于选项A，△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=4+2，故选项A正确； 对于选项B，当∠PF1F2=90°时，PF1⊥x轴，令x=-，可得y=±1，所以|PF1|=1，故选项B不正确； 当∠F1PF2=60°时，△PF1F2的面积为b2×tan 30°=2×=，故选项C不正确； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 当点P位于椭圆的上、下顶点时，|PF1|=|PF2|=a=2，而|F1F2|=2c=2，此时∠F1PF2=90°，有2个直角三角形，当PF1⊥F1F2时，∠PF1F2=90°，此时点P位于第二或第三象限，有2个直角三角形，同理可得PF2⊥F1F2时，∠PF2F1=90°，此时有2个直角三角形，所以共有6个直角三角形，故选项D正确. 解析 11.在平面直角坐标系xOy中，动点P(x，y)的轨迹为曲线C，且动点P(x，y)到两个定点F1(-1，0)，F2(1，0)的距离之积等于3.则下列结论正确的是 A.曲线C关于y轴对称 B.曲线C的方程为x2+y2+1= C.△F1PF2的面积的最大值为 D.|OP|的取值范围为[，2] 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 对于B，依题意，·=3，整理得x2+y2+1=， 因此曲线C的方程为x2+y2+1=，B正确； 对于A，方程中的x替换成-x方程不变，因此曲线C关于y轴对称，A正确； 对于C，显然y2=-(x2+1)≥0，则x4-2x2-8≤0，解得-2≤x≤2， 令=t∈[3，5]，则y2=-+t+=-(t-2)2+∈[0，2]，即|y|≤， △F1PF2的面积S=|F1F2||y|=|y|≤，C错误； 对于D，|OP|2=x2+y2=-1∈[2，4]，因此|OP|的取值范围为[，2]，D正确. 解析 三、填空题 12.已知椭圆+=1与双曲线-=1有共同的焦点，则m=　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 4 由题意得椭圆的焦点为(-3，0)和(3，0)，所以3=，解得m=4. 解析 13.在△ABC中，|AB|=8，|AC|=4，∠BAC=60°，双曲线以A，B为焦点，且经过点C，则该双曲线的离心率为　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 +1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 因为在△ABC中，|AB|=8，|AC|=4，∠BAC=60°， 所以|CB|= ==4， 即|CB|=4，在双曲线中，2c=|AB|=8⇒c=4， 2a=|CB|-|CA|=4-4⇒a=2-2， 所以离心率e===+1. 解析 14.已知椭圆+=1(a>b>0)满足a=b，长轴AB上2 023个等分点从左至右依次为点M1，M2，…，M2 023，过点M1作斜率为k(k≠0)的直线，交椭圆于P1，P2两点，P1点在x轴上方；过点M2作斜率为k(k≠0)的直线，交椭圆于P3，P4两点，点P3在x轴上方；以此类推，过点M2 023作斜率为k(k≠0)的直线，交椭圆于P4 045，P4 046两点，点P4 045在x轴上方，则这4 046条直 线AP1，AP2，…，AP4 046的斜率乘积为　　 　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 根据椭圆对称性知，==·=， 而+=1⇒=-=-， 即=-， 则=…==-， 所以这4 046条直线AP1，AP2，…，AP4 046的斜率乘积为. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 四、解答题 15.已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y=x，且双曲线过点(4，-). (1)求双曲线方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 ∵双曲线的一条渐近线方程为y=x， ∴设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0). 把(4，-)代入双曲线方程得42-(-)2=λ， ∴λ=6，∴所求双曲线方程为-=1. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 (2)若点M(3，m)在此双曲线上，求·. 由(1)知双曲线方程为-=1， ∴双曲线的焦点为F1(-2，0)，F2(2，0). ∵点M在双曲线上， ∴32-m2=6，∴m2=3. ∴·=(-2-3，-m)·(2-3，-m) =(-3)2-(2)2+m2=-3+3=0. 解 16.已知椭圆+=1(a>b>0)经过点A(2，1)，离心率为，过点B(3，0)的直线l与椭圆交于不同的两点M，N. (1)求椭圆的方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 由题意有+=1，e==，a2-b2=c2， 解得a=，b=，c=， 所以椭圆方程为+=1. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 (2)若|MN|=，求直线MN的方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 由直线MN过点B且与椭圆有两交点，且直线MN的斜率必存在. 可设直线MN的方程为y=k(x-3)， 代入椭圆方程整理得(2k2+1)x2-12k2x+18k2-6=0，Δ=24-24k2>0，得k2<1. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1+x2=，x1x2=， |MN|= = 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 ==， 解得k=±，满足k2<1， 所以所求直线方程为y=±(x-3). 解 17.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8. (1)求l的方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 由题意得F(1，0)， 故设l的方程为y=k(x-1)(k>0). 设A(x1，y1)，B(x2，y2). 由 消y得k2x2-(2k2+4)x+k2=0. Δ=16k2+16>0， 故x1+x2=. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=+2=. 由题设知=8， 解得k=-1(舍去)或k=1. 因此l的方程为y=x-1. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 (2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 由(1)得AB的中点坐标为(3，2)， 所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3)，即y=-x+5. 设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)， 则解得 当圆心为(3，2)时，r2=(3+1)2=16； 当圆心为(11，-6)时，r2=(11+1)2=144. 因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144. 解 18.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，且经过点， (1)求椭圆C的标准方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 由题意可得 解得a=2，b=，c=1， 所以椭圆C的方程为+=1. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 (2)过点(1，0)作直线l与椭圆相交于A，B两点，试问在x轴上是否存在定点Q，使得两条不同直线QA，QB恰好关于x轴对称，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 存在定点Q(4，0)，满足直线QA，QB恰好关于x轴对称， 设直线l的方程为x=my+1， 由 联立得(4+3m2)y2+6my-9=0，Δ=(6m)2-4×(4+3m2)×(-9)>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，定点Q(t，0)， 由题意得t≠x1，t≠x2， 所以y1+y2=-，y1y2=-， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 因为直线QA，QB恰好关于x轴对称， 所以直线QA，QB的斜率互为相反数， 所以+=0， 即y1(x2-t)+y2(x1-t)=0， 所以y1(my2+1-t)+y2(my1+1-t)=0， 即2my1y2+(1-t)(y1+y2)=0， 所以2m·+(1-t)=0， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 即-6m(4-t)=0， 所以当t=4时，直线QA，QB恰好关于x轴对称， 即Q(4，0). 综上，在x轴上存在定点Q(4，0)，使直线QA，QB恰好关于x轴对称. 解 19.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的离心率为，F1，F2分别为其左、右焦点，P为双曲线C上任意一点，且·的最小值是-1. (1)求双曲线C的方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 设P(x，y)，F1(-c，0)，F2(c，0)， =(-c-x，-y)，=(c-x，-y)， 所以·=(-c-x)(c-x)+y2=x2+y2-c2， 因为P(x，y)在双曲线上，所以-=1， 所以x2=a2， 所以·=a2+y2-c2=y2+a2-c2=y2-b2， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 因为y∈R，所以当y=0时，·的最小值是-b2， 所以b=1，又e==，b2=c2-a2， 所以a=2，c=，所以双曲线C的方程为-y2=1. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 (2)记双曲线C的左、右顶点分别为A1，A2，直线l：x=my+与C的右支交于M，N两点. ①求实数m的取值范围； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线l：x=my+， 由消元得(m2-4)y2+5my+=0， 则m≠±2，Δ=16m2+36>0，且y1y2=<0， 则m2-4<0，解得-2<m<2. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 ②若直线A1M，A2N的斜率分别为k1，k2，证明：是定值. A1(-2，0)，A2(2，0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由①得y1+y2=-，y1y2=， 则===== ===-， 所以是定值-. 证明 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 第3章　圆锥曲线与方程 <<< $