第3章 圆锥曲线与方程 章末复习课（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学章末复习课件系统梳理了圆锥曲线的核心知识，通过知识网络将椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质等内容分类整合，清晰呈现知识点间的内在逻辑与递进关系。 其亮点在于采用“知识梳理-例题解析-反思感悟-跟踪训练”的复习模式，如通过抛物线准线与双曲线焦点的关联例题培养逻辑推理能力，结合弦长公式应用强化数学运算素养。跟踪训练分层设计，兼顾基础与综合，助力学生巩固知识，也为教师提供精准复习教学支持。

章末复习课 第3章　圆锥曲线与方程 <<< 知识网络 一、圆锥曲线的定义及标准方程 二、圆锥曲线的几何性质 三、直线与圆锥曲线的位置关系 内容索引 圆锥曲线的定义及标准方程 一 1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆：动点M的集合 ｛M||MF1|+|MF2|=2a｝，其中|F1F2|=2c，a，c为正常数，且a>c. (2)双曲线：动点M的集合 ｛M|||MF1|-|MF2||=2a｝，其中|F1F2|=2c，a，c为正常数，且a<c. (3)抛物线：动点M的集合｛M||MF|=d｝，其中定点F是定直线l外一点，d为点M到定直线l的距离. 2.求圆锥曲线方程的常用方法 (1)直接法；(2)定义法；(3)代入法；(4)待定系数法. 3.求圆锥曲线方程体现了逻辑推理和数学运算、直观想象的数学素养. (1)已知抛物线y2=8x的准线过双曲线-=1(a>0，b>0)的一个焦 点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________. 例 1 x2-=1 由题意得 则b2=c2-a2=3， 因此双曲线方程为x2-=1. 解析 6 (2)在圆x2+y2=4上任取一点P，设点P在x轴上的正投影为点D.当点P在圆上运动时，动点M满足=2，动点M形成的轨迹为曲线C.求曲线C的方程. 由=2，知点M为线段PD的中点， 设点M的坐标为(x，y)， 则点P的坐标为(x，2y). 因为点P在圆x2+y2=4上， 所以x2+(2y)2=4， 所以曲线C的方程为+y2=1. 解 7 (1)应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件. (2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决. (3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离和到准线的距离进行相互转化，结合几何图形，利用几何意义去解决. 反 思 感 悟 8 (1)已知点P在椭圆C：+=1(a>b>0)上，点F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，满足PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为12，椭圆C的焦距为8，则椭圆C的标准方程为 A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 跟踪训练 1 √ 9 椭圆C的焦距为8，则|F1F2|=2c=8， 由PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为12， 得|PF1||PF2|=12，即|PF1||PF2|=24， 又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=64， 所以(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=112， 即4a2=112，a2=28， 又c=4，所以b2=a2-c2=12， 则椭圆C的标准方程为+=1. 解析 10 (2)已知点P是抛物线y2=8x上的任意一点，F是抛物线的焦点，点M的坐标是(2，3)，求|PM|+|PF|的最小值，并求出此时点P的坐标. 11 抛物线y2=8x的准线方程是x=-2，那么点P到焦点F的距离等于它到准线x=-2的距离，过点P作PD垂直于准线，垂足为D，那么|PM|+|PF|=|PM|+ |PD|. 如图所示，根据平面几何知识，当M，P，D三点共线时，|PM|+|PF|的值最小，且最小值为|MD|=2-(-2)=4， 所以|PM|+|PF|的最小值是4. 此时点P的纵坐标为3， 所以其横坐标为， 即点P的坐标是. 解 12 二 圆锥曲线的几何性质 1.本类问题主要有两种考查类型： (1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质，其中以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点. (2)已知圆锥曲线的性质求其方程，基本方法是待定系数法，其步骤可以概括为“先定位、后定量”. 2.圆锥曲线的性质的讨论和应用充分体现了直观想象和逻辑推理的数学素养. (1)如图，F1，F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是 例 2 A. B. C. D. √ 15 由椭圆可知|AF1|+|AF2|=4，|F1F2|=2.因为四边形AF1BF2为矩形， 所以|AF1|2+=|F1F2|2=12， 所以2|AF1||AF2|=(|AF1|+|AF2|)2-(|AF1|2+)=16-12=4， 所以(|AF2|-|AF1|)2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|·|AF2|=12-4=8， 所以|AF2|-|AF1|=2，因此对于双曲线有a=，c=， 所以C2的离心率e==. 解析 16 (2)已知双曲线的中心是坐标原点，它的一个顶点为A(，0)，两条渐近线与以A为圆心，1为半径的圆都相切，则该双曲线的渐近线方程是 　　　， 该双曲线的标准方程是　　　　.  y=±x -=1 17 由双曲线一个顶点为A(，0)， 可知焦点在x轴上，则a=， 故设双曲线的标准方程为-=1(b>0)， 则渐近线方程为bx±y=0， 又=1，解得b2=2， 所以渐近线方程为y=±x， 该双曲线的标准方程为-=1. 解析 18 求解离心率的两种方法 (1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2-b2=c2(a2+b2=c2)以及e=，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法. (2)齐次式法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率十分重要的思路及方法. 反 思 感 悟 19 (1)在平面直角坐标系中，已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为双曲线右支上一点，连接AF1交y轴于点B.若△ABF2为等边三角形，则双曲线C的离心率为 A.2 B. C. D. 跟踪训练 2 √ 20 设|AF2|=m， ∵△ABF2为等边三角形， ∴|AB|=|BF2|=m， ∠F1AF2=， 又|BF1|=|BF2|=m， ∴|BF2|=|AF1|， ∴AF2⊥F1F2， ∴|AF2|=， 解析 21 ∴tan∠F1AF2===， ∴2ac=b2=c2-a2， ∴e2-2e-=0， 解得e=-(舍去)或e=， ∴双曲线C的离心率为. 解析 22 (2)已知双曲线C1：-=1(a>0，b>0)的离心率为2，若抛物线C2：x2= 2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为 A.x2=y B.x2=y C.x2=8y D.x2=16y √ 23 由e2=1+=4，得=， 则双曲线的渐近线方程为y=±x， 即x±y=0，抛物线C2的焦点坐标为， 则有=2，解得p=8， 故抛物线C2的方程为x2=16y. 解析 24 三 直线与圆锥曲线的位置关系 1.直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中的变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，通过研究该一元二次方程的判别式与0的关系来确定直线和圆锥曲线公共点的情况，当然，还要注意二次项系数有没有为0的情况. 2.设直线与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率存在且为k，则弦长公式： |AB|=|x1-x2|=； 当k≠0时，弦长公式还可以写成 |AB|=|y1-y2|=. 3.借用直线与圆锥曲线问题培养数学运算的核心素养. 已知椭圆+=1(a>b>0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0). (1)求椭圆的方程； 例 3 由题设知 解得a=2，b=，c=1， ∴椭圆的方程为+=1. 解 28 (2)若直线l：y=-x+m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足=，求直线l的方程. 29 由(1)知，以F1F2为直径的圆的方程为 x2+y2=1， ∴圆心到直线l的距离d=， 由d<1得|m|< . ① ∴|CD|=2=2=. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 解 30 由 得x2-mx+m2-3=0， Δ=m2-4(m2-3)=12-3m2>0. ② 由根与系数的关系可得 x1+x2=m，x1x2=m2-3. ∴|AB|==. 解 31 由==1， 解得m=±，经检验满足①②. ∴直线l的方程为 y=-x+或y=-x-. 解 32 (1)直线与圆锥曲线的位置关系可以通过代数法判断. (2)一元二次方程的判别式Δ、弦长公式是代数法解决问题的常用工具. 反 思 感 悟 33 已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的离心率为，实轴长为2. (1)求双曲线C的标准方程； 跟踪训练 3 因为2a=2，e==， 所以a=1，c=， 所以b2=c2-a2=2-1=1， 故所求双曲线的标准方程为x2-y2=1. 解 34 (2)设直线l：y=kx+1与双曲线C交于A，B两点，是否存在k满足·=2 (其中O为坐标原点)？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由. 35 如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由消元可得(1-k2)x2-2kx-2=0， 当1-k2≠0， 且Δ=4k2+8(1-k2)=8-4k2>0， 即k≠±1且-<k<时， x1+x2=，x1x2=， 所以y1y2=(kx1+1)(kx2+1) =k2x1x2+k(x1+x2)+1=++1=1， 解 36 所以·=x1x2+y1y2=+1=2， 解得k=±， 此时不满足-<k<， 故不存在k，使得·=2成立. 解 37 第3章　圆锥曲线与方程 <<< $