第3章 习题课 与弦有关的综合问题（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学课件聚焦直线与圆锥曲线的弦长及中点弦问题，通过复习直线与椭圆位置关系导入，以“由弦长求参数、弦长最值范围、中点弦问题”为模块，结合例题、跟踪训练构建从基础到综合的学习支架。 其亮点在于采用一题多解（如中点弦问题的根与系数法、点差法）培养数学思维，反思感悟强调判别式验证提升严谨性，实例训练助力学生用数学语言规范表达。学生能掌握解题方法，教师可依托系统内容提升教学效率。

习题课 与弦有关的综合问题 第3章　圆锥曲线与方程 <<< 1.进一步熟悉直线与圆锥曲线的位置关系. 2.会求解与弦长有关的问题. 学习目标 一、由弦长求参数的值 二、与弦长有关的最值、范围问题 课时对点练 三、中点弦问题 随堂演练 内容索引 由弦长求参数的值 一 已知直线l：y=kx+1与椭圆C：+y2=1交于M，N两点，且|MN|=，求直线l的方程. 例 1 5 由题意可得k≠0，设直线l与椭圆C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由得(1+2k2)x2+4kx=0. Δ=16k2>0， ∴x1+x2=，x1x2=0. |MN|=·=， 整理得k4+k2-2=0，解得k2=1，或k2=-2(舍去).经检验k=±1符合题意， ∴直线l的方程为y=±x+1， 即x-y+1=0或x+y-1=0. 解 6 已知弦长求参数值，关键是利用弦长公式，得到关于参数的方程，注意求得结果要验证是否满足判别式大于0，否则需舍去. 反 思 感 悟 7 椭圆+=1(a>b>0)的离心率为，且椭圆与直线x+2y+8=0相交于P，Q，且|PQ|=，求椭圆的方程. 跟踪训练1 8 ∵e=，∴b2=a2. ∴椭圆方程为x2+4y2=a2， 与x+2y+8=0联立消去y， 得2x2+16x+64-a2=0， 由Δ>0得a2>32， 由弦长公式得10=×[64-2(64-a2)]. ∴a2=36，b2=9.∴椭圆的方程为+=1. 解 9 二 与弦长有关的最值、范围问题 在平面直角坐标系中，椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率e=，且点P(2，1)在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； 例 2 由题意得∴ ∴椭圆C的方程为+=1. 解 11 (2)斜率为-1的直线与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值. 12 设直线AB的方程为y=-x+m， 联立得3x2-4mx+2m2-6=0， ∴ ∴|AB|=|x1-x2|=， 原点到直线的距离d=. 解 13 ∴S△OAB=×· =≤·=. 当且仅当m=±时，等号成立， ∴△AOB面积的最大值为. 解 14 求与椭圆有关的最值、范围问题的方法 (1)定义法：利用定义转化为几何问题处理. (2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解. (3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围. 反 思 感 悟 15 已知A(-2，0)，B在椭圆C：+=1(a>b>0)上，F1，F2分别为C的左、右焦点. (1)求a，b的值及椭圆C的离心率； 跟踪训练 2 16 因为A(-2，0)，B在椭圆C：+=1(a>b>0)上，所以 解得 所以c==1，椭圆C的离心率为=. 解 17 (2)若动点P，Q均在C上，且P，Q在x轴的两侧，求四边形PF1QF2的面积的取值范围. 由(1)得椭圆C：+=1，c=1， 故|F1F2|=2， 因为动点P，Q均在C上，且P，Q在x轴的两侧， 所以四边形PF1QF2的面积S=·|F1F2|·(|yP|+|yQ|)= |yP|+|yQ|∈(0，2b]，又b=，所以S∈(0，2]， 当且仅当P，Q分别为椭圆的上顶点和下顶点时，四边形PF1QF2的面积取得最大值，即四边形PF1QF2的面积的取值范围是(0，2]. 解 18 三 中点弦问题 已知椭圆+=1的弦AB的中点M的坐标为(2，1)，则直线AB的方程为　　　　　.  例 3 x+2y-4=0 20 方法一　易知直线AB的斜率k存在， 设所求直线的方程为y-1=k(x-2)， 由 消去y得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1，x2是上述方程的两根， 于是x1+x2=. 又M为AB的中点，∴==2，解得k=-. 故所求直线的方程为x+2y-4=0. 经检验，所求直线满足题意. 解析 21 方法二　设点A(x1，y1)，B(x2，y2). ∵M(2，1)为AB的中点，∴x1+x2=4，y1+y2=2. 又A，B两点在椭圆上， 则+4=16，+4=16， 两式相减，得(-)+4(-)=0， 于是(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0. ∴=-=-=-， 即kAB=-. 故所求直线的方程为x+2y-4=0. 经检验，所求直线满足题意. 解析 22 方法三　设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)， 由于AB的中点为M(2，1)， 则另一个交点为B(4-x，2-y). ∵A，B两点都在椭圆上， ∴ ①-②，化简得x+2y-4=0. 显然点A的坐标满足这个方程，代入验证可知点B的坐标也满足这个方程，而过点A，B的直线只有一条，故所求直线的方程为x+2y-4=0. 解析 23 解决弦的中点问题，主要有两种办法：一种是根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程消去一个未知数，利用所得到的一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式求解；另一种是点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点坐标与斜率的关系式. 反 思 感 悟 24 过点M(1，1)作斜率为-的直线与椭圆C：+=1(a>b>0)相 交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为　 　.  跟踪训练 3 25 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则+=1， ① +=1. ② ∵M是线段AB的中点，∴=1，=1. ∵直线AB的方程是y=-(x-1)+1， ∴y1-y2=-(x1-x2). 解析 26 由①②两式相减可得+=0， 即+·=0. ∴a=b.∴c=b.∴e==. 解析 27 1.知识清单： (1)由弦长求参数的值. (2)与弦长有关的最值、范围问题. (3)中点弦问题. 2.方法归纳：分类讨论法、点差法. 3.常见误区：忽略直线斜率不存在的情况. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.过椭圆+=1(a>b>0)的焦点F(c，0)的弦中最短弦长是 A. B. C. D. √ 最短弦是过焦点F(c，0)且与焦点所在坐标轴垂直的弦. 将x=c代入+=1，得y=±， 故最短弦长是. 解析 1 2 3 4 2.已知椭圆C的焦点在x轴上，长轴长为4，过右焦点F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|=3，则C的方程为 A.+=1 B.+y2=1 C.+=1 D.+=1 √ 1 2 3 4 设椭圆C的方程为+=1(a>b>0)， 则2a=4，a=2， ∵AB经过右焦点F2且垂直于x轴， 且|AB|=3， ∴将x=c代入+=1，得y=±， ∴|AB|==3， ∴b2=3，∴椭圆C的方程为+=1. 解析 1 2 3 4 3.瑞士数学家欧拉在其所著作的《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心(中垂线的交点)、重心(中线的交点)、垂心(高的交点)在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉线.已知△ABC的顶点C，且|AC|=|BC|，则△ABC的欧拉线被椭圆E：+y2=1截得的弦长的最大值为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 因为|AC|=|BC|，由等腰三角形的性质可得欧拉线一定过点C， 当欧拉线的斜率不存在时，其方程为x=0，被椭圆E：+y2=1截得的弦长为2； 当欧拉线的斜率存在时，设其方程为y=kx+，与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)， 与椭圆方程联立可得(1+2k2)x2+kx-=0， 则Δ=16k2+>0，x1+x2=-，x1x2=-， 解析 1 2 3 4 |MN|= = =， 令t=1+2k2，则k2=，且t≥1， |MN|==， 因为t≥1，所以0<≤1，所以当=1，即k=0时，|MN|取到最大值，最大值为. 又>2，所以|MN|的最大值为. 解析 1 2 3 4 4.已知A，B为椭圆+=1上的两个点，且直线AB的方程为y=-x+1，则线 段AB的中点与原点连线的斜率为　　.  1 2 3 4 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点M(x0，y0)， 则x1+x2=2x0，y1+y2=2y0， 又点A，B为椭圆+=1上的两个点， 则 两式作差可得+=0， 即+=0， 解析 1 2 3 4 代入x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，则+(y1-y2)y0=0， 即=-， 又直线AB的方程为y=-x+1， 即=-1， 所以=. 解析 课时对点练 五 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A B B B C BC AD 题号 9 10 11 12 答案 AD 9x+y-5=0 x-y+1=0或x+y-1=0 13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 把直线方程y=x+m代入椭圆方程4x2+y2=1， 得4x2+(x+m)2=1， 即5x2+2mx+m2-1=0. 则Δ=(2m)2-4×5×(m2-1)=-16m2+20>0， 解得-<m<. 设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1，x2. 则x1+x2=-，x1x2=. 答案 13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 根据弦长公式，得 ·=， 解得m=0. 因此，所求直线的方程为y=x. 答案 14. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)由题意得 则b2=a2-c2=1， ∴椭圆C的方程为+y2=1. 答案 14. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)由题意可知，直线l的斜率存在， 设直线l：y=kx+，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立得(4k2+1)x2+4kx-3=0， Δ=16k2+12(4k2+1)>0. x1+x2=-，x1x2=， 答案 14. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 S△PMN=|PD||x1-x2| ==×， 令=m(m≥)， 则S△PMN=×===， 又∵y=m+，+∞)上单调递增， 答案 14. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∴当m==， 即k=0时，△PMN的面积最大， 此时直线l：y=. 答案 一、单项选择题 1.直线y=x-1被椭圆2x2+y2=4所截得的弦的中点坐标是 A. B. C. D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由 消去y得2x2+(x-1)2=4，即3x2-2x-3=0， ∴弦的中点的横坐标是x=×=， 代入直线方程y=x-1中，得y=-， ∴弦的中点坐标是. 解析 2.直线x+4y+m=0交椭圆+y2=1于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为1，则m的值是 A.-2 B.-1 C.1 D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 ∵x+4y+m=0，∴y=-x-， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 两式相减，得=-=-. ∵AB中点的横坐标为1，∴纵坐标为， 将代入直线y=-x-，解得m=-2. 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 3.直线y=x+2交椭圆+=1于A，B两点，若|AB|=3，则m的值为 A.16 B.12 C.2 D.3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 方法一　由椭圆+=1，得上顶点为(0，2)，而直线y=x+2也过(0，2)， 所以A(0，2)为直线与椭圆的一个交点， 设B(xB，yB)， 则|AB|= =|xB-xA|=|xB|=3， 解得xB=±3，所以B(-3，-1)或B(3，5)(舍去)， 把B(-3，-1)代入椭圆方程得+=1，故m=12. 解析 方法二　由 得(4+m)x2+4mx=0，所以xA=0，xB=， 又|AB|= =|xB-xA|=|xB|， 所以=3， 因为m>0，所以=3，故m=12. 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 4.过椭圆+=1的中心作直线与椭圆交于A，B两点，F1为椭圆的左焦点，则△F1AB面积的最大值为 A.6 B.12 C.24 D.48 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 如图， 设点A的坐标为(x，y)，由于AB过椭圆中心， 所以A，B两点关于原点O对称，于是B(-x，-y)， 所以=|OF1|·2|y|=c|y|， 因此，当|y|最大时，△F1AB的面积最大， 而当A，B分别为椭圆的上、下顶点时，|y|最大， 又a=5，b=4，所以c=3， 所以△F1AB面积的最大值为cb=3×4=12. 解析 5.斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y=x+m，由 消去y得5x2+8mx+4(m2-1)=0， Δ=(8m)2-4×5×4(m2-1)=80-16m2>0， 即0≤m2<5. 则x1+x2=-，x1x2=. 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 ∴|AB|=|x1-x2| =· =·=·， ∴当m=0时，|AB|取得最大值. 解析 6.已知椭圆C：+=1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|=6，则△ADE的周长是 A.11 B.12 C.13 D.14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 答案 因为椭圆的离心率为e==，所以a=2c，b==c， 如图，|AF1|=|AF2|=|F1F2|=2c，所以△AF1F2为正三角形， 又因为直线DE过F1且垂直于AF2， 所以∠DF1F2=30°，直线DE的方程为y=(x+c)， 设点D的坐标为(x1，y1)，点E的坐标为(x2，y2)， 将直线方程与椭圆方程+=1联立，得13x2+8cx-32c2=0， 显然Δ>0，则x1+x2=-，x1x2=-， 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 所以|DE|=×==6， 解得c=，a=， 由图，直线DE垂直平分AF2，所以△ADE的周长 等于△F2DE的周长，=4a=13. 解析 二、多项选择题 7.已知过点(0，1)的直线与椭圆x2+=1交于A，B两点，则弦长|AB|的值可能是 A.1 B. C. D.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1， 由消去y并整理得(2+k2)x2+2kx-1=0，Δ>0恒成立， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=，x1x2=， |AB|=|x1-x2|=· =·= =2∈[，2)； 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 当直线AB的斜率不存在时，|AB|=2，因此|AB|∈[，2]， 结合选项，弦长|AB|的值可能是. 解析 8.已知椭圆C：+y2=1与直线l：x-y+m=0相交于两个不同的点A，B，点M为线段AB的中点，则 A.-<m< B.m<-或m> C.弦长|AB|的最大值为 D.点M一定在直线x+4y=0上 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 设A，B两点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立椭圆C：+y2=1与直线l：x-y+m=0的方程， 得5x2+8mx+4(m2-1)=0， 由判别式Δ=(8m)2-4×5×4(m2-1)>0，得m2<5，即-<m<，选项A正确，选项B不正确； 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 x1+x2=-，x1x2=(m2-1)， 弦长|AB|=·=·， 当m=0时，弦长|AB|取最大值，|AB|=，选项C不正确； 由直线l：y=x+m，线段AB的中点M的坐标为， 即M，所以点M的坐标满足直线方程x+4y=0，选项D正确. 解析 9.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0)，经过左焦点F1的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线AB的斜率存在且不为0，c=a，则以下说法正确的是 A.a=2b B.△ABF2的周长为4b C.△ABF2的面积的最大值为b2 D.记点A关于坐标原点O的对称点为A'，则=1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 √ √ 易知△ABF2的周长为4a，a=2b，故△ABF2的周长为8b，所以A正确，B错误； 椭圆方程可写为+=1，则c=b， 设直线AB：x=my-b，代入椭圆方程得(m2+4)y2-2mby-b2=0，Δ>0恒成立， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1+y2=，y1y2=， 则=×2b×|y1-y2|=×2b× =4b2·=4b2·≤4b2·=2b2，当且仅当=，即m=±时，等号成立，所以C错误； 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 易知A'(-x1，-y1)，由+=0，即=-=kBA·kBA'， 又a=2b，所以kBA·kBA'=-=-. 故|kBA'-kBA|==≥1，当且仅当kBA=±时等号成立，所以D正确. 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 三、填空题 10.已知椭圆C：+x2=1，过点P的直线与椭圆C相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 9x+y-5=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 设A(x1，y1)，B(x2，y2). 因为点A，B在椭圆上， 所以+=1， ① +=1. ② ①-②，得+(x1+x2)(x1-x2)=0. ③ 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 因为P是线段AB的中点， 所以x1+x2=1，y1+y2=1， 代入③得=-9，即直线AB的斜率为-9. 故直线AB的方程为y-=-9， 整理得9x+y-5=0. 解析 11.已知椭圆两顶点A(-1，0)，B(1，0)，过焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C，D两点，当|CD|=时，直线l的方程为　　　　 　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 x-y+1=0或x+y-1=0 由题意得b=1，c=1. ∴a2=b2+c2=1+1=2. ∴椭圆方程为+x2=1. 当直线l的斜率不存在时，|CD|=2，不符合题意. 当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+1， 联立得(k2+2)x2+2kx-1=0. Δ=8(k2+1)>0恒成立. 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 设C(x1，y1)，D(x2，y2). ∴x1+x2=-，x1x2=-. ∴|CD|=|x1-x2| = =. 即=， 解得k2=2，∴k=±. ∴直线l的方程为x-y+1=0或x+y-1=0. 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 12.如图，某市有相交于点O的一条东西走向的公路l与一条南北走向的公路m，有一商城A的部分边界是椭圆的四分之一，这两条公路为椭圆的对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 称轴，椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1(单位：千米).根据市民建议，欲新建一条公路PQ，点P，Q分别在公路l，m上，且要求PQ与椭圆形商城A相切，当公路PQ最短时，OQ的长为　　千米.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由题意设PQ的方程为y=kx+b， 由图易得b>1，->2，联立 可得x2+2kbx+b2-1=0， 则Δ=(2kb)2-4(b2-1)=0， 即k2=(b2-1). 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵P，Q(0，b)， ∴|PQ|2=+b2=+b2=+b2 =4++b2=5++(b2-1)≥ 5+2=9， 当且仅当b2-1=，即b=时取等号，即|OQ|=. 解析 答案 四、解答题 13.已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m，若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 把直线方程y=x+m代入椭圆方程4x2+y2=1， 得4x2+(x+m)2=1， 即5x2+2mx+m2-1=0. 则Δ=(2m)2-4×5×(m2-1)=-16m2+20>0， 解得-<m<. 设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1，x2. 则x1+x2=-，x1x2=. 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 根据弦长公式，得 ·=， 解得m=0. 因此，所求直线的方程为y=x. 解 14.椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率e=，且椭圆C的长轴长为4. (1)求椭圆C的方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 由题意得 则b2=a2-c2=1， ∴椭圆C的方程为+y2=1. 解 (2)设直线l过点D，且与椭圆C相交于M，N两点，若点P是椭圆C的下顶点，当△PMN的面积最大时，求直线l的方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 由题意可知，直线l的斜率存在， 设直线l：y=kx+，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立得(4k2+1)x2+4kx-3=0， Δ=16k2+12(4k2+1)>0. x1+x2=-，x1x2=，S△PMN=|PD||x1-x2| 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 ==×， 令=m(m≥)， 则S△PMN=×===， 又∵y=m+，+∞)上单调递增， ∴当m==， 即k=0时，△PMN的面积最大， 此时直线l：y=. 解 第3章　圆锥曲线与方程 <<< $