第3章 圆锥曲线与方程（复习课件）数学湘教版选择性必修第一册

该高中数学单元复习课件系统梳理了圆锥曲线与方程的核心内容，涵盖椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质，以及曲线与方程、直线与圆锥曲线位置关系等。通过单元知识图谱构建知识网络，将圆锥曲线分类串联，考点串讲分考点细化定义、方程、性质，形成逻辑清晰的知识脉络。 其亮点在于采用“考点串讲-题型剖析-针对训练”的复习策略，设计14类典型题型，如椭圆标准方程求解、双曲线焦点三角形问题等，例题结合定义和定理推理，变式训练分层设计基础题与综合题。培养学生数学思维（如用韦达定理分析直线与椭圆关系）和数学语言表达能力（如推导焦点三角形面积公式），助力学生巩固知识，也为教师提供系统复习方案，提升教学针对性。

单元复习课件 第3章圆锥曲线与方程 湘教版2019选择性必修第一册·高二 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.掌握椭圆、双曲线和椭圆的定义、标准方程.理解离心率的几何意义.能够解决与圆锥曲线定义、性质相关的简单综合问题.初步了解直线与圆锥曲线的位置关系，并能解决简单的弦长问题. 3.圆锥曲线标准方程的推导过程，椭圆和双曲线的两种定义之间的联系.直线与圆锥曲线位置关系的综合应用. 2. 利用圆锥曲线的几何性质解决相关问题以及数形结合思想的应用.在研究和解决问题的过程中，能够将几何问题代数化，也能将代数结果几何化，实现“数”与“形”的相互转化。 单元学习目标 圆锥面 圆锥曲线 椭圆 双曲线 抛物线 标准方程 几何性质 曲线与方程 圆锥曲线的应用 单元知识图谱 考点一、椭圆及其标准方程 1.椭圆的定义 平面上到两个定点F1、 F2的距离之和为常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆． 两个定点F1 、F2叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|叫做焦距． 考点串讲 2.焦点在坐标轴上，且关于原点对称的椭圆的标准方程 焦点在x轴上： 焦点在y轴上： 椭圆的标准方程的特点： （1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1； （2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a² = b²＋c²； （3）椭圆的标准方程中，大的分母是a² ，小的分母就是 b²； （4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上． 考点一、椭圆及其标准方程 考点串讲 方程 图像 考点二、椭圆的几何性质 1.椭圆的图像和性质 考点串讲 方程 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 范围 对称性 对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b，0)，B2(b，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 长轴长 2a 短轴长 2b 离心率 考点二、椭圆的几何性质 考点串讲 2.直线与椭圆的位置关系的判断： 将直线l的方程与椭圆的方程联立，得方程组 消去y或x，得到关于x或y的一元二次方程． 直线与椭圆相交 有两个公共点； （1）∆>0 只有一个公共点； 直线与椭圆相切 （2）∆=0 没有公共点． 直线与椭圆相离 （3）∆<0 考点二、椭圆的几何性质 考点串讲 已知椭圆C： 的左，右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上异于长轴两端点的点，则∆F1PF2为椭圆C的焦点三角形． （3）当P为短轴端点时，∠F1PF2取得最大值． （1）∆F1PF2的周长 L 为定值 2a＋2c； （2）∆F1PF2的面积 S 的最大值为bc； 考点二、椭圆的几何性质 3.椭圆的焦点三角形 考点串讲 1.双曲线的定义: 平面上到两个定点F1、 F2的距离之差的绝对值为常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫作双曲线． 两个定点F1 、F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|叫作焦距． 考点三、双曲线及其标准方程 考点串讲 2.焦点在坐标轴上，且关于原点对称的双曲线的标准方程为： 双曲线的标准方程的特点： （1）左边是两个分式的平方差，右边是1； （2）三个参数a、b、c满足 c²=a²＋ b²； （3）系数为正的项的分母是a² ，系数为负的项的分母就是 b²； （4）x2与y2哪一个系数是正的，则焦点就在哪一个轴上． 焦点在x轴上： 焦点在y轴上： 考点三、双曲线及其标准方程 考点串讲 方程 图像 考点四、双曲线的几何性质 1.双曲线的图像和性质 考点串讲 方程 范围 对称性 对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 实轴长 2a 虚轴长 2b 渐近线方程 离心率 考点四、双曲线的几何性质 考点串讲 将直线l的方程与双曲线的方程联立，得方程组，消去y或x，得到关 于x或y的方程． 直线与双曲线相交 有两个公共点； （1）∆>0 只有一个公共点； 直线与双曲线相切 （2）∆=0 没有公共点． 直线与双曲线相离 （3）∆<0 1．当二次项系数为0时，结论再行讨论． 2．当二次项系数不为0时，方程为一元二次方程， 2.直线与双曲线的位置关系的判断： 考点四、双曲线的几何性质 考点串讲 我们把平面内与一定点F和一条定直线l（F ∉l）距离相等的点的轨迹叫作抛物线，点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线． 对于任意 p>0，焦点为 ，准线方程为 的抛物线方程为 y2=2px，这称为抛物线的标准方程． 考点五、抛物线及其标准方程 1.抛物线的定义 2.抛物线的标准方程 考点串讲 图像 标准方程 焦点坐标 准线方程 考点五、抛物线及其标准方程 考点串讲 图像 标准方程 焦点坐标 准线方程 范围 x ≥0，y∈R x ≤0，y∈R y ≥0，x ∈R y≤0，x ∈R 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 顶点坐标 (0，0) 考点六、抛物线的几何性质 1.抛物线的图像和性质 考点串讲 图像 标准方程 焦点弦长 2.直线与抛物线位置关系 考点六、抛物线的几何性质 考点串讲 考点七、曲线和方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C（看作满足某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程 f (x，y) = 0的实数解建立了如下关系： （1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 此时，这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线． 确定曲线的方程后，通过研究方程的性质从而得到曲线的几何性质.我们称这种研究几何的方法为坐标法． 基于坐标法，我们将几何问题转化为代数问题来解决，这也是解析几何的核心思想． 1.曲线与方程的概念 考点串讲 直接将条件翻译成等式（几何关系转化为代数关系），整理化简后 即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做直接法． 用从动点Q的坐标（x，y）表示主动点P的坐标（x0，y0），然后代 入主动点P所满足的曲线方程，整理化简便得到从动点Q轨迹方程，这种 求轨迹方程的方法叫做相关点法． 如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线 的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法． 当动点坐标x，y之间的关系难以直接找到时，可先寻找一个参数t， 把x，y用参数t进行表示，然后消去t得到关于x，y的方程即动点的轨迹方 程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法． 2.轨迹方程的求法 考点串讲 题型一、求椭圆标准方程 例1.已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于， 两点. 若，,则 的方程为( ) B A. B. C. D. 解：由椭圆定义及,,得，则， , ， 由此可得点在 轴上. 设 为坐标原点）， 在中，有 .又 为等腰三角形， 所以 . 由倍角公式得 ，解得，则 ， 故椭圆方程为 . 题型剖析 变式1.求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）长轴长为18，离心率为 ； 解：因为2a = 18，所以a = 9． 椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，因此，所求的椭圆标准方程为 又因为 ， 所以c = 3． 于是， b² = a²－c² =81－9=72． 题型一、求椭圆标准方程 针对训练 （2）经过点，Q(－3，－1)，焦点在轴上． 解：因为椭圆的焦点在x轴上，设其标准方程为 将P，Q两点的坐标代入得 题型一、求椭圆标准方程 针对训练 题型二、椭圆定义的应用 例2 .已知,为椭圆的两个焦点，,为 上关于坐标原点对称的 两点，且,则四边形 的面积为___. 8 【解析】由椭圆的标准方程知,,所以. 因为，为 上关于坐标原点对称的两点，且 ， 所以四边形为矩形. 设, , 由椭圆的定义及勾股定理得, , 所以,即, 故四边形 的面积等于8. 题型剖析 变式2.设为坐标原点，，为椭圆 的两个焦点, 点在上，，则 ( ) B A. B. C. D. 依题意,, . 如图，设点的坐标为 ，利用焦点三角形面积公式知 . 因为，所以 ，故 . 又,故 ,又 , 所以,, . 题型二、椭圆定义的应用 针对训练 题型三、椭圆离心率问题 例3.椭圆, 的离心率分别为,， 若，则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】由已知得,， 因为，所以 ， 得 . 题型剖析 变式3.椭圆的左顶点为,点，均在 上，且关于轴对称. 若直线,的斜率之积为,则 的离心率为( ) A A. B. C. D. 【解析】设椭圆的右顶点为， 则直线与直线关于 轴对称， 所以， 所以 ， 所以． 故选A． 题型三、椭圆离心率问题 针对训练 题型四、直线和椭圆的综合问题 例4. 已知椭圆的左、右焦点分别为, ,直线与 交于,两点，若面积是面积的2倍，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】由题意，直线与椭圆交于两点，则由消去 ，得 ,由,得 . 因为,,面积是 面积的2倍， 所以点到直线的距离是点到直线 的距离的2倍， 即 ， 解得或 （舍去）. 题型剖析 变式4.已知椭圆的离心率为 ,点在 上. （1）求 的方程； （2）过点的直线交于，两点，直线,与轴的交点分别为, ，证 明：线段 的中点为定点. 【解析】（1）由点在上，得，则 . 因为椭圆的离心率，所以 ， 又，所以， ， 故椭圆的方程为 . 题型四、直线和椭圆的综合问题 针对训练 （2）过点的直线交于，两点，直线,与轴的交点分别为, ，证 明：线段 的中点为定点. 【解析】由题意知，直线 的斜率存在且不为0， 设，， ， 由得 ， 则 , ， . 直线， 令，解得，同理得 ， 则 . 所以的中点的纵坐标为，所以的中点为定点 . 题型四、直线和椭圆的综合问题 针对训练 题型五、求双曲线标准方程 例5.焦点分别为,且经过点 的双曲线的标准方程为( ) A A. B. C. D. 【解析】 双曲线的焦点在 轴上， 设双曲线的标准方程为 . 由题意知， ①. 又点在双曲线上， ②. 由①②解得， , 所求双曲线的标准方程为 . 题型剖析 变式5.与椭圆共焦点且过点 的双曲线 的标准方程为( ) A A. B. C. D. 【解析】椭圆的焦点坐标为， ，可设双曲线方程为 ，则解得 双曲线的标准方程为 ． 题型五、求双曲线标准方程 针对训练 题型六、双曲线方程的应用 例6.若方程 表示双曲线,则实数 的取值范围为_________________. 【解析】依题意有 或 解得或 . 所以实数的取值范围是 . 题型剖析 变式6.已知双曲线方程为，焦距为6，则 的值为_______. 6或 【解析】若焦点在轴上，则方程可化为, 所以,即 . 若焦点在轴上，则方程可化为， 所以，即. 综上， 的值为6或 . 题型六、双曲线方程的应用 针对训练 例7.设点在双曲线上，, 为双曲线的两个焦点， 且，则 的周长等于( ) A A.22 B.16 C.14 D.12 【解析】由题意知, , 又 , , , 故的周长为 . 题型七、焦点三角形问题 题型剖析 变式8.已知双曲线的左、右焦点分别为，， 是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2， 是面积为8的直角三角形，则 双曲线的方程为( ) C A. B. C. D. 【解析】由题意可知， ，又直线 的斜率为2，可得 ，根据双曲线定义，得 , ，，又 ，所以 ，所以 .又 ，所以，又，所以 ，所以双曲线的方程为 ，故选C. 题型七、焦点三角形问题 针对训练 题型八、双曲线离心率问题 例8.已知某双曲线的上焦点到下顶点的距离为18， 到该双曲线渐近线的距离为6， 则该双曲线的离心率为( ) B A. B. C. D. 【解析】由上焦点到下顶点的距离为18，得 ①， 点到渐近线，即的距离 ②. 又 ③ 联立①②③，解得， ， ，所以 ． 题型剖析 变式8.已知对勾函数 的图象是双曲线，且其中一条渐近线为直线， 其离心率为，则 _________． 【解析】如图，对勾函数 的图象的两条渐 近线为直线和轴，夹角为 ，根据对称性， 设渐近线与实轴的夹角为 ，则 ， 由二倍角公式得 ，得 或 （舍去）， 所以 . 题型八、双曲线离心率问题 针对训练 题型九、直线和双曲线综合问题 例9.斜率为的直线与双曲线交于，两点，且，则直线 的方程为_______________. 【解析】设直线的方程为,, . 把代入双曲线的方程 ， 得，由得或 . 故①， ②. 由已知,得 ③. 把①②代入③，解得 ，满足题意. 直线的方程为 . 题型剖析 变式9.已知双曲线上存在关于直线对称的两点,，求实数 的 取值范围. 【答案】当 时，显然不成立. 当时，由，可设直线的方程为,代入 中， 得 . , , 即 ①. 设的中点为，则 点在直线上， , 即 ②. 把②代入①得,解得或 . 或，即或,且 . 故的取值范围是 . 题型九、直线和双曲线综合问题 针对训练 题型十、抛物线定义和标准方程的应用 例10.已知点在抛物线上，则到 的准线的距离为__. 【解析】将点的坐标代入抛物线方程，得，于是 ， 则抛物线的准线方程为， 所以到准线的距离为 . 题型剖析 变式10.设为抛物线的焦点，点在上，点 ，若, 则 ( ) B A.2 B. C.3 D. 由题意可知 ， 设，则由抛物线的定义可知. 因为 ，所以由，可得，解得 ， 所以或 . 不妨取，则 ，故选B. 题型十、抛物线定义和标准方程的应用 针对训练 题型十一、抛物线焦点弦问题 例11（多选）设为坐标原点，直线 过抛物线的 焦点，且与交于，两点，为 的准线，则( ) AC A. B. C.以为直径的圆与相切 D. 为等腰三角形 【解析】由题意，易知直线过点 . 对于A，因为直线经过抛物线的焦点，所以易知焦点坐标为，所以 ，即 ，所以A正确. 对于B，不妨设，，,联立方程得 消去并整理得 ，解得，.所以，， ， 所以由两点间距离公式可得 ，故B错误. 题型剖析 变式11.（多选）已知 为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于,两点， 其中在第一象限，点 .若 ,则( ) ACD A.直线的斜率为2 B. C. D. 【解析】对于A，由题意，得．因为，且 ，所以， 将其代入抛物线方程，得，所以 ， 所以直线的斜率 ，故A正确. 对于B，由选项A的分析，知直线的方程为，代入 ，得， 解得或，所以，所以 ，所以 ，故B不正确. 对于C，由抛物线的定义及选项A，B的分析，得， 即 ，故C正确.对于D，易知,,, ， 则 ，, 所以 ， ， 所以 ，故D正确．综上所述，选 ． 题型十一、抛物线焦点弦问题 针对训练 题型十二、直线和抛物线综合问题 例12（多选）已知为坐标原点，点 在抛物线 上，过点的直线交于， 两点，则( ) BCD A.的准线为 B.直线与 相切 C. D. 【解析】因为抛物线过点，所以，解得，所以 的准线 为 .故A错误. 由题可知直线的方程为 , 由得,即 , 可得直线与 相切.故B正确. 题型剖析 显然直线的斜率存在，设,,直线的方程为 ， 由得，所以，，且 ， 得或 ， 则有,所以 , .故C正确. 因为,借助C选项的结果，知道，所以有 .故D正确. 题型十二、直线和抛物线综合问题 题型剖析 变式12.已知直线与抛物线 交于，两点， ． （1）求 ； （2）设为的焦点，，为上两点，且，求 面积的最小值． 【解析】设， ， 把代入，得 ， 由,得 . 由根与系数的关系，可得, ， 所以，解得 或 （舍去）， 故 . 题型十二、直线和抛物线综合问题 针对训练 【解析】（2）设，，由（1）知抛物线，则点 . 因为,所以 ， 则 . 当直线的斜率不存在时，点与关于轴对称，因为 ，所以直线 与直线的斜率一个是1，另一个是 . 不妨设直线的斜率为1，则 ，由得 ， 得或 代入式计算易得，当时， 的面积取得最小值，为 . 当直线的斜率存在时，设直线的方程为 . 题型十二、直线和抛物线综合问题 针对训练 由得 ， ，则， ，所以 . 又 ， 所以，化简得 . 所以 . 令，则,因为 ， 所以，即 ， 得或 ， 从而得 故面积的最小值为 . 题型十二、直线和抛物线综合问题 针对训练 题型十三、定点定值问题 例13.已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、 轴，且过, 两点. （1）求 的方程. （2）设过点的直线交于，两点，过且平行于轴的直线与线段 交 于点,点满足.证明：直线 过定点. 【解析】 椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且过 ， 可设椭圆的方程为 ， 又椭圆过 ， ，得，的方程为 . 题型剖析 【解析】（2）设,，过且平行于轴的直线的方程为,直线 的方程为 ，则点横坐标为,则 , 又,,, . 设直线与的方程分别为与 由得 .由题设得,故 . 同理可得 . 由,,三点共线得 ,即 . 于是, . ,,因此直线过点 . 综上，直线过定点，定点为 . 题型十三、定点定值问题 题型剖析 变式13.已知双曲线 的实轴长为2， 直线为 的一条渐近线． （1）求 的方程. （2）若过点的直线与交于，两点，在轴上是否存在定点 ，使得 为定值？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）由题意得，解得 故双曲线的方程为 . 题型十三、定点定值问题 针对训练 【解析】（2）设在轴上存在定点，使得 为定值， ①当直线与 轴不重合时， 设直线的方程为，由 消去可得 ， 则且 . 设， ， 则， ， 则 ， 又为定值，则，即 ， 即存在，使得 为定值0， ②当直线与轴重合时，不妨令， ， 当的坐标为时， . 综合①②可得,存在点，使得 为定值． 题型十三、定点定值问题 针对训练 题型十四、圆锥曲线最值问题 例14.如图，已知椭圆,抛物线,点是椭圆 与 抛物线的交点，过点的直线交椭圆于点，交抛物线 于点，不同于 . （1）若，求抛物线 的焦点坐标； （2）若存在不过原点的直线使为线段的中点，求 的最大值. 【解析】（1）由得的焦点坐标是 . （2）由题意可设直线 ，点 . 将直线的方程代入椭圆得 , 由根与系数关系知点的纵坐标 . 将直线的方程代入抛物线得，所以 , 解得,因此 .由得 ， 所以当且仅当时，取到最大值，为 . 题型剖析 变式14.已知椭圆的左、右顶点分别为，，点 （异于，两点）在椭圆上，直线与的斜率之积为，且椭圆 的焦距为2. （1）求椭圆 的方程. （2）直线与椭圆交于，两点，直线与的交点为 ，问点 是否在定直线上？若在，请求出定直线的方程，若不在，请说明理由. 【解析】由题意可得,即,, . 设,由直线与的斜率之积为,可得 ,即 ,而在椭圆上，则 , 所以 , ,又，可得,,故椭圆的方程为 . 题型十四、圆锥曲线最值问题 针对训练 【解析】（2）设， . 由得 , 则，即，且， . 易得直线的方程为，直线的方程为 , 将两直线方程联立消去而得点的横坐标 . 因为 , 则 ， 故点在定直线 上. 题型十四、圆锥曲线最值问题 针对训练 1.求圆锥曲线方程的一般步骤 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤. (1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置. (2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0). (3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小. 2.求离心率 1.定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在轴上还是轴上，都有关系式以及，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法. 2.方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法. 3.几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观. 课堂总结 知识点二　椭圆的焦点三角形 设P为椭圆a2(x2)＋b2(y2)＝1(a>b>0)上任意一点(不在x轴上)，F1，F2为焦点且∠F1PF2＝α，则△PF1F2为焦点三角形(如图). 3.直线与圆锥曲线位置关系 1.直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行. 2.直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题.解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等. 课堂总结 感谢聆听! $