第2章 2.2.1 直线的点斜式方程（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学课件聚焦直线的点斜式、斜截式方程及含参数的几何特征，通过射击手瞄准情境导入，联系斜率与定点确定直线，以问题驱动从斜率公式推导方程，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于以情境导入培养数学眼光，通过问题链引导数学思维推理，结合例题、跟踪训练及分层练习强化数学语言表达。如射击手例子抽象出数学模型，含参数直线恒过定点问题培养逻辑推理，帮助学生深化理解，教师可高效开展教学。

第2章　§2.2　直线的方程 <<< 2.2.1 直线的点斜式方程 1.了解由斜率公式推导直线的点斜式方程的过程. 2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程. 3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题. 学习目标 导 语 射击手在进行射击训练时，要掌握两个动作要领：一是托枪的手要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向.若把子弹飞行的轨迹看作一条直线，并且射击手达到上述的两个动作要求，分析子弹是否会击中目标. 一、直线的点斜式方程 二、直线的斜截式方程 课时对点练 三、含参数的直线方程的几何特征 随堂演练 内容索引 直线的点斜式方程 一 给定一个点P0(x0，y0)和斜率k(或倾斜角)就能确定一条直线.怎么确定P0(x0，y0)和斜率k之间的关系？ 问题1 提示　 y-y0=k(x-x0). 我们称方程 为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程.由于该方程由直线上一定点及其斜率确定，因此把方程y-y0=k(x-x0)称为直线的 ，简称点斜式. y-y0=k(x-x0) 点斜式方程 知识梳理 (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式. (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y=y0.特别地，x轴的方程是y=0. (3)当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程.此时可将方程写成x=x0.特别地，y轴的方程是x=0. 注 意 点 <<< 8 　根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A(-4，3)，斜率k=3； 例 1 由点斜式方程可知，所求直线的点斜式方程为y-3=3(x+4). 解 (2)经过点B(-1，4)，倾斜角为135°. 由题意知，直线的斜率k=tan 135°=-1，故所求直线的点斜式方程为 y-4=-(x+1). 解 9 求直线的点斜式方程的思路 反 思 感 悟 10 写出满足下列条件的直线方程： (1)经过点(2，-3)，倾斜角是直线y=x的倾斜角的2倍； 跟踪训练1 解 ∵直线y=x的斜率为， ∴直线y=x的倾斜角为30°. ∴所求直线的倾斜角为60°，故其斜率为. ∴所求直线的点斜式方程为y+3=(x-2). 11 (2)经过点P(5，-2)，且与y轴平行. 与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示. 但直线上点的横坐标均为5， 故直线方程可记为x=5. 解 12 二 直线的斜截式方程 提示　y=kx+b. 直线l上给定一个点P0(0，b)和斜率k，求直线l的方程. 问题2 1.一般地，当直线l不与y轴平行或重合时，把直线l与y轴的交点(0,b)的 称为直线l在y轴上的截距. 2.方程y=kx+b由直线的斜率k和它在y轴上的截距b确定，把方程y=kx+b称为直线的斜截式方程，简称斜截式. 纵坐标b 知识梳理 (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况，只能在直线斜率存在的前提下使用；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距. (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. 注 意 点 <<< 16 　根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； 例 2 由直线方程的斜截式可知， 所求直线方程为y=2x+5. 解 17 (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是-2； ∵直线的倾斜角为150°， ∴斜率k=tan 150°=-. 由斜截式可得方程为y=-x-2. 解 18 (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. ∵直线的倾斜角为60°， ∴其斜率k=tan 60°=. ∵直线与y轴的交点到原点的距离为3， ∴直线在y轴上的截距b=3或b=-3. ∴所求直线的斜截式方程为 y=x+3或y=x-3. 解 19 求直线的斜截式方程的策略. (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在. (2)直线的斜截式方程y=kx+b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可. 反 思 感 悟 20 　求倾斜角是直线y=-x+1的倾斜角的，且在y轴上的截距是-5的直线方程. 跟踪训练 2 21 ∵直线y=-x+1的斜率k=-， ∴其倾斜角α=120°， 由题意，得所求直线的倾斜角α1=α=30°， 故所求直线的斜率k1=tan 30°=. ∴所求直线的斜率是，在y轴上的截距为-5， 故所求直线的方程为y=x-5. 解 22 含参数的直线方程的几何特征 三 　已知直线l：y=ax+. (1)求证：无论a为何值，直线l必经过第一象限； 例 3 因为y=ax+=a+， 所以直线l恒过定点. 因为点位于第一象限， 所以直线l必经过第一象限. 证明 24 (2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围. 设A， 则直线OA的斜率kOA==3. 若直线l不经过第二象限， 则直线l的斜率kl≥3， 即a≥3. 所以实数a的取值范围为[3，+∞). 解 25 对于含参数k的直线y-y0=k(x-x0)，该直线恒过定点(x0，y0). 反 思 感 悟 26 　(1)已知直线y=kx+1-3k，当k变化时，所有的直线恒过定点 A.(1，3) B.(-1，-3) C.(3，1) D.(-3，-1) 跟踪训练 3 直线y=kx+1-3k变形为y-1=k(x-3)，由直线的点斜式可得直线恒过定点(3，1). 解析 √ 27 (2)直线y=ax-的图象可能是 √ 因为直线y=ax-，所以该直线的斜率与截距异号且a≠0，结合选项知B项正确. 解析 28 1.知识清单： (1)直线的点斜式方程. (2)直线的斜截式方程. (3)含参数的直线方程的几何特征. 2.方法归纳：待定系数法、数形结合法. 3.常见误区：求直线的方程时忽视斜率不存在的情况；混淆截距与距离. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知直线的方程是y+2=-x-1，则 A.直线经过定点(2，-1)，斜率为-1 B.直线经过定点(1，-2)，斜率为-1 C.直线经过定点(-2，-1)，斜率为1 D.直线经过定点(-1，-2)，斜率为-1 √ 直线的方程y+2=-x-1可化为y-(-2)=-[x-(-1)]，所以直线过定点(-1，-2)，斜率为-1. 解析 1 2 3 4 2.已知直线l的方程为y+=(x-1)，则l在y轴上的截距为 A.9 B.-9 C. D.- 由y+=(x-1)，得y=x-9， ∴l在y轴上的截距为-9. 解析 √ 1 2 3 4 3.(多选)给出下列四个结论，正确的是 A.方程k=与方程y-2=k(x+1)可表示同一直线 B.若直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x=x1 C.若直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y=y1 D.所有的直线都有点斜式和斜截式方程 √ √ 1 2 3 4 方程k=不经过点(-1，2)，与方程y-2=k(x+1)不表示同一条直线，故A错误； B，C显然正确； 当直线的斜率不存在时，没有点斜式和斜截式方程. 解析 1 2 3 4 4.经过点(-1，1)，且斜率是直线y=x-2的斜率的2倍的直线方程是 A.x=-1 B.y=1 C.y-1=(x+1) D.y-1=2(x+1) 由题意知所求直线斜率为，故由点斜式知所求直线方程为y-1=(x+1). 解析 √ 课时对点练 五 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C D B B C BC (2，3) 题号 8 11 12 13 14 15 答案 y=x-6或y=-x-6 BC CD C BCD 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由直线y=-x+1的斜率为-， 可知此直线的倾斜角为120°， 所以所求直线的倾斜角为60°， 故所求直线的斜率k=. (1)因为直线过点(-4，1)， 所以由直线的点斜式方程得y-1=(x+4). (2)因为直线在y轴上的截距为-10， 所以由直线的斜截式方程得y=x-10. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经检验，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y-2=k(x-2)，易知k≠0， 令y=0，得x=， 由三角形的面积为2，得××2=2. 解得k=. 可得直线l的方程为y-2=(x-2). 综上可知，直线l的方程为x=2或y-2=(x-2). 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)证明　由y=kx+2k+1， 得y-1=k(x+2). 由直线方程的点斜式可知，直线l恒过定点(-2，1). 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)解　设函数f(x)=kx+2k+1，显然其图象是一条直线(如图所示)， 若使当-3<x<3时，直线l上的点都在x轴上方， 需满足 解得-≤k≤1. 所以实数k的取值范围是. 基础巩固 1.经过点P(0，2)且斜率为2的直线的方程为 A.y=-2x-2 B.y=2x-2 C.y=2x+2 D.y=-2x+2 由点斜式可得直线的方程为y-2=2(x-0)，化为y=2x+2. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2.已知一直线经过点A(3，-2)，且与x轴平行，则该直线的方程为 A.x=3 B.x=-2 C.y=3 D.y=-2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵直线与x轴平行， ∴其斜率为0， ∴直线的方程为y=-2. 解析 √ 3.若直线y=kx+b经过第一、三、四象限，则有 A.k>0，b>0 B.k>0，b<0 C.k<0，b>0 D.k<0，b<0 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ ∵直线经过第一、三、四象限，∴图象如图所示，由图知，k>0，b<0. 解析 4.若直线l的倾斜角为45°，且过点(0，-1)，则直线l的方程是 A.y-1=x B.y+1=x C.y-1=-x D.y+1=-x 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ ∵直线l的倾斜角为45°， ∴直线l的斜率为1， 又∵直线l过点(0，-1)， ∴直线l的方程为y+1=x. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.直线y-b=2(x-a)在y轴上的截距为 A.a+b B.2a-b C.b-2a D.|2a-b| 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得，直线的斜截式方程为y=2x+b-2a，∴直线在y轴上的截距为 b-2a. 解析 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知直线l：y=x-1，则 A.直线l过点(，-2) B.直线l的斜率为 C.直线l的倾斜角为60° D.直线l在y轴上的截距为1 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，将(，-2)代入y=x-1，可知不满足方程，故A不正确； 对于B，由y=x-1，知直线l的斜率为，故B正确； 对于C，设直线l的倾斜角为α，则tan α=，可得α=60°，故C正确； 对于D，由y=x-1，令x=0，可得直线l在y轴上的截距为-1，故D不正确. 解析 7.不管k为何值，直线y=k(x-2)+3必过定点　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2，3) 8.在y轴上的截距为-6，且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程是 　　　　　 　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 y=x-6或y=-x-6 因为直线与y轴相交成30°角， 所以直线的倾斜角为60°或120°， 所以直线的斜率为或-， 又因为在y轴上的截距为-6， 所以直线的斜截式方程为y=x-6或y=-x-6. 解析 9.求倾斜角为直线y=-x+1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程. (1)经过点(-4，1)； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由直线y=-x+1的斜率为-， 可知此直线的倾斜角为120°， 所以所求直线的倾斜角为60°， 故所求直线的斜率k=. 因为直线过点(-4，1)， 所以由直线的点斜式方程得y-1=(x+4). 解 (2)在y轴上的截距为-10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为直线在y轴上的截距为-10， 所以由直线的斜截式方程得y=x-10. 解 10.直线l过点(2，2)，且与x轴和直线y=x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经检验，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y-2=k(x-2)，易知k≠0， 令y=0，得x=， 由三角形的面积为2，得××2=2. 解得k=. 可得直线l的方程为y-2=(x-2). 综上可知，直线l的方程为x=2或y-2=(x-2). 解 11.(多选)经过点(2，1)，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为 A.y=x+3 B.y=x-1 C.y=-x+3 D.y=-x-1 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 由题意可知直线的斜率为±1， 当直线的斜率为1时，直线方程为y-1=x-2，化简得y=x-1；当直线的斜率为-1时，直线方程为y-1=-(x-2)，化简得y=-x+3. 解析 12.(多选)直线(m2+2m)x+(2m2-m+3)y=4m+1在y轴上的截距为1，则m的值可以是 A.-2 B.- C. D.2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令x=0，得y=. 由已知得=1， 则4m+1=2m2-m+3， 即2m2-5m+2=0， 解得m=2或m=，经检验，均符合题意. 解析 13.直线y=ax与直线y=x+a在同一直角坐标系中的图象可能是 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于选项A，y=ax过坐标原点，a>0，所以直线y=x+a在y轴上的截距应该大于零且斜率为正，题中图象不符合题意； 对于选项B，y=ax过坐标原点，a>0，所以直线y=x+a在y轴上的截距应该大于零且斜率为正，题中图象不符合题意； 对于选项C，y=ax过坐标原点，a<0，所以直线y=x+a在y轴上的截距应该小于零且斜率为正，题中图象符合题意； 对于选项D，两直线均不过原点，不符合题意. 解析 14.已知点A(1，3)，B(-2，-1).若直线l：y=k(x-2)+1与线段AB相交，则k的取值范围是 　　　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知得，直线l恒过定点P(2，1)，如图所示. 若l与线段AB相交， 则kPA≤k≤kPB， 因为kPA==-2， kPB==，所以-2≤k≤. 解析 15.(多选)在平面直角坐标系中，直线l：y=k(x-2)+3与坐标轴分别交于点A，B，则下列选项中是真命题的有 A.存在正实数m，使得△OAB面积为m的直线l恰有一条 B.存在正实数m，使得△OAB面积为m的直线l恰有两条 C.存在正实数m，使得△OAB面积为m的直线l恰有三条 D.存在正实数m，使得△OAB面积为m的直线l恰有四条 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知k≠0，直线l：y=k(x-2)+3与x轴、y轴交点的坐标分别为A，B(0，3-2k)，当k=时，直线l：y=x过原点，∴k≠， 所以S△OAB=××|3-2k|= =2，作出其图象如图所示， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由图可知，当0<m<12时，k有两个解； 当m=12时，k有三个解；当m>12时，k有四个解. 结合选项可知B，C，D正确，A错误. 解析 16.已知直线l：y=kx+2k+1. (1)求证：直线l恒过一个定点； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由y=kx+2k+1， 得y-1=k(x+2). 由直线方程的点斜式可知，直线l恒过定点(-2，1). 证明 (2)若当-3<x<3时，直线l上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设函数f(x)=kx+2k+1，显然其图象是一条直线(如图所示)， 解 若使当-3<x<3时，直线l上的点都在x轴上方， 需满足 解得-≤k≤1. 所以实数k的取值范围是. 第2章　§2.2　直线的方程 <<< $