第1章 再练一课(范围：§1.1～§1.2)（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学课件聚焦等差数列的通项公式、前n项和及性质应用，通过练习课形式衔接§1.1~§1.2内容，从基础概念到公式推导再到综合应用，构建知识递进的学习支架。 其亮点在于结合“正方形筛子”“《九章算术》行程问题”等情境培养数学眼光，通过分类讨论、推理证明发展数学思维，以规范符号表达强化数学语言。分层题目设计助力个性化教学，帮助学生巩固知识提升能力，为教师提供丰富例题与解析。

再练一课(范围：§1.1~§1.2) 第1章　数列 <<< 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C B B B D BC CD 题号 9 10 　11 12 答案 ACD n+1(答案不唯一) 120 13. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)证明　由an-an+1=2anan+1得，-=2， 所以数列=2为首项，2为公差的等差数列. (2)解　由(1)知，=2+2(n-1)=2n，所以an=. 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)若选择条件①： 设等差数列{an}的公差为d，由a4=-3可得a1+3d=-3； 又S4=-24，得4a1+d=-24， 即2a1+3d=-12，解得a1=-9，d=2， 所以an=a1+(n-1)d=-9+2(n-1)=2n-11； 即数列{an}的通项公式为an=2n-11，n∈N+. 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 若选择条件②： 设等差数列{an}的公差为d， 由a4=-3可得a1+3d=-3； 又a1=2a3，即a1=2(a1+2d)，得a1+4d=0； 解得a1=-12，d=3， 所以an=a1+(n-1)d=-12+3(n-1)=3n-15， 即数列{an}的通项公式为an=3n-15，n∈N+. 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若选择条件①： 由an=2n-11，n∈N+可得，Sn=-9n+×2=n2-10n=(n-5)2-25， 根据二次函数的性质可得当n=5时，Sn=-25为最小值， 即当n=5时，Sn取得最小值，且最小值为S5=-25. 若选择条件②： 由an=3n-15，n∈N+可得，Sn=-12n+×3=(n2-9n)=-， 根据二次函数的性质可得当n=4或n=5时，Sn=-30为最小值， 即当n=4或n=5时，Sn取得最小值，且最小值为S4=S5=-30. 15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)由S2=16，a3a4=a7a8， 得 解得 所以等差数列{an}的通项公式为an=11-2n(n∈N+). 15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)当n≤5时， Tn=++…+=a1+a2+…+an=Sn=-n2+10n. 当n≥6时， Tn=++…+=a1+a2+…+a5-a6-a7-…-an =2S5-Sn=n2-10n+50. 故Tn= 一、单项选择题 1.数列{an}的前4项为，，，，则它的一个通项公式是 A. B. C. D. 将，所以{an}的通项公式为. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 2.已知{an}是公差为d的等差数列，Sn为其前n项和.若S3=3a1+3，则d等于 A.-2 B.-1 C.1 D.2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为{an}是公差为d的等差数列，且S3=3a1+3，所以3a1+3d=3a1+3，解得d=1. 解析 √ 3.已知等差数列{an}满足a1=-2，a6+a8=20，则{an}的公差为 A.-2 B.2 C.4 D.6 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 设公差为d，因为a8+a6=2a7=20，所以a7=10，所以a7-a1=6d=12，所以d=2. 解析 4.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若S4=14，S6=S2+22，则S6等于 A.26 B.27 C.28 D.29 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 由题意得S2，S4-S2，S6-S4成等差数列， ∴2(S4-S2)=S2+S6-S4， 又S4=14，S6=S2+22， ∴2[14-(S6-22)]=S6-22+S6-14， 解得S6=27. 解析 5.1934年，东印度(今孟加拉国)学者森德拉姆发现了“正方形筛子”，如图所示，根据规律，则“正方形筛子”中位于第7行第31列的数是 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A.470 B.472 C.474 D.476 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由图中“正方形筛子”给出的信息，可得第1列是首项为4，公差为3的等差数列，第i行是公差为2i+1的等差数列，则第7行的第1个数是4+6 ×3=22，即第7行是首项为22，公差为15的等差数列，所以第7行第31列的数是22+30×15=472. 解析 6.若公差为d的等差数列{an}满足an+1+an=4n-3，则下列结论错误的为 A.数列{an+1+an}也是等差数列 B.d=2 C.a1=- D.13是数列{an}中的项 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由an+1+an=4n-3易知{an+1+an}是等差数列，A正确； 由an+1+an=4n-3得an+2+an+1=4n+1，所以an+2-an=4，因为{an}是等差数列，所以d=2，B正确； 由a1+a2=1，则a1+a1+d=1，所以a1=-，即an=2n-，令an=2n-=13，解得n不是整数，所以C正确，D错误. 解析 二、多项选择题 7.已知在等差数列{an}中，a2+a9+a12-a14+a20-a7=8，则 A.a10=4 B.a11=4 C.a9-a3=3 D.a10-a3=3 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 设等差数列{an}的公差为d，则a2+a9+a12-a14+a20-a7=2a1+20d=2(a1+10d) =8，即a11=a1+10d=4，所以a9-a3=a1+8d-(a1+2d)=(a1+10d)=3. 解析 8.已知在数列{an}中，a1=1，an+1=(n∈N+)，则下列结论正确的是 A.{an}是等差数列 B.{an}是递增数列 C.是等差数列 D.是递增数列 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由an+1=(n∈N+)可得=+1(n∈N+)，所以是以1为公差的等差数列，故CD正确， =1+(n-1)×1=n⇒an=，故{an}不是等差数列，而且{an}为递减数列，故AB错误. 解析 9.设等差数列{an}的前n项的和为Sn，公差为d，已知a3=12，S12>0，a7<0，则 A.S5=60 B.-4<d<-3 C.a6>0 D.当Sn<0时，n的最小值为13 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∵数列{an}是等差数列，∴S5=5a3=60，故选项A正确； ∵S12>0，∴a6+a7>0，又∵a7<0， ∴a3+3d+a3+4d>0且a3+4d<0， 解得-<d<-3，故选项B错误； ∵a6+a7>0，a7<0，∴a6>0，故选项C正确； ∵S12>0，S13=13a7<0， ∴当Sn<0时，n的最小值为13，故选项D正确. 解析 三、填空题 10.写出一个公差不为零，且满足a1+a2-a3=1的等差数列{an}的通项公式an=　　 　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 n+1(答案不唯一) 设等差数列{an}的公差为d，则a1+a2-a3=a1+a1+d-a1-2d=a1-d=1， 不妨令d=1，则a1=2，此时等差数列{an}的通项公式an=n+1. 解析 11.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九日走1 260里，第一日，第四日，第七日所走之和为390里，则该男子第三日走的里数为　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 120 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 每天走的里数符合等差数列，设这个等差数列为{an}，其公差为d，前n项和为Sn.根据题意可知，S9=1 260，a1+a4+a7=390， 方法一　S9==9a5=1 260，∴a5=140， ∵a1+a4+a7=3a4=390，∴a4=130， ∴d=a5-a4=10，∴a3=a4-d=120. 方法二　 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 即 ∴a3=a1+2d=120. 解析 12.已知等差数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，满足2S2= a2(a2+1)，且a1=1，则的最小值是　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∵2S2=2(a1+a2)=a2(a2+1)，且a1=1，各项均为正数， ∴-a2-2=0，解得a2=2或-1(舍)， 则d=1，∴Sn=， ∴==n++1， 而n+≥2，当且仅当n=时等号成立， 又n∈N+，则当n=3时，=； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当n=4时，=， ∴当n=4时取最小值为. 解析 四、解答题 13.已知数列{an}中，a1=，an-an+1=2anan+1. (1)证明：数列是等差数列； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由an-an+1=2anan+1得，-=2， 所以数列=2为首项，2为公差的等差数列. 证明 (2)求数列{an}的通项公式. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由(1)知，=2+2(n-1)=2n，所以an=. 解 14.已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，a4=-3，再从条件①：S4=-24；条件②：a1=2a3这两个条件中选择一个作为已知，求： (1)数列{an}的通项公式； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 若选择条件①： 设等差数列{an}的公差为d，由a4=-3可得a1+3d=-3； 又S4=-24，得4a1+d=-24， 即2a1+3d=-12，解得a1=-9，d=2， 所以an=a1+(n-1)d=-9+2(n-1)=2n-11； 即数列{an}的通项公式为an=2n-11，n∈N+. 若选择条件②： 设等差数列{an}的公差为d， 由a4=-3可得a1+3d=-3； 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又a1=2a3，即a1=2(a1+2d)，得a1+4d=0； 解得a1=-12，d=3， 所以an=a1+(n-1)d=-12+3(n-1)=3n-15， 即数列{an}的通项公式为an=3n-15，n∈N+. 解 (2)Sn的最小值，并求当Sn取得最小值时n的值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 若选择条件①： 由an=2n-11，n∈N+可得，Sn=-9n+×2=n2-10n=(n-5)2-25， 根据二次函数的性质可得当n=5时，Sn=-25为最小值， 即当n=5时，Sn取得最小值，且最小值为S5=-25. 若选择条件②： 由an=3n-15，n∈N+可得，Sn=-12n+×3=(n2-9n)=-， 根据二次函数的性质可得当n=4或n=5时，Sn=-30为最小值， 即当n=4或n=5时，Sn取得最小值，且最小值为S4=S5=-30. 解 15.已知在等差数列{an}中，公差d≠0，其前n项和为Sn，S2=16，且a3a4=a7a8. (1)求数列{an}的通项公式； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由S2=16，a3a4=a7a8， 得 解得 所以等差数列{an}的通项公式为an=11-2n(n∈N+). 解 (2)求数列{}的前n项和Tn. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当n≤5时， Tn=++…+=a1+a2+…+an=Sn=-n2+10n. 当n≥6时， Tn=++…+=a1+a2+…+a5-a6-a7-…-an =2S5-Sn=n2-10n+50. 故Tn= 解 第1章　数列 <<< $