第1章 习题课 等差数列概念的综合问题（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学课件聚焦等差数列的计算、实际应用与综合应用，从基础例题（如三个数成等差的对称设元）切入，通过跟踪训练衔接性质应用，再延伸到《周髀算经》日影等实际问题及方程根与数列的综合问题，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是结合古代数学典籍与生活情境，用数学眼光抽象等差模型，通过对称设元等技巧培养数学思维（运算能力、推理意识），课堂小结系统梳理方法。学生能提升问题解决能力，教师可借助分层例题与训练优化教学。

第1章　数列 <<< 习题课 等差数列概念的综合问题 1.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题. 2.掌握等差中项的设法. 学习目标 一、等差数列的有关计算 二、等差数列的实际应用 课时对点练 三、等差数列的综合应用 随堂演练 内容索引 等差数列的有关计算 一 　 (1)已知公差不为0的等差数列{an}中，a2+a4=a6，a9=，则a10=　　.  例 1 设等差数列{an}的公差为d，d≠0， ∵a2+a4=a6，a9=， ∴2a1+4d=a1+5d，a1+8d=(a1+5d)2， 解得a1=d=， 则a10=a1+9d=10×=. 解析 5 (2)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数. 设这三个数依次为a-d，a，a+d， 则 所以这三个数为4，3，2. 解 6 等差数列的计算技巧 (1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程(组)求出a1和d，即可解决等差数列的有关问题.另外亦可用等差中项及性质找到项与项之间的关系进行解题，此种解法计算量较小. (2)当已知数列有3项时，可设为a-d，a，a+d，此时公差为d.若有5项、7项、…时，可同理设出. (3)当已知数列有4项时，可设为a-3d，a-d，a+d，a+3d，此时公差为2d.若有6项、8项、…时，可同理设出. 反 思 感 悟 7 (1)已知等差数列{an}中，a1+3a8+a15=120，则2a9-a10=　　　.  跟踪训练1 24 方法一　∵a1+3a8+a15=120， ∴5a8=120，∴a8=24， ∴2a9-a10=(a8+a10)-a10=a8=24. 方法二　∵a1+3a8+a15=120， ∴a1+3(a1+7d)+(a1+14d)=120， ∴a1+7d=24， ∴2a9-a10=a1+7d=24. 解析 8 (2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为-8，求这四个数. 设这四个数为a-3d，a-d，a+d，a+3d(公差为2d)，依题意得2a=2且(a-3d) (a+3d)=-8， 即a=1，a2-9d2=-8， 所以d2=1，所以d=1或d=-1. 又四个数成递增等差数列，所以d>0， 所以d=1，故所求的四个数为-2，0，2，4. 解 9 二 等差数列的实际应用 　(多选)《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则 A.冬至的日影子长最长，为15.5尺 B.立夏比谷雨的日影子长多1尺 C.大寒、雨水、春分的日影子长成等差数列 D.清明的日影子长为8.5尺 例 2 √ √ √ 11 依题意，从冬至起，日影子长依次记为a1，a2，…，a12，则数列{an}(n∈N+，n≤12)是等差数列，因此，a1+a4+a7=37.5，而a1+a7=2a4，解得a4=12.5，又a12=4.5，设数列{an}的公差为d，于是得 A正确； a10-a9=-1，立夏比谷雨的日影子长少1尺，B不正确； 而a3，a5，a7成等差数列，即大寒、雨水、春分的日影子长成等差数列，C正确； a8=a1+(8-1)d=8.5，即清明的日影子长为8.5尺，D正确. 解析 12 (1)解决数列实际应用问题的基本步骤 ①审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；②建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题；③判型，即判断该数列是否为等差数列；④求解，即求出该问题的数学解；⑤还原，即将所求结果还原到实际问题中. (2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题. 反 思 感 悟 13 　《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种，这五种规格党旗的长a1，a2，a3，a4，a5(单位：cm)成等差数列，对应的宽为b1，b2，b3，b4，b5(单位：cm)，且长与宽之比都相等，已知a1=288，a5=96，b1=192，则b3=　　　　.  跟踪训练 2 128 14 由题意，五种规格党旗的长a1，a2，a3，a4，a5(单位：cm)成等差数列，设公差为d，因为a1=288，a5=96，可得d===-48，可得a3=288+(3-1)×(-48)=192，又由长与宽之比都相等，且b1=192，可得=，所以b3===128. 解析 15 等差数列的综合应用 三 　若关于x的方程x2-x+m=0和x2-x+n=0(m，n∈R，且m≠n)的四个根组成首项为的等差数列，则数列的公差d=　　，m+n的值为　　　.  例 3 17 设x2-x+m=0，x2-x+n=0的根分别为x1，x2，x3，x4，则x1+x2=x3+x4=1(且1-4m>0，1-4n>0). 设数列的首项为x1，则根据等差数列的性质，数列的第4项为x2.由题意知x1=， ∴x2=，数列的公差d==， ∴数列的中间两项分别为+=+=. ∴x1·x2=m=，x3·x4=n=×=. ∴m+n=+=. 解析 18 解决等差数列综合问题的方法 (1)结合等差数列的性质或利用等差中项. (2)利用通项公式，得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不等式. (3)利用函数或不等式的有关方法解决. 反 思 感 悟 19 　在1和19之间插入n个数，使这n+2个数成等差数列，若这n个数中第一个为a，第n个为b，当+取最小值时，n的值是 A.4 B.5 C.6 D.7 跟踪训练 3 √ 20 设等差数列的公差为d，则a=1+d，b=19-d，从而a+b=20， 由题意知，d>0，故a>0，b>0， 所以(a+b)=1+16++ ≥17+2=25， 即+≥==， 即b=4a时取“=”，又a=1+d，b=19-d，解得d=3，所以19=1+(n+1)×3，所以n=5. 解析 1.知识清单： (1)等差数列的有关计算. (2)等差数列的实际应用. (3)等差数列的综合应用. 2.方法归纳：解方程组法、转化法、数学建模. 3.常见误区：对等差数列的性质不理解而致错. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知{an}为等差数列，若a1+a5+a9=π，则tan(a4+a6)的值为 A.- B.- C.- D. √ 因为{an}为等差数列，a1+a5+a9=3a5=π，所以a5=， 所以tan(a4+a6)=tan 2a5=tan=-. 解析 1 2 3 4 2.在等差数列{an}中，a2+a5=10，a3+a6=14，则a5+a8等于 A.12 B.22 C.24 D.34 设数列{an}的公差为d， 则d===2， 故a5+a8=a5+a2+6d=10+6×2=22. 解析 √ 1 2 3 4 3.“珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著《算法统宗》中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节六升六，上梢四节四升四，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明.”(注：六升六：6.6升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量)用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为 A.3.4升 B.2.4升 C.2.3升 D.3.6升 √ 1 2 3 4 设从下至上各节的容积分别为a1，a2，…，a9， 由题意知{an}为等差数列，公差为d， 因为 即 所以a4+a5=2a1+7d=3.4. 解析 1 2 3 4 4.三个数成等差数列，这三个数的和为6，积为-24，则这三个数为 　　　 　.  设这三个数分别为a-d，a，a+d. 由题意可得 解得 故所求三个数为-2，2，6或6，2，-2. 解析 -2，2，6或6，2，-2 课时对点练 五 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C D C B B -21 1或2 题号 11 12 13 14 15 答案 A D B 1 18 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设这四个数为a-3d，a-d，a+d，a+3d(公差为2d)， 依题意，得 解得 又四个数成递减的等差数列， 所以d<0， 所以d=-， 故所求的四个数为11，8，5，2. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)因为a1=0，an+1=(n∈N+)， 所以a2==，a3==. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)假设存在一个实数λ，使得数列=+， 即=+，解得λ=1. 因为-=- =-==-， 又=-1，所以存在一个实数λ=1，使得数列是首项为-1，公差为-的等差数列. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设某单位需购买电视机n台. 在甲商场购买时，所买电视机的单价构成等差数列{an}，an=780+(n-1) ×(-20)=-20n+800， 由an=-20n+800≥440，得n≤18， 即购买台数不超过18台时，单价为(800-20n)元； 购买台数超过18台时，单价为440元. 在乙商场购买时，每台售价为800×75%=600(元). 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 比较在甲、乙两家商场购买此类电视机的费用 (800-20n)n-600n=20n(10-n). 当n<10时，(800-20n)n>600n，到乙商场购买花费较少； 当n=10时，(800-20n)n=600n，到甲、乙商场购买花费相同； 当10<n≤18时，(800-20n)n<600n，到甲商场购买花费较少； 当n>18时，440n<600n，到甲商场购买花费较少. 因此，当购买电视机台数少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买电视机10台时，到甲、乙商场购买花费相同；当购买电视机台数多于10台时，到甲商场购买花费较少. 基础巩固 1.已知各项不为0的等差数列{an}满足a6-+a8=0，则a7等于 A.1 B.8 C.4 D.2 由题意得2a7-=0， 解得a7=2或a7=0(舍去). 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2.在等差数列{an}中，若a3+a6+a9+a12+a15=120，则3a12-a18的值为 A.24 B.36 C.48 D.60 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设等差数列{an}的公差为d， ∵a3+a6+a9+a12+a15=120=5a9， ∴a9=24， ∴3a12-a18=3(a9+3d)-(a9+9d)=2a9=48. 解析 √ 3.已知等差数列{an}中，a1=3，公差为d(d∈N+)，若2 043是该数列的一项，则公差d不可能是 A.2 B.3 C.5 D.7 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由2 043是该数列的一项，得2 043=3+(n-1)d，所以n=+1，因为n∈N+，d∈N+，所以d是2 040的约数，故d不可能是7. 解析 √ 4.中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤；在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤？”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，则中间三尺的质量为 A.3斤 B.6斤 C.9斤 D.12斤 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知金箠每尺的质量(单位：斤)构成等差数列{an}，设细的一端一尺的质量为a1斤，粗的一端一尺的质量为a5斤， 则a1=2，a5=4， 根据等差数列的性质可知a1+a5=2a3=6， 解得a3=3， 所以中间三尺的质量为a2+a3+a4=3a3=9(斤). 解析 5.若等差数列{an}的首项a1=5，am=3，则am+2等于 A.13 B.3- C.3- D.5- 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设等差数列{an}的公差为d， 因为a1=5，am=3，所以d==. 所以am+2=am+2d=3+=3-. 解析 √ 6.在等差数列{an}中，a1≠0，若存在正整数m，n，p，q满足m+n<p+q时有am+an=ap+aq成立，则等于 A.4 B.1 C. D.由等差数列的首项a1的值决定 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设{an}的公差为d，由am+an=ap+aq得(m+n-p-q)d=0. 因为存在正整数m，n，p，q满足m+n<p+q， 所以d=0， 又a1≠0，所以a2 025=a2 026≠0， 所以=1. 解析 7.若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 -21 设这三个数为a-d，a，a+d， 则 解得 ∴这三个数为-1，3，7或7，3，-1. ∴它们的积为-21. 解析 8.若a，b，c成等差数列，则二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的交点的个数为　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1或2 ∵a，b，c成等差数列， ∴2b=a+c， ∴Δ=4b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0. ∴二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的交点的个数为1或2. 解析 9.四个数成递减的等差数列，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40.求这四个数. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设这四个数为a-3d，a-d，a+d，a+3d(公差为2d)， 依题意，得 解得 又四个数成递减的等差数列， 所以d<0， 所以d=-， 故所求的四个数为11，8，5，2. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知数列{an}满足an+1=(n∈N+)，且a1=0. (1)求a2，a3； 因为a1=0，an+1=(n∈N+)， 所以a2==，a3==. 解 (2)是否存在一个实数λ，使得数列为等差数列，请说明理由. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 假设存在一个实数λ，使得数列=+， 即=+，解得λ=1. 因为-=- =-==-， 又=-1，所以存在一个实数λ=1，使得数列是首项为-1，公差为-的等差数列. 解 11.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的等于较小的两份之和，则最小的一份为 A. B. C. D. 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设五个人所分得的面包个数为a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，其中d>0， 则(a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=5a=100，∴a=20. 由(a+a+d+a+2d)=a-2d+a-d， 得3a+3d=7(2a-3d)， ∴24d=11a，∴d=， ∴最小的一份为a-2d=20-=. 解析 12.设等差数列{an}的公差为d，若数列{}为递减数列，则 A.d>0 B.d<0 C.a1d>0 D.a1d<0 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由数列{<， 再由指数函数的性质得a1an-1>a1an， 由等差数列{an}的公差为d知，an-an-1=d， 所以a1an-1>a1an⇒a1an-a1an-1<0⇒a1(an-an-1)<0⇒a1d<0. 解析 √ 13.已知等差数列{an}的公差为，集合S={sin an|n∈N+}，若S={a，b}，则ab等于 A.-1 B.- C.0 D.1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知an=a1+(n-1)·=n+， 又函数y=sin an=sin的最小正周期为T==3， 要使集合S中有且仅有两个元素， 则数列{an}中连续3项中有两项的正弦值相同，即这两项对应的角的终边关于y轴对称，又它们之间相差， 则{an}中有连续3项为am=+kπ，am+1=+kπ，am+2=+kπ，k∈Z， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 此时sin am=，sin am+1=，sin am+2=-1 或sin am=-，sin am+1=-，sin am+2=1， 所以S=或S=， 则ab=-. 解析 14.等差数列{an}，满足对任意n∈N+都有=，则+ =　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 由等差数列的性质可得b3+b9=b4+b8=2b6，a7+a5=2a6， 所以+====1. 解析 15.已知函数f(x)=x3+3x2+x+1，设数列{an}的通项公式为an=-2n+9，则f(a1)+f(a2)+…+f(a9)=　　　　.  拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f(x)=x3+3x2+x+1=(x+1)3-2(x+1)+2， 因为y=x3-2x是奇函数，对称中心为(0，0) 所以曲线f(x)的对称中心为(-1，2)， 即f(x)+f(-2-x)=4， 因为an=-2n+9，易知数列{an}为等差数列，a5=-1， a1+a9=a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5=-2， 所以f(a1)+f(a9)=f(a2)+f(a8)=f(a3)+f(a7)=f(a4)+f(a6)=4，f(a5)=2， 所以f(a1)+f(a2)+…+f(a9)=4×4+2=18. 解析 16.有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家商场均有销售.甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售.某单位需购买一批此类电视机，则去哪一家商场购买花费较少？ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设某单位需购买电视机n台. 在甲商场购买时，所买电视机的单价构成等差数列{an}，an=780+(n-1) ×(-20)=-20n+800， 由an=-20n+800≥440，得n≤18， 即购买台数不超过18台时，单价为(800-20n)元； 购买台数超过18台时，单价为440元. 在乙商场购买时，每台售价为800×75%=600(元). 比较在甲、乙两家商场购买此类电视机的费用 (800-20n)n-600n=20n(10-n). 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n<10时，(800-20n)n>600n，到乙商场购买花费较少； 当n=10时，(800-20n)n=600n，到甲、乙商场购买花费相同； 当10<n≤18时，(800-20n)n<600n，到甲商场购买花费较少； 当n>18时，440n<600n，到甲商场购买花费较少. 因此，当购买电视机台数少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买电视机10台时，到甲、乙商场购买花费相同；当购买电视机台数多于10台时，到甲商场购买花费较少. 解 第1章　数列 <<< $