第1章 1.2.1 等差数列及其通项公式（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学课件聚焦等差数列概念、通项公式及等差中项，通过12生肖纪年、冬奥会举办时间等生活实例导入，引导学生从具体数列观察入手，逐步抽象出等差数列定义，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以生活实例培养数学眼光，通过归纳法与累加法推导通项公式发展数学思维，结合跟踪训练和随堂演练强化数学语言应用。学生能提升抽象与推理能力，教师可借助清晰逻辑和分层练习提高教学效率。

第1章　§1.2　等差数列 <<< 1.2.1 等差数列及其通项公式 1.理解等差数列、等差中项的概念. 2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题. 学习目标 导 语 我国有用12生肖纪年的习惯，例如，2024年是龙年，从2024年开始，连续5个龙年的年份为2024，2036，2048，2060，2072.观察这个数列，你能算出下一个龙年是哪一年吗？ 一、等差数列的概念 二、等差数列的通项公式 课时对点练 三、等差中项 随堂演练 内容索引 等差数列的概念 一 观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题. (1)近5届冬奥会举办的时间：2006，2010，2014，2018，2022； (2)我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的中国鞋号按从大到小的顺序可排列为：45，44，43，42，41，40，…； (3)为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了某班5名男生1分钟内引体向上的个数：10，10，10，10，10. 以上数列有什么共同特征？ 问题1 提示　对于(1)，我们发现2010-2006=4，2014-2010=4，2018-2014=4，2022-2018=4，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数.对于(2)有44-45=-1，….对于(3)有10-10=0，以上数列有同样的取值规律. 一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项之 都等于 ，那么这个数列称为等差数列，这个常数叫作等差数列的 ，公差通常用字母 表示. 2 差 同一个常数 公差 d 知识梳理 (1)概念的符号表示：an+1-an=d(n∈N+). (2)定义中强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项. (3)差必须是同一个常数. (4)公差可以是正数、负数、零. 注 意 点 <<< 8 　判断下列各组数列是不是等差数列.如果是，写出首项a1和公差d. (1)1，3，5，7，9，…； 例 1 是，a1=1，d=2. 解 (2)9，6，3，0，-3，…； 是，a1=9，d=-3. 解 9 (3)1，3，4，5，6，…； 不是. 解 (4)7，7，7，7，7，…； 是，a1=7，d=0. 解 (5)1，，，，，…. 不是. 解 10 利用定义法判断等差数列：从第2项起，检验每一项与它的前一项的差是否都等于同一个常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列. 反 思 感 悟 11 (多选)下列数列是等差数列的是 A.1，1，1，1，1 B.4，7，10，13，16 C.，，1，， D.-3，-2，-1，1，2 跟踪训练1 由等差数列的定义得， A项d=0，故是等差数列； B项d=3，故是等差数列； C项d=，故是等差数列； D项每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列. 解析 √ √ √ 12 二 等差数列的通项公式 你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？ 问题2 提示　设一个等差数列的首项为a1，公差为d， 由等差数列的定义可知，an-an-1=d(n≥2)， 思路一：an=an-1+d，故有a2=a1+d，a3=a2+d=a1+2d，a4=a3+d=a1+3d，…， 归纳可得，an=a1+(n-1)d. 思路二：a2-a1=d， a3-a2=d， a4-a3=d， …， an-an-1=d(n≥2)， 把这n-1个等式相加得an-a1=(n-1)d， 由此得到an=a1+(n-1)d. 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an= . a1+(n-1)d 知识梳理 　 (课本例1)　已知数列{an}是公差为d的等差数列. (1)若a3=2，a6=-4，求公差d和a1，a8. 例 2 由等差数列的通项公式，得a3=a1+2d=2，a6=a1+5d=-4， 将它们联立组成方程组，解得 因此a8=a1+7d=-8. 解 17 (2)若a1=3，d=6，an=57，求n. 由等差数列的通项公式，得an=a1+(n-1)d=3+(n-1)×6=57. 解得n=10. 解 18 　在等差数列{an}中， (1)已知a5=-1，a8=2，求a1与d； 例 2 由题意知 解得 解 19 (2)已知a1+a6=12，a4=7，求an. 设等差数列的公差为d，由题意知 所以an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1，n∈N+. 解 20 等差数列通项公式的求法与应用技巧 (1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可. (2)等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个，那么就可以由通项公式求出第四个，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”. 反 思 感 悟 21 　在等差数列{an}中，求解下列各题： (1)已知公差d=-，a7=8，则a1=　　.  跟踪训练 2 10 由a7=a1+6d，得8=a1+6×， 故a1=10. 解析 22 (2)已知a3=0，a7-2a4=-1，则公差d=　　　.  - 由题意知 解得 解析 23 (3)已知{an}的前3项依次为2，6，10，则a15=　　.  由题意得，d=6-2=4， 把a1=2，d=4代入an=a1+(n-1)d， 得an=2+(n-1)×4=4n-2， ∴a15=4×15-2=58. 解析 58 24 等差中项 三 由等差数列的定义可知，如果1，x，3这三个数是等差数列，你能求出x的值吗？ 问题3 提示　由定义可知x-1=3-x，即2x=1+3，x=2. 在两个数a，b之间插入数M，使a，M，b成等差数列，则M称为a与b的等差中项. 知识梳理 (1)任意两个实数都有等差中项，且唯一. (2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数，即M=. (3)a3是a1和a5的等差中项，特别注意序号之间的关系. 注 意 点 <<< 28 　(1)若a=，b=，则a，b的等差中项为 A.B. C. D. 例 3 由题意知a，b的等差中项为 ×=×(-++)=. 解析 √ 29 (2)在-1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列. 因为-1，a，b，c，7成等差数列， 所以b是-1与7的等差中项， 则b==3， 又a是-1与3的等差中项， 所以a==1. 又c是3与7的等差中项， 所以c==5.所以该数列为-1，1，3，5，7. 解 30 若a，M，b成等差数列，则M=；反之，由M=也可得到a，M，b成等差数列，所以M是a，b的等差中项⇔M= . 反 思 感 悟 31 　已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则2m-n和2n-m的等差中项是 A.8 B.6 C.4.5 D.3 跟踪训练 3 √ ∵m+2n=8，2m+n=10， ∴3m+3n=18，∴m+n=6， ∴2m-n和2n-m的等差中项是 ==3. 解析 32 1.知识清单： (1)等差数列的概念. (2)等差数列的通项公式. (3)等差中项. 2.方法归纳：方程组法(基本量法). 3.常见误区：定义忽略“从第2项起”. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知等差数列{an}的通项公式an=3-2n(n∈N+)，则它的公差d为 A.2 B.3 C.-2 D.-3 √ 由等差数列的定义，得d=-2. 解析 1 2 3 4 2.已知等差数列-5，-2，1，…，则该数列的第20项为 A.52 B.62 C.-62 D.-52 公差d=-2-(-5)=3， a20=-5+(20-1)d=-5+19×3=52. 解析 √ 1 2 3 4 3.若5，x，y，z，21成等差数列，则x+y+z的值为 A.26 B.29 C.39 D.52 ∵5，x，y，z，21成等差数列，∴y既是5和21的等差中项也是x和z的等差中项. ∴5+21=2y，∴y=13，x+z=2y=26， ∴x+y+z=39. 解析 √ 1 2 3 4 4.在等差数列{an}中，如果a4=3，a7=9，an=17.那么n=　　　　.  设等差数列{an}的首项是a1，公差为d，由题意知 解得 ∴an=a1+(n-1)d=-3+(n-1)×2=2n-5， 又an=2n-5=17， ∴n=11. 解析 11 课时对点练 五 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 ABD B D A C AD -3 题号 11 12 13 14 15 答案 C A an=2n 等边三角形 (-∞，-2]∪[2，+∞) 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)因为a5-a3=12，所以公差d=6. 由a12=a1+11d=20，所以a1=-46， 故a1=-46，d=6. (2)由an=a1+(n-1)d，得-15=9-2(n-1)， 解得n=13. (3)由已知可得 所以an=a1+(n-1)d=11-(n-1)=-n+12. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设数列{an}的公差为d， 则 (1)a10=a1+9d=-2+27=25. (2)an=-2+(n-1)×3=3n-5， 由112=3n-5，解得n=39. 所以112是数列{an}的第39项. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)由80<3n-5<110， 解得28<n<38， 所以n的取值为29，30，…，38，共10项. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)设等差数列{an}的公差为d. 由题意得， 解得 ∴an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)a2=4，a4=8，a6=12，a8=16，…， a2n=2×2n=4n. 当n>1时，a2n-a2(n-1)=4n-4(n-1)=4. ∴{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列. ∴bn=4+4(n-1)=4n. 基础巩固 1.(多选)下列数列中，是等差数列的是 A.1，4，7，10 B.lg 2，lg 4，lg 8，lg 16 C.25，24，23，22 D.10，8，6，4，2 A，B，D项满足等差数列的定义，是等差数列； C中，因为24-25≠23-24≠22-23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 2.35是数列3，5，7，9，…的 A.第16项 B.第17项 C.第18项 D.第19项 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 数列3，5，7，9，…的通项为2n+1， 由2n+1=35，得n=17， 所以35是数列3，5，7，9，…的第17项. 解析 3.已知在等差数列{an}中，a1=1，d=3，则当an=298时，n等于 A.90 B.96 C.98 D.100 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知1+3(n-1)=298，解得n=100. 解析 √ 4.已知等差数列{an}中，a3+a8=22，a6=7，则a5等于 A.15 B.22 C.7 D.29 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 设数列{an}的首项为a1，公差为d， 根据题意得 解得所以a5=47+(5-1)×(-8)=15. 解析 5.一个等差数列的前4项是a，x，b，2x(b≠0，x≠0)，则等于 A. B. C. D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵b是x，2x的等差中项， ∴b==， 又∵x是a，b的等差中项，∴2x=a+b， ∴a=，∴=. 解析 √ 6.(多选)已知等差数列的公差为d，且a2=3，a1+a3+a5=12，则 A.d=1 B.d=2 C.an=2n-1 D.an=n+1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题知数列为等差数列， 所以可得 解得 所以an=n+1，故A，D正确. 解析 √ √ 7.在等差数列{an}中，a5=9，且2a3=a2+6，则a1=　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 -3 设数列{an}的公差为d， 则 解析 8.设a>0，b>0，若ln 3是ln 9a与ln 3b的等差中项，则2a+b=　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵ln 3是ln 9a与ln 3b的等差中项， ∴2ln 3=ln 9a+ln 3b， ∴ln 32=ln(9a·3b)=ln 32a+b， ∴32=32a+b， ∴2a+b=2. 解析 2 9.在等差数列{an}中， (1)已知a5-a3=12，a12=20，求a1和d； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a5-a3=12，所以公差d=6. 由a12=a1+11d=20，所以a1=-46， 故a1=-46，d=6. 解 (2)已知a1=9，公差d=-2，an=-15，求n； 由an=a1+(n-1)d，得-15=9-2(n-1)， 解得n=13. 解 (3)已知a3=9，a9=3，求{an}的通项公式. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知可得 所以an=a1+(n-1)d=11-(n-1)=-n+12. 解 10.在等差数列{an}中，a1+a5=8，a4=7. (1)求数列的第10项； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设数列{an}的公差为d， 则 a10=a1+9d=-2+27=25. 解 (2)112是数列{an}的第几项？ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 an=-2+(n-1)×3=3n-5， 由112=3n-5，解得n=39. 所以112是数列{an}的第39项. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)80到110之间有多少项？ 由80<3n-5<110， 解得28<n<38， 所以n的取值为29，30，…，38，共10项. 解 11.正数a，b的等差中项是，且α=a+，β=b+，则α+β的最小值是 A.3 B.4 C.5 D.6 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知，a+b=1， α+β=a++b+=1++=3++≥3+2=5， 当且仅当a=b=时，取等号. 解析 √ 12.已知数列{an}中，a1=1，a2=4，a3=9，且{an+1-an}是等差数列，则a6等于 A.36 B.37 C.38 D.39 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a2-a1=3，a3-a2=5，所以(a3-a2)-(a2-a1)=2， 又{an+1-an}是等差数列，故首项为3，公差为2， 所以an+1-an=3+2(n-1)=2n+1， 所以a6=(a6-a5)+(a5-a4)+…+(a2-a1)+a1=11+9+7+5+3+1=36. 解析 √ 13.若等差数列{an}的公差d≠0且a1，a2是关于x的方程x2-a3x+a4=0的两根，则数列{an}的通项公式为　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 an=2n 由题意知 ∴ 解得∴an=2+(n-1)×2=2n. 解析 14.已知△ABC的三边a，b，c成等差数列，，，也成等差数列，则△ABC的形状为　 　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 等边三角形 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由a，b，c成等差数列得a+c=2b， ① 由+=2， ② 由②2-①得2=2b，即b2=ac， 由①平方得a2+2ac+c2=4b2， 将b2=ac代入得a2+2ac+c2=4ac， 即(a-c)2=0，得a=c. 又a+c=2b，∴2a=2b， ∴a=b， ∴a=b=c. ∴△ABC 是等边三角形. 解析 15.等差数列{an}满足：|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2 024|=|a1-1|+|a2-1|+|a3-1|+…+ |a2 024-1|=|a1+1|+|a2+1|+|a3+1|+…+|a2 024+1|，则其公差d的取值范围为 　　　 　　　　　　.  拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (-∞，-2]∪[2，+∞) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知，等差数列{an}中的项一定有正有负， 当a1<0，d>0时， 由|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2 024| =|a1-1|+|a2-1|+|a3-1|+…+|a2 024-1|， 则 由|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2 024| =|a1+1|+|a2+1|+|a3+1|+…+|a2 024+1|， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则 所以a1 013≥1，a1 012≤-1， 所以a1 012+d≥1，即d≥1-a1 012≥2； 当a1>0，d<0时， 同理可求出d≤-1-a1 012≤-2. 综上所述，公差d的取值范围为(-∞，-2]∪[2，+∞). 解析 16.已知{an}是等差数列，且a1+a2+a3=12，a8=16. (1)求数列{an}的通项公式； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设等差数列{an}的公差为d. 由题意得， 解得 ∴an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n. 解 (2)若从数列{an}中依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n项，按原来的顺序组成一个新数列{bn}，试求出数列{bn}的通项公式. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a2=4，a4=8，a6=12，a8=16，…， a2n=2×2n=4n. 当n>1时，a2n-a2(n-1)=4n-4(n-1)=4. ∴{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列. ∴bn=4+4(n-1)=4n. 解 第1章　§1.2　等差数列 <<< $