1.2.3 等差数列的前n项和（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（湘教版）

该高中数学课件聚焦等差数列前n项和，涵盖公式理解、函数特征、性质及求和应用，通过衔接等差数列定义与通项公式，以倒序相加推导公式、二次函数分析特征、S_k系列性质构建学习支架，帮助学生逐步掌握知识脉络。 其亮点在于知识辨析（如二次函数与等差数列关系）培养推理意识，典例多解法（如最值求法的函数法、分界点法）发展逻辑思维，裂项相消技巧强化数学语言表达。例如通过a_n=4(100-S_n)推导通项，学生能深化理解，教师可借助系统内容提升教学效率。

1.2 等差数列 1.2.3 等差数列的前n项和 知识点 1 等差数列前n项和公式的理解 必备知识 清单破 1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,则Sn= =na1+ d. 2.公式Sn= 反映了等差数列的性质,任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和, 因此常与性质:若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am+an=ap+aq结合使用. 第一章 数列 高中同步 　　公差为d的等差数列{an}的前n项和公式可化成关于n的表达式Sn=na1+ = n2+  n. (1)当d≠0时,Sn可看成关于n的二次函数,注意其常数项为0.点(n,Sn)是抛物线Sn= n2+ n 上一系列离散的点. (2)当d≠0时, = n+ 可看成关于n的一次函数,则 是公差为 的等差数列. 知识点 2 等差数列前n项和公式的函数特征 第一章 数列 高中同步 知识点 3 等差数列前n项和的性质 性质1 公差为d的等差数列中依次k(k∈N+)项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…组成公差为k2d的等差数列 性质2 若等差数列的项数为2n(n∈N+),则S2n=n(an+an+1),S偶-S奇=nd, = (S奇≠0,an≠0); 若等差数列的项数为2n-1(n∈N+),则S2n-1=(2n-1)an,S奇-S偶=an, = (S奇≠0) 性质3 {an}为等差数列⇒ 为等差数列 性质4 若等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则Sn,Tn 之间的关系为 = (bn≠0,T2n-1≠0) 第一章 数列 高中同步 1.若一个数列{an}的前n项和Sn是关于n的二次函数,则这个数列一定是等差数列吗? 知识辨析 2.若等差数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn(A≠0),则其最大值或最小值一定在n=- 处取得吗? 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,则S3,S6-S3,S12-S9是等差数列吗? 第一章 数列 高中同步 一语破的 1.不一定.当二次函数的常数项为0时才为等差数列. 2.不一定.只有当- 是正整数时才成立. 3.不是.由等差数列前n项和的性质知S3,S6-S3,S9-S6成等差数列. 第一章 数列 高中同步 　　等差数列问题共涉及五个量:a1,d,n,an,Sn,这五个量可以“知三求二”.解决等差数列问题 的一般思路为:设出基本量,构建方程组,利用方程思想求解. 　　当已知首项、末项和项数时,用公式Sn= 较简便,使用此公式时注意结合等差数 列的性质;当已知首项、公差和项数时,用公式Sn=na1+ d较简便. 定点 1 等差数列前n项和公式及其应用 关键能力 定点破 第一章 数列 高中同步 已知等差数列{an}的前n项和为Sn. (1)若a5+a10=58,a4+a9=50,求S10; (2)若S7=42,Sn=510,an-3=45,求n. 典例 第一章 数列 高中同步 解析    (1)设等差数列{an}的公差为d. 解法一:由已知得  解得  ∴S10=10a1+ d=10×3+ ×4=210. 解法二:由已知得  ∴a1+a10=42, ∴S10= =5×42=210. (2)∵S7= =7a4=42,∴a4=6. 第一章 数列 高中同步 又an-3=45, ∴Sn= = = =510, ∴n=20. 第一章 数列 高中同步 　　在解决与等差数列前n项和的性质有关的问题时,恰当运用相关性质可以达到事半功倍 的效果. 利用性质解决等差数列前n项和运算的几种思维方法: (1)整体思路:利用公式Sn= 求出整体a1+an,再代入求解. (2)待定系数法:当公差不为0时,利用Sn是关于n的二次函数,设Sn=An2+Bn(A≠0),列出方程组, 求出A,B即可;也可以利用 是关于n的一次函数,设 =an+b(a≠0)进行计算. (3)利用性质中的相关结论进行求解. 定点 2 等差数列前n项和的性质及其应用 第一章 数列 高中同步 (1)已知等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,求数列{an}的前3m项和S3m; (2)已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且 = ,求 的值. 典例 思路点拨    (1)思路一:设数列的公差为d,求出m2d,ma1- ,整体代入求解.思路二:利用等差数 列前n项和的性质求解. (2)直接利用等差数列前n项和的性质求解. 第一章 数列 高中同步 解析    (1)解法一:设等差数列{an}的公差为d. 由题意得  整理可得  ∴S3m=3ma1+ d =3 + =3×10+ ×40=210. 解法二:由等差数列前n项和的性质可知,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列, ∴30,70,S3m-100成等差数列, 第一章 数列 高中同步 ∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m=210. 解法三:由等差数列前n项和的性质可知, , , 成等差数列,∴ = + , 即S3m=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210. (2)解法一: = = = = = . 解法二: = = = = . 第一章 数列 高中同步 　　求等差数列{an}(公差d≠0)的前n项和Sn的最大(小)值的常用方法如下: (1)函数法:将求Sn的最大(小)值问题转化为求二次函数的最大(小)值问题,解题时注意n∈N+; (2)利用 或 寻找正、负项的分界点,当a1>0,d<0时,正项和最大,当a1<0,d>0时,负 项和最小,进而得到Sn的最值. 定点 3 等差数列前n项和最值的求法 第一章 数列 高中同步 (多选)设数列{an}的前n项和为Sn,若 =4(100-Sn),n∈N+,且a1>0,an+an-1≠0(n≥2),则 下列选项正确的是 (　     ) A.an=2n-23 B.数列 为等差数列 C.当n=10时,Sn取得最大值 D.设bn=anan+1an+2,则当n=8或n=10时,数列{bn}的前n项和取得最大值 典例1 BCD 第一章 数列 高中同步 思路点拨    由an和Sn的关系,求出数列{an}的通项公式;由等差数列求和公式求出Sn,根据定义 判断 是不是等差数列;借助二次函数的性质判定数列{an}前n项和的最值;由an的正负判 断bn=anan+1an+2的正负,进而判定其前n项和的最值. 第一章 数列 高中同步 解析    对于A,当n=1时, =4(100-a1),解得a1=19或a1=-21, 又因为a1>0,所以a1=19, 当n≥2时,由 =4(100-Sn),n∈N+,得 =4(100-Sn-1),n∈N+, 所以 - =4(100-Sn)-4(100-Sn-1),整理得(an+an-1)(an-an-1+2)=0, 因为an+an-1>0, 所以an-an-1+2=0,即an-an-1=-2, 所以数列{an}是首项为19,公差为-2的等差数列, 所以an=19+(n-1)×(-2)=-2n+21,故A错误; 对于B,由A可知,Sn=19n+ ×(-2)=-n2+20n, 所以 = =-n+20, 第一章 数列 高中同步 所以 - =-(n+1)+20-(-n+20)=-1, 又 =a1=19, 所以数列 是首项为19,公差为-1的等差数列,故B正确; 对于C,因为Sn=-n2+20n=-(n-10)2+100,n∈N+, 所以当n=10时,Sn取得最大值,故C正确; 对于D,由an=-2n+21>0,得1≤n≤10,n∈N+, 由an=-2n+21<0,得n≥11,n∈N+, 所以当1≤n≤8,n∈N+时,bn=anan+1an+2>0, 当n=9时,b9=a9a10a11<0, 当n=10时,b10=a10a11a12>0, 第一章 数列 高中同步 当n≥11,n∈N+时,bn=anan+1an+2<0, 因为b9=a9a10a11=3×1×(-1)=-3,b10=1×(-1)×(-3)=3, 所以当n=8或n=10时,数列{bn}的前n项和取得最大值,故D正确. 第一章 数列 高中同步 在等差数列{an}中,a1=25,S8=S18,求其前n项和Sn的最大值. 典例2 第一章 数列 高中同步 解析    解法一:设等差数列{an}的公差为d. 因为S8=S18,a1=25, 所以8×25+ d=18×25+ ×d,解得d=-2. 所以Sn=25n+ ×(-2)=-n2+26n=-(n-13)2+169, 所以当n=13时,Sn取得最大值,最大值为169. 解法二:设Sn=An2+Bn,A≠0. 因为S8=S18,S1=a1=25, 所以 解得  所以Sn=-n2+26n=-(n-13)2+169, 所以当n=13时,Sn取得最大值,最大值为169. 第一章 数列 高中同步 解法三:同解法一,求出公差d=-2, 所以an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27. 由 得  因为n∈N+, 所以当n=13时,Sn取得最大值,最大值为 =169. 解法四:设等差数列{an}的公差为d. 因为S8=S18,所以S18-S8=0, 即a9+a10+…+a18=0. 结合等差数列的性质得a13+a14=0. 第一章 数列 高中同步 因为a1>0,所以d<0, 所以a13>0,a14<0. 所以当n=13时,Sn有最大值. 由a13+a14=0,得a1+12d+a1+13d=0,解得d=-2,所以S13=13×25+ ×(-2)=169, 所以Sn的最大值为169. 第一章 数列 高中同步 定点 4 与等差数列有关的数列求和 1.倒序相加求和 　　等差数列前n项和公式的推导过程采用了倒序相加求和. 第一章 数列 高中同步 2.裂项相消求和 (1)裂项相消求和就是将某些特殊数列的每一项拆成两项的差,并使它们求和的过程中出现 相同的项,这些相同的项能够相互抵消,从而达到求和的目的. (2)常见的裂项技巧: ①已知{an}是等差数列,其公差为d(d≠0),则bn= = × . ②an= =  . ③an=  =  . ④an= = - . ⑤an=loga =loga(n+1)-logan,其中a>0,且a≠1. 第一章 数列 高中同步 已知A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是函数f(x)= +log2 图象上的任意两点. (1)当x1+x2=1时,求f(x1)+f(x2)的值; (2)设Sn=f +f +…+f +f ,其中n∈N+,求Sn; (3)对于(2)中的Sn,已知an= ,其中n∈N+,设Tn为数列{an}的前n项和,求证: ≤Tn< . 典例 第一章 数列 高中同步 解析    (1)由已知得f(x1)+f(x2)= +log2 + +log2 =1+log2 =1+log2  =1+log21=1. (2)∵ + = + = + =…=1, ∴f +f =f +f =f +f =…=1, ∵Sn=f +f +…+f +f ,① ∴Sn=f +f +…+f +f ,② 由①+②,得2Sn= + +…+ f +f  +  , 第一章 数列 高中同步 ∴2Sn=n,故Sn= . (3)证明:由(2)及已知得an= = = , ∵an>0,∴Tn<Tn+1,∴{Tn}是递增数列, ∴Tn≥T1=a1= . ∵an= < = =2 , ∴Tn= + + +…+ + <2  =2  第一章 数列 高中同步 =2 < . 综上, ≤Tn< . 第一章 数列 高中同步 方法技巧 　     (n∈N+)的常见放缩形式: (1) < = - (n≥2); (2) > = - ; (3) = < =2 . 第一章 数列 高中同步 $