第4章 再练一课(范围：§4.1～§4.3)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

**基本信息** 聚焦排列组合核心方法，通过分类分步计数原理、捆绑插空等技巧解决实际问题，培养逻辑推理与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基本原理应用|3题|分类加法与分步乘法原理|从原理到实际情境（无人机、节气选取）| |排列组合综合|4题|捆绑法、插空法、间接法|相邻/不相邻问题→限制条件处理| |分组分配|3题|均匀/非均匀分组、先选后排|分组与排列结合（垃圾桶摆放、保送学生）| |涂色问题|1题|分步涂色、分类讨论|区域相邻关系→颜色选择逻辑|

再练一课(范围：§4.1~§4.3) [分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.若=2，则m的值为(　　) A.5 B.3 C.6 D.7 答案　A 解析　依题意得=2·， 化简得(m-3)·(m-4)=2，解得m=2或m=5， 又m≥5，∴m=5. 2.无人机光影秀中，有8架无人机排列成如图所示的图形，每架无人机均可以发出红、黄、蓝、绿4种颜色的光，1至5号的无人机发出的光的颜色必须相同，6，7号无人机发出的光的颜色必须相同，8号无人机与其他无人机发出的光的颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有　　　种灯光组合(　　)  A.48 B.12 C.18 D.36 答案　D 解析　根据题意可知，1至5号无人机发出的光的颜色有4种选择. 当6，7号无人机发出的光的颜色与1至5号无人机发出的光的颜色相同时，8号无人机发出的光的颜色有3种选择； 当6，7号无人机发出的光的颜色与1至5号无人机发出的光的颜色不同时，6，7号无人机发出的光的颜色有3种选择，8号无人机发出的光的颜色有2种选择. 再由分类加法和分步乘法计数原理计算可得共有4×(1×3+3×2)=36(种)灯光组合. 3.小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2不相邻，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为(　　) A.144 B.72 C.36 D.24 答案　B 解析　由题意知，将1，4当成一个整体来计算，将此整体和0，3排序，共有种排法， 再根据插空法可得总排法有··=72(种). 4.某市开始实行生活垃圾分类管理.某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾桶、一个有害垃圾桶、一个厨余垃圾桶、一个其他垃圾桶.因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有(如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们的前后左右位置关系不作考虑)(　　) A.18种 B.24种 C.36种 D.72种 答案　C 解析　根据题意，有四个垃圾桶放到三个固定角落，其中有一个角落放两个垃圾桶， 先选出两个垃圾桶，有种选法， 之后与另两个垃圾桶分别放在三个不同的角落有种放法； 所以不同的摆放方法共有=6×6=36(种). 5.小明在学校里学习了二十四节气歌后，他准备在冬季的6个节气：立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒与春季的6个节气：立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨中一共选出4个节气，在网上搜集与之相关的古诗，如果冬季节气和春季节气各至少被选出1个，那么小明选取节气的不同情况的种数是(　　) A.345 B.465 C.1 620 D.1 860 答案　B 解析　根据题意可知，小明可以选取1冬3春、2冬2春、3冬1春. 1冬3春的不同情况有=120(种). 2冬2春的不同情况有=225(种). 3冬1春的不同情况有=120(种). 所以小明选取节气的不同情况有120+225+120=465(种). 6.将甲、乙等6位身高各不相同的同学平均分为两组，甲、乙在这六位同学中身高(从高到低)分别排在第4，3位，则在分成的两组中甲不是所在组最矮的且乙不是所在组最高的的分组方式共有(　　 ) A.4种 B.5种 C.6种 D.8种 答案　B 解析　将6人身高从高到低依次标号为1，2，3，4，5，6. 方法一　(用间接法求解)　此事件的反面是“甲是所在组最矮的或乙是所在组最高的”， ①甲、乙不在同一组只有124，356一种排法； ②甲、乙在同一组， 注意到从剩下四人中任取一人与甲、乙同组均符合，所以有=4(种)选法，共有1+4=5(种)选法. 而平均分组共有=10(种)方式，所以共有10-5=5(种)分组方式. 方法二　(用直接法求解) ①甲、乙在同一组，容易发现这是不可能的； ②甲、乙不在同一组，那么1，2中至少有一位与乙一组，5，6中至少有一位与甲一组， 取该事件的反面，即1，2均不与乙一组且5，6均不与甲一组，只有356，124一种分法，而4人均分两组共有=3(种)分组方式，所以共有3×2-1=5(种)分组方式. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.下列有关排列数、组合数的等式中成立的是(　　) A.= B.+= C.= D.=8 答案　ACD 解析　对于A，因为=，所以=，故A正确； 对于B， 因为+=，所以+=，故B错误； 对于C， 因为=，所以=，故C正确； 对于D，8=8×7×6×5×4=，故D正确. 8.高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有(　　) A.如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种 B.如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种 C.如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法有60种 D.如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法有20种 答案　ABC 解析　安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动， 对于选项A，如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有53-43=61(种)，故正确； 对于选项B，如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有52=25(种)，故正确； 对于选项C，如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法有5×4×3=60(种)，故正确； 对于选项D，如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法有5×5=25(种)，故错误. 9.A，B，C，D，E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有(　　) A.若A，B两人站在一起，则有24种站法 B.若A，B不相邻，则共有72种站法 C.若A在B左边，则有60种站法 D.若A不站在最左边，B不站最右边，则有78种站法 答案　BCD 解析　对于A，先将A，B排列，再看成一个元素，和剩余的3人，一共4个元素进行全排列，由分步乘法计数原理可知共有=48(种)站法，A不正确； 对于B，先将A，B之外的3人全排列，产生4个空，再将A，B两元素插空，所以共有=72(种)站法，B正确； 对于C，5人全排列，而其中A在B的左边和A在B的右边是等可能的，所以A在B的左边的站法有=60(种)，C正确； 对于D，对A分两种情况：一是若A站在最右边，则剩下的4人全排列有种站法；另一个是A不在最左边也不在最右边，则A从中间的3个位置中任选1个，然后B从除最右边的3个位置中任选1个，最后剩下3人全排列即可，由分类加法计数原理可知，共有+=78(种)站法，D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有　　　　　　种(用数字作答).  答案　420 解析　如图，用A，B，C，D，E表示5个区域， 分4步进行分析： ①对于区域A，有5种颜色可选； ②对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选； ③对于区域C，与A，B区域相邻，有3种颜色可选； ④对于区域D，E，若D与B颜色相同，E区域有3种颜色可选， 若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，E区域有2种颜色可选， 则区域D，E有3+2×2=7(种)颜色可选， 则不同的涂色方案有5×4×3×7=420(种). 11.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有　　　　　　种不同的选法.(用数字作答)  答案　660 解析　方法一　只有1名女生时，先选1名女生，有种方法；再选3名男生，有种方法；然后排队长、副队长位置，有种方法.由分步乘法计数原理知，共有=480(种)选法. 有2名女生时，再选2名男生，有种方法；然后排队长、副队长位置，有种方法.由分步乘法计数原理知，共有=180(种)选法.由分类加法计数原理知，共有480+180=660(种)不同的选法. 方法二　不考虑限制条件，共有种不同的选法， 而没有女生的选法有种， 故至少有1名女生的选法有-=840-180=660(种). 12.将甲、乙等5位同学分别保送到A，B，C三所大学就读，每所大学至少保送一人. (1)有　　　　　　种不同的保送方法；  (2)若甲不能被保送到A大学，有　　　　　　种不同的保送方法.  答案　(1)150　(2)100 解析　(1)5名学生可分成2，2，1和3，1，1两种形式，当5名学生分成2，2，1时， 共有·=90(种)方法； 当5名学生分成3，1，1时， 共有·=60(种)方法. 根据分类加法计数原理知， 共有90+60=150(种)保送方法. (2)先将五人分成三组，因为要求每组至少一人， 所以可选择的只有2，2，1或3，1，1， 所以有+=25(种)分组方法. 因为甲不能被保送到A大学，所以有甲的那组只有B大学和C大学两个选择，剩下的两组无限制，一共有4种方法，所以不同的保送方法共有25×4=100(种). 四、解答题(共37分) 13.(12分)有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子内. (1)共有几种放法？(4分) (2)恰有2个盒子不放球，有几种放法？(8分) 解　(1)44=256(种). (2)恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中，有两类放法： 第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先把小球分组，有种，再放到2个小盒中有种放法，共有种放法； 第二类，2个盒子中各放2个小球有种放法，故恰有2个盒子不放球，共有+=84(种)放法. 14.(12分)4位同学参加辩论赛，比赛规则如下：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得-100分；选乙题答对得90分，答错得-90分.若4位同学的总分为0分，则这4位同学有多少种不同的得分情况？ 解　本题分两种情况讨论. (1)4位同学中有2人选甲，2人选乙.若这4位同学的总分为0分，则必须是选甲的2人一人答对，另一人答错，选乙的2人一人答对，另一人答错.有=24(种)不同的情况. (2)4位同学都选甲或者都选乙.若这4位同学的总分为0分，则必须是2人答对，另2人答错， 有=12(种)不同的情况. 综上可知，一共有24+12=36(种)不同的情况. 15.(13分)为庆祝三八国际妇女节，东湖中学举行了教职工排球比赛，赛制要求每个年级派出十名成员分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛. (1)一共有多少种不同的分组方案？(5分) (2)在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照1，2，3，4，5号位站好，为争取最好成绩，高二年级选择了A，B，C，D，E，F六名女老师进行训练，经训练发现E不能站在5号位，若A，B同时上场，必须站在相邻的位置，则一共有多少种不同的排列方式？(8分) 解　(1)队伍分配方案可分为：①两组都是3女2男；②一组是1男4女，另一组是3男2女， ①若两组都是3女2男， 则先将6女平均分成两组共种方式， 再将4男平均分成两组共种方式， 所以两组都是3女2男的情况有··2=60(种)； ②一组是1男4女，另一组是3男2女的情况有···=60(种)， 所以总共有60+60=120(种). 故一共有120种不同的分组方案. (2)总共可分为三种情况，如下： ①若A，B上场且E不上场， 先将A，B全排列，共有种方式， 再把A，B捆绑后和C，D，F全排列共有种方式， 所以A，B上场且E不上场共有×=48(种)不同的排列方式； ②若A，B上场且E也上场， (ⅰ)若E在1号位，先将A，B全排列，共有种方式， 再从C，D，F中选两人，有种方式， 则AB捆绑后和C，D，F中的两人全排列，有种方式， 所以E在1号位共有××=36(种)不同的方式； (ⅱ)若E在2号位， 先将A，B全排列，且A，B可位于3，4号位或4，5号位，共有×2种方式， 再从C，D，F中选两人进行排列，有种方式， 所以E在2号位共有×2×=24(种)不同的方式； (ⅲ)若E在3号位， 先将A，B全排列，且A，B可位于1，2号位或4，5号位，共有×2种方式， 再从C，D，F中选两人进行排列，有种方式， 所以E在3号位共有×2×=24(种)不同的方式； (ⅳ)若E在4号位， 先将A，B全排列，且A，B可位于1，2号位或2，3号位，共有×2种方式， 再从C，D，F中选两人进行排列，有种方式， 所以E在4号位共有×2×=24(种)不同的方式. 所以A，B上场且E也上场共有36+24+24+24=108(种)不同的方式； ③若A，B中有一人上场且E上场， E上场且不在5号位，则E可位于1，2，3，4号位，有种方式， 再从A，B中选一人，有种方式， A，B中的一人和C，D，F四人全排列， 共种方式， 所以A，B中有一人上场且E上场共有××=192(种)不同的排列方式. 综上所述，共有48+108+192=348(种)排列方式. 学科网（北京）股份有限公司 $