第3章 再练一课(范围：§3.1)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

**基本信息** 聚焦椭圆定义、方程及性质，通过分类讨论、坐标法等系统方法，构建从概念到综合应用的知识逻辑链，培养数学抽象与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义与方程|单选1、13题|焦点位置分类讨论、a,b,c关系应用|从椭圆定义（2a,2c）到标准方程推导，体现概念生成逻辑| |几何性质|单选2、6、7题|离心率方程思想、参数范围不等式法|通过a,b,c关系推导离心率，建立性质与方程的内在联系| |直线与椭圆|单选4、11题|定点判断位置、弦长公式应用|联立方程结合判别式，实现代数与几何的转化| |综合应用|14、15题|焦点三角形面积坐标法、向量垂直条件|整合定义、性质与方程，形成问题解决的完整逻辑链|

再练一课(范围：§3.1) [分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知a=，c=2，则该椭圆的标准方程为(　　) A.+=1 B.+=1或+=1 C.+y2=1 D.+y2=1或+x2=1 答案　D 解析　由题可知b2=a2-c2=1，当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为+y2=1；当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为+x2=1. 2.已知椭圆C：+=1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C的上顶点，若∠F1PF2=，则b等于(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 答案　C 解析　根据椭圆的图象性质可得，因为∠F1PF2=，所以=cos=， 所以b2=9，又b>0，所以b=3. 3.若曲线C：(k-4)x2+=1表示椭圆，则实数k的取值范围是(　　) A.(4，6) B.(4，5) C.(5，6) D.(4，5)∪(5，6) 答案　D 解析　因为曲线C：(k-4)x2+=1表示椭圆，即C：+=1表示椭圆， 则应满足解得4<k<6且k≠5， 即k的取值范围为(4，5)∪(5，6). 4.直线y=k(x-2)+1与椭圆+=1的位置关系是(　　) A.相离 B.相交 C.相切 D.无法判断 答案　B 解析　由题知，直线恒过定点，将点代入+可得+<1，故在椭圆内，直线与椭圆相交. 5.已知椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，当△F1PF2的面积为1时，·等于(　　) A.0 B.1 C.2 D. 答案　A 解析　设P(x0，y0)， 则依题意有=·|F1F2|·|y0|=1， 而F1(-，0)，F2(，0)，|F1F2|=2， 所以y0=±， 故得x0=±， 由椭圆的对称性，取P，可得·=0. 6.椭圆+=1(a>b>0)的两顶点为A(a，0)，B(0，b)，且左焦点为F，△ABF是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意可知△ABF为直角三角形，其中|AB|=，|BF|=a，|AF|=a+c，由勾股定理，得|AF|2=|AB|2+|BF|2，即(a+c)2=a2+b2+a2=2a2+a2-c2，整理得c2+ac-a2=0，两边同除以a2得e2+e-1=0， ∴e=. ∵e∈(0，1)，∴e=. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.若椭圆+=1的离心率为，则k的值可能为(　　) A.-21 B.21 C.- D. 答案　BC 解析　当椭圆的焦点在x轴上时，a2=9， b2=4+k，得c2=5-k. 由==，得k=-； 当焦点在y轴上时，a2=4+k，b2=9， 得c2=k-5. 由==，得k=21. 8.设椭圆的方程为+=1，其中椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，与x轴相交的左、右顶点分别为A，B，P为椭圆上(除点A，B外)的任意一点，下列结论正确的是(　　) A.存在点P，使得∠F1PF2=90° B.线段PF1长度的取值范围为(2，8) C.|PF1|·|PF2|的最大值为25 D.直线PA与直线PB的斜率之积恒为 答案　BC 解析　由+=1， 得A(-5，0)，B(5，0)，F1(-3，0)，F2(3，0)， 设P(x0，y0)，有=16， 对于A，假设存在点P，使得∠F1PF2=90°， 即·=0， 于是(x0+3)(x0-3)+=-9+16- =+7=0，显然无解，A错误； 对于B，|PF1|= ==5+x0， 而-5<x0<5，因此2<|PF1|<8，B正确； 对于C，|PF1|+|PF2|=10， |PF1|·|PF2|≤=52=25， 当且仅当|PF1|=|PF2|=5时取等号， 因此|PF1|·|PF2|的最大值为25，C正确； 对于D，直线PA，PB的斜率之积为 kPA·kPB=·= ==-，D错误. 9.将椭圆C1：+=1(a>b>0)上所有的点绕原点旋转θ角，得到椭圆C2：x2+y2-xy=6，则下列说法中正确的是(　　) A.a=2 B.椭圆C2的离心率为 C.(2，2)是椭圆C2的一个焦点 D.θ= 答案　ACD 解析　椭圆C1：+=1(a>b>0)上所有的点绕原点旋转θ角， 得到椭圆C2：x2+y2-xy=6， 设点P(x，y)在椭圆C2上，则其关于直线y=x的对称点P'1(y，x)代入椭圆C2的方程有y2+x2-yx=6，即x2+y2-xy=6，则该对称点位于椭圆C2上， 同理点P关于直线y=-x的对称点P'2(-y，-x)代入椭圆C2的方程有(-y)2+(-x)2-(-y)(-x)=6，即x2+y2-xy=6，则该对称点位于椭圆C2上， 则x2+y2-xy=6关于直线y=±x对称， 所以θ=，故D正确； 将y=x代入x2+y2-xy=6可得x2=6， 可得椭圆C2长轴的顶点坐标为(，)，(-，-)，所以a==2，故A正确； 将y=-x代入x2+y2-xy=6可得x2=2， 可得椭圆C2短轴的顶点坐标为(，-)，(-，)，所以b==2， 则c==2，则e===，故B错误； 易得椭圆C2的焦点坐标为(2，2)和(-2，-2)，故C正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.已知F1，F2是椭圆C：+=1的左、右焦点，点P在C上，则△PF1F2的周长为　　　　.  答案　10 解析　由椭圆C的方程知a=3，c==2，P在椭圆上，所以|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=2×3+2×2=10. 11.若直线y=x+1和椭圆+=1交于A，B两点，则线段AB的长为　　　　.  答案　 解析　由消y得3x2+4x-2=0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1x2=-，x1+x2=-， 所以|AB|=·=. 12.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，长轴长为4，点P(，1)在椭圆内部，则椭圆C的离心率的取值范围是　　　　.  答案　 解析　由题意可知，a=2，所以椭圆C的标准方程为+=1，因为点P(，1)在椭圆内部，所以+<1，可得b2>2，又b2<a2=4，所以2<b2<4，所以e2=1-=1-∈，又0<e<1，所以椭圆C的离心率的取值范围是. 四、解答题(共37分) 13.(12分)求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过P(-3，0)，Q(0，-2)两点；(6分) (2)长轴长等于20，离心率等于.(6分) 解　(1)设椭圆的方程为+=1， 因为椭圆经过点P，Q(0，-2)，所以 所以椭圆的标准方程为+=1. (2)依题意得所以 由b2=a2-c2=64，得b=8， 所以椭圆的标准方程为+=1或+=1. 14.(12分)已知椭圆M与椭圆N：+=1有相同的焦点，且椭圆M过点. (1)求椭圆M的标准方程；(6分) (2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标.(6分) 解　(1)由题意，知椭圆N的焦点为(-2，0)，(2，0)， 设椭圆M的方程为+=1(a>b>0)， 则化简并整理得5b4+11b2-16=0， 故b2=1或b2=-(舍去)，a2=5， 故椭圆M的标准方程为+y2=1. (2)由(1)知F1(-2，0)，F2(2，0)，设P(x0，y0)， 则△PF1F2的面积为×4×|y0|=1， 解得y0=±. 又+=1，所以=，x0=±， 所以点P有4个，它们的坐标分别为，，，. 15.(13分)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的顶点到直线l1：y=x的距离分别为和. (1)求椭圆C的标准方程；(5分) (2)设平行于l1的直线l交C于A，B两点，且|+|=||，求直线l的方程.(8分) 解　(1)由直线l1：y=x可知其与两坐标轴的夹角均为45°，故长轴端点到直线l1的距离为，短轴端点到直线l1的距离为， 所以=，=， 解得a=2，b=1， 所以椭圆C的标准方程为+y2=1. (2)设直线l：y=x+t(t≠0)， 联立整理得5x2+8tx+4t2-4=0， 则由Δ=64t2-16×5(t2-1)>0， 得-<t<且t≠0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1+x2=-，x1x2=， 故y1y2=(x1+t)(x2+t)=(x1+x2)t+x1x2+t2=， 因为|+|=||，所以OA⊥OB， 即·=x1x2+y1y2=+=0， 解得t=±，满足-<t<且t≠0， 所以直线l的方程为y=x+或 y=x-. 学科网（北京）股份有限公司 $