第3章 再练一课(范围：§3.2～§3.3)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

**基本信息** 聚焦圆锥曲线定义与性质，通过"概念辨析-性质应用-综合建模"三级训练，系统培养几何直观与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |抛物线|3选择+2填空+2解答|定义法求焦点准线、光学性质应用、中点弦点差法|从标准方程推导到焦点弦、切线问题的递进| |双曲线|3选择+1填空+1解答|离心率公式推导、渐近线方程转化、斜率积定值模型|以a,b,c关系为核心，构建几何性质与代数运算的关联| |综合应用|2选择+1解答|圆与圆锥曲线位置关系、向量数量积转化|通过跨知识模块整合，培养数学建模与问题转化能力|

再练一课(范围：§3.2~§3.3) [分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.抛物线y=x2的焦点坐标是(　　) A. B.(1，0) C. D.(0，1) 答案　D 解析　y=x2即x2=4y，所以其焦点在y轴正半轴上，坐标为(0，1). 2.已知方程-=1表示双曲线，则实数k的取值范围是(　　) A.(-1，1) B.(0，+∞) C.[0，+∞) D.(-∞，-1)∪(1，+∞) 答案　A 解析　∵方程-=1表示双曲线， ∴>0， ∴-1<k<1. 3.已知双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过焦点F2且垂直于x轴的弦为AB，若∠AF1B=90°，则双曲线的离心率为(　　) A. B.-1 C.+1 D. 答案　C 解析　由题意可知，双曲线的通径长为，如图所示，则|AB|=， 若∠AF1B=90°，所以2c=， 所以2ac=b2=c2-a2，由于e=， 所以e2-2e-1=0，解得e=1±， 因为e>1，所以e=1+. 4.用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面(抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面)的反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线C的方程为y2=8x，平行于x轴的光线从点M(12，2)射出，经过C上的点A反射后，再从C上的另一点B射出，则|MB|等于(　　) A.6 B.8 C.2 D.29 答案　C 解析　由M(12，2)，可得点A的纵坐标为2，设A(m，2)，则4=8m，解得m=，由题意知反射光线经过抛物线y2=8x的焦点(2，0)，所以直线AB的方程为y-0=(x-2)，整理可得y=-(x-2)，由消去y整理得2x2-17x+8=0，解得x1=，x2=8，则y2=-(x2-2)=-8，所以B(8，-8)，所以|MB|==2. 5.已知P为抛物线x2=4y上的一点，过P作圆C：x2+(y-4)2=1的两条切线，切点分别为A，B，则cos∠APB的最小值是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由圆的方程x2+(y-4)2=1，得圆心C(0，4)，半径r=1，结合题意作图如图所示. 由PA，PB与圆相切，则∠APB=2∠APC，且CA⊥PA， cos∠APB=cos 2∠APC=1-2sin2∠APC=1-2=1-， 设P(x，y)，则x2=4y，可得|PC|==， 则|PC|的最小值为2，cos∠APB的最小值为. 6.已知M1，M2是双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右顶点，P为该双曲线上任一点(与M1，M2不重合)，已知PM1与PM2的斜率之积为，则该双曲线的渐近线方程为(　　) A.3x±y=0 B.x±3y=0 C.3x±2y=0 D.2x±3y=0 答案　D 解析　∵M1，M2是双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右顶点， ∴M1(-a，0)，M2(a，0)， 设P(m，n)， 又PM1与PM2的斜率之积为， 则·=⇒=⇒ 9n2=4m2-4a2⇒-=1， 又∵P为该双曲线上任一点(与M1，M2不重合)， ∴-=1， 故b2=a2，即=， ∴双曲线的渐近线方程为y=±x， 即2x±3y=0. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.已知双曲线C：x2-=1，则(　　) A.双曲线C与圆+y2=1有3个公共点 B.双曲线C的离心率与椭圆+=1的离心率的乘积为1 C.双曲线C与双曲线-x2=1有相同的渐近线 D.双曲线C的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点相同 答案　BCD 解析　作图可知A不正确；由已知得双曲线C中，a=1，b=，c==2，所以双曲线C的焦点为，顶点为，渐近线方程为y=±x=±x， 离心率为=2，易知选项BCD正确. 8.已知点P在双曲线C：-=1上，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的是(　　) A.点P到x轴的距离为4 B.|PF1|+|PF2|= C.△PF1F2为钝角三角形 D.∠F1PF2=60° 答案　AC 解析　由双曲线的方程可得a=4，b=3，则c=5，由△PF1F2的面积为20，得×2c×|yP|=20，解得|yP|=4，即点P到x轴的距离为4，故A正确； 不妨设P，则|PF2|==， 由双曲线定义知|PF1|-|PF2|=2a=8， 则|PF1|=8+=， 则|PF1|+|PF2|=+=，故B错误； 在△PF1F2中，|PF1|=>2c=10>|PF2|=， 则==>0， 则∠PF2F1为钝角，则△PF1F2为钝角三角形，故C正确； cos∠F1PF2= = ==≠， 则∠F1PF2≠60°，故D错误. 9.(2024·新课标全国Ⅱ)抛物线C：y2=4x的准线为l，P为C上的动点，过P作☉A：x2+(y-4)2=1的一条切线，Q为切点.过P作l的垂线，垂足为B.则(　　) A.l与☉A相切 B.当P，A，B三点共线时，|PQ|= C.当|PB|=2时，PA⊥AB D.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个 答案　ABD 解析　A选项，抛物线y2=4x的准线为x=-1， ☉A的圆心(0，4)到直线x=-1的距离显然是1， 等于圆的半径， 故准线l和☉A相切，A选项正确； B选项，当P，A，B三点共线时， 即PA⊥l，则P的纵坐标yP=4， 由=4xP， 得到xP=4，故P(4，4)， 此时切线长|PQ|===，B选项正确； C选项，当|PB|=2时，xP=1， 此时=4xP=4， 故P(1，2)或P(1，-2)， 当P(1，2)时，A(0，4)，B(-1，2)， kPA==-2， kAB==2， 不满足kPAkAB=-1； 当P(1，-2)时，A(0，4)，B(-1，-2)， kPA==-6， kAB==6， 不满足kPAkAB=-1， 于是PA⊥AB不成立，C选项错误； D选项，方法一　(利用抛物线定义转化) 设抛物线C的焦点为F，根据抛物线的定义， |PB|=|PF|，这里F(1，0)， 于是=时P点的存在性问题转化成=时P点的存在性问题， A(0，4)，F(1，0)，AF的中点为， AF中垂线的斜率为-=， 于是AF的中垂线方程为y=， 与抛物线y2=4x联立可得y2-16y+30=0， Δ=(-16)2-4×1×30=136>0， 即AF的中垂线和抛物线有两个交点， 即存在两个P点，使得=，D选项正确. 方法二　(设点直接求解) 设P， 由PB⊥l可得B(-1，t)， 又A(0，4)，=， 根据两点间的距离公式， =+1， 整理得t2-16t+30=0， Δ=(-16)2-4×1×30=136>0， 则关于t的方程有两个解， 即存在两个这样的P点，D选项正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.抛物线的顶点在原点，焦点在直线x-2y-4=0上，则抛物线的标准方程为　　　　.  答案　y2=16x或x2=-8y 解析　x-2y-4=0过点，(0，-2). 若为焦点，则抛物线开口向右，=4，2p=16，抛物线方程为y2=16x； 若(0，-2)为焦点，则抛物线开口向下，=2，2p=8，抛物线方程为x2=-8y. 故抛物线方程为y2=16x或x2=-8y. 11.已知双曲线y2+=1的渐近线方程为y=±x，则m=　　　　.  答案　-3 解析　依题意得m<0，双曲线的方程化为标准方程为y2-=1，令y2-=0，得y=±x，此时双曲线的渐近线的斜率为±=±， 解得m=-3. 12.已知抛物线y=x2的焦点为F，P为抛物线上一动点，点Q(1，1)，当△PQF的周长最小时，点P的坐标为　　　　.  答案　 解析　如图，设l：y=-1是抛物线的准线，过P作PH⊥l于H，作QN⊥l于N， 则|PF|=，F(0，1)，=1， |PF|+=+，易知当Q，P，H三点共线时，+最小，且最小值为1+1=2， 所以△PQF周长的最小值为3， 此时xP=1，yP=，即P. 四、解答题(共37分) 13.(12分)已知抛物线C：x2=2py(0<p<6)的焦点为F，点A(4，m)在抛物线C上，且=5. (1)求抛物线C的标准方程；(4分) (2)直线l与抛物线C交于M，N两点，若线段MN的中点为P(1，2)，求直线l的方程.(8分) 解　(1)因为点A(4，m)在抛物线C上， 所以|AF|=m+=+=5， 又因为0<p<6，解得p=2， 故抛物线C的标准方程为x2=4y. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 所以-=4(y1-y2)， 即(x1-x2)(x1+x2)=4(y1-y2)， 因为MN的中点为P(1，2)，所以x1+x2=2， 则=，故直线l的斜率为， 所以直线l的方程为y-2=(x-1)， 即x-2y+3=0. 14.(12分)已知双曲线C：x2-=1(b>0)的离心率为. (1)求此双曲线的渐近线方程；(4分) (2)若经过点P(0，-1)的直线与双曲线C的右支交于不同两点M，N，求线段MN的中垂线l在y轴上的截距t的取值范围.(8分) 解　(1)由双曲线C：x2-=1(b>0)的离心率为且a=1， 可得c=，∴b=1. ∴双曲线C：x2-y2=1. 可得双曲线的渐近线方程为y=±x. (2)设经过点P的直线方程为y=kx-1，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立 消去y得(1-k2)x2+2kx-2=0， ∴ 解得1<k<. ∴MN的中点为， ∴线段MN的中垂线方程为 y+=-， 令x=0得截距t=>2. 即线段MN的中垂线l在y轴上的截距t的取值范围是(2，+∞). 15.(13分)已知抛物线C：x2=2py(p>0)上一点P到焦点F的距离|PF|=2y0. (1)求抛物线C的方程；(4分) (2)过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，点M为抛物线C准线上一点，且·=3，求△MAB的面积.(9分) 解　(1)由抛物线的定义得|PF|=y0+. 由题意得解得 ∴抛物线的方程为x2=12y. (2)由(1)知点F(0，3)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴直线l的方程为x+y-3=0. 由可得y2-10y+9=0， 则y1+y2=10， ∴|AB|=|AF|+|BF|=+=y1+y2+p=10+6=16， 令y1=1，y2=9， 则点A，B的坐标分别为(2，1)，(-6，9). 设点M的坐标为(t，-3)， 则=(2-t，4)，=(-6-t，12)， 则·=(2-t)(-6-t)+4×12=3， 解得t=-或-3. 又点M到直线l的距离为d=， 故d=或， 当d=时，△MAB的面积为S=d·|AB|=28， 当d=时，△MAB的面积为S=d·|AB|=36. 综上，△MAB的面积为28或36. 学科网（北京）股份有限公司 $